彈性動力學(xué)中的基本波匯總課件

1、第二章 彈性動力學(xué)中的基本波彈性體的運(yùn)動表現(xiàn)為在彈性介質(zhì)中傳播的彈性波。在本章中將介紹彈性波方程以及在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中彈性波的基本類型和它們的特點(diǎn)。1、彈性波的控制方程2、聲波方程的建立3、均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的平面波4、均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的球面波5、均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的柱面波6、波動方程的定解問題（1-98） 其中u為位移向量，體變 ，F(xiàn) 為體力向量。方程式（1-98）決定著彈性介質(zhì)運(yùn)動狀態(tài)，決定著振動在彈性介質(zhì)中的傳播，稱為拉梅方程。(1-75)(1-74)下面是本章要用到的第一章中的公式21 彈性波控制方程一、彈性波方程的導(dǎo)出 彈性體的運(yùn)動狀態(tài)由彈性體每一

2、點(diǎn)上的位移向量u所決定。作為質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)和時間的函數(shù)，位移向量u滿足彈性介質(zhì)運(yùn)動平衡微分方程式。根據(jù)亥姆霍茲(Helmholtz)定理，任何一個向量場可以表示為一個無源向量場及一個無旋向量場之和，所以位移向量u可以寫作：其中 和 稱為位移位， 為標(biāo)量位， 為向量位。（23）up為標(biāo)量位的梯度，其旋度為零，稱為無旋場；us為向量位的旋度，其散度為零，稱為無散場；即 和（23）式類似，對體力向量F 使用場的分解，將它分為位場部分grad 和旋場部分curl，可有：（24）（26）將（23）、（26）代入拉梅方程(1-98)，（1-98）其中除交換微分運(yùn)算順序外,還考慮了div curl =0，方程

3、式（28）、（29）為非齊次波動方程。（28）（29）整理后可得：（27）在（27）式中若兩個方括號中的式子為零，則方程得到滿足。因此我們有：彈性介質(zhì)運(yùn)動平衡方程式 分解為：表明，在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中存在著兩種互相獨(dú)立的波動類型。根據(jù)關(guān)系式其中 為相對體變， 為彈性介質(zhì)旋轉(zhuǎn)角位移量，前者表示介質(zhì)的脹縮應(yīng)變，后者表示介質(zhì)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。二、縱波和橫波這樣以 標(biāo)量位為未知函數(shù)的波動方程式（28）描述的是介質(zhì)某一區(qū)域的體積變化即膨脹或壓縮。在這種狀態(tài)下介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)圍繞其平衡位置作前進(jìn)或返回的往返運(yùn)動，單元體不作旋轉(zhuǎn)。這種類型的波動稱為縱波，經(jīng)常用P 表示，也稱P波。不難看出，div us=div (

4、 curl )=0。此處考慮了us為無散的旋度場(2-10)由方程式（29）所描述的是另一類型的波動。 在這種情況下運(yùn)動形式是彈性介質(zhì)單元體旋轉(zhuǎn)，而不發(fā)生膨脹或壓縮現(xiàn)象。這種類型的波動，其質(zhì)點(diǎn)位移方向與振動傳播方向相垂直，因而得名為橫波，經(jīng)常用S表示，也稱S波。此處考慮了up為無旋場，curl upcurl (grad )=0。(2-11)當(dāng)外力作用停止以后或在沒有外力作用的介質(zhì)部分，討論已經(jīng)發(fā)生的彈性振動在介質(zhì)中的傳播情況，使用齊次波動方程。在式（28）和式（29）中令 ，可有：（213）（212）三、波動方程的一般形式 在彈性介質(zhì)中存在兩種類型的波，縱波和橫波。其齊次方程可歸納為：其中f=

5、f(x，y，z，t) 為波函數(shù)，可以代表表示縱波和橫波的各種物理量，如位移位、體變等，C表示波的傳播速度縱波傳播速度：橫波傳播速度：(2-16)(2-17)(2-18)取縱波和橫波傳播速度之比 ，用E 和v 表示 、 ，并代入式（2-19），可得：可見縱波速度大于橫波速度。對自然界中常見的巖石來說， ,即 =0.25。具有這種性質(zhì)的物體稱為泊松體。對泊松體而言， 1.73；(2-19)(2-20) 總結(jié)：在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中，縱波和橫波彼此獨(dú)立存在和傳播，在非均勻介質(zhì)中，縱波和橫波彼此不能分開、獨(dú)立傳播，即縱波能產(chǎn)生橫波，橫波也能產(chǎn)生縱波。拉梅方程 對上式取散度 對上式取旋度四、初值與

6、邊值條件波動方程一般有無限多的解。求解波動方程，確定位移場唯一解，要求給出補(bǔ)充條件初值條件和邊值條件。首先，求出波動方程的通解。其次，根據(jù)給定的初值、邊值條件確定待定系數(shù)。滿足條件的解為定解。 如果要求確定在時間間隔0，tm， 內(nèi)的波函數(shù)值，或稱為波場值，要求給出波函數(shù)及其對時間偏導(dǎo)數(shù)在t0時在所有求解區(qū)域上的值：稱為初值條件。如果在t=0時刻以前介質(zhì)是靜止的，其位移等于零，則初始條件應(yīng)是：(2-22)(2-21) 這種形式的初值條件意味著除了給定的以外，在介質(zhì)中沒有任何形式的震源。 邊值條件包括在波函數(shù)求解區(qū)域邊界上給定待求解的函數(shù)值和在求解區(qū)域內(nèi)部介質(zhì)分界面上給定的連續(xù)條件，前者稱為邊界條

7、件，后者稱為分界面連續(xù)條件。三類邊界條件：1、在函數(shù)求解區(qū)域的邊界S上給定t大于等于0時，待求解的函數(shù)值，這樣的邊界條件稱為位移邊界或狄里赫利邊界條件；2、在函數(shù)求解區(qū)域的邊界S上給定t大于等于0時，待求解的函數(shù)對邊界外法線n的導(dǎo)數(shù)值，(2-23)(2-24) 這樣的邊界條件稱為應(yīng)力邊界條件或諾埃曼邊界條件3、在部分邊界S1上給定位移邊界條件，在另一部分邊界S2上給定應(yīng)力邊界條件，這樣的邊界條件稱為混合邊界條件。(2-25) 使用非零的邊界條件，或稱為非齊次邊界條件，求解齊次波動方程式(2-12)、(2-13)或(2-16)，可以代替求解帶震源項(xiàng)的非齊次波動方程式(2-8)、(2-9)，以研究

8、震源的作用。這時，位于波函數(shù)求解區(qū)域V以外的震源作用由V區(qū)域邊界面S上給出的邊界條件所代替。 至于分界面連續(xù)條件，它由波場函數(shù)在彈性介質(zhì)性質(zhì)突變分界面上的性質(zhì)所決定。例如，分界面S將所研究的彈性介質(zhì)分為兩部分，一部分的彈性參數(shù)和密度為 ,另一部分的彈性參數(shù)和密度為 ；在這樣的分界面上自兩邊介質(zhì)作用的應(yīng)力應(yīng)該相等，正如在介質(zhì)內(nèi)部其它截面上一樣。在分界面上應(yīng)力相等的條件稱為應(yīng)力連續(xù)條件。在x，y，z直角坐標(biāo)系內(nèi)取z0為兩種彈性不同的介質(zhì)分界面，xoy面在各個點(diǎn)上與分界面相切(介質(zhì)分界面可以是非水平的或彎曲的)。z0時的應(yīng)力連續(xù)條件可以寫作：經(jīng)過分界面z0由介質(zhì)1過渡到介質(zhì)2時位移和它的分量應(yīng)是連續(xù)

9、變化的。這樣的條件稱為位移連續(xù)條件。當(dāng)z0時，可以寫作：u1=u2或者 u1=u2 v1=v2 w1=w2 (2-28) 作為波動方程的解必須滿足（226）、（228）兩類分界面連續(xù)條件。(2-26)2-2 聲波方程的建立固體介質(zhì)中的縱波是一種脹縮應(yīng)變波，有時稱為疏密波，它與流體中的聲波具有同樣性質(zhì)。如果不考慮固體中的轉(zhuǎn)換波問題，地震波的傳播問題可以使用聲波方程來研究。這種情況是模擬在介質(zhì)中只存在縱波。因?yàn)榭v波的傳播速度是最快的，在縱波勘探時期，這種假設(shè)的正演模擬是非常有意義的。一、運(yùn)動方程式 討論理想流體中一個體積元d，使用牛頓運(yùn)動第二定律，即Fma，m=d，為流體密度。 若v為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速

10、度，則有 ；在一般情況下，流體密度及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度是質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)和時間的函數(shù)； (r，t)，v=v(r，t)，其中r為質(zhì)點(diǎn)空間坐標(biāo)點(diǎn)向徑，r=xi +yj +zk。隨著體積元的運(yùn)動，位置坐標(biāo)也在改變，r=r(t)，向徑r也是時間函數(shù)，所以有體積元運(yùn)動的速度：加速度a為速度對時間的導(dǎo)數(shù)，考慮到式（229）式可有：其中(2-29)(2-30)(2-31) 另一方面討論作用于體積元d的力F。流體中每一點(diǎn)都可定義一個壓強(qiáng)P，壓強(qiáng)是個標(biāo)量，它是位置坐標(biāo)和時間的函數(shù)，PP(r,t)。如圖21所示，對側(cè)面dydz，作用于左側(cè)面的壓強(qiáng)為P(x,y,z,t)，作用于右側(cè)面的壓強(qiáng)為P(x+dx,y,z,t)；它們的

11、壓力方向相反，合力為兩壓力之差，是作用于單元體的一個沿x方向的作用力：P(x,y,z,t) P(x+dx,y,z,t)dydz同理，將得到作用于單元體的沿y和z方向的作用力：P(x,y,z,t) P(x,y,z+dz,t)dxdyP(x,y,z,t) P(x, y+dy,z,t)dxdz作用于體積元d總的作用力為：考慮到d為微小體積元，壓強(qiáng)隨空間坐標(biāo)呈線性規(guī)律變化，即則上式可以寫作：(2-32)這樣牛頓運(yùn)動學(xué)第二定律Fma可以寫成：稱為運(yùn)動方程式。這里去掉了體積元dxdydz（233）二、連續(xù)性方程依據(jù)質(zhì)量守恒原理。在一個封閉區(qū)域，S為該區(qū)域的表面積。積分：表示單位時間內(nèi)流過S表面積的介質(zhì)質(zhì)量

12、。單位時間內(nèi)通過S曲面?zhèn)鞑コ鋈サ馁|(zhì)量，應(yīng)該等于區(qū)域內(nèi)在單位時間內(nèi)質(zhì)量減少量。有：根據(jù)（高斯）散度定理，有：稱為流體介質(zhì)連續(xù)性方程。(2-34)(2-36)三、可壓縮的流體中的聲波方程設(shè)流體介質(zhì)密度和壓強(qiáng)P在常數(shù)背景0和P0上有一個變化量和P ，且這個變化量遠(yuǎn)小于背景值，即： 將（237）代入運(yùn)動方程式（233）后可得：（237） 、P和0、P0相比是一個微量; v 是一個二階微量。略去含有這些微量的項(xiàng)，可得：另一方面，將 代入連續(xù)性方程式（236）進(jìn)行整理。首先對方程式（236）作一些變換。計(jì)算div v ，可得：（238）div v= div v +vgrad （239）將上式代入式（236

13、），其中考慮v是一個微量， 項(xiàng)可以略去。連續(xù)性方程式變?yōu)椋簩?代入可得：(2-40)(2-41)vgrad其中P是壓強(qiáng)，V是氣體體積， 為常數(shù)， 和 是初始狀態(tài)的壓強(qiáng)和體積。又： ，代入（243）式，并考慮體積與密度成反比關(guān)系，有： 聲波傳播過程，可以看成是一個絕熱過程，滿足泊松絕熱方程：因此：該式右邊是個常數(shù)，用C2表示 。則得到(2-45)(2-43)流體的狀態(tài)方程：其中Cp為常壓下的比熱容Cv為常體積下的比熱容 使用以上導(dǎo)出的三個方程式（238）、（241）、（245）可以導(dǎo)出聲波方程。對（238） 取散度：將（245） 代入，可有：由（241） 式得（246）代入（246）式，其中 。

14、所以有：將（245）式代入上式，可得以壓強(qiáng)變化量P 為函數(shù)的方程式：（247）（248）這樣，在聲波傳播過程中介質(zhì)密度和壓強(qiáng)變化量 和P將分別滿足式（216）的波動方程。式（247）、（248）中的 和P都為標(biāo)量，所以稱之為標(biāo)量波動方程。四、聲波的速度位 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度v 是一個向量，在聲學(xué)研究中經(jīng)常使用聲波傳播介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的位函數(shù) ，稱為速度位。v 可用位函數(shù)的空間偏導(dǎo)數(shù)來表示。流體介質(zhì)中的聲波是一個脹縮應(yīng)變波或疏密波，是一個無旋運(yùn)動，curlv =0。因此v可表示為位函數(shù)的梯度寫成分量形式可有：(2-49)(2-50)可以說明，位函數(shù) 將滿足聲波方程。為此，將（249）式代入運(yùn)動方程式（

15、238），可得：在上式中交換求導(dǎo)順序，因此有：（251）（252）將狀態(tài)方程（245）用于連續(xù)方程（241），以P代替 ，有：將式（249）、式（252）代入上式，得到：整理后可有：（253）（254）五、求解聲波方程時的分界面連續(xù)條件 對兩個流體介質(zhì)分界面，要求滿足兩類邊界條件：聲壓連續(xù)條件和速度連續(xù)條件。聲壓連續(xù)條件是分界面兩側(cè)介質(zhì)中的聲壓函數(shù)在分界面上的值應(yīng)該相等；速度連續(xù)條件是分界面兩側(cè)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度的沿界面法向方向分量應(yīng)該相等。使用速度位解題時，應(yīng)使用速度位 表示聲壓和速度，寫出連續(xù)條件，即： （252）(2-49)23 均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的平面波平面波是等相位面為平面，且

16、與波的傳播方向垂直的波動。從點(diǎn)震源產(chǎn)生的球面波向四周傳播在離震源足夠遠(yuǎn)的地方，研究一個局部的等相位面，可以看成是一個平面。在理論上任何類型的波可以平面波合成形式表示。一、波動方程的平面波形式解選擇坐標(biāo)系，使X軸與波的傳播方向重合。這時位移向量u和它的分量 與坐標(biāo)y,z無關(guān)，有：對縱波而言，波函數(shù)可以取作位移分量u,則C為縱波傳播速度， ； 對橫波而言，波函數(shù)可取作位移分量v或w，則C為橫波速度， 。 方程式(257)稱為一維波動方程，描述一個平面波，它有兩種類型，一是平面縱波，另一是平面橫波。（257）對方程（2-57）求傅立葉變換， 可以得到：其中 ；方程式（259）為線性均勻常微分方程，稱

17、為一維亥姆霍茲方程。這個方程的解是已知的，（2-60）對式（2-60）使用傅立葉變換可得時間域的解，其形式為：（2-61）式（2-61）稱為平面波達(dá)蘭貝爾解,是一維波動方程的一個通解.（2-59）等相位面由達(dá)蘭貝爾解中的波函數(shù)復(fù)合變量定義：其中常數(shù)決定了等相位面的相位值，為參變量，表示同一等相位面在不同時刻t0處于空間不同位置。它是垂直x軸的一系列平面。所以一維波動方程的解是平面波。 是一個沿x方向以C為速度傳播的平面波， 是一個沿x方向以C為速度傳播的平面波。（262） 簡諧波是自然界中一切波動形式中最簡單的，其波函數(shù)可用正弦或余弦函數(shù)或復(fù)函數(shù)表示。一維波動方程簡諧形式解，按公式（261）可

18、以寫作：其中A1、A2為復(fù)數(shù)， 為簡諧波頻率。寫成實(shí)數(shù)形式：A1,A2為振幅； 為初相位;上式定義的波動稱為駐波.(2-63)(2-66) 二、沿任意方向傳播的空間平面波設(shè)R方向與x,y,z坐標(biāo)軸所成角度分別為 ，其方向余弦用l,m,n表示，即 并且波函數(shù)可寫作：或者對式（263）形式的簡諧波，這時可有：(2-68)(2-69) (2-70)(2-71)對于二維的波動方程，容易證明，是二維波動方程 的通解。三維波動方程： 的通解是：考慮到 ，則令 分別為K在x，y，z坐標(biāo)軸方向上的投影，則式（271）可改寫為：K為波數(shù)，Kx，Ky，Kz為視波數(shù)。(2-72) (2-80)視速度三、不均勻平面波

19、 平面波傳播方向的方向余弦 不是實(shí)數(shù)，而是一復(fù)數(shù)。這樣的平面波稱為不均勻平面波。與它相區(qū)別，前面已經(jīng)介紹的沿空間R方向傳播，其方向余弦為實(shí)數(shù)的平面波，稱為均勻平面波。設(shè) = ， 若它們滿足條件式（268），即 , 有 （282）平面波f(x，y，z，t)的等相位面決定于方程式：為一個其法線的方向余弦為 的平面。波的振幅在空間是變化的。其等振幅面決定于方程式：為一個其法線方向余弦為 的平面。將為復(fù)數(shù)的方向余弦 代入式（268），（283）（284）并使等式兩端虛數(shù)部分相等可以得到：可見所討論的不均勻平面波其等相位面與振幅互相垂直，式（285）為兩平面正交條件。 在研究彈性波在不同彈性性質(zhì)介質(zhì)分界

20、面上的反射和折射現(xiàn)象時，會遇到不均勻平面波問題。當(dāng)?shù)诙橘|(zhì)中波速大于第一介質(zhì)中的波速時，波由第一介質(zhì)入射到第二介質(zhì)時存在一個臨界角。（285） 當(dāng)入射波以大于臨界角的入射角入射時，在第二介質(zhì)中將產(chǎn)生一個不均勻平面波，它將沿分界面方向傳播，而振幅在與界面垂直方向上呈指數(shù)規(guī)律衰減。 當(dāng)所討論的波是不均勻波時，角也將是一個復(fù)數(shù)。當(dāng)角為復(fù)數(shù)時，它的正弦和余弦可由如下形式的公式所表示：討論/2的情況，可得到已知證明24 均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的球面波在點(diǎn)震源作用下，介質(zhì)中發(fā)生的彈性振動從中心向四周傳播。在均勻各向同性介質(zhì)中這種波動過程具有中心對稱性質(zhì)，波前面為球面，因此稱為球面波。一、中心對稱條件下

21、波動方程及其通解 球坐標(biāo)系坐標(biāo)為： ，與直角坐標(biāo)x，y，z的關(guān)系是 ： 如圖25所示，為余緯度， 為經(jīng)度。顯然，所討論的波場與 和 角無關(guān)。標(biāo)量波動方程可以寫作： (2-91)與一維波動方程平面波解式類似，方程(293)的解是： 第一項(xiàng)表示由中心向四周擴(kuò)展的波，而第二項(xiàng)表示由無限遠(yuǎn)處向中心匯集的波。當(dāng)r,t固定，則復(fù)合變量 為常數(shù)，波函數(shù)也為一定值。這樣，在t瞬間在以r為半徑的球面上波場值相同，該球面為等相位面，如同平面波一樣對起始相位的等相位面稱為波前面。(2-93)(2-94)波函數(shù)前的系數(shù) 1r 表示波遠(yuǎn)離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且與到震源的距離成反比。1r稱為波前面發(fā)散因子。波前

22、面是尚未振動的介質(zhì)部分與已起始并處于振動狀態(tài)下的介質(zhì)部分分界；而將已經(jīng)停止振動處于靜止?fàn)顟B(tài)的介質(zhì)部分與尚處于振動狀態(tài)下的介質(zhì)分開的曲面稱為波尾。波前和波尾在介質(zhì)中以C為速度傳播。與波前正交的線稱為射線，表示波動過程傳播方向。在球面波情況下，它們是一組由中心向四周放射的直線。脹縮點(diǎn)震源產(chǎn)生一個無旋場，其中位移向量為標(biāo)量位 的梯度。在中心對稱條件下，標(biāo)量位滿足波動方程： 從通解中取由中心向四周擴(kuò)展的球面波：它的位移場是：對 按r求導(dǎo)，得二、脹縮點(diǎn)震源引起的球面波（縱波）(2-98)（299）(2-100)首先討論函數(shù)f(t)的物理意義。以O(shè)點(diǎn)為圓心，R為半徑作一個圓球面S，計(jì)算位移向量通過圓球面的

23、通量：將式（2100）代入得（uP為常量） 位移向量up的通量是以R為半徑的圓球體在介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)發(fā)生徑向位移時發(fā)生體積變化膨脹或壓縮。使用 性質(zhì)，可略去帶 1/r項(xiàng)， 為高階微量，所以有：另一方面，根據(jù)高斯定理，有：其中 為包圍點(diǎn)震源的圓球體體積，當(dāng)R趨于0時，該體積趨于無限小。有：(2-106)(2-107) 為在 附近的微小體積。在 以外無震源作用，所以根據(jù)空間單位脈沖 的性質(zhì)，式（2107）、式（2108）可以聯(lián)合寫成：(2-108)(2-109)其中 表示點(diǎn)震源位置坐標(biāo)。這樣，脹縮點(diǎn)震源產(chǎn)生的波場可用非齊次標(biāo)量波動方程描述： 由以上討論可見， 表示在震源點(diǎn)上一個半徑為無限小的圓球體體積隨時

24、間膨脹或壓縮的變化規(guī)律。 反映了震源強(qiáng)度變換，稱之為震源強(qiáng)度函數(shù)。式（2109）、式（2110）方程式中的非齊次項(xiàng)（2110） 正好表明了f(t)是作為震源函數(shù)而在震源點(diǎn)位置上存在的體力項(xiàng)。 其次，從球面波位移場公式（2100）可以看到，位移場可以分為兩部分。當(dāng)r很小是， 部分起主要作用 隨著傳播距離r加大，該項(xiàng)作用迅速衰減，另一項(xiàng) 貢獻(xiàn)逐漸增大；遠(yuǎn)離震源時，r很大，前一項(xiàng)接近于零，后一項(xiàng)成為主要項(xiàng)。 （2100） 在地震震源附近記錄的信號是近震源場與遠(yuǎn)震源場的混合，對于這樣的記錄使用下面的濾波器可以得到遠(yuǎn)震源場分量。如果得到近場的分量呢？ 其應(yīng)用條件是均勻各項(xiàng)同性介質(zhì)中的點(diǎn)震源場。作為作業(yè)，

25、請同學(xué)們證明一下！研究點(diǎn)震源在求解實(shí)際問題時很重要。一個有限尺寸的震源可以表示為點(diǎn)震源的組合。若點(diǎn)震源的解式取傅立葉變換后得：(2-112)其中 為震源強(qiáng)度函數(shù)f(t)的傅立葉變換，則點(diǎn)震源組合的波場的傅立葉變換為：(2-113) 其中 既是頻率的函數(shù)，又與方位角 有關(guān)，稱為方向頻率特性。(偶極子震源舉例略)三、旋轉(zhuǎn)點(diǎn)震源引起的球面波 設(shè)在均勻各向同性介質(zhì)中有一個以 為半徑的圓球形空腔。在球面各點(diǎn)作用一個與水平面平行的切向力，它將引起球面整體相對Z軸旋轉(zhuǎn)，從而激發(fā)在介質(zhì)中傳播的橫波。根據(jù)旋度場性質(zhì)，在介質(zhì)中任意一點(diǎn)R，且 ，質(zhì)點(diǎn)位移為 ， 為向量位，考慮到點(diǎn)震源中心對稱性質(zhì)， 將滿足方程式（2

26、93），（2116）考慮到位移的z分量為0要求向量位 只有一個分量 。事實(shí)上，位移us各個分量為：（2-117）(us)z為零要求 各自為零。轉(zhuǎn)換為中心對稱的球坐標(biāo)表示可有：水平位移us的模為：向量位z分量 滿足方程式（293），取通解中自中心點(diǎn)向外傳播的球面波解：(2-118)(2-119)代入（2119）式可得橫波位移表達(dá)式：與脹縮點(diǎn)震源相似，通過圍繞中心點(diǎn)的圓球面的位移向量 的模的通量為：(2-120)(2-121)面積元 , 分別為經(jīng)緯度、余緯度，考慮到f與它們無關(guān)，積分后得到： f(t)為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)震源強(qiáng)度，是在中心點(diǎn)上一個半徑為無限小的圓球面作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的位移總和。在震源附近，位移隨時間

27、變化規(guī)律重復(fù)震源強(qiáng)度的變化。在遠(yuǎn)離震源時，位移接近于震源強(qiáng)度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(2-124)(2-125)(2-126)25 均勻各向同性無限彈性介質(zhì)中的柱面波 出于實(shí)際考慮，地震波場經(jīng)常是沿測線觀測，被看作是二維的，滿足波動方程：以及在xoz平面上給出的邊界條件。但是在二維區(qū)域中是不存在點(diǎn)震源的。必須使用線震源來代替在三維空間使用的點(diǎn)震源。線震源波場可以由點(diǎn)震源波場合成。(2-127)一、柱坐標(biāo)系中的波動方程及其通解使用柱坐標(biāo) ，其中 為平面極坐標(biāo)，z為垂直坐標(biāo)。當(dāng)波場具有軸對稱性質(zhì)，波函數(shù)與方位角 無關(guān)，波動方程為：(2-129)它描述一個有限長度的線震源產(chǎn)生的波場。對無限長的線震源產(chǎn)生的波場，

28、波函數(shù)與z坐標(biāo)無關(guān)。波場具有圓柱對稱性質(zhì)，波動方程變?yōu)椋?2-130)(2-131)對該波動方程求其通解，可用分離變量法，設(shè)：代入(2-130)得：(2-133)(2-134)等式(2-133)左右兩端項(xiàng)是依賴于不同變量得函數(shù),必須各等于同一個常數(shù),方可使等式成立。取常數(shù)為令 ,則整理可得：(2-135)(2-136) 令 ，(2-134)可變換為：上式是已知的貝賽爾方程。 和 的通解是：(2-138)(2-139)其中J0為零階貝塞尓函數(shù)，N0為零階諾埃曼函數(shù)。因此圓柱條件下柱面波波動方程通解為：(2-140)(2-141)為說明柱狀面波的特點(diǎn)，取式(2-140)的一個特解討論。式中， 為零

29、階二類漢開爾函數(shù)。 當(dāng)r很大時，可使用漢開爾函數(shù)的漸近式：(2-142)我們可以有柱面簡諧波表達(dá)式：(2-143)*貝塞尓函數(shù)第一類貝塞爾函數(shù)，記作Jn（x），用x的偶次冪的無窮和來定義，數(shù) n稱為貝塞爾函數(shù)的階，它依賴于函數(shù)所要解決的問題。第二類貝塞爾函數(shù)(又稱諾伊曼函數(shù))，記作Yn（x）。當(dāng)n為非整數(shù)時，Yn(x)可以由第一類貝塞爾函數(shù)的簡單組合來定義；當(dāng)n為整數(shù)時，Yn(x)不能由第一類貝塞爾函數(shù)的簡單組合得到，此時需要通過一個求極限過程來計(jì)算函數(shù)值。第三類貝塞爾函數(shù)（亦稱漢克爾函數(shù)）定義為HnJniYn，其中i為虛數(shù)，用n階(正或負(fù))貝塞爾函數(shù)可解稱為貝塞爾方程的微分方程。柱面波的特點(diǎn)

30、遠(yuǎn)離震源時，柱面波的振幅隨r增大而衰減，與 成正比。實(shí)際上，圓柱面發(fā)散時，其表面積的擴(kuò)大與r成正比例。因此，當(dāng)震源能量一定時，單位面積的能量與r成反比，所以地震波振幅與 成反比。這是柱面波不同于平面波和球面波的特點(diǎn)。(2-143)二、柱面波的合成 如圖28所示，沿y軸均勻分布點(diǎn)震源形成線震源。 觀測點(diǎn)P（x，o，z）分布于xoz二維平面上，到線震源垂直距離為 。在線震源上取一線元dy，它等價(jià)于一個點(diǎn)震源。因?yàn)?，則將以上關(guān)系代入積分式（2144）可得:（2144）線震源產(chǎn)生的總波場為（據(jù)2112，考慮對稱性）：其中 為震源強(qiáng)度S(t)的傅立葉變換。（2145）當(dāng)很大時，使用漢開爾函數(shù)近似式(2

31、-142)可得:(2-146)令 ，則有：對簡諧波，時間函數(shù)為：與式(2-143)相同,所差系數(shù)取決于震源強(qiáng)度.（2149）（2150）線性偶極子震源偶極子源積分 討論如圖29所示的線性偶極子震源的波場。設(shè)線元dy的震源強(qiáng)度為 ，則根據(jù)式（2114），總的波場為(2-151)根據(jù)場的疊加原理及式(2-148),可得總波場P:(2-152156)線性偶極子震源線源求極限(場疊加)其中26 波動方程的定解問題根據(jù)波動方程的通解可以研究波的傳播規(guī)律。討論在傳播過程中波形的改變。但是，為了具體地確定波函數(shù)形式，要求己知震源強(qiáng)度函數(shù)，或者給出補(bǔ)充條件。后者歸結(jié)為求解波動方程的定解問題。 在遠(yuǎn)離震源的地方，巖石表現(xiàn)出彈性性質(zhì)，發(fā)生彈性應(yīng)變。把震源對彈性應(yīng)變帶的作用，歸結(jié)為在它的表面上作用一個均勻分布的壓力，使界面質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生一個位移。由于假定了介質(zhì)是均勻各向同性的，可以把彈性應(yīng)變帶的分界面看成是圓球面。給定彈性應(yīng)變帶表面上的應(yīng)力或位移邊界條件，代替震源對