12.7__正態(tài)分布復(fù)習(xí)課件

1、要點(diǎn)梳理 1.正態(tài)曲線及性質(zhì) (1)正態(tài)曲線的定義 函數(shù) , x(-,+),其中實(shí)數(shù)和 (0)為參數(shù)，我 們稱(chēng) 的圖象(如圖)為正態(tài)分布密度曲線, 簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線. 12.7 正態(tài)分布基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)第一頁(yè)，共三十六頁(yè)。(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)： 曲線位于x軸_,與x軸不相交； 曲線是單峰的,它關(guān)于直線_對(duì)稱(chēng)； 曲線在_處達(dá)到峰值 曲線與x軸之間的面積為_(kāi)； 當(dāng)一定時(shí),曲線隨著_的變化而沿x軸平移, 如圖甲所示； 上方x=x=1第二頁(yè)，共三十六頁(yè)。 當(dāng)一定時(shí),曲線的形狀由確定,_，曲線 越“瘦高”,表示總體的分布越集中;_,曲線 越“矮胖”,表示總體的分布越分散, 如圖乙所示. 越小越大第三頁(yè)，共

2、三十六頁(yè)。2.正態(tài)分布 (1)正態(tài)分布的定義及表示 如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a,b (ab),隨機(jī)變量X滿(mǎn)足P(a Xb)= ,則稱(chēng)X的分布為正態(tài)分布,記作 _. (2)正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 P(-X+)=_; P(-2X+2)=_; P(-3X+3)=_. N(,2)0.682 60.954 40.997 4第四頁(yè)，共三十六頁(yè)?；A(chǔ)自測(cè)1.正態(tài)分布函數(shù) 其中c+1)=P(X2) 的值為 ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析 根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性, P(-22)=2P(-20)=0.8.A第八頁(yè)，共三十六頁(yè)。5.某班同學(xué)共有48人，數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分 布,

3、其平均分是80分,標(biāo)準(zhǔn)差是10,則該班同學(xué)中成績(jī) 在7090分之間的約有_人. 解析 =80,=10. P(7090)=P(-+)=0.682 6, 約有480.682 6=32.764 833(人). 33第九頁(yè)，共三十六頁(yè)。題型一 正態(tài)曲線的性質(zhì)【例1】若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函 數(shù),且該函數(shù)的最大值為 (1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式； (2)求正態(tài)總體在(-4,4的概率. 要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的 解析式,關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù),的值,其 中決定曲線的對(duì)稱(chēng)軸的位置,則與曲線的形狀和 最大值有關(guān). 思維啟迪題型分類(lèi) 深度剖析第十頁(yè)，共三十六頁(yè)。解 (1)

4、由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函 數(shù),所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),即=0.故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是(2)P(-4X4)=P(0-4X0+4)=P(-X+)=0.682 6. 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系,掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響. 探究提高第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)。知能遷移1 如圖是一個(gè)正態(tài) 曲線.試根據(jù)該圖象寫(xiě)出其正 態(tài)曲線函數(shù)解析式,求出總體 隨機(jī)變量的期望和方差. 解 從給出的正態(tài)曲線可知,該正態(tài)曲線關(guān)于直線 x=20對(duì)稱(chēng),最大值是 所以=20. 于是正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是 總體隨機(jī)變量的期望是=20,方差是第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)。

5、題型二 服從正態(tài)分布的概率計(jì)算【例2】設(shè)XN(5,1),求P(6X7). 確定,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性知 P(-X+)、P(-2X+2)的概率, 進(jìn)行求解. 解 由已知=5,=1. P(4X6)=0.682 6. P(3X7)=0.954 4. P(3X4)+P(6X7) =0.954 4-0.682 6=0.271 8. 思維啟迪第十三頁(yè)，共三十六頁(yè)。如圖,由正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)性可得 P(3X4)=P(6X7) 求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率,只需借助于正態(tài)曲線的性質(zhì),把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上. 探究提高第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)。知能遷移2 設(shè)XN(1,22),試求 (1)P

6、(-1X3); (2)P(3X5); (3)P(X5). 解 XN(1,22),=1,=2. (1)P(-1X3)=P(1-2X1+2) =P(-X+) =0.682 6. 第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)。(2)P(3X5)=P(-3X-1)P(3X5)= P(-3X5)-P(-1X3)= P(1-4X1+4)-P(1-2X1+2)= P(-2X+2)-P(-X+)= (0.954 4-0.682 6)=0.135 9.第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)。(3)P(X5)=P(X-3),P(X5)= 1-P(-3X5)= 1-P(1-4X1+4)= 1-P(-2X+2)= (1-0.954 4)=0.022 8. 第

7、十七頁(yè)，共三十六頁(yè)。題型三 正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】 (12分)設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中,某班學(xué)生的分 數(shù)服從XN(110，202),且知滿(mǎn)分150分,這個(gè)班的學(xué) 生共54人.求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(不小于 90分)的人數(shù)和130分以上的人數(shù). 要求及格的人數(shù),即求出P(90X 150),而求此概率需將問(wèn)題化為正態(tài)變量幾種特殊值 的概率形式,然后利用對(duì)稱(chēng)性求解. 思維啟迪第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)。解 因?yàn)閄N(110,202), 所以=110,=20. 2分P(110-20130的概率為 8分所以,X90的概率為0.682 6+0.158 7=0.841 3. 10分及格的人數(shù)為540.841 34

8、5(人),130分以上的人數(shù)為540.158 79(人). 12分第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)。探究提高 (1)正態(tài)分布的特點(diǎn)可結(jié)合圖象記憶,并 可根據(jù)和的不同取值得到不同的圖象.(2)解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟記正態(tài)變量的取值位于區(qū)間(-,+),(-2,+2),(-3,+3)上的概率值,同時(shí)又要根據(jù)已知的正態(tài)分布確定所給區(qū)間屬于上述三個(gè)區(qū)間中的哪一個(gè). 第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)。知能遷移3 某年級(jí)的一次信息技術(shù)測(cè)驗(yàn)成績(jī)近似服 從正態(tài)分布N(70，102)，如果規(guī)定低于60分為不及 格,則成績(jī)不及格的人數(shù)占多少？ 解 設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X,XN(70,102), 則=70,=10. P(60X80)=

9、P(70-10X70+10)=0.682 6. P(X60)= 1-P(60X80) = (1-0.682 6)=0.158 7. 即不及格學(xué)生占15.87%. 第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)。 1.熟練地掌握正態(tài)密度曲線的解析式 x R.注意結(jié)構(gòu)特點(diǎn),特別是參數(shù) 的一致性.2.理解正態(tài)曲線的形狀特征,如對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)變化趨 勢(shì)等.3.若XN(,2),則P(-X+)=0.682 6, P(-2X+2)=0.954 4, P(-3X+3)=0.997 4. 方法與技巧思想方法 感悟提高第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)。在實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行概率、百分比計(jì)算時(shí),關(guān)鍵是把正 態(tài)分布的兩個(gè)重要參數(shù),求出,然后確定三個(gè)區(qū)間(范圍

10、)：(-,+),(-2,+2),(-3,+3)與已知概率值進(jìn)行聯(lián)系求解. 失誤與防范第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)。 一、選擇題1.(2008重慶理,5)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布 N(3,2),則P(3)等于 ( ) A. B. C. D. 解析 由正態(tài)分布圖象知,=3為該圖象的對(duì)稱(chēng)軸, P(3)=D定時(shí)檢測(cè)第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)。2.(2008安徽理,10)設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(1, ) (10)和N(2, ) (20)的密度函數(shù)圖象如 圖所示,則有 ( ) A.12,12 B.12 C.12,12,12 解析 由正態(tài)分布N(,2)性質(zhì)知,x=為正態(tài)密 度函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸,故12.又越小，圖象越 高瘦,

11、故12. A第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)。3.某市組織一次高三調(diào)研考試,考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成 績(jī)服從正態(tài)分布,其密度函數(shù)為 (xR),則下列命題不正確 的是 ( ) A.該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分 B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù) 相同 C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù) 相同 D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為10第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)。解析 由密度函數(shù)知,均值(期望)=80,標(biāo)準(zhǔn)差=10,又曲線關(guān)于直線x=80對(duì)稱(chēng),故分?jǐn)?shù)在100分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同,所以B是錯(cuò)誤的.答案 B第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)。4.已知隨機(jī)變量N(3,22),若

12、=2+3,則D()等 于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 解析 由=2+3,得D()=4D(), 而D()=2=4,D()=1. 5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間(-3,3)內(nèi)取值的概率為( ) A.0.998 7 B.0.997 4 C.0.944 D.0.841 3 解析 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),=1,區(qū)間(-3,3), 即(-3,3),概率P=0.997 4. BB第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)。6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2,2),P(4) =0.84,則P(0)等于 ( ) A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 解析 P(4)=1-P(4) =1-0.84=0.16.A

13、第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)。二、填空題 7.(2009安徽理,11)若隨機(jī)變量XN(,2),則 P(X)=_. 解析 由于隨機(jī)變量XN(,2),其概率密度曲線 關(guān)于x=對(duì)稱(chēng),故P(X)=第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)。8.已知正態(tài)分布總體落在區(qū)間(0.2，+)的概率為 0.5,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線 在x=_時(shí)達(dá)到 最高點(diǎn). 解析 P(X0.2)=0.5, P(X0.2)=0.5, 即x=0.2是正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸. 當(dāng)x=0.2時(shí), 達(dá)到最高點(diǎn). 0.2第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)。9.在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(1,2) (0).若在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則在 (0,2)內(nèi)取值的概率為_(kāi). 解析

14、 服從正態(tài)分布(1,2), 在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4. 在(0,2)內(nèi)取值概率為0.4+0.4=0.8. 0.8第三十二頁(yè)，共三十六頁(yè)。三、解答題10.設(shè)XN(10,1). (1)證明：P(1X2)=P(18X19); (2)設(shè)P(X2)=a,求P(10X18). (1)證明 因?yàn)閄N(10,1),所以正態(tài)曲線 關(guān)于直線x=10對(duì)稱(chēng),而區(qū)間1,2和18,19關(guān)于直線 x=10對(duì)稱(chēng),第三十三頁(yè)，共三十六頁(yè)。 所以 即P(1X2)=P(18X19). (2)解 P(10X18)=P(2X10) =P(X10)-P(X2)= 第三十四頁(yè)，共三十六頁(yè)。11.工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X 服從正態(tài)分布 問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中,取1 000個(gè)零件時(shí), 不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？ 解 不屬于區(qū)間(3,5)的概率為 P(X3)+P(X5)=1-P(3X5) =1-P(4-1X4+1)=1-P(-3X+3) =1-0.997 4=0.002 60.003, 1 0000.003=3(個(gè)), 即不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè).第三十五頁(yè)，共三十六頁(yè)。12.某人乘車(chē)從A地到B地，所需時(shí)間(分鐘)服從正態(tài) 分布N