高中數(shù)大題知識(shí)點(diǎn)

1、高中數(shù)學(xué)大題學(xué)問(wèn)點(diǎn) 一,三角函數(shù) 1,設(shè) 是一個(gè)任意大小的角, 的終邊上任意一點(diǎn) 的坐標(biāo)是 x, y ,它與原點(diǎn) 的距離是 r r x 2y 20 ,就 sin y , cos x , tan y x 0 r r x 2,三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正,其次象限正弦為正, 第三象限正切為正,第四象限余弦為正 3,兩角和與差的正弦,余弦和正切公式： cos cos cos sin sin ； cos t an cos cos sin sin ； sin sin cos cos sin ； sin sin cos cos sin ； tan tan tan （ t an t an 1 t

2、an t）；an1 tan tan tan tan tan （ t an t an t an 1 t an t）an1 tan tan 4,二倍角的正弦,余弦和正切公式： 2 2sin 2 2sin cos 1 sin 2 sin cos 2sin cos sin cos 2 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 11 2sin 2 2升冪公式 1 cos 2 cos ,1 cos 2 sin 2 22 cos 2 1 2 1 cos 2 降冪公式 cos , sin 2 25,正弦定理：在 C中, a , b , c 分別為角 , , C 的對(duì)邊,就有 a b c 2R R 為

3、 C的外接圓的半徑 sin sin sin C 正弦定理的變形公式： a 2 Rsin , b 2R sin , c 2 R sin C ； sin a, sin b, sin C c ； a : b : c sin : sin : sin C 2R 2R 2 R 三角形面積公式： S C 1 bc sin 1 ab sin C 1 ac sin 2 2 2第 1 頁(yè) 共 10 頁(yè) 第 1 頁(yè),共 10 頁(yè)6,余弦定理：在 C中, a 2 2bb2 c 2 2c 2bc cosA, cos A b22 c a2, 2bc cosB a2c 2b2, 22accosB, a2ac2 c a2b2

4、2abcosC. cosC a2 c2 . b2 2ab 二, 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 ： 22 x 2 y , x cos , 2y2 y1 2傾斜角為 的直線 的參數(shù)方 ly sin , tan y x x 0 2,經(jīng)過(guò)點(diǎn) M O xo , yo , P1P2x2 x2 x xo tcos , 程可表示為 y yo tsin . （ t 為參數(shù)） .3, 點(diǎn)到直線距離公式： 點(diǎn) P x0 , y0 到直線 l : Ax By C0 的距離為： dAx0 By0 C 2 A 2 B 4,兩點(diǎn)間的距離公式 三,數(shù)列 1,等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)比小結(jié)： 一,定義 等差數(shù)列 *）, 等比數(shù)列 *）,

5、 an an 1dn 2 a n q n 2 an 1 二,公式 1 an a1 n 1 d1 an n1 a1q an am n m d , nma nn m aq m , n m 2 S nn a1 an na nn 1 d2 S n na 1 qq1a1 a n q q 1 a1 1 n22三,性質(zhì) 1 a, b, c 成等2b a c , 1q1q1 a, b,c 成等b2ac , 差 稱 b 為 a 與 c 的等差中比 稱 b 為 a 與 c 的等比中項(xiàng) 2如 m npq（ m ,n , p ,q 2如 m n p q（ m ,n , p ,q 就 am anap aq 就 am a

6、n ap aq 3 Sn , S2n Sn , S3n S2n 成等差數(shù)列 3 Sn , S2 n Sn , S3n S2 n 成等比數(shù)列 2,非等差,等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 1）公式法： 如已知數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn 與 an 的關(guān)系,求數(shù)列 an 的通項(xiàng) an 可用公 第 2 頁(yè) 共 10 頁(yè) 第 2 頁(yè),共 10 頁(yè)式 anS1, n Sn 1, n 1 構(gòu)造兩式作差求解； 2 Sn 2）,形如 an 1an f n 型的遞推數(shù)列 （ 其中 f n 是關(guān)于 n 的函數(shù)）可 構(gòu)造： an an 1f n 1 f n 2 an 1an 2. a2 a1 f 1 將上述 n 1 個(gè)式子兩邊分

7、別相加 3）,累乘法： 形如 an 1an f n an 1f n 型的遞推數(shù)列（其中 f n 是關(guān)于 n 的函數(shù)） 可構(gòu)造： an an f n 1 an1an1f n 2 an 2. a2 a1 f 1 將上述 n 1 個(gè)式子兩邊分別相乘 4）,構(gòu)造數(shù)列法： 形如 an 1pan q （其中 p, q 均為常數(shù)且 p0 ） 型的遞推式： 設(shè) an 1pan , 開放移項(xiàng)整理得 an 1pan p 1 , 與題設(shè) an 1pan q 比較 系數(shù)（待定系數(shù)法）得 pq, 1 p0an 1q p 1 p an qan q1pan 1q , 即 p1 pp1anpq1構(gòu)成以 a 1q為首項(xiàng),以 p

8、 為公比的等比數(shù)列 . 再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公 p1式求出 anpq1的通項(xiàng)整理可得 a n. 5）,倒數(shù)變換法： 形如 an 1an pan 1an （ p 為常數(shù)且 p0 ）的遞推式：兩邊同除于 an 1an ,轉(zhuǎn)化為 11p 形式, an an 13,非等差,等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的求法 第 3 頁(yè) 共 10 頁(yè) 第 3 頁(yè),共 10 頁(yè)錯(cuò)位相減法 如數(shù)列 an 為等差數(shù)列,數(shù)列 bn 為等比數(shù)列,就數(shù)列 an bn 的求和就要接受此法 . 2 4 6 2n 求數(shù)列 , , , , , 前 n 項(xiàng)的和 . 2 2 2 2 3 2 n 解：由題可知, 2n n 的通項(xiàng)是等差數(shù)列 2n 的

9、通項(xiàng)與等比數(shù)列 1n 的通 2 2項(xiàng)之積 設(shè) S n2462n 22 2 23 2 n 1 2S n2462 n 2 2 2 3 24 2 n 1 （設(shè)制錯(cuò)位） 得 11 1 2 S 222222 n 222 23 24 2 n 2 n 1（錯(cuò)位相減 ） S 212n 2n2 n 1 24n 2n 1裂項(xiàng)相消法常見的拆項(xiàng)公式有： 1 1 1； nn 1 n n 1 1 1 1 1; 2 n 12n 1 2 2n 1 2n 1 1 1a b; a b ab分組法求和 有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,如將這類數(shù)列適 當(dāng)拆開,可分為幾個(gè)等差,等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即

10、可 .四, 其次章：圓錐曲線 1,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) F1 ,F 2 的距離之和等于常數(shù) （大于 F 1 F 2 ）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓 這 兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距 2,橢圓的幾何性質(zhì)： 焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在 x 軸上 焦點(diǎn)在 y 軸上 圖形 第 4 頁(yè) 共 10 頁(yè) 第 4 頁(yè),共 10 頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)方程 2 x 2 y 1 a 2b0b2 y 2 x 1aa2b0aa2b2a2b2范疇 ax a 且 by bx b 且 y 1a,0 , a,0 10, a, 0, a 頂點(diǎn) 軸長(zhǎng) 焦點(diǎn) 焦距 對(duì)稱性 離心率 3,平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn) 10, b , 20,b 1b,0 , 2b

11、,0 短軸的長(zhǎng) 2b 長(zhǎng)軸的長(zhǎng) 2a F1 c,0 , F2 c,0 F1 0, c , F2 0,c F1 F2 2 2c c a2b2關(guān)于 x 軸, y 軸,原點(diǎn)對(duì)稱 ec 12 b0e1aa2F1 , F 2 的距離之差的確定值等于常數(shù)（小于 F 1 F 2 ）的點(diǎn)的軌跡 稱為雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距 4,雙曲線的幾何性質(zhì)： 焦點(diǎn)的位置 焦點(diǎn)在 x 軸上 焦點(diǎn)在 y 軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 2 x 2 y 1a0, b 02 y 2 x 1a0, b 0a22 ba2b2范疇 x a 或 x a , y Ry a 或 y a , x R頂點(diǎn) 1a,0

12、, 2a,0 10, a, 20, a 軸長(zhǎng) F1 虛軸的長(zhǎng) 2b 實(shí)軸的長(zhǎng) 2a c,0 , F2 c,0 F1 0, c , F2 0,c 焦點(diǎn) 焦距 F1 F2 2 2c c a2b2對(duì)稱性 關(guān)于 x 軸, y 軸對(duì)稱,關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱 第 5 頁(yè) 共 10 頁(yè) 第 5 頁(yè),共 10 頁(yè)離心率 F ec 12 be1F 稱為 aa2漸近線方程 y bx y ax ab5,平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) 和一條定直線 l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線定點(diǎn) l稱為拋物線的準(zhǔn)線 拋物線的焦點(diǎn),定直線 6,拋物線的幾何性質(zhì)： 2 y 2 px 2 y 2 px 2 x 2 py 2 x 2 py 標(biāo)準(zhǔn)方程 p

13、0p0p0p0圖形 頂點(diǎn) 0,0 對(duì)稱軸 x 軸 y 軸 焦點(diǎn) F p, 0 F x p 2, 0 e1F 0, pF 0, p222準(zhǔn)線方程 x x ppy y py p2222離心率 x y 0000范疇 7,弦長(zhǎng)公式： 2 1 k x1 2 x2 4x1x2 五, 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1,基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) C n 0 ； x n nx 1； e sin x cosx ； cosx sin x ； ax ax ln a； x e x ； log a x 1a ； l nx 1x ln x 2,導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法就： 第 6 頁(yè) 共 10 頁(yè) 第 6 頁(yè),共 10 頁(yè)1 f x

14、 g x f x g x ； 2 f x g x f x g x f x g x ； f x f x g x f x g x 3 2 g x 0 g x g x 3,復(fù)合函數(shù) y f g x 的導(dǎo)數(shù)與函數(shù) y f u , u g x 的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系是 yx yu ux 4 ,在某個(gè)區(qū)間 a, b 內(nèi),如 f x 0 ,就函數(shù) y f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如 f x 0 ,就函數(shù) y f x 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減 六,概率 1, 分類加法計(jì)數(shù)原理： 分類相加 做一件事情, 完成它有 n 類方法, 在第一類方法中有 m1 種不同的方法, 在其次類方法中有 m2 種不同的方法 在第 n 類方法

15、中有 mn 種不同的方法 . 那么完成這件事情共有 N m1 m2 mn 種不同的方法 . 2,分步乘法計(jì)數(shù)原理： 分步相乘 做一件事情, 完成它需要 n 個(gè)步驟, 做第一個(gè)步驟有 m1 種不同的方法, 做其次個(gè)步驟有 m2 種不同的方法 做第 n 個(gè)步驟有 mn 種不同的方法 . 那么完成這件事情共有 N m1 m2 mn 種不同的方法 . 3,排列與組合（ 排列與組合的區(qū)分： 排列有次序,組合無(wú)次序 .） 排列定義：一般地,從 n 個(gè)不同的元素中任取 m m n個(gè)元素,依據(jù)確定的次序排成一 列,叫做從 n 個(gè)不同的元素中任取 m 個(gè)元素的一個(gè)排 .列 組合定義：一般地,從 n 個(gè)不同的元素

16、中任取 m m n 個(gè)元素并成一組,叫做從 n 個(gè)不 同的元素中任取 m 個(gè)元素的一個(gè)組合 .4,解排列組合問(wèn)題的方法 特殊元素,特殊位置優(yōu)先法 （ 元素優(yōu)先法 ：先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其 他元素； 位置優(yōu)先法 ：先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置） . 相鄰問(wèn)題捆綁法 （把相鄰的如干個(gè)特殊元素“捆綁”為一個(gè)大元素,然后再與其余“一般 元素”全排列,最終再“松綁” ,將特殊元素在這些位置上全排列） . 不相鄰 相間 問(wèn)題插空法 （某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可接受插空 法,即先支配好沒有限制元條件的元素, 之間） . 然后再把有限制條件的元素按要求插入排好

17、的元素 分組問(wèn)題 ：要留意區(qū)分是平均分組仍是非平均分組, 平均分成 n 組問(wèn)題別忘除以 n！ 4, 互斥大事：不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)大事 .對(duì)立大事：其中必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥大事 . 大事 A 的對(duì)立大事通常記著 A . 第 7 頁(yè) 共 10 頁(yè) 第 7 頁(yè),共 10 頁(yè)相互獨(dú)立大事：大事 A （或 B ）是否發(fā)生對(duì)大事 B （或 A ）發(fā)生的概率沒有影響,（ 即 其中一個(gè)大事是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)大事發(fā)生的概率沒有影響 大事 . 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) ）. 這樣的兩個(gè)大事叫做相互獨(dú)立 一般地,在相同條件下重復(fù)做的 n 次試驗(yàn)稱為 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) . 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式 Pnk k k Cn p n

18、 k 1 p k 0,1, 2, n. 條件概率： 對(duì)任意大事 A 和大事 B,在已知大事 A 發(fā)生的條件下大事 B 發(fā)生的概率,叫 做條件概率 .記作 PB|A ,讀作 A 發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的概率 . P AB 公式： P B A , P A 0. P A 5, 一般地,如離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 就稱 E X x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 為離散型隨機(jī)變量 X 的 均值或數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱 期望） .它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平 .6,二項(xiàng)分布 假如在一次試驗(yàn)中某大事發(fā)生的概率是 p,那么在 n 次獨(dú)

19、立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)大事恰好發(fā) 生 k 次的概率是 P X k Cn p k k 1 p n k . n0其中 k 0,1,2,., n, q1p ,于是得到隨機(jī)變量 X 的概率分布如下： X 01kP 0 0 n Cn p q 1 1 n 1 Cn p q k k C npqn k n nCnpq我們稱這樣的隨機(jī)變量 X 聽從二項(xiàng)分布,記作 X B n, p ,并稱 p 為成功概率 .如 X B n, p ,就 E X np. 如 X B n, p ,就 D X np1 P. 7,回來(lái)直線方程 y.abx , nn其中 bi1xi x yi 2y i1xi yi nx y nxi x ni 1

20、2 xi 2 nx i 1 ay bx 第 8 頁(yè) 共 10 頁(yè) 第 8 頁(yè),共 10 頁(yè)七,空間幾何 1, 求異面直線所成的角 已知 a, b 為兩異面直線, A ,C 與 B, D 分別是 a,b 上的任意兩點(diǎn), a, b 所成的角 為 , 就 cos AC BD . AC BD 2, 求直線和平面所成的角 求法：設(shè)直線 l 的方向向量為 a ,平面 的法向量為 u ,直線與平面所成的角為 , a 與 u 的夾角為 , 就 為 的余角或 的補(bǔ)角 的余角 .即有： sin cos au. au3, 求二面角 設(shè)二面角 l的兩個(gè)半平面的法向量分別為 m,n ,再設(shè) m ,n 的夾角為 ,二面

21、角 l的平面角為 ,就二面角 為 m ,n 的夾角 或其補(bǔ)角 . 依據(jù)具體圖形確定 是銳角或是鈍角： 假如 是銳角,就 cos cos mn,即 m arccos mn； mnn 假如 是鈍角,就 cos cos mn, 即 arccos mn. mnmn4, 線面平行 設(shè)直線 的方向向量是 la ,平面 的法向量是 u ,就要證明 l ,只需證明 au ,即 a u 05, 面面平行 如平面 的法向量為 u ,平面 的法向量為 v ,要證 ,只需證 u v ,即證 uv. 6, 線面垂直 （法一）設(shè)直線 l 的方向向量是 a,平面 的法向量是 u ,就要證明 l ,只需證明 第 9 頁(yè) 共 10 頁(yè) 第 9 頁(yè),共 10 頁(yè)a u ,即 a u ., 平面 內(nèi) 的 兩個(gè) 相交 向量 分別 為 m ,n , 如 （法 二） 設(shè)直 線 l 的 方向