矩陣的初等變換與高斯消元法

1、3.1.1 矩陣的初等變換與初等矩陣一、矩陣的初等變換與初等矩陣二、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形三、用初等變換求矩陣的逆1定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:一、矩陣的初等變換與初等矩陣2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)有限次初等變換前后的矩陣稱為等價(jià)3定義對(duì)單位矩陣E施行一次初等變換后得到的矩陣稱為初等矩陣(1)初等對(duì)換矩陣( )i列j列行行4( )(2)初等倍乘矩陣i列行5( )(3)初等倍加矩陣i列j列行行6初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣。初等矩陣是可逆的，逆矩陣仍為初等矩陣。7例：計(jì)算8定理：9解：例：10定義二、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

2、形如果一個(gè)矩陣具有如下特征，則稱為行階梯形矩陣，簡(jiǎn)稱梯矩陣(1)零行位于全部非零行的下方(如果有零行的話)(2)非零行的首非零元的列下標(biāo)隨其行下標(biāo)的遞增而嚴(yán)格遞增(1) (2)=可劃出一條階梯線,線的下方全為零(2)=每個(gè)臺(tái)階只有一行 臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元,即非零行的第一個(gè)非零元11定義如果一個(gè)階梯矩陣具有如下特征，則稱為行簡(jiǎn)化梯矩陣(行最簡(jiǎn)形)(1)非零行的首非零元為1(2)非零行的首非零元所在的列的其他元均為012定理定理等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形13推論1定理對(duì)任意 矩陣A,存在m階初等矩陣和n階初等矩陣 使得 推論2n階方陣A可逆的充要條件是A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)行為n階

3、方陣A可逆的充要條件是A可以表示成有限個(gè)初等矩陣的乘機(jī)14等號(hào)兩邊右乘如果對(duì)可逆矩陣 和同階單位矩陣 作同樣的初等行變換，那么當(dāng) 變成單位矩陣 時(shí)， 就變成 。即，三、用初等變換求矩陣的逆15 解：例：16若作初等行變換時(shí),出現(xiàn)全行為0，則矩陣的行列式等于0。結(jié)論：矩陣不可逆!求逆時(shí),若用初等行變換必須堅(jiān)持始 終,不能夾雜任何列變換.注：即初等行變換 利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求矩陣17例：解：方法1：先求出 ，再計(jì)算 。方法2：直接求 。初等行變換183.1.2 高斯消元法19例求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程20解21用“回代”的方法求出解：未知量的個(gè)數(shù)依次減少梯

4、形方程組消元過(guò)程22于是解得23上述解方程組的方法稱為消元法 始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種線性方程組的初等變換（1）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍上述三種變換都是可逆的所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換24因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過(guò)程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算記為矩陣方程組的增廣矩陣25等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價(jià)例如，兩個(gè)線性方程組同解，就稱這兩個(gè)線性方程組等價(jià)26上例中的消元過(guò)程可表示為如下形式27回代過(guò)程行最簡(jiǎn)形梯形方程組28 定理對(duì)線性方程組AX=B,若將增廣矩陣(A|B)用初等行變換化為(U|V),則AX=B和UX=V是同解方程組由此,求一個(gè)線性方程組的解,可先用初等行變換把其增廣矩陣化為梯矩陣,由此可得到與原方程組同解的梯形方程組.以上方法就稱為高斯消元法29舉例P49例3.3，3.4301. 單位矩陣 初等矩陣.一次初等變換2. 利用初等變換求逆陣的步驟是:小結(jié)：313. 利用初等變換求矩陣方程解的步驟是:（1）構(gòu)造矩陣（2）對(duì) 實(shí)施初等行變換，將左部的A化為單位矩陣E后，右部的E即是所求方程的解32非齊次線性