平面與平面垂直的性質-完整版PPT

1、第2課時平面與平面垂直的性質問題引航1.面面垂直的性質定理的內容是什么？有什么作用？2.怎樣解決與垂直相關的計算問題？(二面角的大小或三角函數(shù)值或線段的長度)平面與平面垂直的性質定理文字語言圖形語言符號語言如果兩個平面互相垂直，那么在_垂直于_的直線垂直于另一個平面a一個平面內它們交線1.判一判(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)如果兩個平面互相垂直，那么一個平面內的直線不一定垂直于另一個平面.()(2)如果兩個平面互相垂直，那么過交線上的一點垂直于交線的直線，垂直于另一個平面.()(3)如果兩個平面互相垂直，那么分別在兩個平面內的兩條直線分別平行或垂直.()【解析】(1)正確.平面內的直線只

2、有垂直于交線時才垂直于另一個平面.(2)錯誤.因為過交線上一點垂直于交線的直線在過該點與交線垂直的平面內，不一定在另一平面內.(3)錯誤.分別在兩個平面內的兩條直線可能平行、相交(含垂直)或異面(含垂直).答案：(1)(2)(3)2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上)(1)已知直線m與平面，若m，m，則與的位置關系為_.(2)若m，m，則與的位置關系為_.(3)若，=AB，a，aAB，則a與的關系為_.【解析】(1)垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.答案：平行(2)平行于同一條直線的兩個平面相交或平行.答案：相交或平行(3)如圖，過a作平面，設=b，因為a，所以ab.又因為aAB，所以bAB

3、.又，=AB，b ，所以b，即a.答案：a【要點探究】知識點 面面垂直的性質定理對面面垂直的性質定理的三點說明(1)定理可簡記為“若面面垂直，則線面垂直”，該定理可以作為判斷線面垂直的判定方法，即只要兩個平面垂直，那么在其中一個平面內作交線的垂線便得線面垂直.(2)應用面面垂直的性質定理時，要注意以下幾點：兩個平面垂直；直線必須在一個平面內；直線必須垂直于兩個平面的交線.(3)面面垂直的其他性質：如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內；如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面；如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線與另

4、一個平面平行或在另一個平面內.【微思考】(1)若，a ，b ，則ab嗎？提示：不一定成立，a與b可能平行、相交或異面.(2)若將定理條件中的al去掉，結論是否成立？提示：不成立，如若直線a ，但a與直線l不垂直，則顯然a與不垂直.【即時練】(2014廣州高二檢測)已知平面，直線l，m滿足：，=m，=l，lm.那么m，l，.由上述條件可推出的結論有_(請將你認為正確的結論的序號都填上).【解析】如圖所示，由面面垂直的性質定理得l，成立，又l ，所以，成立，由圖可知不一定成立.答案：【題型示范】類型一 面面垂直的性質定理的應用【典例1】(1)如圖所示，三棱錐P-ABC的底面在平面上，且ACPC，平

5、面PAC平面PBC，點P，A，B是定點，則動點C運動形成的圖形是 ()A.一條線段B.一條直線C.一個圓 D.一個圓，但要去掉兩個點(2)(2014西安高二檢測)如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側面BB1C1C底面ABC.若D是BC的中點，求證：ADCC1.過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1側面BB1C1C.【解題探究】1.題(1)中平面PAC平面PBC這一條件如何用？與點C運動得到的圖形有何聯(lián)系？2.題(2)中D是BC的中點的作用是什么？與ADCC1怎樣聯(lián)系在一起？中怎樣說明平面MBC1側面BB1C1

6、C，應怎樣在平面MBC1中找一條直線與平面B1BCC1垂直？【探究提示】1.應用面面垂直的性質定理可以得到AC平面PBC.進一步得到ACB=90，從而得到點C運動的軌跡.2.D為中點結合條件可知AD平面B1BCC1，從而得到ADCC1.由知AD平面B1BCC1，可在平面MBC1中找一條直線垂直于平面B1BCC1，結合可在平面MBC1中取BC1的中點連接ME即可.【自主解答】(1)選D.因為平面PAC平面PBC，ACPC，AC 平面PAC，且平面PAC平面PBC=PC，所以AC平面PBC.又因為BC 平面PBC，所以ACBC，所以ACB=90，所以動點C運動形成的圖形是以AB為直徑的圓，除去A和

7、B兩點，故選D.(2)因為AB=AC，D是BC的中點.所以ADBC.因為底面ABC側面BB1C1C且交線為BC.所以由面面垂直的性質定理可知，AD側面BB1C1C，又因為CC1 側面BB1C1C，所以ADCC1.如圖所示，取BC1的中點E，連接ME，DE，在BCC1中，D，E分別是BC，BC1的中點，所以DE CC1，又AA1 CC1，所以DE AA1，因為M是AA1的中點，所以DE AM，所以AMED是平行四邊形，所以ADME.由(1)知AD面BB1C1C，所以ME側面BB1C1C.又ME 平面BMC1，所以截面BMC1側面BB1C1C.【方法技巧】1.面面垂直性質定理的應用方法若所給題目的

8、條件中有面面垂直的條件，一般要注意觀察是否有垂直于兩平面交線的垂線，若有，則利用性質定理轉化為線面垂直、線線垂直，若沒有，一般要利用性質定理作交線的垂線，轉化為線面垂直、線線垂直.2.面面垂直性質定理的其他結論(1)兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩相交平面的交線也垂直于第三個平面.(2)兩個互相垂直的平面的垂線也互相垂直.(3)如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線與另一個平面平行或在另一個平面內.【變式訓練】如圖已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC，求證：BCAB.【解題指南】利用面面垂直的性質定理將面面垂直轉化為線面垂直，進而證得線線垂直.【證明】過點A作AEPB，垂足為E

9、.因為平面PAB平面PBC，平面PAB平面PBC=PB.所以AE平面PBC，因為BC 平面PBC，所以AEBC.因為PA平面ABC，BC 平面ABC，所以PABC，因為PAAE=A，所以BC平面PAB，因為AB 平面PAB，所以BCAB.【補償訓練】如圖，AB是O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，平面PAC平面ABC.(1)判斷BC與平面PAC的位置關系.(2)判斷平面PBC與平面PAC的位置關系.【解析】(1)BC平面PAC.因為AB是O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，所以ACB=90，所以BCAC，又因為平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，BC 平面ABC.

10、所以BC平面PAC.(2)平面PBC平面PAC.因為BC 平面PBC，所以平面PBC平面PAC.類型二 與面面垂直有關的計算【典例2】(1)如圖所示，平面ABC平面ABD，ACB=90，CA=CB，ABD是正三角形，則二面角C-BD-A的平面角的正切值為_.(2)如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE.求證：AE平面BCE.求二面角B-AC-E的平面角的余弦值.【解題探究】1.題(1)中二面角C-BD-A的平面角如何尋找？2.題(2)中中怎樣說明AE平面BCE？中求二面角B-AC-E的方法是什么？【探究提示】1.過點C作CO

11、AB，垂足為O.作OEBD，垂足為E，連接CE，CEO即為二面角的平面角.2.證明CBAE即可；先找到二面角B-AC-E的平面角(實質上是線線垂直)然后求余弦值.【自主解答】(1) 過C點作COAB，垂足為O，作OEBD，垂足為E，連接CE.因為平面ABC平面ABD，交線為AB.所以CO平面ABD，所以COBD，又OEBD，COOE=O，所以BD平面COE，CE 平面COE，所以BDCE，所以CEO為二面角C-BD-A的平面角.設CACB1，則ABBDAD ，CO所以OE所以tanCEO=答案： (2)因為BF平面ACE，所以BFAE.因為二面角D-AB-E是直二面角，CB 平面ABCD，且C

12、BAB，所以CB平面ABE.所以CBAE.又因為CBBF=B，所以AE平面BCE.連接BD交AC于點G，連接FG.因為正方形ABCD的邊長為2.所以BGAC，BG= .因為BF平面ACE，所以BFAC.因為BFBG=B，所以AC平面BFG，所以ACFG.所以BGF是二面角B-AC-E的平面角.由知，AE平面BCE，得AEEB.因為AEEB，所以BEBF所以在RtBFG中，F(xiàn)G所以cosBGF即二面角B-AC-E的平面角的余弦值為【延伸探究】題(1)中ABD為正三角形改為“ABD是邊長為2的正三角形”，其他條件不變如何求點C到平面ABD的距離？【解題指南】利用面面垂直的性質定理先找出點C到平面的

13、距離，然后再求.【解析】過點C作COAB，垂足為O，因為平面ABC平面ABD，交線為AB，所以CO平面ABD，所以CO即為點C到平面ABD的距離.因為ACB=90，CA=CB，所以CO= AB= 2=1.故點C到平面ABD的距離為1.【方法技巧】1.與面面垂直有關的計算問題的類型(1)求角的大小(或角的某個三角函數(shù)值)：如兩異面直線所成的角、二面角等.(2)求線段的長度或點到直線、平面的距離等.(3)求幾何體的體積或平面圖形的面積.2.計算問題的解決方法(1)上述計算問題一般在三角形中求解.所給條件中的面面垂直首先轉化為線面垂直，然后轉化為線線垂直.往往把計算問題歸結為一個直角三角形中的計算問

14、題.(2)作二面角的平面角常用方法如圖所示，過P作PO，垂足為O，過O作OAl于A，連接AP，則PAO為二面角-l-的平面角.此法的關鍵是作垂線PO.【變式訓練】(2014南京高一檢測)正ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC的中點(如圖(1).現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B(如圖(2).在圖形(2)中：(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明理由.(2)求二面角E-DF-C的余弦值.(3)在線段BC上是否存在一點P，使APDE？證明你的結論.【解析】(1)AB平面DEF.理由：如題圖(2)，在ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，得EFAB，又

15、AB平面DEF，EF平面DEF，所以AB平面DEF.(2)ADCD，BDCD，所以ADB是二面角A-CD-B的平面角.所以ADBD，所以AD平面BCD.取CD的中點M，則EMAD，所以EM平面BCD.過M作MNDF于點N，連接EN，則ENDF，MNE是二面角E-DF-C的平面角.在RtEMN中，EM=1，MN= ，所以cosMNE= (3)存在.在線段BC上取點P，使BP= BC，過P作PQCD于點Q，所以PQ平面ACD.因為DQ= DC= ，所以RtADQ中，tanDAQ=在等邊ADE中 ，DAQ=30，所以AQDE，APDE.【補償訓練】在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面

16、角C1-BD-C的正切值為_.【解析】連接AC交BD于O，連接C1O，則ACBD，在正方體中，C1CBD.所以BD平面C1CO，則C1OBD.所以C1OC就是二面角C1-BD-C的平面角.在RtC1OC中，tanC1OC=答案：【拓展類型】折疊問題【備選例題】(1)如圖所示，沿直角三角形ABC的中位線DE將平面ADE折起，使得平面ADE平面BCDE，得到四棱錐A-BCDE.則平面ABC與平面ACD的關系是_.(2)如圖，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC=90.證明：平面ADB平面BDC.【解析】(1)因為ADDE，平面ADE平面BCDE，且

17、平面ADE平面BCDE=DE，所以AD平面BCDE.又BC 平面BCDE，所以ADBC.又BCCD，CDAD=D，所以BC平面ACD，又BC 平面ABC，所以平面ABC平面ACD.答案：垂直(2)因為折起前AD是BC邊上的高，所以當ABD折起后ADDC，ADDB，又BDDC=D，所以AD平面BDC，又AD 平面ADB，所以平面ADB平面BDC.【方法技巧】折疊問題中的“變”與“不變”(1)平面圖形沿著某一直線翻折成為空間圖形的題目在立體幾何中是很常見的，對于這類問題關鍵要注意抓住折疊前后的變量與不變量，抓住了變量與不變量，也就抓住了解決折疊問題的關鍵點.(2)解題時要仔細審視從平面圖形到立體圖

18、形的幾何特征的變化情況，注意相應的點、直線、平面間的位置關系，線段的長度，角度，哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有改變.【易錯誤區(qū)】垂直性質定理應用的誤區(qū)【典例】(2014哈爾濱高二檢測)已知兩個平面垂直，下列說法：(1)一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線.(2)一個平面內的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線.(3)一個平面內的任一條直線必垂直于另一個平面.(4)過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確說法個數(shù)是()A.3B.2C.1D.0【解析】選C.如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中，對于(1)AD1平面AA1D1D，BD 平面ABCD，AD1與BD是異面直線，成