第四屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題解答

1、第四屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試題(非數(shù)學(xué)類(lèi))參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、(本題共5 小題，每小題各 6 分，共 30分)解答下列各題(要求寫(xiě)出重要步驟).丄(1)求極限lim(“!)n ；(2)求通過(guò)直線(xiàn)L : J2% + 丁-3Z + 2 = 0的兩個(gè)相互垂直的平面陌和n2,使其中一個(gè)平面過(guò)點(diǎn) 5x + 5 y - 4z + 3 = 01(4,-3,1) ；d2u 已知函數(shù)z = u( x, y)eax+by，且=0,確定常數(shù)a和b，使函數(shù)z = z (x, y)滿(mǎn)足方程dxdyd2 z dz dz八+ z 0 ；dxdy dx dy 設(shè)函數(shù)u u(x)連續(xù)可微，u(2) -1,且J (x + 2

2、y)udx + (x + u3)udy在右半平面上與路徑無(wú)關(guān),求 u(x)；x +1sin t(5)求極限 lim Vx J =dt.xT+o)Jx Jt + cos t解27ln( n!)(1) 因?yàn)?(n!)n2 en2(1 分)十1 1 /八 1 (ln1 ln2lnn、口lnn 八/ 八、而 ln(n!)I111I，且 lim 0 (3 分)所以lim11巴+昨+旦=0心眈n112n丿即limAln(n!) 0，故1lim(n!)小=1( 2 分)ns nns(2)過(guò)直線(xiàn) L 的平面束為A(2 x + y 3 z + 2) +“(5x + 5y - 4z + 3) 0即(2免 + 5“

3、)x + (A + 5“)y- (3A + 4“)z + (2A + 3“) 0 ， (2 分)若平面n過(guò)點(diǎn)(4, -3,1)，代入得a+= 0，即“-久，從而n的方程為若平面束中的平面疋2與垂直，則3 - (22 + 5)+ 4 - (2 + 5)+1-(32 + 4)= 02 分）解得2 = 3，從而平面疋2的方程為x 2y - 5z + 3 = 0 ,dz乞=皿dxdudu#、dz杰+曲+叫，石=dxd 2 z = eax+bydxdy:ax+byd+bu (x+刃,7 dudu丁/ 、b+ a+ abu(x, y).dxdydz竺+z = e+y dxdydx dy若使 汁害容+ z

4、= 0,只有 dxdy dx dy2 分）2 分）dudu(b 1)+ (a 1)+ (ab a b + 1)u (x, y),dxdy(b 1)包 + (a 1) du + (ab a b + 1)u (x, y) =0， 即 a = b = 1 dxdy2 分）(4)由(x + u3) = (x + 2y)u)得(x + 4u3 )u = u,即 dx x = 4u2dxdydu u.（2 分）方程通解為x = elnu (j4u2elnudu + C)= u(J 4udu + C)= u(2u2 + C)3 分）由 u (2) = 1 得 C = 0 ,故 u =1/31 分）（5）因?yàn)?/p>

5、當(dāng)x 1時(shí),sintdt 長(zhǎng)+1$L人 y/t 13 分)3廠 0(x g),v x + si x 12 分)x +1sin t所以 lim Vx =dt =0。x*jx / + cos t1 分)、(本題 10 分)計(jì)算 f e2x | sin x | dx0解 由于W 兀 c(knf e x | sin x | dx =工 J e x | sin x | dx0k=1 (k 1)n電仁(-1) 1 e -2 x sin 皿3分）應(yīng)用分部積分法fkn(-1) k1 e-2x sin xdx =丄 e 2)nJ()-l)n5(1 + e2n)2分）所以-x |sin x | dx = 5(1

6、+ e 亡 e “05k =11e _2n e _2(n+1)n=一 (1 + e2n)51 - e2分）當(dāng) nn x (n + 1)n 時(shí)fnne0令 n g,-2x |sinx| dx f e-2x |sinx| dx f00 由兩邊夾法則，得e-2x |sin x | dx ,fge-2x |sinx| dx = lim f e-2x |sinx| dx =x g 01 e ” +15 e2n-13分）注：如果最后不用夾逼法則，而用嚴(yán)0-2x sinx|dx=limf e-2x n g 0|sinx |dx =1 e?n +15 e2n-1，需先說(shuō)明fge-2x | sin x | dx

7、 收斂.0三、（本題10分）求方程x2 sin1 = 2x- 501的近似解.精確到0.001.x解 由泰勒公式sin t = t -竺型t2 （0 0 500， 0 x 500 x 501 21sin 化x 0, f (0) = 0, f (0) = 0 ,求x3f(u)lim3x_0 f (x) sin u，其中u是曲線(xiàn)y = f （x）上點(diǎn)p（x,f （x）處的切線(xiàn)在x軸上的截距.解：曲線(xiàn)y = f （x）在點(diǎn)p（x, f （x）處的切線(xiàn)方程為Y- f(x)=f(x)(X-x)令r = 0，則有x = x -耗由此u = x - ft3分）且有f(x)- f(0)=映 f（x）f（o）=

8、冊(cè)=02分）由f （x）在x = 0處的二階泰勒公式f (x) = f + f (0) x + 響 x2 + o( x2)=響 x2 +o( x 2)2分）lim * = 1 lim 如.-lim 竺出xtO xxtO xf(x)xtOxf(x)1拯益噩=12 fd=23分）x3u2 +o(u2).lim - = lim一 2x0 f (x) sin3 ux0 3ux3 f(u)=limx=2xtO u2分）1五、(本題12分)求最小實(shí)數(shù)C ,使得滿(mǎn)足J| f (x)|dx = 1的連續(xù)的函數(shù)f (x)都有0解由于 J0| f (4X)| dx = J0|f (t)|2tdt 0。區(qū)域O是由拋

9、物面z = x2 +才和球面 x2 + j2 + Z2 = t2 (t 0)所圍起來(lái)的部分.定義三重積分F (t) = JJJ f (x2 + y2 + z 2)dv。求F(t)的導(dǎo)數(shù)F(t).解法1.記 g = g(t)=則Q在xy面上的投影為x2 + y2 g.( 2 分)在曲線(xiàn)S :o,則仇et+Lt.對(duì)于固定的t o,考慮積分差F(t + At)-F(t),這是一個(gè)在厚度為At的球殼上的積分.原點(diǎn)到球殼邊緣上的點(diǎn)的射線(xiàn)和 z軸夾角在3t+At和0之間.我們使用球坐標(biāo)變換來(lái)做這個(gè)積分，由積分的連續(xù)性可知，存在 a = a(At), 3t+At a3t,使得2n at+AtF(t + At

10、) F(t) = JdJd3 J f (r2)r2 sin3dT (4 分)00tt+At這樣就有 F(t + At) F(t) = 2n(1 cos a) ) f (r 2)r2dr.而當(dāng) At t 0+,cos a cosg1 t+At-Jf (r2)rrdr T t2f (t2).故F（t）的右導(dǎo)數(shù)為4 分）當(dāng)At 0,考慮F （t） - F （t + At）可以得到同樣的左導(dǎo)數(shù).因此F(t) = n(2t +1 - J1 + 4/2 ) tf (t2)2 分）解法2.令x = r cos 0 y = r sin 0,z = z0 0 2n0 r a ，其中a滿(mǎn)足a2 + a4 = t2, a = r2 z d 0,貝ij存在N gN，對(duì)于任意的n N時(shí),企丄-丄,an+1bnbn+1a _bn4 分）m工 an+1n=Na+i）