《幾何畫板》培養(yǎng)學(xué)生探索、創(chuàng)新能力的窗口

1、拋物線焦焦點(diǎn)性質(zhì)質(zhì)的探索索（說課課）高中新教教材（試試驗(yàn)修訂訂本必修）數(shù)學(xué)第第二冊（上）拋拋物線的的習(xí)題課課教材分析析1、1 教材材的地位位與作用用“拋物線線焦點(diǎn)的的性質(zhì)”是拋物物線的重重要性質(zhì)質(zhì)之一，它是在在學(xué)生學(xué)學(xué)習(xí)拋物物線的一一般性質(zhì)質(zhì)的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，學(xué)學(xué)習(xí)和研研究的拋拋物線有有關(guān)問題題的基本本工具之之一；本本節(jié)教材材對于培培養(yǎng)學(xué)生生觀察、猜想、概括能能力和邏邏輯推理理能力具具有重要要的意義義。教學(xué)目的的全日制普普通高級級中學(xué)數(shù)學(xué)教教學(xué)大綱綱第222頁“重視現(xiàn)現(xiàn)代教育育技術(shù)的的運(yùn)用”中明確確提出：在數(shù)學(xué)學(xué)教學(xué)過過程中，應(yīng)有意意識地利利用計(jì)算算機(jī)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)等現(xiàn)代代信息技技術(shù)，認(rèn)認(rèn)識計(jì)算算機(jī)的智智能

2、圖形形、快速速計(jì)算、機(jī)器證證明、自自動求解解及人機(jī)機(jī)交互等等功能在在數(shù)學(xué)教教學(xué)中的的巨大潛潛力，努努力探索索在現(xiàn)代代信息技技術(shù)支持持下的教教學(xué)方法法、教學(xué)學(xué)模式。設(shè)計(jì)和和組織能能吸引學(xué)學(xué)生積極極參與的的數(shù)學(xué)活活動，支支持和鼓鼓勵(lì)學(xué)生生運(yùn)用信信息技術(shù)術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)學(xué)、開開展課題題研究，改進(jìn)學(xué)學(xué)習(xí)方式式，提高高學(xué)生的的自主學(xué)學(xué)習(xí)能力力和創(chuàng)新新意識。因此本本人在現(xiàn)現(xiàn)行高中中新教材材（試驗(yàn)驗(yàn)修訂本本必修）數(shù)學(xué)第第二冊（上）拋拋物線這這一節(jié)內(nèi)內(nèi)容為背背景材料料，以多多媒體網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)教室室為場地地，以幾何畫畫板為為教學(xué)工工具與學(xué)學(xué)習(xí)工具具，設(shè)計(jì)計(jì)了一堂堂拋物物線焦點(diǎn)點(diǎn)性質(zhì)的的探索，具體體目標(biāo)如如下：知識目標(biāo)標(biāo)：了

3、解解焦點(diǎn)的的有關(guān)性性質(zhì)；并并掌握這這些性質(zhì)質(zhì)的證明明方法；體會數(shù)數(shù)形結(jié)合合思想與與分類討討論思想想在解決決解析幾幾何題中中的指導(dǎo)導(dǎo)作用能力目標(biāo)標(biāo)：使學(xué)學(xué)生學(xué)會會研究數(shù)數(shù)學(xué)問題題的基本本過程，能夠根根據(jù)條件件建立恰恰當(dāng)?shù)臄?shù)數(shù)學(xué)模型型；培養(yǎng)養(yǎng)辯證唯唯物主義義思想和和辯證思思維能力力（主要要包括量量變與質(zhì)質(zhì)變，常常量與變變量，運(yùn)運(yùn)動與靜靜止）培培養(yǎng)學(xué)生生通過計(jì)計(jì)算機(jī)來來自主學(xué)學(xué)習(xí)的能能力與創(chuàng)創(chuàng)新的能能力。情感目標(biāo)標(biāo)：培養(yǎng)養(yǎng)學(xué)生不不畏困難難，勇于于鉆研、探索、大膽創(chuàng)創(chuàng)新的精精神，在在挫折中中成長鍛鍛煉，培培養(yǎng)學(xué)生生良好的的心理素素質(zhì)和抗抗挫折能能力，通通過拋物物線焦點(diǎn)點(diǎn)性質(zhì)的的探索及及證明，使學(xué)生生得

4、到數(shù)數(shù)學(xué)美和和創(chuàng)造美美的享受受。教學(xué)內(nèi)容容、重點(diǎn)點(diǎn)、難點(diǎn)點(diǎn)及關(guān)鍵鍵本節(jié)安排排兩節(jié)課課，第一一節(jié)課：主要內(nèi)內(nèi)容是利利用幾幾何畫板板探索索拋物線線的有關(guān)關(guān)性質(zhì)；第二節(jié)節(jié)課：證證明第一一節(jié)所得得到的有有關(guān)性質(zhì)質(zhì)。重點(diǎn)：（1）如如何利用用幾何何畫板探索、發(fā)現(xiàn)拋拋物線焦焦點(diǎn)的性質(zhì)；（2）如何證證明這些些性質(zhì)。難點(diǎn)；（1）如如何利用用幾何何畫板探索、發(fā)現(xiàn)拋拋物線焦焦點(diǎn)的性性質(zhì)；（2）如如何證明明這些性性質(zhì)。2 教教學(xué)策略略及教法法設(shè)計(jì)學(xué)生在網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)教室室（每人人一機(jī)），其中裝有幾何畫畫板軟件及上上課系統(tǒng)統(tǒng)，每個(gè)個(gè)學(xué)生的的窗口，其他學(xué)學(xué)生及教教師都可可以通過過教師機(jī)機(jī)切換，從而和和其他學(xué)學(xué)生交流流，也可可以通

5、過過網(wǎng)上論論壇交流流研究結(jié)結(jié)果。3 網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)教學(xué)學(xué)環(huán)境設(shè)設(shè)計(jì)學(xué)生在網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)教室室（每人人一機(jī)）中有幾幾何畫板板軟件，學(xué)生通通過教師師提供的的網(wǎng)絡(luò)課課件，自自已閱讀讀，下載載有關(guān)課課件，利利用幾幾何畫板板的操作、試驗(yàn)、猜想，通過自自已的研研究獲得得結(jié)論，并互相相討論觀觀察到的的現(xiàn)象、交流研研究結(jié)果果。4 教學(xué)過過程設(shè)計(jì)計(jì)41 使學(xué)學(xué)生學(xué)會會研究數(shù)數(shù)學(xué)問題題的基本本過程，能夠根根據(jù)條件件建立恰恰當(dāng)?shù)臄?shù)數(shù)學(xué)模型型 問題11 回顧顧一下拋拋物線的的定義，并根據(jù)據(jù)拋物線線的定義義思考用用幾何何畫板如何作作出焦點(diǎn)點(diǎn)在x軸軸上的拋拋物線圖圖象。由于創(chuàng)設(shè)設(shè)了一個(gè)個(gè)創(chuàng)作的的幾何何畫板的窗口口及網(wǎng)絡(luò)絡(luò)窗口，學(xué)生通通過

6、網(wǎng)絡(luò)絡(luò)學(xué)習(xí)，得到以以上問題的多種作作法，以以下就其其中的一一種作法法作為探探索、研研究拋物物線焦點(diǎn)點(diǎn)性質(zhì)的的基本圖圖形。具具體作法法如下：（1）在在x軸上上任取一一點(diǎn)，標(biāo)標(biāo)記為FF（作為為焦點(diǎn)）（2）作作出點(diǎn)FF關(guān)于yy軸的對對稱點(diǎn)，并過作作x軸的的垂線，標(biāo)記為（作為準(zhǔn)準(zhǔn)線）（3）在在上任取取一點(diǎn)EE，過點(diǎn)點(diǎn)E作的的垂線；（4）連連結(jié)EFF，并作作線段EEF的中中垂線與與相交于于點(diǎn)A；（5）生生成點(diǎn)AA的軌跡跡（即拋拋物線的的圖象如如右圖）（說明：將以上上創(chuàng)作的的作品，以下記記作學(xué)件件1-學(xué)生制制作的課課件）-設(shè)置意圖圖：以上上過程通通過創(chuàng)設(shè)設(shè)了學(xué)生生學(xué)習(xí)與與創(chuàng)作的的幾何何畫板窗口與與網(wǎng)絡(luò)窗窗

7、口，在在幾何何畫板這個(gè)窗窗口中學(xué)學(xué)生輕易易地建立立了一個(gè)個(gè)研究數(shù)數(shù)學(xué)問題題的幾何何模型，培養(yǎng)了了學(xué)生的的動手能能力，激激法了學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)的興趣趣，吸引引學(xué)生積積極參與與數(shù)學(xué)活活動。42 利用用幾何何畫板作圖的的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)學(xué)生試驗(yàn)驗(yàn)、猜想想的合理理思維能能力 在在完成學(xué)學(xué)件1的的基礎(chǔ)上上，根據(jù)據(jù)幾何何畫板不能直直接作出出直線與與軌跡的的交點(diǎn)的的前提下下，提出以以下問題題。（請請下載課課件2-教師自自制課件件，研究究問題22） 問題22 設(shè)設(shè)點(diǎn)A是是拋物線線上任一一點(diǎn)，請請作出過過焦點(diǎn)FF的弦AAB與拋拋物線的的另一個(gè)個(gè)交點(diǎn)BB。 師：當(dāng)當(dāng)AB垂垂直于xx軸時(shí)。點(diǎn)B可可能有哪哪些特征征？能否否應(yīng)

8、用它它來解決決這個(gè)問問題？生1：當(dāng)當(dāng)AB為為通徑時(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)點(diǎn)A與與點(diǎn)B和和它們在在準(zhǔn)線上上的射影影、組成一一個(gè)矩形形且原點(diǎn)點(diǎn)O是對對稱中心心，所以以先作出出點(diǎn)A在在準(zhǔn)線上上的射影影，然后后作出點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于xx軸的對對稱點(diǎn)，再過點(diǎn)點(diǎn)作準(zhǔn)線線的垂線線與拋物物線的交交點(diǎn)B。 （具具體操作作由學(xué)生生通過幾何畫畫板的的作圖功功能來實(shí)實(shí)現(xiàn)）師：請拖拖動點(diǎn)AA在拋物物線上運(yùn)運(yùn)動來驗(yàn)驗(yàn)證一下下，是否否成立，發(fā)現(xiàn)不不成功。生2：當(dāng)當(dāng)AB為為通徑時(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)點(diǎn)A在在準(zhǔn)線上上的射影影、O、B三點(diǎn)點(diǎn)在一直直線上，因此只只要作出出直線與與直線AAB的交交點(diǎn)，師：拖動動點(diǎn)A在在拋物線線上運(yùn)動動來驗(yàn)證證一下，結(jié)結(jié)果成功功了。

9、設(shè)置意圖圖： 從從以上的的探索過過程讓學(xué)生體體會到數(shù)數(shù)學(xué)知識識發(fā)現(xiàn)的的一般過過程：“數(shù)學(xué)事事實(shí)首先先是被猜猜想，然然后是被被證實(shí)”，即數(shù)數(shù)學(xué)知識識的發(fā)現(xiàn)現(xiàn)是在不不斷的合合情猜想想下，借借助數(shù)學(xué)學(xué)軟件自自已獨(dú)立立驗(yàn)證或或否定猜猜想，最最后再給給出嚴(yán)格格的證明明。猜想想正是數(shù)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)與創(chuàng)造造的第一一步，這這一教學(xué)學(xué)流程中中數(shù)學(xué)軟軟件不僅僅成為教教師的教教學(xué)習(xí)工工具，又又成為學(xué)學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)的工具具，并且且讓學(xué)生生感到探探索的無無限樂趣趣，由此此可見幾何畫畫板為為學(xué)生探探索、研研究數(shù)學(xué)學(xué)知識提提供了一一片廣闊闊的天空空，為培培養(yǎng)學(xué)生生合理思思維能力力創(chuàng)造一一個(gè)理想想的窗口口。利用幾幾何畫板板探索索創(chuàng)造

10、性性的解題題方法，培養(yǎng)學(xué)學(xué)生的創(chuàng)創(chuàng)新能力力問題3 ：（11）拋物物線上離離焦點(diǎn)最近的的點(diǎn)是。 （2）拋物線線上離點(diǎn)點(diǎn)H（aa，0）最近的的點(diǎn)恰好好是頂點(diǎn)點(diǎn)O的aa的范圍圍？（請下載載課件33-教師師自制課課件，研研究問題題3） 教師師啟發(fā)：當(dāng)點(diǎn)HH（a，0）在在x軸的的負(fù)半軸軸上時(shí)，滿足條條件；當(dāng)當(dāng)點(diǎn)H（a，00）在xx的正半半軸上離離焦點(diǎn)較較遠(yuǎn)時(shí)，明顯發(fā)發(fā)現(xiàn)不是是頂點(diǎn)OO離點(diǎn)HH（a，0）最最近。在在存在與與不存在在之間必必存在一一個(gè)臨界界點(diǎn)，請請同學(xué)探探索出這這個(gè)臨界界點(diǎn)的位位置？學(xué)生1：設(shè)拋物物線上任任一點(diǎn)，作出線線段AHH，并用用幾何何畫板中度量量功能度度量出線線段AHH的長，同同時(shí)度

11、量量出線段段OH的的長，將將線段AAH的長長與線段段OH的的長作差差的，并并拖動點(diǎn)點(diǎn)A在拋拋物線上上滑動，觀察差差的值均均大于等等于0的的點(diǎn)H是是滿足條條件的點(diǎn)點(diǎn)，然后后不斷地地調(diào)整點(diǎn)點(diǎn)H在xx軸上的的位置，最后發(fā)發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)H在xx正半軸軸上離原原點(diǎn)的距距離正好好是1的的點(diǎn)是臨臨界點(diǎn)。教師：從從以上的的探索過過程，你你能歸納納出其中中所隱含含的數(shù)學(xué)方方法嗎？學(xué)生2：從以上上的操作作過程得得數(shù)量關(guān)關(guān)系：（當(dāng)且僅僅當(dāng)點(diǎn)AA與點(diǎn)OO重合取取到“=”），即（當(dāng)且且僅當(dāng)xx=0取取到最小小值a）。進(jìn)進(jìn)一步得得以下解解法：解：， 即即 又因?yàn)闉?， 所以以，若，即，當(dāng)當(dāng)時(shí)，即即 若，即即，當(dāng)時(shí)，若，即，當(dāng)

12、時(shí)， 故aa的范圍圍為教師：是是否還有有其它的的解決方方法？（幾分鐘鐘后）學(xué)生3：（如右右圖學(xué)件件2-學(xué)學(xué)生制作作的課件件）以點(diǎn)HH為圓心心，|OOH|長長為半徑徑作圓HH，拖動動點(diǎn)H在在x軸上上滑動，使得拋拋物線全全在圓HH以外的的點(diǎn)H的的范圍即即為所求求。教師：誰誰能從中中歸納出出解題方方法？數(shù)數(shù)分種后后，沒有有人能解解決。 教師：從從以上的的操作過過程得位位置關(guān)系系：拋物物線上的的點(diǎn)均在在圓H以以外，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為數(shù)數(shù)量關(guān)系系：對于于拋物線線上任一一點(diǎn)A都都成立，即對于于拋物線線上任一一點(diǎn)A都都成立。又因?yàn)闉?，所以以在上恒成成立。即即在上恒成成立，所所以在上恒成成立，故故在上恒成成立，所所以?/p>

13、設(shè)置意圖圖：以上上教學(xué)中中，教師師的角色色由教學(xué)學(xué)內(nèi)容的的灌輸者者轉(zhuǎn)變?yōu)闉榻o學(xué)生生提供學(xué)學(xué)習(xí)工具具和學(xué)習(xí)習(xí)材料的的服務(wù)者者，這為為學(xué)生通通過自已已的獨(dú)立立自主的的探索而而獲得知知識創(chuàng)造造一個(gè)自自由、廣廣闊的天天空；學(xué)學(xué)生由原原來的“學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)闉椤把芯繑?shù)數(shù)學(xué)”，從學(xué)學(xué)習(xí)者到到研究者者的變化化，完全全改進(jìn)學(xué)學(xué)習(xí)方式式，提高高學(xué)生的的自主學(xué)學(xué)習(xí)能力力和創(chuàng)新新意識。34 利用用幾何何畫板培養(yǎng)辯辯證唯物物主義思思想和辯辯證思維維能力辯證唯物物主義告告訴我們們，現(xiàn)實(shí)實(shí)世界靜靜止是相相對的，運(yùn)動是是絕對的的。二十十一世紀(jì)紀(jì)的幾何何是動態(tài)態(tài)的幾何何，主要要研究圖圖形在變變化運(yùn)動動過程中中點(diǎn)、線線等基本

14、本元素之之間的位位置與數(shù)數(shù)量關(guān)系系。教師導(dǎo)：從上面面問題33的探索索過程，我們發(fā)發(fā)現(xiàn)在特特殊狀態(tài)態(tài)下發(fā)現(xiàn)現(xiàn)的結(jié)論論有些是是正確，有些是是不正確確的。但但是它為為我們探探索正確確的方法法提供了了思路與與方向，然后我我們應(yīng)用用幾何何畫板的作圖圖、動態(tài)態(tài)、度量量等功能能輕而易易舉地驗(yàn)驗(yàn)證了我我們的猜猜想。所所以在解解析幾何何中要充充分利用用變與不不變；量量變與質(zhì)質(zhì)變；特特殊與一一般等辯辯證關(guān)系系來指導(dǎo)導(dǎo)我們解解題。請請同學(xué)們們解決下下面問題題4（請下載載課件44-教師師自制課課件，研研究問題題4）。問題4 ：ABB是拋物物線過焦焦點(diǎn)F的的弦，MM是ABB的中點(diǎn)點(diǎn)，是拋拋物線的的準(zhǔn)線，N為為垂足。在不

15、增增加條件件，但可可以設(shè)交交點(diǎn)及連連線的前前提下，探索在在以下幾幾個(gè)方面面的有關(guān)關(guān)性質(zhì)：（1）最值；（2）不變位位置關(guān)系系；（33）相等等的數(shù)量量關(guān)系。 經(jīng)過一段段時(shí)間的的探索，得到以以下幾個(gè)個(gè)結(jié)論：（1）；（22）（33）以為為直徑的的圓與焦焦點(diǎn)弦AAB切于于焦點(diǎn)FF；（44）以AAB為直直徑的圓圓與準(zhǔn)線線相切；（5）（為準(zhǔn)線線與x軸軸的交點(diǎn)點(diǎn)）；（6）設(shè)設(shè)MN交交拋物線線于Q，則Q平平分MNN。并且且在課上上提出了了證明的的思路。另外還還有以下下幾個(gè)猜猜想沒有有證明（如右圖圖學(xué)件3-學(xué)學(xué)生制作作的課件件），但但在幾幾何畫板板中已已得到驗(yàn)驗(yàn)證：過點(diǎn)A的的拋物線線的切線線與y軸軸的交點(diǎn)點(diǎn)為點(diǎn)A

16、A在y軸軸上的射射影與原原點(diǎn)O的的中點(diǎn)；過點(diǎn)A的的拋物線線的切線線平行于于焦點(diǎn)FF與點(diǎn)BB在y軸軸上的射射影的連連線。 課后反反思 英國作作家阿爾爾道斯赫胥黎黎曾說：“宇宙中中只有一一個(gè)角落落是你一一定能夠夠改善的的，那就就是你自自已。”但在工工業(yè)化社社會當(dāng)中中，個(gè)體體的學(xué)習(xí)習(xí)總是處處于被動動、受奴奴役地位位，人們們幾乎沒沒有別的的選擇。因此學(xué)學(xué)生沒有有條件獨(dú)獨(dú)立自主主地改善善自已。而在即即將到來來的信息息化社會會中，個(gè)個(gè)體的學(xué)學(xué)習(xí)是成成功的、快樂的的、自由由的學(xué)習(xí)習(xí)。這種種學(xué)習(xí)，一定是是利用信信息技術(shù)術(shù)的學(xué)習(xí)習(xí)，一定定是基于于互聯(lián)網(wǎng)網(wǎng)的學(xué)習(xí)習(xí)。所以以在這個(gè)個(gè)信息的的時(shí)代，創(chuàng)新的的時(shí)代，在知識

17、識爆炸、信息爆爆炸的今今天，灌灌輸?shù)慕探虒W(xué)方式式與被動動的學(xué)習(xí)習(xí)方式已已很難順順應(yīng)時(shí)代代潮流了了。改革革傳統(tǒng)的的教學(xué)方方式與學(xué)學(xué)習(xí)方式式，采用用獨(dú)立自自主的學(xué)學(xué)習(xí)、創(chuàng)創(chuàng)新的學(xué)學(xué)習(xí)，已已成為一一種必然然。教學(xué)過程程流程圖圖問題1：請你回回顧用幾何畫畫板如如何作出出焦點(diǎn)在在x軸上的的拋物線線圖象?問題2：當(dāng)拖動動E點(diǎn)在在準(zhǔn)線滑滑動時(shí)，即點(diǎn)AA在拋物物線（）上移移動，（請下載載課件22），利用用幾何何畫板探索、猜想、驗(yàn)證與與焦半徑徑AF有有關(guān)的性性質(zhì)？問題3：如圖，拋物線線上離點(diǎn)點(diǎn)H（aa，0）最近的的點(diǎn)恰好好是頂點(diǎn)點(diǎn)O的充充要條件件是（請下載載課件33探索研研究）問題4：AB是是拋物線線過焦點(diǎn)點(diǎn)F的弦弦， ，請下載下下圖中的