數(shù)學分析 重積分的應用課件

1、重積分的應用一、立體的體積二、曲面的面積三、物體的重心四、平面薄片對質點的引力五、矩復習：區(qū)域連通性的分類 設D為平面區(qū)域, 如果D內任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復連通區(qū)域.復連通區(qū)域單連通區(qū)域DD一、立體的體積二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積例1 計算由曲面及 xoy 面所圍的立體體積。解設立體在第一卦限上的體積為 V1。由立體的對稱性，所求立體體積 V = 4V1 。立體在第一卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為立體在第一卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為它的底為于是，例2 求兩個圓柱面所圍的立體在第一卦限部分

2、的體積。解所求立體可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為它的底為它的底為它的曲頂為于是，立體體積為V1 可以看成是一個曲頂柱體，它的曲頂為它的底D 由半圓周及 x 軸圍成。用極坐標系表示于是,所求立體體積二、曲面的面積設曲面的方程為：如圖，設曲面的方程為：曲面面積公式為：設曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得解設第一卦限部分的面積為 A1 ，則由對稱性，所求的面積為例5 求兩個圓柱面所圍的立體的表面在第一卦限部分的面積 A。解所求表面分成和，如圖。第一塊（ ）在圓柱面第一塊（ ）在圓柱面由對稱性，這兩塊曲面的面積相等，即 A=A。因此，A = 2 A。在 A上，曲面方程為A在 A上，曲面方程為因

3、此，A = 2 A。AAA于是所求面積，A = 2 A設在空間中有 n 個質量分別是的質點組，它們的坐標分別為 由靜力學的知識可知，這個質點組的質心坐標有如下的計算公式： 三、物體的重心設 為一塊可以度量的幾何體，它的密度函數(shù)為設 在 上連續(xù)，要求 的質心坐標。我們打算用質點組的質心坐標的公式來計算，但質點組是離散分布的，而 是質量連續(xù)分布的幾何體。因此，首先把 分劃成若干可度量的小塊：為了簡化符號，也用表示小塊的度量。由于假設 連續(xù)，因此當 比較小時，在 上 變化不大，于是可近似地看成不變，從而 的度量可近似計算為iiMDWiiMDW)(r這里 是 中的任意一點，設其在三維空間中的坐標為 ，

4、于是幾何體 的質心坐標 可近似表示為上述和式的極限，正是我們在第九章第一節(jié)定義的黎曼積分，因此，得到這里如果幾何體 是三維空間中的一塊立體 ，則上述積分就是三重積分，從而質心坐標可表示為如果幾何體 是一塊平面區(qū)域，則上述積分就是二重積分；如果幾何體是一塊空間曲面，上述積分就成為第一型曲面積分；如果幾何體是一條曲線，上述積分就成為第一型曲線積分。解 由于立體 關于軸對稱，并且立體是均勻的，即密度函數(shù) 為常數(shù)，所以有例 6 設 由上半球面和錐面（以 軸為軸，半頂角為 ）圍成的均勻立體，求 的質心。 而 于是 平面薄片的重心當薄片是均勻的，重心稱為形心.由元素法閉區(qū)域 D 的面積解薄片對 z 軸上單

5、位質點的引力G 為引力常數(shù)四、平面薄片對質點的引力解由積分區(qū)域的對稱性知所求引力為五、矩設 為一塊可以度量的空間立體，它的密度函數(shù)在 上連續(xù)，分別稱 為物體 關于坐標平面 ，坐標平面 ，坐標平面 的 階矩 。 其中當 的情形更為重要。當 時稱為零階矩，表示物體的質量。當 時稱為靜矩，靜矩與物體質量之比為該物體的質心的坐標。當 時稱為轉動慣量。又分別稱 為物體 關于 軸， 軸， 軸的轉動慣量。顯然有 其中 分別表示物體 關于坐標平面 ，坐標平面 ，坐標平面 的轉動慣量。例9 計算由平面所圍成的均勻物體（設 ）對于坐標平面的轉動慣量解 是一個直角三角形，兩直角邊的長度分別為所以 同樣可得 解幾何應用：立體的體積、曲面的面積物理應用：重心、對質點的引力、轉動慣量（注意審題，熟悉相關物理知識）六、小結( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其側面滿足方程設長度單位為厘米, 時間單位為小時, 1、設有一高度為已知體積減少的速率與側面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時? 思考題提示:記雪堆體積為 V, 側面積為 S ,則(用極坐標) 由題意知令得(小時)因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時間為100小時.2.設函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零, 其中(1)