2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布課件

1、2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散隨機(jī)變量及分布律定義 若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限多個(gè)或無窮可列多個(gè)，則稱 X 為離散型隨機(jī)變量描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即X x1 x2xKPp1p2pk或或概率分布的性質(zhì) 非負(fù)性 規(guī)范性離散隨機(jī)變量及分布函數(shù)其中 . F( x) 是分段階梯函數(shù), 在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷.例: 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為 求 的分布函數(shù),并求 -123即例 袋中有5個(gè)球，其中2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中隨機(jī)地一次抽取3個(gè)球，求取得白球數(shù)的概率分布解 令 表示“取得的白球數(shù)”，則 可能取值為0，1，2，可以求得的分布律為的分布列的表格形

2、式為X 0 1 2P 1/10 6/10 3/10(1) 0 1 分布是否超標(biāo)等等. 常見離散r.v.的分布凡試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果, 常用0 1分布描述, 如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 1應(yīng)用場合或(2) 二項(xiàng)分布n 重Bernoulli 試驗(yàn)中, X 是事件A 在 n 次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) , P (A) = p ,若則稱 X 服從參數(shù)為n, p 的二項(xiàng)分布，記作01 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布的取值情況設(shè).039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4

3、5 6 7 8 0.273由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)，分布取得最大值此時(shí)的 稱為最可能成功次數(shù)xP012345678設(shè).01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)，分布取得最大值0.22 二項(xiàng)分布中最可能的成功次數(shù)的定義與推導(dǎo)則稱 為最可能出現(xiàn)的次數(shù)若可取的一切值 當(dāng)( n + 1) p = 整數(shù)時(shí),在 k = ( n + 1) p 與 ( n + 1) p 1 處的概率取得最大值對固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不

4、對稱分布固定 p, 隨著 n 的增大，其取值的分布趨于對稱 當(dāng)( n + 1) p 整數(shù)時(shí), 在 k = ( n + 1) p 處的概率取得最大值例 獨(dú)立射擊5000次, 命中率為0.001,求 (1) 最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；(2) 命中次數(shù)不少于1 次的概率.解 (1) k = ( n + 1)p = ( 5000+ 1)0.001 =5 (2) 令X 表示命中次數(shù),則 X B(5000,0.001), 則對固定的 k設(shè)Possion定理Poisson定理說明若X B( n, p), 則當(dāng)n 較大，p 較小, 而 適中, 則可以用近似公式問題 如何計(jì)算 ？ 解 令X 表示命中次數(shù), 則

5、 令 此結(jié)果也可直接查 P.299 泊松 分布表得到，它與用二項(xiàng)分布算得的結(jié)果 0.9934僅相差萬分之一.利用Poisson定理再求前例中 (2) X B( 5000,0.001 )在Poisson 定理中，由此產(chǎn)生了一種離散型隨機(jī)變量的概率分布 Poisson 分布注:(3) Poisson 分布若其中是常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為的Poisson 分布.記作例 夏季用電高峰時(shí)，個(gè)別用戶會因?yàn)槌?fù)荷、線路老化等問題發(fā)生斷電事故。已知某城市每天發(fā)生的停電次數(shù)X服從參數(shù) =0.7的泊松分布。求該城市一天發(fā)生3次以上停電事故的概率。例 某廠產(chǎn)品不合格率為0.03, 現(xiàn)將產(chǎn)品裝箱, 若要以不小于 90%的概率保證每箱中至少有 100 個(gè)合格品, 則每箱至少應(yīng)裝多少個(gè)產(chǎn)品？解 設(shè)每箱至少應(yīng)裝100 + m 個(gè), 每箱的不合格品個(gè)數(shù)為X , 則X B ( 100 + m , 0.03 )由題意 3(100+m)0.03=3+0.03m取 = 3查Poisson分布表, =3得 m +1 = 6 , m = 5故每箱至少應(yīng)裝105個(gè)產(chǎn)品,才能符合要求.應(yīng)用Poisson定理超幾何分布