微積分基礎(國家開放大學)-第1章-第1節(jié)-函數(shù)概念

1、第1章 函數(shù)、極限、連續(xù) 1.1 函數(shù)的概念1.1.1 常量與變量1.1.2 函數(shù)的定義1.1.3 函數(shù)的特殊性質(zhì)1.1.4基本初等函數(shù)1.1.5復合函數(shù)與初等函數(shù)11.1.1 常量與變量微積分是研究函數(shù)變化規(guī)律的學科，故我們先關注一下研究過程中的常量與變量。常量:在研究過程中始終保持不變的量變量:在研究過程中發(fā)生變化即可以取不同的量例如:密閉容器內(nèi)的氣體加熱,氣體的體積和氣體的分子個數(shù)保持一定,是常量;氣體的溫度和壓力是變量.常量與變量是相對而言的，并非確定不變的。所謂函數(shù)關系是指幾個變量之間的某種確定的特殊聯(lián)系方式。2常用區(qū)間表示方法：全體實數(shù)的集合記為R，全體自然數(shù)的集合記為N。其它常見

2、的實數(shù)集合表示方法如下：閉區(qū)間：a,b=x| axb開區(qū)間：(a,b)=x| axb半開區(qū)間：(a,b=x| ax b, a,b)=x| a xb注：以上a,b均滿足a、bR,且ab,此時，這類區(qū)間稱為有限區(qū)間;又當a、b中有一個為時,稱無窮區(qū)間;顯然R=(- ,+ )。a的鄰域U(x0,)： U(x0,)=(x0-, x0+)，即|x-a|0；得原函數(shù)的定義域為x|1x4；14得原函數(shù)的定義域為x|2x2；15解要使函數(shù)有意義，必須使ax30，當a0時，ax30的解集為，不符合函數(shù)的定義，故不是函數(shù).課后思考題16分段函數(shù)求定義域示例例3解f(x)的定義域為：0, 217幾個特殊函數(shù)：符號函

3、數(shù)1-1xyo18幾個特殊函數(shù)：取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過x的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線19幾個特殊函數(shù)：狄利克雷函數(shù)有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo20幾個特殊函數(shù)：取最值函數(shù)yxoyxo211.1.3 函數(shù)的特殊性質(zhì)一.單調(diào)性二.奇偶性三.有界性四.周期性通過本節(jié)課的學習，了解函數(shù)的基本特性22函數(shù)的單調(diào)性當時,單調(diào)減少當時,單調(diào)增加設函數(shù) f (x)的定義域為D，如果對于區(qū)間 I ( I D )內(nèi)的任意兩點x1、x2 ,當 x1 x2時,（1）恒有f (x1) f (x2)，則稱函數(shù)y=f (x)在區(qū)間 I 上為

4、遞增函數(shù)（2）恒有f (x1) f (x2)，則稱函數(shù)y=f (x)在區(qū)間 I 上為遞減函數(shù)（3）恒有f (x1) f (x2)，則稱函數(shù)y=f (x)在區(qū)間 I 上為不減函數(shù)（4）恒有f (x1) f (x2)，則稱函數(shù)y=f (x)在區(qū)間 I 上為不增函數(shù)遞增函數(shù)、遞減函數(shù)分別稱為嚴格單調(diào)增加函數(shù)和嚴格單調(diào)減少函數(shù)，不減函數(shù)和不增函數(shù)分別稱為單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)。有時，為敘述簡單起見，對于嚴格單調(diào)增加（減少）函數(shù)也稱為單調(diào)增加（減少）函數(shù)。23當堂測查疑缺 1231.已知函數(shù)f(x)x2，則()A.f(x)在(，0)上是減函數(shù)B.f(x)是減函數(shù)C.f(x)是增函數(shù)D.f(x)在(，

5、0)上是增函數(shù)D242.函數(shù)y 的減區(qū)間是()A.0，) B.(，0C.(，0)，(0，) D.(，0)(0，)解析函數(shù)y 的定義域為(，0)(0，)，但是其在定義域上不單調(diào)，它有兩個單調(diào)減區(qū)間，應該寫為(，0)，(0，).C123253.下列函數(shù)f(x)中，滿足對任意x1，x2(0，)，當x1f(x2)的是()A.f(x)x2 B.f(x)C.f(x)|x| D.f(x)2x1B12326函數(shù)的奇偶性設定義域D關于原點對稱，若xD,有f (-x) = f (x)成立,則稱f (x)在D上為偶函數(shù);若xD,有f (-x) = -f(x)成立,則稱f (x)在D上為奇函數(shù).偶函數(shù)(關于y軸對稱)

6、yxox-x奇函數(shù)(關于原點對稱)yxox-x27函數(shù)奇偶性示例如:(1)奇函數(shù)(2)偶函數(shù)(3)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)(4)既非偶函數(shù)又非奇函數(shù)28 函數(shù)奇偶性的應用例如圖，給出了偶函數(shù)yf(x)的局部圖象，試比較f(1)與f(3)的大小.解f(3)f(1)，又f(3)f(3)，f(1)f(1).f(3)f(1).29反思與感悟本題有兩種解法，一種是通過圖象觀察，f(3)f(1)，選用偶函數(shù)定義，得f(3)f(1)；另一種方法是利用偶函數(shù)圖象的對稱性.30 跟蹤訓練如圖，給出了奇函數(shù)yf(x)的局部圖象，則f(4)_.解析f(4)f(4)2.231函數(shù)的有界性設函數(shù) f (x)在D上有定義.如

7、果存在一正數(shù)M,使不等式 | f (x)|M 對任一xD都成立,則稱f (x)在D上有界;如果這樣的M不存在，則稱f (x)在D上無界。M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX32函數(shù)的周期性設函數(shù)f (x)的定義域為D,若存在常數(shù)T 0,使得對每一個xD,有 x+T D,且總有f (x+T)= f (x)成立，則稱f (x)是D上的周期函數(shù)， 滿足上式的最小正數(shù)T（如果存在）稱為函數(shù)f (x)的周期。注意：通常說周期函數(shù)的周期是常指其最小正周期.33 1.1.4基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)： y = C (C是常數(shù))冪函數(shù)： y = x (是常數(shù))指數(shù)函數(shù)： y = ax (a是常數(shù)且a0,

8、a1) 特別: y = ex對數(shù)函數(shù)： y = logax (a是常數(shù)且a0,a 1) 特別: y = lnx三角函數(shù)： y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx反三角函數(shù)：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx y=arcsecx y=arccscx以上六類16種函數(shù)稱為基本初等函數(shù)。思考(那些是基本初等函數(shù)?)： y=sin3x, y=3x, u=lnv, y=2x, s=5, y=1/x34冪函數(shù)35指數(shù)函數(shù)36對數(shù)函數(shù)37正弦函數(shù)38余弦函數(shù)39正切函數(shù)40余切函數(shù)41正割函數(shù)42余割函數(shù)431.5 復合

9、函數(shù)和初等函數(shù)一.復合函數(shù)復合函數(shù)本身就是普通的函數(shù),在這里加上前綴修飾詞“復合”，是強調(diào)它們與其它一些函數(shù)的關系。44復合函數(shù)定義:若函數(shù)y=f(u)的定義域為U,而函數(shù)u=g(x)的定義域為X,且u=g(x)的值域包含在U中，則對X中的每一個x，通過u都有唯一的y與之對應，即y是x的函數(shù), 記為： y=f g(x)。這種函數(shù)稱為復合函數(shù)，其中u稱中間變量。注意：不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的；復合函數(shù)也可由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成(可以理解為函數(shù)間的一種運算)。難點：熟練分解復合函數(shù)45二.初等函數(shù)初等函數(shù)是微積分研究的主要對象之一，我們必須對它們有較清楚的認識。究竟那些函數(shù)是初等函數(shù)？它們有那些性質(zhì)？46初等函數(shù)與簡單函數(shù)初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及有限次的復合步驟所構成并且可以用一個式子表示的函數(shù).簡單函數(shù)：基本初等函數(shù)、或由基本初等函數(shù)只經(jīng)過有限次的四則運算構成的函數(shù)。注意：一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但可用初等函數(shù)來研究它們。初等函數(shù)是高等數(shù)學的主要研究對象，我們應該非常熟悉它們，要求能正確將它們分解還原為基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)。47初等函數(shù)分解示例分解下列復合函數(shù)：(1)(2)(3)(4)48冪指函數(shù)設y=f (x)g(x) (其中f (x)