必修四_平面向量知識點梳理PPT通用課件

1、 必修四 平面向量知識點梳理知識網絡平面向量加法、減法 數乘向量坐標表示兩向量數量積零向量、單位向量、共線向量、相等向量向量平行的充要條件平面向量基本定理兩向量的夾角公式向量垂直的充要條件兩點的距離公式向量的概念解決圖形的平行和比例問題解決圖形的垂直和角度,長度問題向量的初步應用向量定義：既有大小又有方向的量叫向量。重要概念：（1）零向量：長度為0的向量，記作0.（2）單位向量：長度為1個單位長度的向量.（3）平行向量：也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量.（4）相等向量：長度相等且方向相同的向量.（5）相反向量：長度相等且方向相反的向量.一、平面向量概念幾何表示 : 有向線段向量的表示字母

2、表示 坐標表示 : (x，y)若 A(x1,y1), B(x2,y2)則 AB = (x2 x1 , y2 y1)一、平面向量概念向量的模（長度）1. 設 a = ( x , y ),則2. 若表示向量 a 的起點和終點的坐標分別 為A(x1,y1)、B (x2,y2) ，則一、平面向量概念1.向量的加法運算ABC AB+BC=三角形法則OABC OA+OB=平行四邊形法則坐標運算:則a + b =重要結論：AB+BC+CA= 0設 a = (x1, y1), b = (x2, y2)( x1 + x2 , y1 + y2 )AC OC一、平面向量概念2.向量的減法運算1）減法法則：OAB2）

3、坐標運算:若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 )則a b= 3.加法減法運算律a+b=b+a（a+b)+c=a+(b+c)1）交換律：2）結合律：BA(x1 x2 , y1 y2)OAOB =一、平面向量概念練習120oADBCO120oADBCOreturn4.實數與向量 a 的積定義：坐標運算：其實質就是向量的伸長或縮短！a是一個向量.它的長度 |a| =| |a|；它的方向若a = (x , y), 則a = (x , y)= ( x , y)(2) 當0時,a 的方向與a方向相反.(1) 當0時,a 的方向與a方向相同；一、平面向量概念則存在唯一實數，使得結論: 設表

4、示與非零向量同向的單位向量.定理1:兩個非零向量平行(方向相同或相反)一、平面向量概念向量垂直充要條件的兩種形式:二、平面向量之間關系向量平行(共線)充要條件的兩種形式:（3）兩個向量相等的充要條件是兩個向量的坐標相等. 即: 那么 三、平面向量的基本定理如果 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 使1、平面向量數量積的定義：2、數量積的幾何意義：OABB1(四) 數量積4、運算律:3、數量積的坐標運算5、數量積的主要性質及其坐標表示：OBA綜上所述：原命題成立CNDBMOA解: CNDBMOA例3、 已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=

5、(7,-4)，用a、b表示c。解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2bO A B P另解:可以試著將 說明：(1) 本題是個重要題型：設O為平面上任一點，則：A、P、B三點共線 或令 = 1 t， = t，則 A、P、B三點共線 (其中 + = 1) (2) 當t = 時， 常稱為OAB的中線公式(向量式)例5.設AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，求證：A、B、D 三點共線。 分析要證A、B、D三點共線，可證AB=BD關鍵是找到解：BD=BC+CD= 2a +

6、8b+ 3(a b)=a+5bAB=2 BD A、B、D 三點共線AB BD且AB與BD有公共點B例6.設非零向量 不共線， 若 試求 k. 解： 由向量共線的充要條件得： 即 又 不共線 由平面向量的基本定理 解：設頂點D的坐標為（x，y） 例8 已知 ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（2，1）、（ 1，3）、（3，4），求頂點D的坐標例9. 已知A(2，1)，B(1，3)，求線段AB中點M和三等分點坐標P，Q的坐標 .解：(1) 求中點M的坐標，由中點公式可知 M( ，2)(2) 因為 =(1，3)(2，1) =(3，2)例10.設A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10)

7、滿足(1) 為何值時,點P在直線y=x上?(2)設點P在第三象限, 求的范圍.解: (1) 設P(x, y)，則 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以x=5+5，y=7+4. 解得 =(2) 由已知5+50,7+40 ,所以1. 例11（1）已知 =（4，3），向量 是垂直于 的單位向量，求 .例13、已知ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：ABAC；（2）求點D和向量AD的坐標；（3）求證：AD2=BDDC解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+

8、(-6)(-1)=0 ABAC（2）D(x,y) AD=(x-2,y-4) BC=(5,5) BD=(x+1,y+2) ADBC ADBC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又B、D、C共線 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x= D( , ) x-y-1=0 y= AD=( ,- )（3）AD=( ,- ) BD=( , ) DC=( , ) |AD| = + = BDDC= + = AD =BDDC22例13、已知ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：ABAC；（2）求點D和向量AD的坐標；（3）求證：AD2=BDDC例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b上的投影為（ ） A. B. C. D. 解析 設a和b的夾角為，|a|cos= C解：解： 同理可得 =120解答案 CABCABCP解析【例23】已知向量a=(cos x,sin x), b=(cos ,-sin )，且x . (1)求ab及|a+b|; (2)若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.解 0|a+b|=2cos x.(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1=2(cos x- )2- .x ， cos x1