山東K12聯(lián)盟屆高三開年迎春考試數(shù)學(xué)試題

1、山東 K12 聯(lián)盟 2022 屆高三開年迎春考試數(shù)學(xué)（理科試題卷）第一卷（共 60 分）一、挑選題：本大題共 12 個小題 , 每道題 5 分, 共 60 分. 在每道題給出的四個選項中,只有哪一項符合題目要求的 . 1.已知全集,集合,就中元素的個數(shù)是A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D 【解析】全集B. C. D. ,集合,就）,元素的個數(shù)為,集合,就 的共軛復(fù)數(shù)3.選 D. 2.如復(fù)數(shù)的虛部為（A. 【答案】 B 【解析】,所以z的共軛復(fù)數(shù)為,虛部為,選B. 3.在區(qū)間B. 上隨機取一個實數(shù),使得的概率為（）A. C. D. 【答案】 B 【解析】由有,而,所以,故的概率

2、為）,選 B. 4.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,就該幾何體的體積為（A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由該幾何體的三視圖知,該幾何體由一個半球挖掉個圓錐,再加個圓錐組合而成,半球的半徑為2,圓錐的半徑1,高為 2,所以該幾何體的體積為,就,選 D. 5.在邊長為 2 的等邊三角形中,如（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由有,所以,選 C. 6.執(zhí)行下面的程序框圖,假如輸入的,就輸出的為（）A. 7B. 6C. 5D. 4 【答案】 C 【解析】第一次執(zhí)行循環(huán)體后,滿意條件,其次次執(zhí)行循環(huán)體后,滿意條件,第三次執(zhí)行循環(huán)體后,滿意條件,

3、第四次執(zhí)行循環(huán)體后,滿意條件,第五次執(zhí)行循環(huán)體后,由于,不滿意條件,輸出,選 C. （）7.已知,在的綻開式中,記的系數(shù)為,就A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】指的系數(shù),指的系數(shù),所以,所以）,由已知有,選 A. 8.在四周體中,D. ,就它的外接球的面積（A. B. C. 【答案】 D 【解析】設(shè)四邊形 ABCD 的外接圓半徑為,分別取 AC ,BD 中點為 E,F 點,由有,易得所以平面,同理平面,故球心 O 必位于兩垂直平面ACF 和平面 BED 的交線 EF 上,又由于,而,所以外接球的面積,選 D. 點睛：此題主要考查球的內(nèi)接多面體,球的表面積等,屬于中檔題；其中分析出球

4、心O 必位于兩垂直平面ACF 和平面 BED 的交線 EF 上是解題的關(guān)鍵；9.以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線,稱它們互為共軛雙曲線設(shè)雙曲線：（,）與雙曲線互為共軛雙曲線,它們的離心率分別為、以下說法錯誤選項（）A. 、的漸近線方程都是 B. 的最小值是2 C. D. 【答案】 C 【解析】雙曲線,就的共軛雙曲線為,當(dāng)且僅當(dāng),漸近線方程為,答案A 正確；時,等號成立,即的最小值為2,答案 B 正確；,故答案 C 錯誤；,答案 D 正確；選C. 10.記函數(shù)都有,就C. （,）的圖象按向量平移后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為,對任意的的值為（）A. B. D. 【答案

5、】 D 【解析】函 數(shù),所以, 將 函 數(shù)的 圖 象 按 向 量平 移 后 得 到 函 數(shù)稱,由已知有函數(shù)的圖象關(guān)于直線對,其中,所以,選 D. 11.函數(shù)（B. ）在上有兩個不同的零點、（）,以下正確選項（）A. C. D. 【答案】 A 【解析】經(jīng)分析知,當(dāng)函數(shù)有兩個不同的零點時,就與相切于點,而在上的切線方程為,所以,就,選 A. 點睛： 此題主要考查了函數(shù)零點的應(yīng)用,求曲線的切線方程等,屬于中檔題； 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關(guān)鍵；12.對于函數(shù),以下描述正確選項（）A. ,B. ,C. ,D. 【答案】 C 【解析】設(shè)函數(shù),當(dāng) 時,當(dāng) 時,所以,即,設(shè)函數(shù),令,令,所以,即,所以,

6、函數(shù) 的值域為,選 C. 點睛：此題主要考查求函數(shù)的值域,屬于中檔題；此題的思路：直接用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)性、最值比較困難,所以此題通過構(gòu)造函數(shù),通過對這兩個函數(shù)單調(diào)性的爭論,得到函數(shù) 的值域；第二卷（共 90 分）二、填空題（每題 5 分,滿分 20 分,將答案填在答題紙上）13.已知變量、 滿意 就 的最大值為 _【答案】 17 【解析】由已知不等式組,作出可行域如上圖陰影部分,設(shè),就,當(dāng)直線經(jīng)過時,直線的截距有最大值,有最大值 4,此時有最大值為17. 14.公元五世紀(jì)張丘建所著張丘建算經(jīng)卷中第1 題為：今有戶出銀一斤八兩一十二銖,今以家有貧富不等,今戶別作差品,通融出之,最下戶出銀八兩

7、,以次戶差各多三兩,問戶幾何？題目的意思是：每戶應(yīng)交稅銀兩, 1 兩1 斤 8 兩 12銖,如考慮貧富的差別,家最貧者交8 兩,戶別差為3 兩,就戶數(shù)為 _（1 斤銖）【答案】 12 【解析】將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：等差數(shù)列 中,首項,公差,1 斤 8 兩 12 銖=24.5 兩,設(shè)戶數(shù)為 n,就,所以；15.過拋物線：的焦點 的直線與拋物線 交于、兩點,過、 兩點分別作拋物線 的準(zhǔn)線 的垂線,垂足分別為、,如,就拋物線 的方程為 _【答案】【解析】由拋物線的定義可知,所以三角形AMF 為等腰三角形,又,由于,所以 MF 平分,同理 NF 平分,所以,在直角三角MFN 中,所以,即,拋物線的方程

8、為；點睛：此題主要考查拋物線的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題；考查作圖才能,運算才能；16.的面積,角、的對邊分別為、 、 ,的內(nèi)切圓半徑等于_【答案】【解析】由,依據(jù)正弦定理有,化簡得,由于,所 以, 由有, 由 余 弦 定 理 有. ）有,設(shè)的內(nèi)切圓半徑為,而,求得；求點睛：此題主要考查解三角形,涉及的學(xué)問點有正弦定理和余弦定理等；解答此題的關(guān)鍵是由出角的大??；三、解答題（本大題共 6 小題,共 70 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知數(shù)列,（）（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè),求數(shù)列的前 項和【答案】 1;2. 【解析】試題分析：（1）由,兩邊取對數(shù), 得出數(shù)列是等比數(shù)列,由定義求

9、出的通項公式,再求出的通項公式；（2）由（ 1）得,依據(jù)通項公式的特點,用錯位相減法求出前n 項和；試題解析：（1）由,知,所以,數(shù)列是以 1 為首項, 3 為公比的等比數(shù)列,所以,（2）由（ 1）得, ,得所以中, 為線段的中點,如圖1,沿將折起至,使,如圖 218.在矩形所示（1）求證：平面平面；（2）求二面角 的余弦值【答案】 1 見解析 ;2 . 【解析】試題分析：（ 1）由已知條件證明出平面,依據(jù)面面垂直的判定定理證明出平面平面；（ 2）取BE的中點為, 以 為坐標(biāo)原點,以過點且平行于的直線為軸,過點且平行于的直線為軸,直線為 軸,建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點坐標(biāo),設(shè)平面的法向量為,

10、平面的法向量為,由線面垂直的性質(zhì)定理,分別求出的坐標(biāo) ,求出二面角的余弦值；試題解析：（1）證明：在圖1 中連接,就,軸,直線為 軸,建立如下列圖且平行于的直線為,平面,平面,平面平面. （2）解：取中點,連接,平面平面,平面以為坐標(biāo)原點,以過點且平行于的直線為軸,過點的直角坐標(biāo)系,就,設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,由可得；由可得就,由圖形知二面角 的平面角為鈍二面角,所以二面角 的余弦值為19.為了治理大氣污染,某市 2022 年初采納了一系列措施,比如“ 煤改電” ,“ 煤改氣” ,“ 整治散落污染企業(yè)”等下表是該市 2022 年 11 月份和 2022 年 11 月份的空氣質(zhì)量指數(shù)

11、（）（指數(shù)越小, 空氣質(zhì)量越好） 統(tǒng)計表根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答以下問題：（1）將 2022 年 11 月的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)用該天的對應(yīng)日期作為樣本編號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取6 個數(shù)據(jù),如在2022 年 11 月 16 日到 11 月 20 日這五天中用簡潔隨機抽樣抽取到的樣本的編號是19 號,寫出抽出的樣本數(shù)據(jù)；（2）依據(jù)環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（）技術(shù)規(guī)定（試行） 規(guī)定：當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)為（含 50）時,空氣質(zhì)量級別為一級,用從（1）中抽出的樣本數(shù)據(jù)中隨機抽取三天的數(shù)據(jù),空氣質(zhì)量級別為一級的天數(shù)為,求 的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）求出這兩年11 月空氣質(zhì)量指數(shù)為一級的概率,你認(rèn)為該市2022 年初開頭實行

12、的這些大氣污染治理措施是否有效？【答案】 1 見解析 ;2 見解析 ;3 見解析 . 【解析】試題分析：（1）依據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點,確定分段間隔,得出樣本的編號,再找出對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)；（2）隨機變量 全部可能的取值為 0,1,2,3 ,分別求出 時的概率,寫出分布列,求出數(shù)學(xué)期望；（3）分別求出這兩年11 月空氣質(zhì)量指數(shù)為一級的概率,作比較,得出結(jié)論；試題解析：（1）系統(tǒng)抽樣,分段間隔,3 這些抽出的樣本的編號依次是4 號、 9 號、 14 號、 19 號、 24 號、 29 號,對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)依次是、56、94、48、40、221（2）隨機變量全部可能的取值為0,1,2,3 ,隨機變量的分布列

13、為：0 1 2 所以（3）2022 年 11 月指數(shù)為一級的概率,2022 年 11 月指數(shù)為一級的概率,說明這些措施是有效的20.已知、分別是離心率為的橢圓：,交的左、右焦點,點是橢圓上異于其左、右頂點的任意一點,過右焦點作的外角平分線的垂線于點,且（為坐標(biāo)原點） （1）求橢圓的方程；作圓的切線交橢圓于、 兩點,問：的周長是（2）如點在圓上,且在第一象限,過否為定值？假如是,求出該定值；假如不是,說明理由【答案】 1 ;26. 【解析】試題分析： （ 1）由已知條件求出,再由離心率,求出 b 的值,寫出橢圓方程；（ 2）設(shè) 的方程為（,）,由直線 AB與圓 相切,求得,設(shè),（）,聯(lián)立直線與橢

14、圓方程,消去 y 得到一個關(guān)于 x 的一元二次方程, 求出 的值,再算出弦長 的表達(dá)式,由兩點間的距離公式算出 的表達(dá)式,算出的周長為定值；試題解析：（1）延長交直線于點,為的中點,為的外角平分線的垂線,由橢圓的離心率,得,）,橢圓的方程為（2）由題意,設(shè)的方程為（直線與圓相切,即由得,設(shè),（）,就,又,即,6的周長為定值同理點睛：此題主要考查求橢圓的方程、直線與圓、直線與橢圓的位置關(guān)系等,屬于中檔題；嫻熟把握圓的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵；21.已知函數(shù)：,求 的值；（1）曲線在點處的切線垂直于直線（2）爭論函數(shù)零點的個數(shù)【答案】 1或2 見解析 . 【解析】試題分析：（1）求出曲線再點出的切線方

15、程,依據(jù)兩直線垂直的條件求出a 的值；（2）對 a 分情形爭論,得出單調(diào)性,由單調(diào)性求出最小值,再爭論最小值的大小來的確是否有零點；試題解析 ：（1）,由于 在點 處垂直于直線,所以,解得 或（2）函數(shù) 的定義域為,當(dāng) 時,無零點；當(dāng) 時,得當(dāng) 時,函數(shù) 單調(diào)遞減；當(dāng) 時,函數(shù) 單調(diào)遞增,由于,且當(dāng) 時,當(dāng) 時,當(dāng) 時,即,函數(shù) 有兩個不同的零點；當(dāng) 時,即 時,函數(shù) 有一個零點；當(dāng) 時,即 時,函數(shù) 沒有零點；當(dāng) 時,令,得當(dāng) 時,函數(shù) 單調(diào)遞減；當(dāng) 時,函數(shù) 單調(diào)遞增,當(dāng) 和當(dāng) ,均有,當(dāng) 時,即,時,函數(shù) 有兩個不同的零點；當(dāng) 時,即 時,函數(shù) 有一個零點；當(dāng) 時,即 時,函數(shù) 沒有零點

16、；綜上,當(dāng) 或 時,函數(shù) 有兩個不同的零點；當(dāng) 或 時,函數(shù) 有一個零點；當(dāng)時,函數(shù)沒有零點點睛：此題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)在爭論函數(shù)中的應(yīng)用,屬于中檔題；考查分類爭論思想,同時考查 化簡整理的才能；請考生在 22、23 兩題中任選一題作答,假如多做,就按所做的第一題記分 . 22.選修 4-4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)）,以原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；的最小值為,求實數(shù) 的值（2）已知點是曲線上一點,點是曲線上一點,【答案】 1 見解析 ;2或【解析】試題分析：（1）先將曲線的參數(shù)方程消參變?yōu)橐话惴匠?再化為極坐標(biāo)方程,由將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）由點到直線距離公式,再求出的最小值的表達(dá)式,求出t 的值；試題解析（ 1）由曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù),可得的一般方程為,即,化為極坐標(biāo)方程為,由曲線的極坐標(biāo)方程（）