量子力學(xué)輔導(dǎo)

1、量子力學(xué)輔導(dǎo)第1頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四教學(xué)目的：1、系統(tǒng)了解量子力學(xué)I的基本內(nèi)容2、系統(tǒng)掌握量子力學(xué)結(jié)題的基本思路和方法3、為進(jìn)一步學(xué)習(xí)量子力學(xué)II和考研打下堅(jiān)實(shí) 的基礎(chǔ)第2頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第一部分 Schrdinger方程 一維定態(tài)問(wèn)題一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)(2) 是單值的；(3) 與 是連續(xù)的。1.在坐標(biāo)表象中，無(wú)自旋的粒子或雖有自旋但不 考慮自旋運(yùn)動(dòng)的粒子的態(tài)，用波函數(shù) 表示. 表示 時(shí)刻粒子處于空間 處 體積 元內(nèi)的幾率，即 代表幾率密度。根據(jù)波 函數(shù)的物理意義,波函數(shù) 應(yīng)具有如下性質(zhì)：(1)在全空間找到粒子的幾率 取

2、有限 值, 即 是平方可積的；tyd|),(|2trr第3頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四或2. 波函數(shù) 滿(mǎn)足方程其中是粒子的哈密頓算符。它由動(dòng)能算符 與勢(shì)能算符 組成。如果勢(shì)能 不含t，則第4頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四波函數(shù) 滿(mǎn)足方程或上述方程稱(chēng)為能量的本征值方程。其定態(tài)解為包含時(shí)間在內(nèi)的定態(tài)波函數(shù)為第5頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四含時(shí)Schrdinger方程 的一般解為其中 為任意常數(shù)。如果已知初條件則常數(shù) 不再是任意的，它由 唯一地確定： 代表粒子的能量取值為 的幾率。第6頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5

3、月20日，13點(diǎn)10分，星期四3. 一維束縛定態(tài)有如下性質(zhì)： (1)能量是非簡(jiǎn)并的； (2)波函數(shù)是實(shí)函數(shù)； (3)如果勢(shì)函數(shù) 滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)條件 則波函數(shù) 有確定的宇稱(chēng),即為奇(偶)函數(shù)4. 一維無(wú)限深勢(shì)阱 中的定態(tài)能量和波函數(shù)為 第7頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四如果坐標(biāo)原點(diǎn)取在勢(shì)阱的中心，則定態(tài)波函數(shù)為 具有確定的宇稱(chēng) 。 具有確定的宇稱(chēng) 。 5. 勢(shì)能為 的一維諧振子定態(tài)能量和波函數(shù)為第8頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第9頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四6. 在函數(shù)勢(shì)場(chǎng) 中，定態(tài)波函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù)，但 在 點(diǎn)不

4、連續(xù)：7. 波函數(shù)為 的一維運(yùn)動(dòng)粒子的動(dòng)量幾率分布 函數(shù)為幾率密度為第10頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四二、例題量子力學(xué)中常用的二階常系數(shù) 齊次線(xiàn)性微分方程的解對(duì)方程其特征方程為第11頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四1. 2 質(zhì)量為 的粒子處于一維勢(shì)場(chǎng)中，求定態(tài)能量 與波函數(shù) 。-a 0 a解：涉及的問(wèn)題分三個(gè)區(qū)I 區(qū) 阱外 波函數(shù)為0II 區(qū) -ax0III區(qū) 0 xaIIIIIII第12頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四其特征方程解為兩個(gè)共軛復(fù)根考慮到不涉及平面波，故波函數(shù)可寫(xiě)為形式因?yàn)閯?shì)函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性，故波函數(shù)

5、具有確定的宇稱(chēng)。但在原點(diǎn)處波函數(shù)必為0，從而知道波函數(shù)是奇函數(shù)故可令利用邊界條件得從而有歸一化的波函數(shù)是第13頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四1. 3 求在半壁無(wú)限深方勢(shì)阱中，求束縛態(tài)的條件 。0aV0提示：（2）除了要用邊界條件外，還要用連續(xù)性條件（3）涉及到波函數(shù)的連續(xù)條件時(shí)，一般要求解 超越方程組。本題中方程組是（1）分區(qū)求解第14頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四m1. 4 質(zhì)量為 的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其中 與 均為正實(shí)數(shù)。(1)試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本 征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；(2)給出粒子處于 區(qū)域中的幾率.它是 還

6、是 ，為什么？0 xV0提示：（2）除了要用邊界條件外，還要用躍變條件（1）分區(qū)求解（3）函數(shù)的作用第15頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四1. 6 諧振子勢(shì)中心附加 函數(shù)勢(shì)，在原定態(tài)解中，哪些仍是解，哪些不再是解，需要重新求？提示：（1）熟練掌握諧振子能量本征函數(shù)及其特點(diǎn)（2）了解函數(shù)的作用，會(huì)使用躍變條件V(x)x0第16頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四1.10 質(zhì)量為 的粒子在勢(shì)場(chǎng) 中作一維運(yùn)動(dòng)， 兩個(gè)能量本征函數(shù)分別為 均為實(shí)常數(shù)。試確定參數(shù) 的取值，并求這兩個(gè)態(tài)的能量之差 。提示：（1）盡管沒(méi)有給出勢(shì)場(chǎng)的具體形式，但薛定諤方程的 形式

7、是確定的，可以從波函數(shù)出發(fā)來(lái)求勢(shì)場(chǎng)。（2）根據(jù)勢(shì)場(chǎng)的性質(zhì)確定波函數(shù)的特點(diǎn)及相關(guān)參數(shù)。（3）根據(jù)所得波函數(shù)代入薛定諤方程求得能量差。第17頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四關(guān)鍵：等效方法 將長(zhǎng)度變量變?yōu)榻嵌茸兞?會(huì)使用相應(yīng)函數(shù)的躍變條件1.11 一質(zhì)量為 的粒子在一圓周（周長(zhǎng)為 ）上 運(yùn)動(dòng)。如果還存在 函數(shù)勢(shì) 請(qǐng)求出系統(tǒng)的所有能級(jí)和相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。1.14 粒子在二維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其中 為粒子質(zhì)量，求能量的本征值和本征函數(shù)。關(guān)鍵：兩維問(wèn)題，消去相互作用 ，用一維方法求解第18頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四求解粒子能量本征值和本征函數(shù)；1.17

8、 質(zhì)量為 的粒子被約束在半徑為 的圓周 上運(yùn)動(dòng)。 (1)設(shè)立路障，進(jìn)一步限制粒子在 的一段圓弧上運(yùn)動(dòng)，m提示：兩個(gè)思路 （1）寫(xiě)出無(wú)障時(shí)任意時(shí)刻的波函數(shù)利用初條件 （2）將有障波函數(shù)向無(wú)障波函數(shù)展開(kāi)(2)設(shè)粒子處于情況(1)的基態(tài)，求突然撤去路障 后粒子仍然處于最低能量態(tài)的幾率。0(2) 0 2(0) 第19頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四1.18 質(zhì)量為 的粒子處于一維諧振子勢(shì)場(chǎng) 的基態(tài) ，某時(shí)刻彈性系數(shù) 突然變?yōu)?, 即勢(shì)場(chǎng)變?yōu)?。求此時(shí)刻粒子處于新勢(shì) 場(chǎng) 的基態(tài) 的幾率。m1.22 一個(gè)質(zhì)量為 的粒子處于 的無(wú)限深 方勢(shì)阱中， 時(shí)，歸一化波函數(shù)為求(1)在后來(lái)某

9、一時(shí)刻 的波函數(shù)；(2)在 與 時(shí)體系的平均能量；(3)在 時(shí)粒子處于 內(nèi)的幾率。關(guān)鍵問(wèn)題：所給波函數(shù)是體系的定態(tài)波函數(shù)嗎？第20頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四1.25 已知一維運(yùn)動(dòng)的粒子在態(tài) 中坐標(biāo) 和動(dòng)量 的平均值分別為 和 ，求在態(tài)中 和 的平均值。1.31 設(shè)一維粒子由 處以平面波 入 射，在原點(diǎn)處受到勢(shì)能 的作用。(1)寫(xiě)出波函數(shù)的一般表達(dá)式；(2)確定粒子在原 點(diǎn)處滿(mǎn)足的邊界條件；(3)求出該粒子的透射 系數(shù)和反射系數(shù)；(4)分別指出 與 時(shí)的量子力學(xué)效應(yīng)。第21頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四補(bǔ)充例題：提示：這是個(gè)常規(guī)題，需要

10、求出各區(qū)的波函數(shù)及反射系數(shù)，利用條件求解。1.33 粒子被一維勢(shì)壘散射。當(dāng)粒子的能量 時(shí)，有一半粒子被反射回去，求粒子的質(zhì)量所滿(mǎn)足的方程。0aV0 x第22頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四1、證明：具有不同能量的兩個(gè)束縛態(tài)，其波函數(shù)正交。 證明：令 分別對(duì)應(yīng)能量 ， ；結(jié)論與勢(shì) 能的具體形式無(wú)關(guān)，應(yīng)該從S.eq出發(fā)。并對(duì)空間積分 第23頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四 因?yàn)槭`態(tài)邊界條件是 由于 ，則有即 正交。第24頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2、在氫原子的一個(gè)能量本征態(tài)中，測(cè)得其軌道角動(dòng)量為 零（s 態(tài)），而

11、有兩個(gè)同心球面是波函數(shù)的零點(diǎn)。求氫原子的能量。 解：三維有心力場(chǎng)系統(tǒng)波函數(shù)寫(xiě)成 其中 滿(mǎn)足方程 分析：求能量主要是求主量子數(shù)n，可通過(guò)與節(jié)點(diǎn)的關(guān)系來(lái)求。節(jié)點(diǎn)即波函數(shù)的零點(diǎn)，用節(jié)點(diǎn)法解題的依據(jù)是節(jié)點(diǎn)定理：對(duì)于一維束縛態(tài)，在基本區(qū)域內(nèi)（不含邊界點(diǎn)）基態(tài)無(wú)節(jié)點(diǎn)，第n 個(gè)激發(fā)態(tài)有n 個(gè)節(jié)點(diǎn)。第25頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四對(duì)于本問(wèn)題， ，氫原子主量子數(shù)為氫原子能量為相當(dāng)于 范圍內(nèi)的一維運(yùn)動(dòng),其行為可用徑向量子數(shù) 描述。從波函數(shù) 的形式看，角度方向零點(diǎn)由 提供，徑向零點(diǎn)由 提供。根據(jù)節(jié)點(diǎn)定理，對(duì)于確定的 ，徑向基態(tài)無(wú)節(jié)點(diǎn) ，第 個(gè)徑向激發(fā)態(tài) 有 個(gè)節(jié)點(diǎn)。第26頁(yè)，共97頁(yè)

12、，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四3、一質(zhì)量為m的粒子，處在勢(shì)能為的一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求粒子的本征能量和本征波函數(shù)。，為歸一化常數(shù)）本征函數(shù)為 其中 中，粒子的能量（提示：已知在勢(shì)場(chǎng) 另外，如果勢(shì)能變?yōu)樽兓瘑幔勘菊骱瘮?shù)呢？，本征能量發(fā)生第27頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第二部分 力學(xué)量算符一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.在經(jīng)典力學(xué)中的任一力學(xué)量 是坐標(biāo) 和 動(dòng)量 的函數(shù)，它對(duì)應(yīng)量子力學(xué)中的厄米算符 。 的本征值為力學(xué)量的可測(cè)值。 如果粒子的波函數(shù)是力學(xué)量算符 的本征函數(shù), 本征值為 ， 則測(cè)量該粒子的力學(xué)量 時(shí)， 得 如果粒子的波函數(shù)不是力學(xué)量算符 的本征函數(shù)，則測(cè)量該

13、粒子的力學(xué)量 時(shí)，得 到的是平均值：第28頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2. 算符 的厄米共軛算符 的定義是其中 與 是任意波函數(shù)。3. 算符 的厄米算符的定義是其中 與 是任意波函數(shù)。比較以上兩式可以看出， 如果滿(mǎn)足條件： 則是厄米算符。厄米算符具有如下性質(zhì)：(1)本征值是實(shí)數(shù)；(2)本征函數(shù)具有正交性。第29頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四設(shè)力學(xué)量算符 的本征函數(shù)為 ，相應(yīng)的本征值為 ：如果 ，則 是正交的：如果 ，則 不一定是正交的。設(shè)本征值相同的 個(gè)本征函數(shù)相互不正交，可將它們作線(xiàn)性組合，一定可以得到 個(gè)新的相互正交并且歸一的本征函

14、數(shù)。因此厄米算符的本征函數(shù)一定可以使之滿(mǎn)足正交歸一條件第30頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四(3) 在一定條件下，厄米算符本征函數(shù)具有完備性厄米算符 的本征函數(shù)具有完備性是指任意波函數(shù) 可以通過(guò) 的所有本征函數(shù)全體集合 表示為其中如果 的個(gè)數(shù)為有限的 ，則是完備的。如果 ，則在本征值 無(wú)上限的條件下 是完備的。(4) 厄米算符 與 存在共同本征函數(shù)完備系的充 分必要條件是 與 對(duì)易。第31頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四4. 量子力學(xué)中的基本對(duì)易關(guān)系是5. 算符函數(shù)的定義是其中第32頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四6

15、. 算符 與 的不確定關(guān)系為其中不確定關(guān)系的一個(gè)重要例子是第33頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四 力學(xué)量 為守恒量的條件是 不含 ，且 與哈密頓 對(duì)易。7. 力學(xué)量 平均值隨時(shí)間的變化率為8. 力學(xué)量完全集是一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的相互對(duì)易的力 學(xué)量，它們的共同本征函數(shù)全體集合可以用來(lái) 表示粒子的運(yùn)動(dòng)態(tài)。在力學(xué)量完全集中，力學(xué) 量的個(gè)數(shù)為粒子運(yùn)動(dòng)的維數(shù)。例如對(duì)于在三維 中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，力學(xué)量完全集可以是 或 或 。第34頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四9.位力定理則在此勢(shì)場(chǎng)中束縛定態(tài) 上的動(dòng)能與勢(shì)能的平均值之間滿(mǎn)足如下關(guān)系：10.F-H( Fey

16、nman-Hellmann)定理設(shè)粒子屬于能量本征值 的本征態(tài)為 ，即 如勢(shì)場(chǎng) 為 的 次齊次函數(shù)第35頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第一式對(duì) 求導(dǎo)得上式左乘 ，并利用第二式和歸一化條件，得到對(duì)束縛態(tài) ，有此式即為Feynman-Hellmann定理。比較重要！其共軛方程為又設(shè) 是 從而是 的參數(shù),第36頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四二、例題2.5 設(shè)算符 ，又設(shè) 為 的 本征矢,相應(yīng)本征值為 . 求證 和 也是 的本征矢，并求出相應(yīng)的本征值。2.2 動(dòng)量在徑向方向的分量定義為求出 在球坐標(biāo)中的表達(dá)式注意三問(wèn)題：1.求算符的表達(dá)式勿忘作用

17、任意波函數(shù) 2.不論在何種坐標(biāo)中， 是不變的 3.拉普拉斯算符在球坐標(biāo)中的表示第37頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第38頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 粒子作一維運(yùn)動(dòng)， ,定態(tài)波函數(shù)為(2)利用(1)推導(dǎo)求和公式(3)證明學(xué)會(huì)利用公式(1)證明 并求系數(shù)思路：如何第39頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四同理所以又因?yàn)槔脤?duì)易關(guān)系即可證出。證明：由于第40頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 已知 是 和 的共同本征函數(shù)，本征值 分別為 和 ，令 。(1)證明 仍是 和 的共同本征函

18、數(shù)， 求出它們的本征值；關(guān)鍵是要理解下式是如何來(lái)的？(2)推導(dǎo)公式容易證明是算符屬于本征值的本征函數(shù),也是算符征值屬于本的本征函數(shù).但又知的本征值是非簡(jiǎn)并的,故這兩個(gè)本征函數(shù)最多相差一常數(shù)。而第41頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.13 設(shè)粒子處于狀態(tài) ,求軌道角動(dòng)量 分量及 分量平均值 與 ，以及 與 。關(guān)鍵是如何求常數(shù)考慮用球諧函數(shù)的正交歸一性和角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系將式兩邊取厄米共軛，有以上兩式相乘并對(duì)全空間積分，有利用容易得到第42頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.19 一維諧振子處于定態(tài) ，計(jì)算 ，檢驗(yàn)測(cè) 不準(zhǔn)關(guān)系。2.21 已知

19、束縛態(tài)波函數(shù)為 ，求動(dòng)量 與動(dòng)能 的幾率分布函數(shù)的表達(dá)式。對(duì)一維諧振 子基態(tài)，波函數(shù) 算出動(dòng)量 與動(dòng)能 的幾率分布函數(shù)，并算出動(dòng)能平均值。注意適當(dāng)時(shí)候會(huì)使用位力定理和F-H定理提示：第43頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四已知Fourier變換其意義是：波函數(shù)按照動(dòng)量算符的本征函數(shù)來(lái)展開(kāi)展開(kāi)系數(shù)是則動(dòng)量的幾率分布函數(shù)可表示為而由于的動(dòng)能T相同，且若動(dòng)能的幾率分布函數(shù)用F(T)表示,則有而則由此給出動(dòng)能平均值第44頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.23 質(zhì)量為 的粒子在外場(chǎng)的作用下作一維運(yùn)動(dòng) ，已知當(dāng)其處于束縛態(tài) 時(shí)， 動(dòng)能平均值為 ，并已知

20、是實(shí)函數(shù)。 試求當(dāng)粒子處于態(tài) 時(shí)動(dòng)量平均值 與動(dòng)能平均值 。 另外，如何理解：束縛態(tài)中動(dòng)量的平均值為零？思路比較明確，利用已知條件，并會(huì)證明束縛態(tài)中動(dòng)量的平均值為零。第45頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四補(bǔ)充題一電子在帶電量為 +Q 的真空點(diǎn)電荷勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，設(shè)電子處于定態(tài)，利用位力(Virial)定理證明勢(shì)能V與動(dòng)能T存在關(guān)系 證明：題目實(shí)已給出中心力場(chǎng)勢(shì)的形式利用位力定理因?yàn)樗源胛涣Χɡ?，有即?6頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第三部分 表象理論一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)1. 動(dòng)量表象波函數(shù) 的絕對(duì)值平方 為動(dòng) 量幾率密度。 表示 時(shí)刻粒 子的三個(gè)

21、動(dòng)量分量在 的幾率。t動(dòng)量表象波函數(shù) 與坐標(biāo)表象波函數(shù) 之間的關(guān)系是第47頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四對(duì)一維運(yùn)動(dòng)，以上兩式變?yōu)?. 滿(mǎn)足方程應(yīng)該學(xué)會(huì)把S方程直接從坐標(biāo)表象變換到動(dòng)量表象第48頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四以一維運(yùn)動(dòng)為例，坐標(biāo)表象中的S. Eq為方程兩邊取動(dòng)量表象，上式成為按照約定， 上式變?yōu)榈米C。第49頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四對(duì)一維運(yùn)動(dòng)，以上兩式變?yōu)槿绻麆?shì)能 不含t，則E 為定態(tài)能量， 滿(mǎn)足定態(tài)方程第50頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四如果勢(shì)能 可以表示成 的正

22、冪次級(jí)數(shù)則定態(tài)方程為在本征值為分立的力學(xué)量 表象中，波函數(shù) 表示為一列矩陣其中第51頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四 是 的第 個(gè)本征函數(shù)在 表象中，力學(xué)量 表示為方矩陣波函數(shù) 與算符 由 表象到 表象變換的公式為第52頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四將它們依次排列起來(lái)得到注意：變換矩陣S的定義與教材中略有不同其中 矩陣可以通過(guò)在 表象求出 的所有本征態(tài)矢第53頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四則從原表象到新表象的變換矩陣元可表示為在教材中，原表象基矢用 表示新表象基矢用 表示意義：原表象第k個(gè)基矢在新表象第個(gè)基矢中

23、的分量。而在本參考書(shū)中， 表示新表象的第1個(gè)基矢在原表象的第2個(gè)基矢上的分量。建議使用本教參中的定義。第54頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四表象變換中基矢之間變換矩陣的問(wèn)題,可簡(jiǎn)單證明如下：其中 表示從Q表象（基矢為 ）到Q表象（基矢為 ）的變換矩陣。 不失一般性，設(shè)F的本征態(tài)在Q表象的表示為 ，在Q表象的表示為 ，則有第55頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四或根據(jù)表示。 顯然 是幺正矩陣S的 行 列矩陣元。 是的本征態(tài)。由上式可知， 的第 個(gè)本征態(tài)在Q表象內(nèi)用第56頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四即有因而在Q表象內(nèi)解

24、出的 的第 個(gè)本征矢正好是S矩陣的第 列元素。故把 在Q表象內(nèi)解得的本征矢按照本征值的順序并列，就得幺正變換矩陣第57頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四二、例題3.1 在 表象求解 勢(shì)阱 中的束縛態(tài) 能量和波函數(shù)( )。提示：基本思路同在坐標(biāo)表象，就是換了個(gè)表象 不過(guò)對(duì)勢(shì)采用動(dòng)量表象好一些。解：利用在動(dòng)量表象中的定態(tài)方程其中對(duì)應(yīng)束縛態(tài)代入上式積分，得第58頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四方程右邊與 無(wú)關(guān)，兩邊可對(duì) 求導(dǎo)，有其解為為求能量，將上式代入前式中的積分，有由此得定態(tài)能量代入波函數(shù)的形式解內(nèi)，并將其歸一化，有不如坐標(biāo)表象中的解簡(jiǎn)單第59頁(yè)

25、，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四試計(jì)算 ，驗(yàn)證測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。3.2 已知在 勢(shì)阱 中的定態(tài)歸一化波函數(shù)( )為提示：基本思路同在坐標(biāo)表象，就是換了個(gè)表象要注意坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象中的表示第60頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四3.4 質(zhì)量為 的粒子在均勻力場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)范圍限制在 。試給出動(dòng)量 表象中的定態(tài)方程并求出定態(tài)波函數(shù) 。3.5 質(zhì)量為 的粒子在均勻力場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)， 為其在動(dòng)量空間的幾率密度， 求 與 的關(guān)系。類(lèi)比教材中在坐標(biāo)表象下研究定域的幾率守恒方法來(lái)做提示：將力場(chǎng)變?yōu)閯?shì)場(chǎng)第61頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四設(shè)

26、 時(shí)體系態(tài)矢為3.8 有一量子體系，其態(tài)矢空間三維，選擇基矢 。體系的哈密頓 及另兩個(gè)力 學(xué)量 與 為(1)在 時(shí)測(cè)量體系能量 可得哪些結(jié)果？相 應(yīng)幾率多大？計(jì)算 及 。(2) 如在 時(shí)測(cè)量 ，可能值及相應(yīng)幾率多 大？寫(xiě)出測(cè)量后體系的態(tài)矢量。(3) 計(jì)算任意 時(shí)刻 與 的平均值 與 根據(jù)測(cè)量結(jié)果寫(xiě)出態(tài)矢量第62頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四3.9 厄米算符 與 滿(mǎn)足 且 。 求(1)在 表象中算符 與 的矩陣表示； (2)在 表象中算符 的本征值與本征態(tài)矢； (3)求由 表象到 表象的幺正變換矩陣， 并把 矩陣對(duì)角化。解：(1)需要A表象的基矢是什么，即求A算符的本

27、征基矢令本征值為，本征態(tài)為，則有顯然由于在A表象中，A算符的矩陣表示為對(duì)角矩陣，對(duì)角元就是本征值，從而有第63頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四而由于A，B算符不對(duì)易，故無(wú)共同的本征態(tài)，在A表象下B算符不是對(duì)角矩陣，令為代入可得從而有由于B是厄米算符，故有即所以從而有代入有其中為任意實(shí)數(shù)。取則這樣在A表象下(2)A表象下B算符的本征值及本征態(tài)矢容易求出第64頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四3.10 在 的 表象中，基矢為 求 與 的矩陣表示。令本征值為，本征矢為即有解得(3)求A表象到B表象的變換矩陣：將原表象A下求得的新表象B的本征態(tài)矢按照本

28、征值的次序排列就是變換矩陣此矩陣可以將B算符對(duì)角化，即第65頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四3.12 一個(gè)量子體系處于角動(dòng)量 的共同本征 態(tài)上，總角動(dòng)量平方值為 。已知測(cè)量 得 值為 0 的幾率是1/2，求測(cè)量 得值為 的 幾率。波函數(shù)用球函數(shù)展開(kāi)3.13 粒子處于態(tài) ，其中 為 正實(shí)數(shù)，C為歸一化常數(shù)。求(1) 的取值； (2) 的平均值；(3) 的幾率；(4) 的可 能取值及相應(yīng)的幾率。角度部分波函數(shù)用Lx的本征函數(shù)展開(kāi)需要掌握幾個(gè)球函數(shù)的表達(dá)式第66頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四3.18 在由正交基矢 構(gòu)成的三維態(tài)矢空 間中，哈密頓算

29、符 與力學(xué)量 的矩陣為(1)證明 為守恒量；(2)求出 與 的共同本征態(tài)矢組。補(bǔ)充題：提示：注意利用曾書(shū)chap.5中的定理：非簡(jiǎn)并本征態(tài)必為某一守恒量的本征態(tài)。第67頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四 1、質(zhì)量為 的粒子在勢(shì)場(chǎng) 中作一維運(yùn)動(dòng)，試建立動(dòng)量表象中的能量本征方程。 解：采用狄拉克符號(hào)，能量本征方程可寫(xiě)為 （1）所以 （2）將（2）代入（1）得已知以 左乘上式得第68頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四 其中 定義上式即為 表象中的能量本征方程。其中代入上式得 （3）第69頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四證明：（

30、1） 2、 如 是哈密頓算符屬于能量 的本征函數(shù)， （ ），證明 （1） （2）進(jìn)一步證明i為簡(jiǎn)并指標(biāo)第70頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四（2）利用則有但由（1）得即代入前式 得第71頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第四部分 中心力場(chǎng)問(wèn)題一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.在中心力場(chǎng) 中，定態(tài)波函數(shù) 可以表示為其中 滿(mǎn)足方程 滿(mǎn)足方程與邊界條件第72頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.帶有電荷 的粒子在電磁場(chǎng)中的哈密頓為波函數(shù)為 的粒子在電磁場(chǎng)中的幾率流密度為或這里是粒子的速度算符。其中 為正則動(dòng)量， 與 分別是電磁場(chǎng)的矢勢(shì)與標(biāo)勢(shì)。第

31、73頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四3.在三維無(wú)限深方勢(shì)阱中，定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)為第74頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四4.在三維各向異性諧振子勢(shì)場(chǎng)中，定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)為第75頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四5.在類(lèi)氫離子勢(shì)場(chǎng) 中，定態(tài)能量和定 態(tài)波函數(shù)為其中 是Bohr半徑， 分別是主量子數(shù)、軌道量子數(shù)和磁量子數(shù)，且另：若徑向量子數(shù)用 表示，則有第76頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四二、例題提示：這是一個(gè)球方勢(shì)阱問(wèn)題，且l=0，利用到徑向波函數(shù)u(r)所滿(mǎn)足的方程。另外，有限深勢(shì)阱問(wèn)

32、題一般要涉及求解超越方程！4.1 質(zhì)量為 的粒子在三維方勢(shì)阱 中運(yùn)動(dòng)， 求存在s波束縛態(tài)的條件。解：s波束縛態(tài)必定是l=0的基態(tài)。設(shè)波函數(shù)為則u(r)所滿(mǎn)足的方程為邊條件是作為束縛態(tài)，能量范圍應(yīng)該令第77頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四則分區(qū)寫(xiě)出的u(r)所滿(mǎn)足的方程為容易求出滿(mǎn)足邊條件的解為由波函數(shù)連續(xù)得由波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)得上下兩式相比，有令上式變?yōu)榱硗庥缮享?yè)的定義可得這是我們知道的超越方程組，其存在束縛態(tài)的條件是第78頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四4.2 粒子處于三維球殼勢(shì)阱 中， 求存在束縛態(tài)的條件。提示：這仍是一個(gè)球方勢(shì)阱問(wèn)題思路同上

33、題。另外，要考慮到利用勢(shì)中波函數(shù)導(dǎo)數(shù)的躍變條件。解：則u(r)所滿(mǎn)足的方程為其中滿(mǎn)足條件的解是如何求得？利用邊界條件（包含躍變條件）得第79頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四兩式相比化簡(jiǎn)，并令 x=2ka 得其解可通過(guò)求超越方程得到0 x0 xy將交點(diǎn)x0代入 x=2ka 求得k并代入求得本征能量何時(shí)有解？顯然唯有此時(shí)容易解出存在束縛態(tài)的條件第80頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四4.4 設(shè)粒子的定態(tài)波函數(shù) ，其中 與 是常數(shù)。已知 。求定態(tài)能量 和勢(shì)能 。 分析：這顯然是一個(gè)中心力場(chǎng)問(wèn)題。給出的是定態(tài)波函數(shù)，去求勢(shì)函數(shù)，因而是一個(gè)反問(wèn)題。其基本

34、思路是，寫(xiě)出徑向定態(tài)方程，代入定態(tài)波函數(shù)，利用所給條件，求出定態(tài)能量和勢(shì)能函數(shù)。思考：如何處理 ？第81頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四4.7 質(zhì)量為 電荷為 的粒子在方向互相垂直的 均勻電場(chǎng) 和均勻磁場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，求定態(tài)能 量與波函數(shù)。分析：這是一個(gè)粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。其中有 電場(chǎng)，也有磁場(chǎng)，故H取其完全形式。解：設(shè)電場(chǎng)方向沿y軸，強(qiáng)度為；磁場(chǎng)方向沿z軸，強(qiáng)度為B。取不對(duì)稱(chēng)規(guī)范，即其中則這樣，電磁場(chǎng)的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)分別為相應(yīng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為哈密頓的完全形式是第82頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四顯然同對(duì)易，三量存在共同本征態(tài)。而由于 是守

35、恒量，可以認(rèn)為粒子在x,z方向的運(yùn)動(dòng)是自由粒子運(yùn)動(dòng)平面波函數(shù)，故它們的共同本征態(tài)可以寫(xiě)為代入哈密頓算符的本征值方程可以得到 所滿(mǎn)足的方程第83頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四這里 可以作為常數(shù)處理。令上式可變?yōu)檫M(jìn)一步令上式就簡(jiǎn)化為這是我們熟知的形式-一維諧振子的定態(tài)方程。其解為將上述變量進(jìn)行相應(yīng)代換，就得到粒子的定態(tài)能量和波函數(shù)。第84頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四4.8 (1)已知帶有電荷 的粒子在磁場(chǎng) 與勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)。求帶電粒子速度分量算符的對(duì)易關(guān)系 的表達(dá)式。 (2)質(zhì)量 帶電荷 的粒子在磁場(chǎng)中的哈密頓為 請(qǐng)問(wèn)在什么情況下它可以寫(xiě)成

36、的形式？ (3)設(shè) ，略去第二式中 的 項(xiàng)，求出與 相應(yīng)的Schrdinger方程的解。對(duì)第三問(wèn)進(jìn)行分析：第85頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四設(shè) 方向?yàn)閦方向，則S-方程為因勢(shì)函數(shù)中含有時(shí)間，無(wú)法進(jìn)行分離變量。 可用動(dòng)量表象試一下。方程變?yōu)?為有利于求解，方程可化為 積分后得這就是動(dòng)量表象中S-方程的解。第86頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四4. 9 處于基態(tài)的類(lèi)氫原子經(jīng) 衰變，核電荷數(shù)突然 由 變?yōu)?，求原子處于 態(tài)的幾率。已 知類(lèi)氫原子定態(tài)波函數(shù)為4.10 氫原子處于基態(tài)。假定庫(kù)侖作用在 時(shí)突 然消失，電子離開(kāi)原子像自由電子那樣運(yùn)動(dòng)。 試求 時(shí)測(cè)量電子動(dòng)量大小在 內(nèi)的 幾率。提示：可以認(rèn)為動(dòng)量方向是沿z方向，從而有問(wèn)題：電子離開(kāi)原子后，動(dòng)量分布還會(huì)發(fā)生變化嗎？第87頁(yè)，共97頁(yè)，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四4.13 在勢(shì)場(chǎng) 中粒子處在定