北京市海淀2021-2022學(xué)年高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角條形碼粘貼處。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡

2、一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知，若對任意，關(guān)于x的不等式（e為自然對數(shù)的底數(shù)）至少有2個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD2設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且,則直線的斜率的最大值為( )ABCD13已知集合,則（ ）ABCD4已知集合,，則ABCD5若實(shí)數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（ ）ABC3D26已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足當(dāng)時(shí)，則（ ）ABCD7設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若存在，且為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD

3、8已知四棱錐，底面ABCD是邊長為1的正方形，平面平面ABCD，當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時(shí)，該四棱錐的體積為（ ）ABCD19已知集合，則=（ ）ABCD10已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）ABCD11集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A1個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D7個(gè)12若復(fù)數(shù)滿足,則()ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則點(diǎn)表示的區(qū)域面積為_.14已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，則的最小值為_.15已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為_.16已知實(shí)數(shù)，對任意，有，且，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

4、演算步驟。17（12分）語音交互是人工智能的方向之一，現(xiàn)在市場上流行多種可實(shí)現(xiàn)語音交互的智能音箱.主要代表有小米公司的“小愛同學(xué)”智能音箱和阿里巴巴的“天貓精靈”智能音箱，它們可以通過語音交互滿足人們的部分需求.某經(jīng)銷商為了了解不同智能音箱與其購買者性別之間的關(guān)聯(lián)程度，從某地區(qū)隨機(jī)抽取了100名購買“小愛同學(xué)”和100名購買“天貓精靈”的人，具體數(shù)據(jù)如下：“小愛同學(xué)”智能音箱“天貓精靈”智能音箱合計(jì)男4560105女554095合計(jì)100100200（1）若該地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，試估計(jì)該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多多

5、少人？（2）根據(jù)列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān)？附：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818（12分）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)是，在橢圓上，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點(diǎn).連接、與軸交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值.19（12分）已知橢圓 的焦距為，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，且直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）若過左焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足，問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由.

6、20（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，且.（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，與圓相交于、兩點(diǎn)，求的取值范圍.21（12分）已知在中，角，的對邊分別為，的面積為.（1）求證：；（2）若，求的值.22（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（）.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和.若對恒成立，求實(shí)數(shù)，的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則 ,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知，要使得至少有

7、2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)（），則（），所以在上單調(diào)遞增，所以，故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x，使得成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.，整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.2C【解析】試題分析：設(shè)，由題意，顯然時(shí)不符合題意，故，則，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故選C考點(diǎn)：1拋物線的簡單幾何性質(zhì)；2均值不等式【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程，均值不等式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題解題時(shí)一定要注意分析條件，根據(jù)條件，

8、利用向量的運(yùn)算可知，寫出直線的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號是否成立，否則易出問題3B【解析】計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù)，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4D【解析】因?yàn)?所以,故選D5C【解析】作出可行域，直線目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖由射線，線段，射線圍成的陰影部分（含邊界），作直線，平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值1故選：C【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個(gè)封閉圖形6C【解析】由題設(shè)條件，可得函數(shù)的周期是，再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)

9、值，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，則函數(shù)的周期是，所以，又函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性，由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7D【解析】先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因?yàn)榇嬖?，所以，所以，化簡得，所以，即令，因?yàn)闉楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知，又因?yàn)椋砸乖跁r(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題

10、，難度較大.8B【解析】過點(diǎn)E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因?yàn)槠矫鍭BE，所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè)，將表示成關(guān)于的函數(shù)，再求函數(shù)的最值，即可得答案.【詳解】過點(diǎn)E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面ABCD，所以.因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形，所以.因?yàn)槠矫鍭BE，所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE，所以點(diǎn)H到平面ABE的距離，即為H到EF的距離.不妨設(shè)，則，.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，等號成立.此時(shí)EH與ED重合，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最

11、值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.9D【解析】先求出集合A，B，再求集合B的補(bǔ)集，然后求【詳解】，所以 .故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10A【解析】先求出函數(shù)在處的切線方程，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在處的切線方程為：，令，它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象如下圖的所示：利用數(shù)形結(jié)合思想可知：不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的

12、應(yīng)用，屬于中檔題.11B【解析】由題意，結(jié)合集合，求得集合，得到集合中元素的個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案【詳解】由題意，集合， 則，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解，其中作出集合的運(yùn)算，得到集合，再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力12C【解析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解【詳解】解：由，得，故選C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，

13、利用定積分即可求解.【詳解】畫出實(shí)數(shù)x，y滿足表示的平面區(qū)域，如圖（陰影部分）：則陰影部分的面積，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了定積分求曲邊梯形的面積，考查了微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題.1427【解析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，則，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，涉及均值不等式求和的最小值，屬綜合基礎(chǔ)題.15【解析】根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，結(jié)合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關(guān)系表示，最后結(jié)合雙曲線離心率公式計(jì)算得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因?yàn)槠?/p>

14、一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，即，則，由此可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進(jìn)而求離心率，屬于基礎(chǔ)題.16-1【解析】由二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求法得，又，所以，令得：，所以，得解【詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）多2350人；（2）有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【解析】（1）根據(jù)題意，知100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，即可估

15、計(jì)該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性人數(shù)和購買“天貓精靈”的女性的人數(shù)，即可求得答案；（2）根據(jù)列聯(lián)表和給出的公式，求出，與臨界值比較，即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）由題可知，100人中購買“小愛同學(xué)”的女性有55人，購買“天貓精靈”的女性有40人，由于地區(qū)共有13000人購買了“小愛同學(xué)”，有12000人購買了“天貓精靈”，估計(jì)購買“小愛同學(xué)”的女性有人.估計(jì)購買“天貓精靈”的女性有人.則，估計(jì)該地區(qū)購買“小愛同學(xué)”的女性比購買“天貓精靈”的女性多2350人.（2）由題可知， ，有95%的把握認(rèn)為購買“小愛同學(xué)”、“天貓精靈”與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣估計(jì)總體以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查

16、計(jì)算能力.18（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義可得，將代入橢圓方程，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和的方程，求得和的橫坐標(biāo)，表示出，根據(jù)韋達(dá)定理即可求證為定值.【詳解】（1）因?yàn)椋蓹E圓的定義得，點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，解得，所以的方程為；（2）證明：設(shè)，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，整理得，所以，直線的直線方程為，令，則，同理，所以：，代入整理得，所以為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.19 (1) .(2) 為定值.過程見解析.【解析】分析

17、：（1）焦距說明，用點(diǎn)差法可得.這樣可解得，得橢圓方程；（2）若，這種特殊情形可直接求得，在時(shí)，直線方程為，設(shè)，把直線方程代入橢圓方程，后可得，然后由紡長公式計(jì)算出弦長，同時(shí)直線方程為，代入橢圓方程可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而計(jì)算出，最后計(jì)算即可.詳解：（1）由題意可知，設(shè)，代入橢圓可得：，兩式相減并整理可得，即. 又因?yàn)?，代入上式可得?又，所以， 故橢圓的方程為. （2）由題意可知，當(dāng)為長軸時(shí)，為短半軸，此時(shí)； 否則，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消可得， 則有：， 所以設(shè)直線方程為，聯(lián)立，根據(jù)對稱性，不妨得，所以. 故，綜上所述，為定值. 點(diǎn)睛：設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則有，證明方法是點(diǎn)差法：即

18、把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式相減，結(jié)合斜率公式可得.20（）；（）.【解析】（）利用勾股定理結(jié)合條件求得和，利用橢圓的定義求得的值，進(jìn)而可得出，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理與弦長公式求出，利用幾何法求得直線截圓所得弦長，可得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用不等式的性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（）在橢圓上， ，又，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（）設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立消去，得，則，設(shè)圓的圓心到直線的距離為，則.，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中弦長之積的取值范圍的求解，涉及韋達(dá)定理與弦長公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用，利用正弦定理，化簡即可證明（2）利用（1），得到當(dāng)時(shí)，得出，得出，然后可得【詳解】證明：（1）據(jù)題意，得，.又，.解：（2）由（1）求解知，.當(dāng)時(shí)，.又，.【點(diǎn)睛】本