高中必修一函數(shù)的奇偶性詳細(xì)講解及練習(xí)(詳細(xì)答案)

1、函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性例1(1)畫(huà)出函數(shù)y=-xf(x)=(x-1)1.解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽.因?yàn)閒(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x).所以f(x)為奇函數(shù).(2)f(x)的定義域?yàn)閤|-1WV1，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).所以f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).評(píng)析用定義判斷函數(shù)的奇偶性的步驟與方法如下：(1)求函數(shù)的定義域，并考查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).+2Ix|+3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)圖像如下圖所示，當(dāng)x>0時(shí)，y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;當(dāng)xV0時(shí)，y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在(4,-1和0,1上

2、，函數(shù)是增函數(shù)：在-1,0和1,+上，函數(shù)是減函數(shù).評(píng)析函數(shù)單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，對(duì)于單獨(dú)一個(gè)點(diǎn)沒(méi)有增減變化，所以對(duì)于區(qū)間端點(diǎn)只要函數(shù)有意義，都可以帶上.(2)已知函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(亠,4上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析要充分運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性是以對(duì)稱(chēng)軸為界線這一特征.解：f(x)=x2+2(a-1)x+2=x+(a-1)2-(a-1)2+2，此二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=1-a.因?yàn)樵趨^(qū)間(-a,1-a上f(x)是單調(diào)遞減的，若使f(x)在(4,4上單調(diào)遞減，對(duì)稱(chēng)軸x=1-a必須在x=4的右側(cè)或與其重合，即1-a>4a<3.評(píng)析這是涉及逆向思維的問(wèn)題，

3、即已知函數(shù)的單調(diào)性，求字母參數(shù)范圍，要注意利用數(shù)形結(jié)合.例2判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=-(2)計(jì)算f(-x)，并與f(x)比較，判斷f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)之一是否成立.f(-x)與-f(x)的關(guān)系并不明確時(shí)，可考查f(-x)±(x)=0是否成立，從而判斷函數(shù)的奇偶性.例3已知函數(shù)f(x)=1+.(1) 判斷f(x)的奇偶性.(2) 確定f(x)在(-a,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？在區(qū)間(0,+8)上呢？證明你的結(jié)論.解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,又1f(-x)=j亠-J=j：.=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).(2)f(乂)在(-8,0)上是增函數(shù)，

4、由于f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在(0,+8)上為減函數(shù).其證明：取XiVX2V0,£_彳(心-珂)(乃+可)f(xi)-f(X2)=J-j=I=rh.因?yàn)閤1vX2v0,所以X2-X1>0,X什X2<0,22x1+1>0,x2+1>0,得f(X1)-f(X2)V0,即f(X1)Vf(X2).所以f(X)在(-8,0)上為增函數(shù).評(píng)析奇函數(shù)在(a,b)上的單調(diào)性與在(-b,-a)上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在(a,b)與(-b,-a)的單調(diào)性相反.1例4已知y=f(x)是奇函數(shù)，它在(0,+8)上是增函數(shù)，且f(x)v0，試問(wèn)F(x)=在(-8,0)上是增函數(shù)還是

5、減函數(shù)？證明你的結(jié)論.1分析根據(jù)函數(shù)的增減性的定義，可以任取X1VX2<0，進(jìn)而判定F(X1)-F(X2)=：'-的正負(fù)為此，需分別判定f(X1)、f(X2)與f(X2)的正負(fù)，而這可以從已條件中推出.解：任取X1、X2(-8,0)且X1<X2，則有-X1>-X2>0.Ty=f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，且f(X)<0,二f(-x2)<f(-x1)<0.又f(x)是奇函數(shù)，f(-X2)=-f(X2),f(-Xi)=-f(Xi)由、得f(X2)>f(Xi)>0于是F(xi)-F(X2)=*'一>0，即F(Xi)>

6、;F(X2),1所以F(x)=在(-m,0)上是減函數(shù).評(píng)析本題最容易發(fā)生的錯(cuò)誤，是受已知條件的影響，一開(kāi)始就在(0,+8)內(nèi)任取Xi<X2，展開(kāi)證明.這樣就不能保證-Xi,-X2,在(-8,0)內(nèi)的任意性而導(dǎo)致錯(cuò)誤.避免錯(cuò)誤的方法是：要明確證明的目標(biāo)，有針對(duì)性地展開(kāi)證明活動(dòng).ax例5討論函數(shù)f(x)=1-/(a0在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的單調(diào)性.分析根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義求解.解：設(shè)-1<x1<x2<1,貝Uf(Xi)-f(X2)=一'1-_以帀X?)(l+可巧)=''-'l'lTx1,x2(-1,1),且x1<x2,-X1-X

7、2<0,1+X1X2>0,(1-x21)(1-x22)>0于是，當(dāng)a>0時(shí)，f(X1)<f(X2);當(dāng)a<0時(shí)，f(X1)>f(X2).故當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在(-1,1)上是增函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在(-1,1)上為減函數(shù).評(píng)析根據(jù)定義討論(或證明)函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：(1)設(shè)x1、X2是給定區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)值，且X1<X2；(2) 作差f(X1)-f(X2)，并將此差式變形；(3) 判斷f(X1)-f(X2)的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性.例6求證：f(x)=x+.(k>0)在區(qū)間(0,k上單調(diào)遞減.解：設(shè)0<X1<

8、;X2<k貝Uf(X1)-f(X2)=X<|+-X2-0Vx1<X2wk2二Xi-X2<0,0<XiX2<k,f(x1)-f(x2)>0f(X1)>f(X2),f(x)=x+一中(0,k上是減函數(shù).評(píng)析函數(shù)f(X)在給定區(qū)間上的單調(diào)性反映了函數(shù)f(X)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì)，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì).因此，若要證明f(X)在a,b上是增函數(shù)(減函數(shù))，就必須證明對(duì)于區(qū)間a,b上任意兩點(diǎn)X1,X2,當(dāng)X1<X2時(shí)，都有不等式f(X1)<f(X2)(f(X1)>f(X2)類(lèi)似可以證明:函數(shù)f(X)=X+二(k>0)在區(qū)間k,

9、+8上是增函數(shù).例7判斷函數(shù)f(x)=工-'二的奇偶性.分析確定函數(shù)的定義域后可脫去絕對(duì)值符號(hào).)201-2|+x0解：由II1得函數(shù)的定義域?yàn)?1,1.這時(shí)，丨X-2|=2-X. f(X)=-, f(-X)=-=-=f(X)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù).且注意到f(X)不恒為零，從而可知，f(X)評(píng)析由于函數(shù)解析式中的絕對(duì)值使得所給函數(shù)不像具有奇偶性，若不作深入思考，便會(huì)作出其非奇非偶的判斷.但隱含條件(定義域)被揭示之后，函數(shù)的奇偶性就非常明顯了.這樣看來(lái)，解題中先確定函數(shù)的定義域不僅可以避免錯(cuò)誤，而且有時(shí)還可以避開(kāi)討論，簡(jiǎn)化解題過(guò)程.函數(shù)奇偶性練習(xí)、選擇題1.已知函數(shù)f(x)=ax2+b

10、x+c(a0)是偶函數(shù)，那么g(x)=ax3+bx2+ex()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ax+bx+3a+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閍1,2a，則(A.a,b=03B. a=1,b=oC. a=1,b=0D. a=3,b=0已知f(x)是定.A.y=x(x2)B.y=x(|x|1)C.y=1x|(x2)D.y=x(|x|2)已知f(x)=x5+ax3+bx8,且f(2)=10,那么f(2)等于(A.26B.18C.10D.10函數(shù)f(x)aYx：x二1是(Jx2A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)若:(x),g(x)都是奇函數(shù),

11、f(xbg(x)2在(0,+m)上有最大值5,則f(x)在(a,0)上有(A.最小值5B.最大值5C.最小值1D.最大值32義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2x,則f(x)在R上的表達(dá)式是()二、填空題函數(shù)f(x)二X22-的奇偶性為,1-x2(填奇函數(shù)或偶函數(shù))2若y=(m1)x+2mx+3是偶函數(shù)，則m=1已知f(x)是偶函數(shù)，g(X)是奇函數(shù)，若f(x)g(x):X一1則f(x)的解析式為10已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，貝y方程f(x)=0的所有實(shí)根之和為三、解答題11.設(shè)定義在2,2上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上單調(diào)遞減，若f(1n)vf(m)

12、,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.12.已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+y)+f(xy)=2f(x)f(y)(xR,yR),且f(0)工0,試證f(x)是偶函數(shù).13.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x3+2x21，求f(x)在R上的表達(dá)式.f(x)在5,+s)上單調(diào)遞減,Xi、X2滿(mǎn)足f(xiX2)=f(xi)+f(X2),14.f(x)是定義在(s,5:5,+)上的奇函數(shù)，且試判斷f(x)在(s,5上的單調(diào)性，并用定義給予證明.15.設(shè)函數(shù)y=f(x)(R且x豐0)對(duì)任意非零實(shí)數(shù)求證f(x)是偶函數(shù).函數(shù)的奇偶性練習(xí)參考答案1.解析：f(x)=ax2+bx+c為偶函數(shù)，：(x)二x

13、為奇函數(shù)，g(x)=ax3+bx2+cx=f(x):(x)滿(mǎn)足奇函數(shù)的條件.答案：A2.解析：由f(x)=ax2+bx+3a+b為偶函數(shù)，得b=0.1又定乂域?yàn)閍1,2a,a1=2a,a=.故選A.33.解析：由x>0時(shí)，f(x)=x22x,f(x)為奇函數(shù)，22當(dāng)XV0時(shí)，f(x)=f(x)=(x+2x)=x2x=x(x2).f(x)”2)(XO)，即f(x)=x(|x|-2)(X0),答案：D4.解析：f(x)+8=x5+ax3+bx為奇函數(shù)，f(-2)+8=18,.f(2)+8=-18,.f(2)=-26.答案：A5解析：此題直接證明較煩，可用等價(jià)形式f(x)+f(x)=0.答案：

14、B6. 解析：(x)、g(x)為奇函數(shù)，f(x)-2二a(x)bg(x)為奇函數(shù).又f(x)在(0,+s)上有最大值5,f(x)2有最大值3.f(x)2在(a,0)上有最小值3,f(x)在(a,0)上有最小值1.答案:C7. 答案：奇函數(shù)8. 答案：0解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=(m1)x2+2mx3為偶函數(shù)，22f(x)=f(x),即(m1)(x)+2m(x)+3=(m-1)x+2m好3，整理，得m=0.9. 解析：由f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，可得1丄1立f(x)g(x)=X-1F八_八聯(lián)1人)5入丿“，_xT1111f(X):(.-)22x-1_X-1X-1答案：f(X)二1210.答案：

15、011.答案:1m-x-1212. 證明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f(0)f(0),又f(0)工0,二可證f(0)=1.令x=0,-f(y)+f(y)=2f(0)f(y)二f(y)=f(y),故f(x)為偶函數(shù).13. 解析：本題主要是培養(yǎng)學(xué)生理解概念的能力.f(x)=x3+2x21.因f(x)為奇函數(shù)，f(0)=0.當(dāng)XV0時(shí)，一x>0,f(x)=(x)3+2(x)21=x3+2x21,f(x)=x32x2+1.'x3+2x2-1(x>0),因此，f(x)=20(x=0),X3一2x21(x：0).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)奇函數(shù)概念的理解及應(yīng)用能力.14. 解析：任取X1<X2W5，則一X1>X2一5.因f(X)在5,+a上單調(diào)遞減，所以f(X1)Vf(X2)=f(X1)Vf(X2)=f(X1)>f(X2),即單調(diào)減函數(shù).點(diǎn)評(píng)：此題