高中數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第一冊(cè)第五章5.1.1任意角教案

1、任意角教材分析在已有的銳角三角函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上，將角推廣到任意角，利用單位圓進(jìn)一步研究任 意角的三角函數(shù)，并利用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來刻畫角是很有必要的，任意角的概念也顯得非 常重要.教學(xué)目標(biāo).從體育運(yùn)動(dòng)入手，將角推廣到任意角.在平面直角坐標(biāo)系下研究任意角，并引導(dǎo)學(xué)生更好的認(rèn)識(shí)象限角、終邊相同的角等概念. 教學(xué)重難點(diǎn)一教學(xué)重點(diǎn)：從實(shí)際問題入手，將角推廣到任意角，并建立在直角坐標(biāo)系中研究任意角的數(shù)學(xué) 思維.教學(xué)難點(diǎn)：終邊相同的角的表示及象限角的概念.教學(xué)遍一.教學(xué)問題（1）如何從以有的角的概念，引起思維沖突，從而引出任意角的推廣是第一個(gè)教學(xué)問 題.產(chǎn)生這個(gè)問題的原因是學(xué)生對(duì)于角的概念還處于初中時(shí)期的

2、三角形內(nèi)部，銳角、直角、 鈍角是學(xué)生們熟知的角.所以我們采取體育運(yùn)動(dòng)中的專業(yè)術(shù)語(yǔ)或者旋轉(zhuǎn)表針來入手解決這個(gè) 問題.（2）如何將角放入直角坐標(biāo)系中是我們的第二個(gè)數(shù)學(xué)問題.由于初中學(xué)過的角是靜態(tài) 角，所以由靜態(tài)的角過度到動(dòng)態(tài)的角是學(xué)生難以想象的.所以我們將角按著某種提前選定的 方式放入直角坐標(biāo)系，固定其頂點(diǎn)和始邊，旋轉(zhuǎn)終邊，這樣就就能刻畫出任意角.（3）終邊相同的角該如何去表示他們之間的關(guān)系是我們的第三個(gè)問題.旋轉(zhuǎn)角的終邊 的過程中，我們觀察可以得知，盡管角的終邊所在位置相同，但是所表示的角顯然是不同的, 但是該如何刻畫他們的不同，如何找到他們之間的關(guān)系呢？我們利用旋轉(zhuǎn)過程中的周期性完 美的解決了

3、終邊相同的角之間的關(guān)系問題.支持條件在直角坐標(biāo)系中研究任意角的概念，研究終邊相同的角的表示，由旋轉(zhuǎn)的終邊所處位置 及其旋轉(zhuǎn)過程可以直觀觀察得到，為了解決這一難題，我們可以借助于幾何畫板來演示，讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)結(jié)合思想的重要性.【問題1】你遇到過超過360c的角嗎？【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)到已有的角的概念己經(jīng)不足以解釋上述的問題，引起思維認(rèn)知沖突，為下面角 的概念的推廣做出鋪墊和準(zhǔn)備，說明角的概念推廣的必要性.這個(gè)問題主要針對(duì)于向無窮推 廣.【師生活動(dòng)】體操中有“旋轉(zhuǎn)720 ”（即使“旋轉(zhuǎn)兩周）、“旋轉(zhuǎn)1 口時(shí)（即使“旋轉(zhuǎn)三周”）樣的 動(dòng)作名稱.【問題2你的手表慢了 5分鐘，你是怎樣將它校準(zhǔn)的

4、？假如你的手表快了 1. 25小時(shí)， 你應(yīng)當(dāng)如何將它校準(zhǔn)？當(dāng)時(shí)間校準(zhǔn)以后，分針轉(zhuǎn)了多少度？【設(shè)計(jì)意圖】在上一個(gè)問題的基礎(chǔ)上，這個(gè)問題主要針對(duì)于向負(fù)數(shù)推廣.【師生活動(dòng)】學(xué)生表達(dá)想法，教師畫圖或拿出時(shí)鐘做教具，在撥動(dòng)得的過程中，分別按照順時(shí)針或逆時(shí)針調(diào)整，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)角已經(jīng)超出了原有的361,引出本刊課的教學(xué)重點(diǎn)之一：任意角概 念.【問題3我們應(yīng)該如何刻畫這些不在的角？【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生嘗試探索，體會(huì)由正負(fù)表示方向這一重要的數(shù)學(xué)策略.通過設(shè)計(jì)辨析問題，比較推廣 之后的角的范圍與原來的范闈差異.【師生活動(dòng)】.教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到要刻畫這些角，不僅要用旋轉(zhuǎn)量，還要用到旋轉(zhuǎn)方向.引導(dǎo)學(xué)生按照旋轉(zhuǎn)方向的不同，

5、給出正角、負(fù)角、零角的概念.為了區(qū)別起見，我們把按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角 叫負(fù)角，如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角.這樣我們就把角的概念推廣到了任意角.概念辨析.例1.回答下列問題.（1）銳角是第幾象限的角？（2）第一象限的角是否都是銳角？（3）小于90。的角都是銳角嗎？答：（1）銳角是第一象限的角；（2）第一象限的角并不都是銳角,例如36r.（3）小于90。的角并不都是銳角，它也有可能是零角或負(fù)角.【問題4我們可以把角放到直角坐標(biāo)系中研究嗎？這樣的研究有什么好處？【設(shè)計(jì)意圖】利用概念重新認(rèn)識(shí)問題，在直角坐標(biāo)系中研究任意角的問題，直觀形象，

6、也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合 的思想.【師生活動(dòng)】.教師：我們可以把角放入直角坐標(biāo)系中研究嗎？.學(xué)生分組討論：可以選擇各種不同的方式將角放入直角坐標(biāo)系中.教師引導(dǎo)學(xué)生選擇最適合的方式：將角的始邊與X軸非負(fù)半軸重合，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原 點(diǎn)重合.如果將定義改為“將角的始邊與天軸正半軸重合”可以嗎？.教師：角的終邊在第幾象限，我們就可以稱為是第幾象限角.【問題5終邊落在某個(gè)位置的角是唯一確定的嗎？【設(shè)計(jì)意圖】從對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)指出終邊相同角的不唯一性，進(jìn)而得到一般的結(jié)論，鍛煉學(xué)生數(shù)形結(jié)合和發(fā)現(xiàn) 問題、歸納總結(jié)的能力.【師生活動(dòng)】（1）以3。為例，各小組學(xué)生進(jìn)行操作，旋轉(zhuǎn)角的終邊.(2)歸納總結(jié)出終邊相同的角有無限多個(gè).

7、(3)教師：終邊相同的的角一定相等嗎？你能找到他們的規(guī)律嗎？(4)學(xué)生：終邊相同的角之間相差36的整數(shù)倍.(5)教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)：對(duì)于任意一個(gè)角出，與它終邊相同的角的集合應(yīng)如何表示？ 學(xué)生：5陽(yáng)口 =。+136，旌Z,即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角& 與整數(shù)個(gè)周角的和.【問題6】下面的例題中分別使用了本節(jié)課的哪些知識(shí)與方法？例2.在0。到360。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角.-120： (2) 640； (3) -95012.【設(shè)計(jì)意圖】鞏固終邊相同的角和象限角概念.【師生活動(dòng)】解：(l)V-120o=240360,240的角與一 120。的角終邊相

8、同，它是第三象限角.V640=280o+360,-280的角與640的角終邊相同，它是第四象限角.一 95012=12948 3x360.二129。48的角與一 950。12的角終邊相同，它是第三象限角.例3寫出終邊落在y軸上的角的集合【設(shè)計(jì)意圖】本例是讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊 相同的角時(shí)，表示方法不唯一，要注意采用簡(jiǎn)約的形式.體現(xiàn)出由形到數(shù)及從數(shù)到形的數(shù) 形結(jié)合思想方法.【師生活動(dòng)】解：在0。360。范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個(gè)：90。，270與90角終邊相同的角構(gòu)成的集合Si=p p=90-K 360, KeZ與270角終邊相同的角構(gòu)成的集

9、合S2=p p=270+K 360, KZZ=p p=90180+2K 180, KlZ所以，終邊落在y軸上的角的集合為S=S1 U s2=p| P =90+2K 180 KZZ二B| 0=90+ (2K+1) 180 KBZ=p p=90+n l80 , nGZ例4寫出終邊在直線y=x上的角的集合s,并把s中適合不等式-360 p720的元素。寫出來.【設(shè)計(jì)意圖】本例是讓學(xué)生表示終邊在已知直線上的角，并找出某一范圍內(nèi)的所有的角，即按一定順序 取度的值，應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生掌握這一方法.【師生活動(dòng)】解：終邊在直線了二”上的角的集合S = ,6 忸= 45+M.360,MeZ 忸=225+憶36;父 Z )S中適合一36,的元素是：45i-2xl804