2019-2020學(xué)年上海楊浦區(qū)高三上期中數(shù)學(xué)試卷

1、2019-2020學(xué)年上海市楊浦區(qū)高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題1.函數(shù)？?= v2式丁酌定義域為 .【答案】?|? -2【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法【解析】利用二次根式的被開方數(shù)大于或等于0,求出函數(shù)？的定義域.【解答】解：函數(shù)？?= v2巧叩，令 2 + ? 0,解得? -2 ,所以？的定義域為?|?去-2.故答案為：?|?去-2.2.方程 lg(2?+ 3) = 2lg?的解為.【答案】?= 3【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用【解析】本題要考慮到兩個對數(shù)式的定義域，然后解對數(shù)方程.【解答】解：方程lg(2?+ 3) = 2lg?T轉(zhuǎn)化為同解不等式2?+ 3 0,? 0, 解得？?= 3.2

2、?+ 3 = ?,故答案為：？?= 3.在正方體？?？?？?？中，直線？?有平面？?？折成角的大小等于 【答案】30【考點(diǎn)】直線與平面所成的角【解析】取？1?的中點(diǎn)？旗接？1? ?1用正方體的性質(zhì)在結(jié)合線面垂直的判定定理可證得?刀?則/ ?咖？?？芍平面？?？?？撕成的角.再令？? 1在？?試卷第1頁，總17頁1? sin/? 2,即/?30 ,進(jìn)而可得答案.【解答】解：取？中點(diǎn)？連接？?，?則由正方體的性質(zhì)知?，？，?，面？?？，且？?？面？?？,?；?n ?=?,?!?/ ?朋 ？?|芍平面？?1?斯成的角，、一 1. 一設(shè)？= 1,則？= V2, ?= 2p1則在？?？中，sin/?/.

3、/ ?1?30 .故答案為：30 .若角？的終邊經(jīng)過點(diǎn)?(-1, ?2),則sin2?= 【答案】4- 5【考點(diǎn)】二倍角的正弦公式任意角的三角函數(shù)【解析】利用三角函數(shù)的定義，計算 ？的正弦與余弦值，再利用二倍角公式，即可求得結(jié)論. 【解答】解：由題意，|?= v5,sin?= zc cos?=-v5v5sin2?= 2sin?Cos?= 2 *。 0, ? 0,且 2?+ ?= 1 ,則？?最大值為 . 【答案】1 8 【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用【解析】利用2?+ ?勺值，利用基本不等式可求得V礪的最大值，進(jìn)而求得？?最大值.【解答】解：1 = 2?+ ? 2 V2? 1 ? -8故

4、答案為：1. 8.已知哥函數(shù)？?= ?(?物圖象經(jīng)過點(diǎn)？?(4,?2),則它的反函數(shù)？，(?)為. 【答案】?(? 0)【考點(diǎn)】反函數(shù)【解析】設(shè)備函數(shù)？?= ?(?)?, ?妁常數(shù).根據(jù)？?(?初圖象經(jīng)過點(diǎn)？?(4,?2),代入2 = 4?,解得？? 即可得出.【解答】解：設(shè)備函數(shù)？?= ?(?= ?, ?妁常數(shù).由？(?物圖象經(jīng)過點(diǎn)？?(4,?2),則2 = 4?,解得？?= .?(?= V?試卷第3頁，總17頁它的反函數(shù)?1 (?)= ?九?？方0).故答案為：? (? 0).從1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9中任取5個不同的數(shù)，中位數(shù)為4的取法有種(用數(shù)值表示).【答

5、案】30【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計數(shù)問題【解析】中位數(shù)為4,故4必須取出，剩余的4個數(shù)大于4和小于4的各取2個，根據(jù)計數(shù)原理即可得到總的取法.【解答】解：根據(jù)題意，取出的5個數(shù)中位數(shù)為4,所以4必須取出，且剩下的4個數(shù)有兩個比4大，兩個比4小，所以總?cè)》ㄓ校?X? = 30種.匯面積為15?,則該圓 5故答案為：30 .已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，若此扇形的圓心角為錐的體積為.【答案】12?【考點(diǎn)】扇形面積公式柱體、錐體、臺體的體積計算【解析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖求出母線長用底面圓半徑?再求出圓錐的高？，即可求出圓錐的體積.【解答】6?解：圓錐側(cè)面展開圖是一個圓心角為電，面積為15?勺扇形，

6、5設(shè)圓錐的母線長為？則1?6?= 15?解彳導(dǎo):?= 5, TOC o 1-5 h z 25設(shè)底面圓的半徑為?則2? ? ?= 6?X5 +2?= 3, 55圓錐的高？ =，2?2 = v25 - 9 = 4,故圓錐的體積為？?= 1 ? = 1 X?X32 X4 = 12? 33sn?= ?故答案為：12?10.在?,內(nèi)角？ ？ ？的對邊分別為？ ? ?若？?= 2, ?面積的最大值等于試卷第4頁，總17頁【答案】【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用 正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可求 sin?= v3cos?利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得tan?=,結(jié)合范圍？C(0, ?)可求？咐值，

7、進(jìn)而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求？?容4,根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【解答】解：,竺?=當(dāng)竺：又由正弦定理可得 ?sin?_ sin?T?=市，sin?= v3cos?即tan?= v3, ?C(0, ?,)?= 一3.又丁 ?= 2,?= ?3 + ?- ?2? ? ?可得？?容4,當(dāng)且僅當(dāng)？?= ?時等號成立，11v3?2? 2 ?s?i?w 2 X4 x = v3,當(dāng)且僅當(dāng)？?= ?時等號成立，即?2m積的最大值等于 瓷.故答案為：述.在高中階段，我們學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象，以下兩個結(jié)論是正確的：偶函數(shù)？?(?在區(qū)間?(? ?比的取值范圍與在區(qū)間 卜?？,?-?上的取值范圍是相

8、同的; 周期函數(shù)？?(?在一個周期內(nèi)的取值范圍也就是？?(?在定義域上的值域，由此可求函數(shù)?(?= 2|sin?+ 19|cos?的值域為 .【答案】2, /365【考點(diǎn)】函數(shù)的值域及其求法【解析】依題意，函數(shù)？?(?次定義在？社的偶函數(shù)，且最小正周期為？進(jìn)而根據(jù)性質(zhì) 求解即可.【解答】解：依題意，？?(?= 2|sin?+ 19| cos?定義域為R關(guān)于原點(diǎn)對稱，又？(-?)= 2|sin(-?)| + 19| cos(-?)| = 2|sin?+ 19| cos?|= ?(?)所以？(?M禺函數(shù)，又？(？+ ?)= 2|sin(?+ ?)|+ 191cos(?+ ?)|= 2|sin?|+

9、 19|cos? |故？?(?烈？為周期，當(dāng)？C 0, ?那,?(?= 2|sin?+ 19|cos?|則？(?= ?2sin?+ 19cos?(?0,-), ?2sin?0 19cos?(?C2，?)v365sin(?+ ?)(?60,;),?v365sin(?2 ?)(? y,?).其中sin?=19v2 一”652cos?=2v365試卷第5頁，總17頁一 .？ 一.? 當(dāng)？C 0,?萬時,?+ ? ?+ 萬,所以當(dāng)？?+ ?= ?寸，？(?市最大值V365 ,?,?(?寺最小值 v365sin(+ ?)= v365cos?= 2,?,? 當(dāng)？e 才,？?時,? ?2- ? ?所以當(dāng)？

10、？?= 2 - ?時,?(?承得最小值? ?2v365sin(2- ?)= v365cos?= v365 X法=2,當(dāng)？2 ?=-1 , 0,?(?津得最大值V365 ,綜上，?(?= 2|sin?+ 19| cos?的值域為2,?V65.故答案為：2,?v365.定義在實數(shù)集 Rh的偶函數(shù)？?(?魏足？?(?+ 1) = 1 +，2?(?) ? (?) ?2+ v22【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷函數(shù)的求值?)從而得【解析】根據(jù)？(?期？社的偶函數(shù)可得出？?(-?)= ?(?)進(jìn)而得出?(?+ i)= ?(i-出？(?+ 2) =?(?)即得出？(?那周期為2,從而可得出？?等)=?2)=,

11、2?%-?(2) = ?2),根據(jù)？?1) 1即可解出？?拉從而得出？?卷9)的值.【解答】解：. ?(?)區(qū)的偶函數(shù)?(-?)= ?(?)?(1- ?)= 1 +，2?(?)?(?)= ?(?+ 1), ?(?+ 2) = ?(-?) = ?(?)?(?)周期為 2,?=?(1009+ 1) = ?3 + 504 X2) = ?埠),?2+ 1) = 1 +，2?U-?嗎=?抗?2)- 1 =，2?%-?(；),兩邊平方并整理得, 2?) - 4?(2) +1 = 0,且？?2) 1 ,解得？?2)=等,試卷第6頁，總17頁. ?歲 故答案為: 二.選擇題已知？e R,則 “s?= 1是 “

12、cos= 0”的（）A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.非充分非必要條件【答案】A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【解析】由sin?= 1, cos?= 0;反之，由cos?= 0,得sin?=l,然后結(jié)合充分必要條件的判定 得答案.【解答】?一 .解：由 sin?= 1,得？?= 2+ 2? ? Z,則 cos?= 0,?.反之，由 cos?= 0,得？?= -+ ? ?e Z,貝 Usin?= 1.?sin1”是“ c?= 0的充分不必要條件.故選？某班有20名女生和19名男生，從中選出5人組成一個垃圾分類宣傳小組，要求女生和)B.?9 - ?0- ?9D.?0?

13、 + ?弱?%男生均不少于2人的選法共有(A.?0 ?9 ?5C.?9 - ?0?9 - ?0?【答案】D【考點(diǎn)】排列、組合及簡單計數(shù)問題【解析】女生和男生均不少于2人，即2女3男或者2男3女，分別用計數(shù)原理計算即可，也可從反面思考.【解答】解：依題意，女生和男生均不少于2人，所以選出的5人中男女人數(shù)只能為女3男2女或者2男3女，所以女生和男生均不少于 2人的選法共有？兔？?9 + ?0?9，若從反面思考，則應(yīng)從總?cè)》?？?9中去掉全為女生，全為男生，1女4男和1男4女這四種,共有?9 - ?為-?%-?0?9 - ?0?9 .故選？試卷第7頁，總17頁已知二面角？?- ? ?是直二面角,?的

14、直線，？為平面，則下列命題中真命題為 ()A.若？ ？ ？貝U ?!?C.若？?？貝U ? ! ?B.若？，？?則?/?D.若？?/?則？?，?【答案】D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用平面與平面之間的位置關(guān)系空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【解析】 可畫出圖形，根據(jù)條件知 ?!?結(jié)合圖形以及直線與平面的關(guān)系，平面與平面的垂直 關(guān)系即可判斷每個選項的正誤，從而找出正確選項.【解答】解：如圖,?! ?邂直，.該選項錯誤;二面角？ ? ?!直二面角，?并不是？斗面內(nèi)的所有直線都與?若？，？則？ ？或？?/?該選項錯誤；? ?/?, ?，？不一定成立，如 ? ?該選項錯誤;?若？?/?因為?! ?所以？?

15、工？該選項正確. 故選？記有限集合？?中元素的個數(shù)為|?|,且|?| = 0,對于非空有限集合 ？ ？下列結(jié)論： 若|?| |?n?|與條件矛盾，故 正確；試卷第8頁，總17頁對于，若|?n?尸0,則？ ？沖至少有個是空集，例如？?= 0, ?1, ?= 2, ?3,滿足|?n?|= 0,但？ ？神沒有空集，故 錯誤; 對于,若？n?= ?,則|?u?尸 |?|+ |?|,由集合運(yùn)算的定義知，正確，故 正確.故選？ 三.解答題在正三棱柱？?？中，? ?盼別為棱？，？的中點(diǎn)，去掉三棱維 ？- ?OU一個多面體 ？?？?？已知？=6, ?1?= 4 .(2)以？妁原點(diǎn)，過?渤垂線為？軸,則 cos

16、?=|?9=|?陽？?310求多面體？?的體積;(2)求異面直線？?？?？成角的大小.【答案】 解：(1)多面體？?？?？?？的體積:?= ?-? - ?-?1?=1X6X6 Xsin60 X4 - 1 X3 X3 Xsin60 X4 = 33西. 232?軸,?為？軸，建立空間直角坐標(biāo)系,?(3v3,?3,?0), ?(0,?6,?0), ?(,?2，?4), ?(0,?0,?0),3v3 3?= (- -2- ,?3, ?4), ?= (0,?-6, 設(shè)異面直線？?？?？成角為？3異面直線？?？?？成角的大小為arccos及【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角柱體、錐體、臺體的體積計算【解析】(1

17、)多面體？ ？?附的體積？?= ?；?9999-?,?9? - T?。?？由此能求出結(jié)果.(2)以？為原點(diǎn)，過？?尚垂線為？軸，？?？軸，？?為？軸，建立空間直角坐標(biāo)系, 利用向量法能求出異面直線？?？?？成角的大小.試卷第9頁，總17頁解：（1）多面體？?？?？硒的體積:?= ？-？ - ？-？1？=1X6X6 Xsin60 X4 - 1 x2 x3 X3 Xsin60 X4 = 33v3. 232？由,？為？軸，建立空間直角坐標(biāo)系,（2）以？妁原點(diǎn)，過？渤垂線為？軸,？（3v3, ？3,？0）, ？（0,？6,？0）,？（0,？0,？0）,33 3則 cos？=|？|？|？6310？= （

18、- -2- ）？3, ？4）, ？= （0,？-6, 設(shè)異面直線？成角為？. 3異面直線？成角的大小為arccos后.上海市生活垃圾管理條例于 2019年7月1日正式實施，某小區(qū)全面實施垃圾分類處 理，已知該小區(qū)每月垃圾分類處理量不超過300噸，每月垃圾分類處理成本 ？（元）與每月分類處理量？（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可近似表示為？= ？- 200？+ 40000 ,而分類處理一噸垃圾小區(qū)也可以獲得300元的收益.（1）該小區(qū)每月分類處理多少噸垃圾，才能使得每噸垃圾分類處理的平均成本最低； （2）要保證該小區(qū)每月的垃圾分類處理不虧損，每月的垃圾分類處理量應(yīng)控制在什么范 圍？【答案】解：（1）每噸垃

19、圾分類處理的平均成本為:40000 ？+_+ 100？ - 200？+ 40000 + 300？=a2，？40M+ 100 = 500 ,當(dāng)且僅當(dāng)？?=吧，即？?= 200時取等號, ?當(dāng)該小區(qū)每月分類處理 200噸垃圾時，才能使得每噸垃圾分類處理的平均成本最低. （2）令？ - 200？+ 40000 300？,即？ - 500？+ 40000 0,解得：100 2v/?400?0-+ 100 = 500 ,當(dāng)且僅當(dāng)？?=黑，即？?= 200時取等號,當(dāng)該小區(qū)每月分類處理 200噸垃圾時，才能使得每噸垃圾分類處理的平均成本最低.(2)令? - 200?+ 40000 300?,即？ - 50

20、0?+ 40000 0,解得：100 ,1 + ? 0.,解得：-1 人1-?令?(?=奇-12+,?+1設(shè)-1 ? ? 則？(？3- ?( =1,222(?-?1)?1+1 - ?+1 = (1+?1)(1+?2)- -1 ? 0 ,即？(第 ?(?,?(?孽(-1, ?1)上單調(diào)遞減，?= lg?在(0,?+ 罰單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，？?(?加(-1, ?1比單調(diào)遞減;(2)?(?= ?g(1 - ?)- lg(1 + ?)?(-?)= ?g(1 + ?)- lg(1 - ?)當(dāng)？?= -1 , ?(-?)= ?(?)即？(？彷偶函數(shù)；當(dāng)？?= 1, ?(-?)= -?(?),

21、即？?(?涉奇函數(shù)；當(dāng)？?w 1,非奇非偶函數(shù).試卷第11頁，總17頁【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【解析】1-99(1)把？?= 1代入可得？?(?)lg(1 - ?)- lg(1 + ?)= lg ,然后求出函數(shù)定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)單調(diào)性的定義可證；(2)要判斷？?(?物奇偶性，只要檢驗 ？?(?)？?(-?)的關(guān)系即可.【解答】解：(1)?= 1 時,?(?= lg(1 - ?)- lg(1 + ?)= lg1?9,1 - ? 0,解得：-1 ? 0.,人1-?令?(?= = -12+ )?+1設(shè)-1 ? 1,則？(？3 - ?(?)=2?1+1二=2(?如

22、?1)?+1(1+?1)(1+?2)-1 ? 0,即?(? ?(?,?(?孽(-1, ?1)上單調(diào)遞減，?= lg?在(0,?+罰單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，？?(?加(-1, ?1比單調(diào)遞減;(2) . ?(?= 91g(1 - ? lg(1 + ?)?(-?)= ?g(1 + ?)- lg(1 - ?)當(dāng)？?= -1 , ?(-?)= ?(?)即？(？彷偶函數(shù)；當(dāng)？?= 1, ?(-?)= -?(?),即？?(?涉奇函數(shù)；當(dāng)？?w 1,非奇非偶函數(shù).如圖是函數(shù)?(?= ?Rin(?R ?)(? 0,?* 0, ?0W ?w?廠個周期內(nèi)的圖象，將?(?野象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2

23、倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得圖象向右平移-個單位長度，得到函數(shù) ？?(?那圖象. 求函數(shù)？?(?)？?(?聊解析式;?.(2)若?(?= ?(?,求sin(?3- 3)的所有可能的值;求函數(shù)?(?= ?(?+ ?(?)?為正常數(shù))在區(qū)間(0, ?19?的的所有零點(diǎn)之和. 【答案】試卷第12頁，總17頁解：(1)由圖象可知：？?= 2, ?= ?所以：?= 2.所以?(?= 2sin(2?+ ?),又因為過點(diǎn)(0, ?2),故2sin?= 2,即 sin?= 1,?= 2 + 2?(? Z), TOC o 1-5 h z 一一， ?又因為0 ? 0,所以竺譽(yù)藝 C(-1, ?0),當(dāng)sin?= ?-

24、浮時，由？?= sin?的對稱軸方程可得,sin?=竺鏟8在(2?- 1)?,?2?(1 ? 1 時，方程 sin?=1 ,即？?= 1 時，方程 sin?=?_3, (1 ? 9, ?要 Z)一，,，,，一、一 ，？5?9?則在(0, ?19?根之和為2+? +?+ 舛8-一無解;?+a7?+8 ,的437?(?+37?)X 10一 =95?當(dāng)0也浮 1,即0 ? 1時，方程sin?=8在2?,?(2?1)?, (0 ? 1時，所有零點(diǎn)之和為171?當(dāng)？?= 1時，所有零點(diǎn)之和為 171?+ 95?= 266?;當(dāng)0 ? 1時，所有零點(diǎn)之和為 171?+ 190?= 361?.【考點(diǎn)】由y=

25、Asin ( cox+6的部分圖象確定其解析式函數(shù)y=Asin ( cox+6的圖象變換函數(shù)的零點(diǎn)【解析】(1)由最值求出？由周期求出？?，再代入特殊點(diǎn)坐標(biāo)出 ？?勺值，可得？?(?物解析式, 再利用函數(shù)？?= ?酣(?*+ ?)的圖象變換規(guī)律得出？?(?那解析式.?(2)利用二倍角公式求出 ？?的所有可能值，求出sin(?-或的所有可能值.(3)對？分類討論，結(jié)合三角函數(shù)圖象，求出每種情況下零點(diǎn)的和.【解答】解：(1)由圖象可知：？?= 2, ?= ?所以：?= 2.所以?(?= 2sin(2?+ ?),故2sin?= 2,即 sin?= 1,又因為過點(diǎn)(0, ?2),?= 2 + 2?(?

26、 Z), TOC o 1-5 h z 一一. ?又因為0 v ? 0,所以？?-尸 (-1, ?0),?- J?8 當(dāng)sin?= 14時，由？?= sin?的對稱軸萬程可得,試卷第14頁，總17頁?- /?+8 .一一 一一_ _ ,一sin?= 一在(2?- 1)?,?2?(1 ?41 ,即？? 1 時，方程 sin?=?+v?8-一無解;公?+V+8當(dāng)一4一1 ,即？?= 1 時，方程 sin?=?+VW 的解為?= 2?_2, (1 ? 9, ?要 Z)則在(0, ?19?根之和為?+ 5?+ 9?+ ? + 37?(?+37?)X 10- =95?_?+ AZ2+8-當(dāng) 0 一4一 1

27、,即 0 ? 1 時，萬程 sin?=在2?,?(2?1)?, (0 ? 1時，所有零點(diǎn)之和為171?當(dāng)？?= 1時，所有零點(diǎn)之和為 171?+ 95?= 266?;當(dāng)0 ?1)是帶狀函數(shù);(3)求證：函數(shù)？(?)= ?|? ?| + ?|?-? ?|(? ?)為帶狀函數(shù)的充要條件是 ？?+ ?= 0.【答案】?(1)解：因為？(？?= sin?+ cos?= v2sin(?+ -) C - v2,?v2,所以-v2 1 , (，?- 1)2- (?- 1)2=2?- 2 0,所以?(? ?- 1,而顯然，以-1 ?故？ 1 ?(?) 0, ? 0時，?(?)= ?|? ?| + ?|? ?|試卷第15頁，總17頁-(? + ?)?+ ?仔?x ?,? ? ?,= (?- ?)? ?+ ? (?+ ?)? ? ?+ ?w ?4,4,先證明充分性，當(dāng)？?+ ?= 0時，？(?)= (?- ?)? ?+ ? ? ? ?,不妨設(shè)?+ ?2 0,貝u -(? + ? & ?(?) & ? ?即存在直線?= -(?+ ?, ?= ? ?2?滿足題意，即函數(shù)?(?) = ?|