函數(shù)、不等式恒成立問題解題策略

1、PAGE PAGE 6函數(shù)、不等式恒成立問題解題策略教學(xué)目標(biāo):通過對(duì)不同問題的解題探討歸納該類問題的一般解法培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和靈活應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力重難點(diǎn):分析解決問題的能力,數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用教學(xué)方法:指導(dǎo)練習(xí)法教學(xué)過程:復(fù)習(xí)回顧引例：（9月月考）23、已知二次函數(shù)滿足且（1）求的解析式；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值。 （3）當(dāng)時(shí)，不等式：恒成立，求的范圍。二、歸納：（恒成立問題的基本類型）類型1：設(shè)，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設(shè)（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：。類型4： 三、例題講評(píng)例1：若不等式對(duì)滿足的所

2、有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化為：，；令，則時(shí)，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是。例2：若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m，所以要討論m-1是否是0。（1）當(dāng)m-1=0時(shí)，元不等式化為20恒成立，滿足題意；（2）時(shí)，只需，所以，。變式：若不等式在上恒成立，求m的范圍。若不等式在上恒成立，求m的范圍。若不等式在上恒成立，求x的范圍。例3：已知，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=-1和x=1處相交，則由得到a分別

3、等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對(duì)應(yīng)的圖象在在區(qū)間對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，而才可以，所以。四：小結(jié)對(duì)不同的問題的采取的方法是不一樣的，要根據(jù)具體的情境靈活選擇。但一定要借助圖像去分析才能選擇好恰當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ忸}。在分類討論時(shí)要注意分類的完整性和合理性，在等號(hào)成立的情況下一定要仔細(xì)思考。五：同步練習(xí)1、設(shè)其中，如果時(shí)，恒有意義，求的取值范圍。分析：如果時(shí)，恒有意義，則可轉(zhuǎn)化為恒成立，即參數(shù)分離后，恒成立，接下來可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：如果時(shí)，恒有意義，對(duì)恒成立.恒成立。令，又則對(duì)恒成立，又在上為減函數(shù)，。2、設(shè)函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，如

4、果不等式對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：本題可利用函數(shù)的單調(diào)性把原不等式問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意恒成立，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值求解。解：是增函數(shù)對(duì)于任意恒成立對(duì)于任意恒成立對(duì)于任意恒成立，令，所以原問題，又即 易求得。設(shè)f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x-1,+)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。分析：在f(x)a不等式中，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則原問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間恒成立問題。解：設(shè)F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.)當(dāng)=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0時(shí)，即-2a1時(shí)，對(duì)一切x-1,+)，F(xiàn)(x) 0恒成立；）當(dāng)=4（a-1)(a+2)

5、0時(shí)由圖可得以下充要條件：-1oxy即得-3a-2;綜上所述：a的取值范圍為-3，1。4、當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x-1)2logax恒成立，求a的取值范圍。分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，右邊為對(duì)數(shù)函數(shù)，故可以采用數(shù)形結(jié)合借助圖象位置關(guān)系通過特指求解a的取值范圍。xyo12y1=(x-1)2y2=logax解：設(shè)T1:=,T2:,則T1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x(1,2), 1,并且必須也只需故loga21,a1,10,若將等號(hào)兩邊分別構(gòu)造函數(shù)即二次函數(shù)y= x2+20 x與一次函數(shù)y=8x-6a-3，則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可

6、。xyl1l2l-20o解：令T1：y1= x2+20 x=（x+10）2-100, T2：y2=8x-6a-3,則如圖所示，T1的圖象為一拋物線，T2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使T1和T2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和l2之間。（包括l1但不包括l2)當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過點(diǎn)（-20，0）此時(shí)縱截距為-6a-3=160,a=;當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過點(diǎn)（0，0），縱截距為-6a-3=0，a=a的范圍為，）。6、對(duì)于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+12p+x恒成立的x的取值范圍。分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)變量：x、P,并且是給出了p的范圍要求x的相應(yīng)

7、范圍，直接從x的不等式正面出發(fā)直接求解較難，若逆向思維把 p看作自變量，x看成參變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在-2，2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)函數(shù)值大于0恒成立求參變量x的范圍的問題。解：原不等式可化為 (x-1)p+x2-2x+10,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,則原問題等價(jià)于f(p)0在p-2,2上恒成立，故有：oy2-2xy-22 x方法一：或x3.方法二：即解得： x3.7.若不等式在x1，2時(shí)恒成立，試求a的取值范圍。解：由題設(shè)知，得a0，可知a+x1，所以。原不等式變形為。，即。又，可得恒成立。設(shè)，在x1，2上為減函數(shù)，可得，知。綜上知。關(guān)鍵點(diǎn)撥：將參數(shù)a從不等式中分離出來是解決問題的關(guān)鍵。8.已知是定義在1，1上的奇函數(shù)且，若a、b1，1，a+b0，有。（1）判斷函數(shù)在1，1上是增函數(shù)還是減函數(shù)。（2）解不等式。（3）若對(duì)所有、a1，1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：（1）設(shè)，則，可知，所以在1，1上是增函數(shù)。（2）由在1，1上是增函數(shù)知解得，故不等式的解集（3）因?yàn)樵?，1上是增函數(shù)，所以，即1是的最大值。依題意有，對(duì)a1，1恒成立，即恒成立。令，它的圖象是一條線段，那么。關(guān)鍵點(diǎn)撥：對(duì)于（1），抽象函數(shù)單調(diào)性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號(hào)。對(duì)于（2