零件參數(shù)設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

1、零件參數(shù)設(shè)計的數(shù)學(xué)模型指導(dǎo)老師數(shù)學(xué)建模教練組李?。?501 ） 羅建梅（熱9502 ） 王震宇（供9502 ）摘 要：本文基于Y偏離Yo造成的損失和零件成本，根據(jù)原設(shè)計給定的標(biāo)定值和容差， 使用網(wǎng)格法和隨機(jī)搜索法，利用計算機(jī)編程計算產(chǎn)品分別為正品、次品、廢品時的概率，進(jìn) 而分析產(chǎn)品是正品、次品、廢品的概率的穩(wěn)定性，得到較為精確且合理的結(jié)果，最后求出 原設(shè)計的總費(fèi)用（損失費(fèi)+成本費(fèi)）為313.4萬元。本文通過分析參數(shù)Xi,X2X7對y的影響，在原設(shè)計的標(biāo)定值附近找出一個使 y在其 附近的變化比較穩(wěn)定的點(diǎn)，并使y=1.5 ,再利用計算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)，綜合判斷容差等級方案， 確定出比較理想的標(biāo)定值和容

2、差等級方案：最后確定的方案比原設(shè)定節(jié)約費(fèi)用271.2425萬元。、問題的重述一件產(chǎn)品由若干零件組裝而成，標(biāo)志產(chǎn)品性能的某個參數(shù)取決于這些零件的參數(shù)。零 件參數(shù)包括標(biāo)定值和容差兩部分。 進(jìn)行批量生產(chǎn)時，標(biāo)定值表示一批零件該參數(shù)的平均值， 容差則給出了參數(shù)偏離其標(biāo)定值的容許范圍。若將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表 期望值，在生產(chǎn)部門無特殊要求時，容差通常規(guī)定為均方差的3倍。在進(jìn)行零件參數(shù)設(shè)計時，由于零件組裝產(chǎn)品的參數(shù)偏離預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)值，所以造成 質(zhì)量損失，偏離越大，損失越大；且零件的容差大小決定了其制造成本， 容差設(shè)計的越小, 成本越Hj 0X7）決定,經(jīng)驗(yàn)有一種離子分離器某參數(shù)（記作 Y）

3、由7個零件的參數(shù)（記彳Xi ,XX7）決定,經(jīng)驗(yàn)1 -2,621 _ 0.36( X4)q.563/2(X4 )1.16X1v X3、o.85X2X2Y=174.42 (1)(3)： 22X5X2 - X1IX 6X 7Y的目標(biāo)值（記彳Yo）為1.50。若Y偏離丫。0.1時，產(chǎn)品為次品，質(zhì)量損失1000（元）; 若Y偏離丫。0.3時，產(chǎn)品為廢品，損失9000（元）。零件參數(shù)的標(biāo)定值有一定的容許變化范圍；容差分為A、B、C三個等級，用與標(biāo)定值的相對值來表示，A等為 1% , B等為5% , C等為 10%。7個零件參數(shù)標(biāo)定值的容許范圍及不同容差等級零件的成本（元）如下表（符號/表示無此等級零件）

4、：標(biāo)定值容許范圍C等B等A等X10.075,0.125/25/X20.225,0.3752050/X30.075,0.1252050200X40.075,0.12550100500X51.125,1.87550/X612,201025100X70.5625,0.935/25100現(xiàn)進(jìn)行成批生產(chǎn)，每批產(chǎn)量1000個。在原設(shè)計中，7個零件參數(shù)的標(biāo)定值為：Xi=0.1 , X2=0.3 , X3=0.1 , X4=0.1 , X5=1.5 , X6=16 , Xy=0.75 ;容差均取最便宜的等 級。綜合考慮Y偏離Yo造成的損失和零件成本，重新設(shè)計零件參數(shù)（包括標(biāo)定值和容差）， 并與原設(shè)計的總費(fèi)用相

5、比較。二、模型假設(shè)及符號約定模型假設(shè).零件的總損失取決于各種類型的零件出現(xiàn)的概率；.零件的參數(shù)符合正態(tài)分布；.符合要求的零件只考慮自身成本，而不再考慮其它因素的影響。符號約定M表示成批生產(chǎn)時每批產(chǎn)量的個數(shù)，此題為 1000個；a表示產(chǎn)品為次品時的質(zhì)量損失為1000元；b表小產(chǎn)品為廢品時的質(zhì)量損失為9000兀；5表示第i個零件參數(shù)對應(yīng)的均方差；Ni表示一批零件第i個零件參數(shù)的平均值，即期望值；L表示第i個零件（變量）的新值；Ri表示變量Xi對吃的搜索區(qū)域；Kd表示區(qū)域縮減系數(shù)，其值正數(shù)；r表示0, 1之間服從均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)；k表示隨機(jī)概率的分布系數(shù)，是個正奇數(shù)；zy偏離y0的絕對值；Py偏離

6、y0造成的損失；P 表示零件的成本；Qy偏離y0造成的損失和零件成本三、問題的分析由于標(biāo)志產(chǎn)品性能的參數(shù)是由零件的參數(shù)所決定的。而零件的參數(shù)包括標(biāo)定值和容 差兩部分。如果將零件參數(shù)視為隨機(jī)變量，則標(biāo)定值代表期望值。那么，根據(jù)3仃原理，在其中的概率為：0.9974 。顯然，在此之外的概率為：0.0026 。相比之下，在其之外的可 以忽略不計。故此，在生產(chǎn)部門無特殊要求時，容差規(guī)定為均方差的3倍是合理的。由題意，我們還可以得到：容差與標(biāo)定值的相對值可以判斷容差的等級（進(jìn)而可以確定零件的 成本）,即：A等：答 01 B等：0.1 M等0.695 0.215，求得在原設(shè)計中y偏離y0造成的損失和零件成

7、本共283000 元。在編程進(jìn)行的隨機(jī)搜索法中，我們發(fā)現(xiàn) K和Kd的選擇對算法效率有顯著的影響。當(dāng) 靠近最優(yōu)點(diǎn)時，增大K和減小Kd的值，可使P廢的概率增大，經(jīng)過一定次數(shù)的迭代，取 K d=1,K=3.這樣我們的模型具有一定的穩(wěn)定性和合理性。由于我們所建模型時偽隨機(jī)數(shù)r的個數(shù)不同，導(dǎo)致在不同次數(shù)的計算中，r的值不 能一一對應(yīng)相等。r的個數(shù)越多，在我們所編程序中運(yùn)行次數(shù)越多，即步長越小，搜索越 細(xì)，相對來說計算結(jié)果就越精確，所以由于計算時間的限制我們的計算結(jié)果免不了會有誤 差存在。從以上兩個模型結(jié)果可以看出，計算結(jié)果相差無幾，這也許是由于隨機(jī)誤差的原因， 因?yàn)橹灰诋a(chǎn)品中增加一個廢品，那么總費(fèi)用將

8、增加9000元，而兩模型的結(jié)果相差不到兩萬元，故此，這點(diǎn)誤差是可以容忍的。由于在模型二中，一些參數(shù)帶有主觀色彩，使得計算結(jié)果就不能確定其完全可靠，但 經(jīng)過模型一及計算機(jī)隨機(jī)發(fā)生器產(chǎn)生的結(jié)果檢驗(yàn)。而且，當(dāng)我們計算的循環(huán)次數(shù)越多，其 結(jié)果越穩(wěn)定。故此，模型二還是有一定的可信度。對于模型一，雖然比較嚴(yán)密，但是計算量特別大，我們設(shè)計的程序運(yùn)行將近兩個小時， 而模型二只需10分鐘就可以得出結(jié)果。至于利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica隨機(jī)發(fā)生器計算結(jié)果，只是對模型進(jìn)行驗(yàn)證的一種方六、重新設(shè)計零件參數(shù)由給定的值計算的結(jié)果：y =17255總費(fèi)用的期望值313.4萬元。可以看出，給定零件參數(shù)的標(biāo)定值，具組成產(chǎn)

9、品某參數(shù)在正品的范圍之外，且總費(fèi)用 之大，簡直不符合實(shí)際。對此，我們需重新設(shè)計零件參數(shù)，使得總費(fèi)用的期望值降低。所 以，我們需對原零件的參數(shù)做逐步微調(diào)。首先，我們應(yīng)分析各零件的敏感度（零件參數(shù)對 產(chǎn)品參數(shù)的影響程度）。先把確定情況下產(chǎn)品參數(shù)對零件參數(shù)的偏導(dǎo)做一計算。顯然，偏 導(dǎo)越大，其敏感度就越大。也就是首先應(yīng)調(diào)整的參數(shù)。X1X2X3X4X5X6X7一階偏導(dǎo)24.5896-5.99106 11.6675-4.02809 -1.15039 -0.(53925-1.15039如果對每一個符合條件的值都給予計算，其計算量之大是不可估量的，也是不可能的故此，我們利用逐步規(guī)劃，然后上機(jī)運(yùn)行得出標(biāo)定值比較

10、好的結(jié)果為: 即新設(shè)計的標(biāo)定值：X1X2X3X4X5X6X70.10.30.09880.11.722661.60.75當(dāng)標(biāo)定值一定的情況下，零件的等級組合有 108種，下面我們就將一些組合列出, 并計算其總費(fèi)用值。為了使正品的概率增大來減小質(zhì)量損失，從而使總的損失減小。首 先我們?nèi)×慵燃壿^高的情況，得出結(jié)果如下表：X1X2X3X4X5X6X7等級BBABCCB0.0050.0150.0009880.0050.1722661.60.0375P 正=0.824317P 次=0.164209P 廢=0.0000651423E(費(fèi) 用)=1000 x (25+50+200+100+50+10+25+

11、1000 乂 0.164209+9000 乂 0.0000651423)=624795.278從上面計算的結(jié)果可以看出，總的費(fèi)用比給出的情況下減小了很多，我們?yōu)榱诉M(jìn)一步 減小損失，把零件的容差調(diào)大，再計算其總費(fèi)用如下表：X1X2X3X4X5X6X7等級BBBBCCB0.0050.0150.04940.0050.1722661.60.0375P 正=0.808299P 次=0.180162P 廢=0.000130192E(費(fèi)用)=1000 X (25+50+50+100+50+10+25+1000 X 0.180162+9000 X0.000130192 ) =491334上面計算結(jié)果表明：零件

12、的等級降低后，其總費(fèi)用顯著減小，故此，我們再次把零件 容差調(diào)大，再觀察其總費(fèi)用：X1X2X3X4X5X6X7等級BBBCCCB0.0050.0150.04940.010.1722661.60.0375P 正=0.813755P 次=0.186095P 廢=0.000150114E(費(fèi)用)=1000 x (25+50+50+50+50+10+25+1000 X 0.186095+9000 X 0.000150114) =447446此時，我們發(fā)現(xiàn)費(fèi)用仍在減小，為了找到總損失最小的情況，繼續(xù)調(diào)大零件容差，計算結(jié)果如下：X1X2X3X4X5X6X7等級BCBCCCB0.0050.030.04940.

13、010.1722661.60.0375此時，計算得到的總費(fèi)用近似為 49萬元。很明顯，這時的總費(fèi)用已經(jīng)增加了，所以, 在此之后的情況下，得出的總費(fèi)用越來越高，故此，其調(diào)整方案也就越算越差，在此，我 們就不一一列出。且對模型沒有幫助。為了進(jìn)一步尋求較優(yōu)情況，我們再對上面的情況下，作進(jìn)一步修改，由于X3的偏導(dǎo)較大（即敏感度比較大），使它的容差減小，再計算其總費(fèi)用值。X1X2X3X4X5X6X7等級BBBCCBB0.0050.0150.04940.010.1722660.80.0375P 次=0.169104P 廢=0.0000675851P 正=0.830828E（費(fèi)用）=1000 義（25+50

14、+50+50+50+25+25+1000 義 0.169104+9000 義 0.000067585） =444713很顯然，以上計算即為上面求得的標(biāo)定值下的最優(yōu)情況。為了繼續(xù)降低總費(fèi)用，我們提出另一種計算零件標(biāo)定值的方法。即：使各零件參數(shù)在標(biāo) 定值處偏導(dǎo)盡量小，且使偏導(dǎo)之和盡量小。再次計算得出的標(biāo)定值如下： X1X2X3X4X5X6X70.0812460.3746150.1232920.1250001.25043512.001930.935利用上次標(biāo)定值情況下零件的最優(yōu)組合，求出此標(biāo)定值下的最小費(fèi)用，其計算如下: X1X2X3X4X5X6X7等級BBBCCBB0.00406230.01873

15、0750.00616460.0125000.12504350.60009650.04675P 次=0.146382 P 廢=0.0000214919 P 正=0.853596E（費(fèi)用）=（25+50+50+50+50+25+25+1000X 0.146382+9000 X 0.0000214919）=421575 （元）經(jīng)過上述一系列的計算，我們得出了一個比較滿意的結(jié)果，把總費(fèi)用降低到421575元，比原設(shè)計的總費(fèi)用降低了 313.4-42.1575=271.2425 （萬元）七、模型推廣對于任何一位設(shè)計工程師來說，總是愿意找出一個最優(yōu)的設(shè)計方案，使所設(shè)計的工程 設(shè)施或產(chǎn)品具有最好的使用性能和

16、最底的材料消耗與制造成本。而本模型的建立也正是 為解決這種問題，所以說本模型具有廣泛的普遍性和適用性以及較高的推廣價值。就本題 來說：粒子分離器某參數(shù)由7個零件的參數(shù)決定，但在現(xiàn)實(shí)生活中其影響參數(shù)的因素是不 定的，然而無論影響參數(shù)的因子有多少，我們都通過模型給出了一個比較滿意的方案。而 且在現(xiàn)實(shí)的工廠生產(chǎn)中，影響整品的因素N會非常的多，這樣如何利用比較合理的方法解 決這樣的問題就顯得尤為重要，這也正是本模型的意義所在。也就是說只要改變其中的部 分系數(shù)本模型就可以適用機(jī)械化工業(yè)部門的生產(chǎn)。另外，這種隨機(jī)搜索法沒有固定的移動模式，而是在可行域內(nèi)，適應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的下降 性質(zhì)，向最優(yōu)點(diǎn)作隨機(jī)移動并靠近它

17、。八、模型評價在本模型中我們首先用網(wǎng)格法，由于所取每個變量有不止一個離散點(diǎn)，借用計算機(jī)編 程進(jìn)行計算，若計算次數(shù)較少，則在很短的時間內(nèi)就可運(yùn)行完畢。但無法滿足擬合的精度 要求若計算次數(shù)較大，也就是說將其進(jìn)行較細(xì)的細(xì)化，例如 1010,據(jù)估計需要將近300 小時，那么我們這三天時間是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。所以這種計算方案是不太合理的。而隨 機(jī)搜索法恰恰避免了網(wǎng)格法的運(yùn)行時間長的缺點(diǎn)，并且它的合理性較大，總費(fèi)用也較少。 然而它有個缺點(diǎn)是K值較難精確確定，在模型里，我們是用試算法確定的，相對來說也有 一定的誤差，但誤差較小，在這里可忽略不記。九、模型改進(jìn)對于第一個模型，我們是非常易于理解的，它本質(zhì)就是要計算滿

18、足要求的點(diǎn)落在正 品、次品和廢品的概率，從而確定費(fèi)用的最小值。但是這種思想實(shí)現(xiàn)卻非常的麻煩，因?yàn)?對于題目所給定的數(shù)據(jù)，我們要解決的是一個七維的函數(shù)，我們首先要將其細(xì)化，將其分 成空間的n個小的立方體，近似的依它中點(diǎn)落在的某個區(qū)間的概率來確定出現(xiàn)正品、次品 和廢品的概率，計算過程中我們要計算的是一個七重的積分，即使利用計算機(jī)編程也要花 費(fèi)大量的時間和精力。而對于模型二，卻可以完全避免這種情況，因?yàn)槲覀儤?gòu)造的偽隨機(jī) 函數(shù)是非常簡單的，即使通過改變步長，也不會帶來太大的計算麻煩，雖然這個函數(shù)是我們隨機(jī)構(gòu)造的偽的隨機(jī)函數(shù)，但通過我們的計算，發(fā)現(xiàn)它的計算結(jié)果完全呈正態(tài)分布，而且通過計算所得的結(jié)果與用原

19、始方法計算的結(jié)果也大致相同，同時還可以比較合理的檢驗(yàn)?zāi)骋唤M解的合理性。這充分說明這種算法是非常合理的，但是由于它中間伴隨有人為的模糊控制的因素，使它不可能十分的精確，所以我們認(rèn)為可以通過第一個模型來確定解的大致位置以盡可能的縮小解的范圍，再用第一個模型解出一個比較精確的解，并代回第二個模型檢驗(yàn)。這樣可以達(dá)到減化計算的目的。十、模型優(yōu)缺點(diǎn)模型二隨機(jī)搜索法便于實(shí)現(xiàn)程序和實(shí)際使用，在較大的范圍內(nèi)模擬隨機(jī)進(jìn)行，結(jié)構(gòu)簡單，但精確性不高。模型一網(wǎng)格法通俗易懂，而且精確度高，但由于費(fèi)時費(fèi)工所以推廣價 值不大。參考文獻(xiàn)、北京鋼鐵學(xué)院機(jī)械優(yōu)化設(shè)計方法冶金工業(yè)出版社。、中國數(shù)學(xué)會主辦數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識。、 .周概容

20、概率論與數(shù)理統(tǒng)計高等教育出版社。4、劉惟信孟嗣宗機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計清化大學(xué)出版社附錄一 . 概率的計算程序清單 TOC o 1-5 h z 輸入?yún)?shù)說明:duixi的標(biāo)定值;dfixi對應(yīng)的均方差;ni 區(qū)間的分割數(shù);(i=1,2,7)源程序 : s7du1_,df1_,n1_,du2_,df2_,n2_,du3_,df3_,n3_,du4_,df4_,n4_, du5_,df5_,n5_,du6_,df6_,n6_,du7_,df7_,n7_:=Module sc=0.0,xx1,s1=6.0*df1/n1,xx2,s2=6.0*df2/n2,xx3,s3=6.0*df3/n3, sf=0.0,

21、xx4,s4=6.0*df4/n4,xx5,s5=6.0*df5/n5,xx6,s6=6.0*df6/n6, sz=0.0,i1=0,i2=0,i3=0,xx7,s7=6.0*df7/n7,ddf,xc2,xc3,xc4,xc5, xc6,xc7,fyd,ddf=(df1*df2*df3*df4*df5*df6*df7);fyx1_,x2_,x3_,x4_,x5_,x6_,x7_:=174.42*(x1/x5)*(x3/(x2-x1)A0.85*Sqrt (1-2.62(1-0.36(x4/x2)A(-0.56)A1.5* (x4/x2)A1.16)/(x6*x7);fsx1_,x2_,x3_

22、,x4_,x5_,x6_,x7_:=0.0016083*s1*s2*s3*s4*s5*s6*s7*Exp(-0.5)*( (x1-du1)/df1)A2+(x2-du2)/df2)A2+(x3-du3)/df3)A2+ (x4-du4)/df4)A2+(x5-du5)/df5)A2+(x6-du6)/df6)A2+ (x7-du7)/df7)A2)/df;xx1=du1-3*df1+s1/2;xc2=du2-3*df2+s2/2;xc3=du3-3*df3+s3/2;xc4=du4-3*df4+s4/2;xc5=du5-3*df5+s5/2;xc6=du6-3*df6+s6/2;xc7=du7

23、-3*df7+s7/2;WhileAbsxx1-du13*df1,xx2=xc2;WhileAbsxx2-du23*df2,xx3=xc3;WhileAbsxx3-du33*df3,xx4=xc4;WhileAbsxx4-du43*df4,xx5=xc5;WhileAbsxx5-du53*df5,xx6=xc6;WhileAbsxx6-du63*df6,xx7=xc7;WhileAbsxx7-du73*df7,fyd=Absfyxx1,xx2,xx3,xx4, xx5,xx6,xx7-1.5;If0.1fyd=0.3, sf=sf+fsxx1,xx2,xx3,xx4, xx5,xx6,xx7;

24、 Iffyd=0.1,sz=sz+fsxx1,xx2,xx3,xx4,xx5,xx6,xx7;xx7=xx7+s7;xx6=xx6+s6;xx5=xx5+s5;xx4=xx4+s4;xx3=xx3+s3;i3=i3+1;Printi1, ,i2, ,i3;xx2=xx2+s2;i2=i2+1;xx1=xx1+s1;i1=i1+1;PrintSc= ,sc,Sf=,sf, Sz= ,sz運(yùn)行結(jié)果:Mathematica 2.0 for MS-DOS 386/7Copyright 1988-91 Wolfram Research, Inc.In1:= s7.mIn2:= s70.1,0.05*0.

25、1/3,5,0.3,0.05*0.3/3,5,0.0998,0.01*0.0998/3,5, 0.1,0.05*0.1/3,5,1.72266,0.1*1.72266/3,5,16,0.1*16/3,20, 0.75,0.05*0.75/3,50 0 10 0 20 0 30 0 40 0 50 1 64 23 1204 24 1214 24 1224 24 1234 24 1244 24 125Sc= 0.164209 Sf= 0.0000651423 Sz= 0.824317In3:= 1000(310+0.164209*1000+0.0000651423*9000)Out3= 474795.附錄 二s1 = 0: s