中考數(shù)學復習專題22《直角三角形的存在性》

1、 中考數(shù)學復習專題22直角三角形的存在性破解策略以線段月萬為邊的直角三角形構造方法如右圖所示:直角三角形的另一個頂點在以月在以曲為直徑的圓上，或過月、萬且與M垂直的直線 上（萬兩點除外）.解直角三角形的存在性問題時，若沒有明確指出直角三角形的直角，就需要進行分類討 論.通常這類問題的解題策略有：（1）幾何法：先分類討論直角，再畫出直角三角形，后計算.如圖，若ZACB=90 .過點、巧作經(jīng)過點Q的直線的垂線，垂足分別為忒F.則厶 AEg從而得到線段間的關系式解決問題（2）代數(shù)法：先羅列三邊長，再分類討論直角，根據(jù)勾股龍理列出方程，然后解方程 并檢驗.有時候將幾何法和代數(shù)法相結合.可以使得解題又快

2、又好！例題講解例1如圖，拋物線厶y=+2-3與r軸交于月，B （3, 0）兩點（點月在點萬的 左側）.與y軸交于點Q（0, 3）.已知對稱軸為JT=I.（1）求拋物線的表達式：（2）設點尸是拋物線/上任意一點，點0在直線x=-3上，問：能否成為以點尸為 直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點尸的坐標；若不能，請說明理由.解：（1）由題意可得點川的坐標為（1, 0）.所以拋物線表達式可變?yōu)閥=a （-3） （x+l） =a 2m-3a由點Q的坐標可得一3a=3, a=-l所以拋物線的表達式為y=-2-3.（2）如圖，過點尸作垂直于直線厶垂足為M過點萬作BV垂直于直線EM.垂足 為A：若

3、AZW是以點尸為直角頂點的等腰直角三角形，無論點P民BQ的上方或下方，由“弦圖模型”均可得所以EY=S：設點尸的坐標為（皿H、m +23）貝IJ PM= /2?+3 , BN= m +2z+3 ,所以加+3=I m 2zn+3 解得血=0,處=1,血=,ZnI=-逼32所以點尸的坐標為（0,3）, （1,4）,（血，_9_屈）,（二色，_9+屈）2 2 2例2如圖，一次函數(shù)y=-2x+10的圖象與反比例函數(shù)y= （QO）的圖象相交于乂 B X兩點（點川在點萬的右側），分別交X軸.卩軸于點佼F.若點兔的坐標為（4, 2）.問： 反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點只使用5是以曲為直角邊的直角三角

4、形？若存 在，求出所有符合條件的點尸的坐標：若不存在，請說明理由，解：將點月（4, 2）代入反比例函數(shù)表達式，得&=8,所以反比例函數(shù)為卩=色,X_8聯(lián)立方程紐組-V = 7解得y = -2x + 10I-Vi=2X = 1=8所以點萬的坐標為（1, 8）由題意可得點E尸的坐標分剛為（5, 0） ,（0, 10）,以月萬為直角迎的直角三角形有兩種情況： 如圖1,當ZPAB=90c時，連結創(chuàng)，則 OA= 42 + 22 = 25 .而 AE= lr+2r = 5 , OE=5、所以 O/f+AE =OE,即創(chuàng)丄JB.所以出0、尸三點共線由0、月兩點的坐標可得直線E尸的表達式為y= I -V.8y

5、 = -（X =4 Cr =-4聯(lián)立方程組X解得,C一-Lv1 = 2 Lv2=-2所以點P的坐標為（一4, 一2）如圖2,當Z翊=90時，記費與y軸的交點為G易證磁S尸所以=,FG FE15而 FO=1Q. FE= 52 + l2 = 55 FB= Vl2 +22 = 5可求得FG=、所以點G的坐標為（0,-）由5 G兩點的坐標可得直線費的表達式 2 UI 1 丄 15為 y _ -r ,2 2聯(lián)立方程組、尸丄卄22 28y=-X解得）；=8；X2=-16,1療飛所以點尸的坐標為（一 16,綜上可得，滿足條件的點P坐標為（-4, -2）或一6,討）.例3如圖，拋物線G： y=a （-y2）

6、s5的頂點為只與W軸相交于兒萬兩點（點月 在點萬的左側），點月的橫坐標是一 1.。是X軸負半軸上的一個動點，將拋物線G繞點D 旋轉180后得到拋物線G.拋物線G的頂點為Q與X軸相交于丘尸兩點（點f在點尸 的左側）當以點只Q疋為頂點的三角形是直角三角形時，求頂點。的坐標.QJ /PCl解 由題意可得點月（一1，O） , P（2, 5） , B （5, 0）設點D的坐標為 仏0）,則點。的坐標為（2血一2, 5） , f的坐標為（2血一5, 0）, 所以 FO= （2i-4） 2 10 PE= （2-7） 25% 5=32+52=342近為直角三角形有三種情況：當ZPQE= 90。時，有 PF=P

7、G+ EQ.即（2z-7） 2+5s= （2-4） 210234,解得 m=- ,所以點 0的坐標為（一蘭，35）:當ZQEP=90。時，左 Pd = PE +EQ.7in即（2t-4） 3+103= （2巾一7） s52+34,解得 m= 二，所以點 Q 的坐標為（-,5）:當ZQPE= 90 時，有 Eo=PF + PQ.即（2D 3+5s+ （2D 3+10s=34,方程無解,所以此種情況不成立，44in綜上可得，當近為直角三角形時，頂點的坐標為（一蘭，5）或（一出,5）例！如圖.在直角梯形 MG?中，AD/BC. AB= 90o , AD=2. BC=6, AB=3. E為 證邊上一點

8、，當BE= 2時，以亦為邊作正方形應7%,使正方形砂G和梯形ABCD住BC的 同側.當正方形嘶沿證向右平移，記平移中的正方形砂G為正方形F EFG,當點疋與 點C重合時停止平移.設平移的距離為t,正方形BEFG的邊疔與Q交于點連結F D, 5.）/, 問：是否存在這樣的十，使E DH是直角三角形，若存在，求出上的值；若不存 在，請說明理由解存在滿足條件的t.理由如下：如圖，過點。作ZW丄BC于點、乩 過點M作MV丄加于點M 則 BH=AD=2, DH=AB=3.所以朋=HE=S HB = t-2 , EC=4-1. 易證/SJfEMbABGAB BC-1.掃 ME EC ME 4/ rr lx

9、l IZ_ C 1 可得=，即=,所以JiF=2- t.在 Rt夕血中，有 FM=MF+F E=- f-2t+8.在Rt她中,1 RtZ,中，有 F IJ=DHA-Bt =f-4t13.在 Rt功ZV中，DN=DH-NH= - t+l.2則 zzi=v2+jzv= i r+ +1.4若Z血必=90 ,則血=歹+歹萬,- fc+ +1= ( -2i,+ 8) + (F4f+13) 4解得11=:7若Z5ttP=90o ,則 BP=BH+D；即 f-4t+13= (If-2t+8) + (- f+t+l),44解得 fe=-3+17 , t3=-3-17 (舍)：若ZBDM=90 ,則萬功人即 1

10、 r-2t+8= ( r-4t+i3) + (- r+ti) 44此方程無解.綜上所得，當t=-或一 3+T時，XDM是直角三角形7進階訓練如圖，在平而直角坐標系XOytOAB的直角頂點兔在X軸上，OA =4,M=3.動 點M從點川出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿向終點O移動；同時點“從點O岀發(fā), 以每秒1. 25個單位長度的速度，沿仞向終點萬移動.當兩個動點運動了 Ar（O=4x3如圖，頂點為尸（4, -4）的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點0（0, 0）,點兔在該圖象上，OA 交其對稱軸/于點“，點必關于點尸對稱，連結凡； ON.（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）當點勺在對稱軸右側的二次函數(shù)圖象上運

11、動時，請回答下列問題：證明：ANM=ONMx能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點勺的坐標；如果不能，請說 明理由.解：（1），=丄疋_2.丫： （2） 略：止能為直角三角形，符合條件的點月的坐標為 4（4 + 4,4）【提示】（2）過點作AHLl于點乩令與X軸的交點為D.設點A （/Z/, m2 -Im ）, 4則直線的表達式為）=丄加一2）廠 從而求得點M的坐標為（4,巾一8） , W的坐標為（4,4-） 只需證明 tanZAZ=tanZZ?即可；分類討論：當ANO= W 時，ZAMf= Z=45o ,點揮與點尸重合，點與點D重合,不滿足J/，艸關于點尸對稱，故此時不存在這樣的點小當ZZM=90c時，有OP = LMN ,求得滿足條件的點J（442.4）;2當ZNAO= 90 時，有 AP = LMN ,即（m-4）2 + （l?w2 -2m + 4）2 = （m-4）2,解得 陽=4.24此時點乩尸重合，不滿足題意拋物線y= - +2-y+3的頂點為G點川的坐標為Cl, 4）,其對稱軸上是否存在 點胚使線段血繞點逆時針旋轉90得到線段.0,且點方