十隱函數(shù)求導(dǎo)法則

1、（十）隱函數(shù)求導(dǎo)法則由方程Fx,y0所確定的y是x的函數(shù)稱為隱函數(shù)。從方程Fx,y0中有時可解出y是x的顯函數(shù)，如從方程3x5y10可解出顯函數(shù)y|x、；有時，從方程Fx,y0中可以解出不止一個顯函數(shù)，如從方程x2y2R20R0中可以解出yJR2x2。它包含兩個顯函數(shù)，其中yVRF代表上半圓周，y可評"7代表下半圓周。但也有時隱函數(shù)并不能表示為顯函數(shù)的形式，如方程yxsiny001就不能解出來yf（x）的形式。現(xiàn)在討論當y是由方程Fx,y0所確定的x的函數(shù)，并且y對x可導(dǎo)（即yx存在），那么在不解出y的情況下，如何求導(dǎo)數(shù)y呢？其辦法是在方程Fx,y0中，把y看成x的函數(shù)yyx,于是方

2、程可看成關(guān)于x的恒等式:Fx,yx0.在等式兩端同時對x求導(dǎo)（左端要用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），然后解出y即可。例2.14求方程x2y2R2R0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y.解當我們對方程x2y2R2的兩端同時對x求導(dǎo)時，則應(yīng)有（yyx是中間變量）2x2yy0.解出xy一y0.y思考題證明：圓x2y2R2R0在其上一點M0x0,y0處的切線方程為x°xy°yR2.問：法線方程是什么？解將曲線方程兩邊對例2.15求曲線xylny1在點1,1處的切線方程。x求導(dǎo)，得（xy）'x（lny）,x0，即2于是y前.過點邛處的切線斜率2yxy1故所求切線方程為y11x1,即x2y30.

3、2例2.16已知xysiny20,求y0,1.解方程兩邊對x求導(dǎo)，得(xy)'xsin(y2)'x0,即yxycosy22yy0.2、，x2ycos(y)y0,112cos例2.17證明雙曲線xya2上任意一點的切線與兩坐標軸形成的三角形的面積等于常數(shù)2a2.證在雙曲線xya2上任取一點x°,y°,過此點的切線斜率為ky|Xx0、|x0,y0也故切線方程為xx。yy°也(xx°).此切線在y軸與x軸上的截距分別為x012y0,2x0,故此二角形面積為212yo2%|2x°y02a2.例2.18設(shè)sinxylnx_11,求dy.y

4、dxx0解兩邊對X求導(dǎo)，有cosxyxyyX10x1ycosxyyxyycosxyxycosxy當x0時，由sinxyIn土1可解出In-1,即yyIny1,ya而當x0,ye時，由*可解出e1-y-0.e（十一）取對數(shù)求導(dǎo)法（是要點）先看幾個例題例2.19設(shè)yaxa0,a1,此為指數(shù)函數(shù)。兩邊取對數(shù)得Inylnax,即Inyxlna,這是隱函數(shù)形式，按隱函數(shù)求導(dǎo)法：將此式兩邊對x求導(dǎo)，得InyxxIna,即InyyyxIna.1yIna,yyyInaaxIna.即指數(shù)函數(shù)yax的導(dǎo)數(shù)為1axaxIna|（1）特別當ae時，則有Ine1exex由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，利用公式（1）容易求出yax的導(dǎo)

5、數(shù):xxxxyaaxxaIna1aIna.222.Waxbxcaxbxc2axbxc(e)eaxbxce2axb.若求由方程eyxy所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，只須兩邊對x求導(dǎo)，得eyyyxy,（注：另一種解法eyxy,從中容易解出py，x一.此為ydxdyyx的反函數(shù)。而dyydyeeydydydydx_1v2dxyeyeyxyy2q即包yy.yexyexdx*)ex例2.20求哥函數(shù)y（x0,a為任意實數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。nN,已有(xn)nxn1.現(xiàn)在aR在yxa兩邊取對數(shù)，則有l(wèi)nylnxa,即Inyalnx.兩邊對x求導(dǎo)數(shù)（V做中間變量），有,1，Inyxalnx,yaInxaa11.即xaxa

6、Rayxya-aaxxx例2.19，例2.20說明:對指數(shù)函數(shù)，募函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，哥指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，都可以利用“取對數(shù)求導(dǎo)法”。但注意，要盡量利用已有公式，如求，1x2,不必再去令yVTV,然后兩邊取對數(shù)。而可直接求1.1x21x2211x2；x22112xy2.1xy,1x2例2.21求哥指函數(shù)yxx的導(dǎo)數(shù)y.解法利用兩邊取對數(shù)方法：lnylnxx,即InyxInx.再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(這里中間變量是y)：lnx1.-yInxxInxyyy1Inxxx1Inx解法二由yxx,可變形yelnxxex1nx.xlnxxlnxxlnxyeexlnxelnxxlnxXxlnxlnxx,elnxxe1l

7、nxx1lnx.x解法一是對哥指函數(shù)兩邊取對數(shù)；解法二是利用fxelnfx.(當fx0)。兩種技法都要掌握。例2.22求哥指函數(shù)yf(x)(x)的導(dǎo)數(shù)。解兩邊取對數(shù)lny(x)lnf(x),兩邊對x求導(dǎo)，有1 1-y(x)lnf(x)(x)f(x),角牛出yf(x)-f(x)yy(x)lnf(x)(x)-f(x)f(x)(x)(x)lnf(x)(x)f(x)f(x)例2.20,例2.21,例2.22告訴我們,對于指數(shù)函數(shù)，例函數(shù)，哥指函數(shù)都可采用先取對數(shù)，再求導(dǎo)，最后解出y的方法一一即“取對數(shù)求導(dǎo)法”。不僅如此，“取對數(shù)求導(dǎo)法”也常用來求那些含乘，除，乘方，開方因子較多的函數(shù)的求導(dǎo)。這是因為對

8、數(shù)能變，為+,一,把乘方變乘法。例2.23求V(x21)(2x).1解法一3(x1)(2-x)=(x21)(2x)3="(x2321)(2x)3(x21)(2x)1133(x21)2(2x)22x(2x)(x21)(1)_222.4x2xx1_13x4x13(x21)2(2x)233(x21)2(2x)21解法二令y(x21)(2x)/，兩邊取對數(shù)Iny1ln(x21)ln(2x),兩邊對x求導(dǎo)數(shù),311r2x1i13x24x1yT-2-2-所以y3x12x3(x1)(2x)13x24x13x24x13(x21)(2x)33(x21)(2x)2,與解法一的方法不同，但結(jié)果一樣。細心的

9、同學(xué)可能會對解法二提出質(zhì)疑：1在表達式y(tǒng)(x21)(2x)3中，并未說明有x210,(2x)0,y0,那么，怎么可以對它們?nèi)?shù)呢？嚴格說來，應(yīng)該分情況：當x210或2x0時，由導(dǎo)數(shù)定義可以知道1y(x21)(2x)3的導(dǎo)數(shù)在x1,x2處不存在。當x210且2x0時，y0,此時可先在表達式1y(x21)(2x)3兩邊取絕對值，得|y3-x21|2x.因為x210,2x0,y0,所以可在上式兩邊取對數(shù)：1cIny1lnx21ln2x（*）再對兩邊對x求導(dǎo)數(shù)（但我們記得（inx）x與（lnx）x-xx是相同的，即對（*）關(guān)于RcostyRsint't0,2求導(dǎo)的結(jié)果應(yīng)該與不帶絕對值的式子i

10、ny1ln（x21）ln（2x）兩邊對x求導(dǎo)的結(jié)果完3全一樣。因此，今后做題取對數(shù)時，可不用取絕對值，而直接取對數(shù)就可以了。參數(shù)方程求導(dǎo)法:（十二）由參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導(dǎo)公式。平面曲線般可用方程F（x,y）0或yf（x）表示。但有時動點坐標x,y之間的關(guān)系不是這樣直接給出，而是通過另一個變量t周可用方程組表示。一般來說,圖3.4間接給出的，例如，圓心在原點（0,0）,半徑為R的圓如果平面曲線L上的動點坐標x,y可表為如下形式*)則稱此方程組（*）為曲線L的參數(shù)方程，t稱為參數(shù)。在,上取一點t的值，則對應(yīng)曲線L上一點（x,y）.當t取遍,上的所有值時，對應(yīng)的點（x,y）便組成曲線L.當函數(shù)

11、yf（x）由參數(shù)方程（*）給出時，怎樣求導(dǎo)數(shù)y?(t),(t)都存在，(t)0,且函數(shù)x(t)存在反函1(x),則y通過t成為x的復(fù)合函數(shù)(t)1(x).再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知yxyttx.又由反函數(shù)求導(dǎo)法可知dtdx11dx飛？dt所以dydydtdxdtdx(t)就相當于dxdydtdxdt(t)例2.24求橢圓acostbsint一處的切線方程。4acos隼,4.2bybsin.42于是橢圓上的切點是Mo.橢圓在切點Mo處的切線斜率為dydxdydt.dxdt(bsint)t(acost)tbcostasint2b-2b2aa-2利用點斜式可寫出切線方程a(xa2)即ybx工.或?qū)憺閥b

12、x-2b.a作業(yè)：p.1147,8(4,10),9(3,5,6,7,9).導(dǎo)數(shù)計算法則小結(jié)(1)四則運算法則設(shè)u(x),v(x)存在，則(uv)uv(uv)uvuv(cu)cu(cconst)vuuv0)(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)yy(u),uu(x),則yYuu*.(3)隱函數(shù)求導(dǎo)法則(4)取對數(shù)求導(dǎo)法則。若yf(x),可令I(lǐng)nyInf(x),或yf(x)elnf(x).(5)反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)yf(x)存在可導(dǎo)的反函數(shù)x(y),且f(x)0,則(y)或xy-.f(x)yyx(6)在分段點要用定義求導(dǎo)數(shù)(7)參數(shù)方程所表示的函數(shù)的求導(dǎo)法設(shè)'>，其中x(t),y(t)可導(dǎo)，且x(t)

13、0,則“義”yy(t)dxx(t)要熟記的常用公式1. (x)x1,R.112. (logax)logae,(Inx)(Inx).xx3. (ax)axina.4.(ex)ex.5. (sinx)cosx,(cosx)sinx.(tanx)22secx.(cotx)cosx1.2sinxcscx.(secx)secxtanx.(cscx)cscxcotx.16. (arcsinx),(1x1)1x21(arccosx),(1x1),1x2(arctanx)(arccotx)7. yyuu(x).8. f(x2),f(x2)的不同的意義9. sinsin2cossin22sinsin2sinco

14、s22coscos2coscos22coscos2sinsin22求導(dǎo)的典型習(xí)題習(xí)題1ylncos(103x2),求y.1c解y1-cos(103x2)=cos(103x)_2sin(103?(103x2)cos(103x)tan(103x2)6x6xtan(103x2).習(xí)題2y32x333xx,求y.解y(3x)(x3)(33)(xx)xx3xln33x2(e1nx)3xln33x2elnx(xlnx)=3xln33x2xx(1lnx).習(xí)題3ln.x2y2arctan，求y.xln(x21)2x解(利用隱函數(shù)求導(dǎo)法)，兩邊對x求導(dǎo),y、(arctan)xg1n(x2y2)x(-)xx12

15、2ln(xy2)x2x22xyxyy習(xí)題12(x2y2)1(2x2y2(x2已知y2、xyyy)x-22xyxyy.解出2ef(x),且f(a)2f(a),求證y(a)y(a).ef2(x)f2(x)2f2(x)e0f(x)e2f(x)f(x),y(a)ef2(a)2f(a)f(a)ef22f(a)ef2.而2f(a)y(a)ef2,故有y(a)y(a).*習(xí)題5設(shè)f(x)2cn1xsin一xa0,求f(x).0解當x0時，(用公式求)_.1211_11f(x)2xsinxcos(-)2xsincos.xxxxx注意：為求f(0),不能f(0)llmf(x)11m2xsln1cossln2(x

16、21).=x0x0xx當x0時，如果a0,則llmf(x)llmxe2sin(x1)cos(x1)(xsin10a,因此x0x0xf(x)在x0處不連續(xù)，故f(x)在x0處不可導(dǎo)，f(x)即f(0)不存在。如果a0,f(x)在x0處連續(xù)，此時須用導(dǎo)數(shù)定義求分段點x0處的導(dǎo)數(shù)：f(0(0)lim。,x0(x)2sinx)f(0)x0llmf(x)f(0)x0x.1climxsin0.x0x當a0時f(0)=0.故結(jié)論是:c.11當a0時，f(x)2xsin；8sx不存在_.1a0日寸，f(x)2xsln-cos-x0.習(xí)題622“、求yes1n(x1)的導(dǎo)數(shù)y.sln2(x21)esln2(x2

17、1)1)222xesin(x1)sln2(x21).2,2esin(x)2sln(x1)sln(x1)_1_fi(x)x,f2(x)-.求F(x),x0,2.x解F(x)實際上是一個分段函數(shù)：x0x1F(x)21x2.x所以，當0x1時，F(xiàn)(x)(x)1.當1x2時，F(xiàn)(x)(一)五；xx當x1時,FlimF(1x)Fx0xF(1x)FF(1)limL-x0xlim(1x)1x0xlimx01.limtJ)Hmx0x(1x)*習(xí)題8設(shè)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,證明必有一點a,b,使得f()0.(想曲線圖)證(證明的關(guān)鍵是如何利用條件f(a)f(b)

18、0)不妨設(shè)f(a)0,f(b)0,由已知條件可得f(x)f(a)f(x)lim-limf(a)0.axaxaxa由于極限大于0,所以10,使當0xa1時，有20.xaxa0,.有f(x)0,故存在x1(a,a1),使得0x(1x)F(1)F(1),F不存在。f(Xi)0.同樣，由limf(x)f(b)limf(b)0.由于極限大于xbxbxbxb0,所以20,使當0bx2時，有上0.二xbxb0,.有f(x)0,故存在x2(b2,b),使fM)0.在xi,x2上f(x)連續(xù)，且f(xi)0,f(x2)0異號，由連續(xù)函數(shù)的零點存在定理可知(xi，x2)(a,b),使f()0.習(xí)題9設(shè)f(x)在xa處可導(dǎo)，試證limxaxf(a)af(x)faf(a).證:f(a)limxaxxf(a)af(x)limlimXaxaxlimaf(x)fxaxaxaf(x)f(a).則aaf(a)af(x)xf(a)af(a)f(a)xaxa)xaaf(a)f(a)f(a)af(a).習(xí)題10參數(shù)方程1x一t3y系2tt31表示平面上的一條曲線，求在2tt1處，曲線的切線與法線方程。解當t1時，曲線上對應(yīng)的點為(x°,y。)(2,