13.4 課題學習　最短路徑…1

1、教學設計基本信息名稱 最短路徑問題執(zhí)教者胡玉紅課時1課時所屬教材目錄人教版八年級上冊 第十三章 軸對稱13.4 課題學習 最短路徑問題教材分析隨著課改的深入，數(shù)學更貼近生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營中的問題，于是就出現(xiàn)了為省時、省財力、省物力而尋求最短路徑的數(shù)學問題。本節(jié)是“課題學習 最短路徑問題”，是本章的最后一節(jié)，這節(jié)課主要是解決“將軍飲馬問題”，解決這個問題的關鍵是通過軸對稱變化把問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”的問題，在解決這個問題的過程中滲透了“化歸”的思想。學情分析（1）認知基礎：在七年級已經(jīng)研究過“兩點之間,線段最短”、“垂線段最短”等最短路徑問題,在本章的前面學生也初步掌握了作點

2、關于某直線的對稱點,所有這些內(nèi)容構(gòu)成了本節(jié)課的認知基礎.（2）活動經(jīng)驗：通過初中學段一年多的學習,學生已經(jīng)有了圖形變換以及模型構(gòu)建的意識,獲得了初步的數(shù)學思維轉(zhuǎn)化這一數(shù)學活動的經(jīng)驗,具備了一定的主動參與、合作交流的意識和初步的觀察、分析、歸納、猜想和解決問題的能力.教學目標知識與能力目標已知直線同側(cè)兩點A、B，會在直線上求一點P，使PA+PB的距離最短。能利用軸對稱解決實際生活中的最短路徑問題。過程與方法目標培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想。情感態(tài)度與價值觀目標通過獨立思考，合作探究，培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的基本能力，感受學習成功的快樂。教學重難點重點利用軸對稱作圖確定使距離最短的點。

3、難點數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學建模思想的培養(yǎng)。教學策略與 設計說明本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典問題“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題。教學過程教學環(huán)節(jié)（注明每個環(huán)節(jié)預設的時間）教師活動學生活動設計意圖一、創(chuàng)設情景 引入課題（5分鐘）師：我們都知道“數(shù)學來源于生活，應用于生活?！鼻懊嫖覀冄芯窟^一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最

4、短路徑的問題本節(jié)將體會如何運用數(shù)學知識選擇最短路徑。引例1：如圖所示：從A地到B地有三條路可供選擇，你會選擇哪條路距離最短？你的理由是什么？引例2：如圖，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？ 二、自主探究 合作交流 建構(gòu)新知（25分鐘）將軍飲馬問題相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題： 從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？ 精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題這個

5、問題后來被稱為“將軍飲馬問題”BAl追問1這是一個實際問題，你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？ 將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直 線 B。Al追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學問題嗎？ （1） 點A，B 在直線l 的同側(cè)，在l 上找一點C，使AC 與CB 的和最小？ （2） 思考：如何將點B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB的長度相等？ lABCB強調(diào)：將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B嗎？ 師生活動：學生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相補充，找到解決辦法：（

6、1）作點B 關于直線l 的對稱點B；（2）連接AB，與直線l 相交于點C，則點C 即為所求 如圖所示：BlCAB追問3你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？ 教師展示：證明：如圖，在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短BlABCC追問4證明AC +BC 最短時，為什么要在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），證明AC +BC AC+BC？這里的“C”的作用是什么？ 若直線l 上

7、任意一點（與點C 不重合）與A，B 兩點的距離和都大于AC +BC，就說明AC + BC 最小 師生活動：共同回顧作圖方法。追問5回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？ 三、運用新知（12分鐘）練習元旦時我們班舉行聯(lián)歡會，把桌子擺成兩直條（如圖1中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，BO桌面上擺滿了糖果，坐在C處的楊光同學先拿桔子再拿糖果，然后回到座位請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？拓展練習 如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后牽馬回到帳篷，請你幫他確定這一天所走的最短路線.教師提問題學生思考并

8、觀察圖片獲得感性認識.觀察口答動手連線觀察口答請一位同學讀題獨立思考合作交流學生嘗試回答， 并互相補充，最后達成共識。.分組討論，合作交流，然后派代表回答。小組交流，然后派代表回答。思考，回答。學生獨立完成，集體訂正用身邊的實際問題激發(fā)學生的學習興趣及探索欲望.為學生提供參與數(shù)學活動的生活情境，培養(yǎng)學生的把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力.經(jīng)歷觀察-畫圖-說理等活動，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學生的邏輯思考能力.提高學生的閱讀理解能力，加深對問題的理解。 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，培養(yǎng)數(shù)學建模思想。達到軸對稱知識的學以致用注意問題解決方法的小結(jié)：抓對稱性來解決及時進行學法指導，注重方法規(guī)律的提煉總結(jié)

9、.通過把AC+BC,AC+BC分別轉(zhuǎn)化成AB、AC+BC，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化思想，體會軸對稱的作用。通過追問4，了解證明方法的排他性，增強證明結(jié)論的可信度。通過追問5，進一步體會軸對稱的作用。學以致用，及時鞏固課堂小結(jié)2分鐘本節(jié)課研究的主要問題是什么？軸對稱起在所研究問題中起什么作用？通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？還有哪些疑惑？和同學們交流一下。布置作業(yè)1分鐘1、如圖，小河邊有兩個村莊A、B要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水 若要使廠部到A、B村的水管最省料，應建在什么地方？2、如圖，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設為點P，如在兩條公路上各設置一個加油站，（1）若要使油庫

10、分別到兩個加油站距離最短，應在何處設置加油站？（2）若要使運油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短，應如何設置？板書設計13.4課題學習 最短路徑問題兩點之間，線段最短。垂線段最短。方法提煉：最短路徑問題線段和最小問題兩點之間，線段最短。教學反思1、本節(jié)課很好的完成了教學目標，課堂上學生積極主動，思維活躍，對教學效果比較滿意。2、在拓展練習時，同學們思維活躍，各抒己見，是讓我最興奮的地方。3、學生對這節(jié)課的學習達到了我期望的水平，我比較滿意。我覺得不足的地方是在課堂中，還是老師講的比較多，限制了學生的思維發(fā)展。4、在做第一個練習時，有的同學提出的方法出乎我的意料。我和同學們一起耐心比較，找出解決問題的最佳方法。5、如果重上這節(jié)課