專題強(qiáng)化練６ 橢圓的綜合問題 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版 選擇性必修第一冊(cè)第二章（含答案）

1、專題強(qiáng)化練6橢圓的綜合問題一、選擇題1.(吉林長(zhǎng)春高二質(zhì)量檢測(cè),)已知橢圓x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2且垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),則ABF1內(nèi)切圓的半徑為()A.43B.1C.45D.342.(山東煙臺(tái)高三診斷考試,)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在橢圓x249+y240=1上,若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)M滿足|AM|=1,PM·AM=0,則|PM|的最小值是()A.4B.15C.15D.163.(廣東肇慶高二月考,)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,P是橢圓上異于A,B的一點(diǎn),若直線PA的斜率kPA與直線PB的斜

2、率kPB的乘積等于-14,則橢圓C的離心率為()A.14B.12C.34D.324.(四川綿陽中學(xué)高二月考,)已知點(diǎn)P在離心率為12的橢圓E:x2a2+y2b2=1上,F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),M是以PF為直徑的圓C1上的動(dòng)點(diǎn),N是半徑為2的圓C2上的動(dòng)點(diǎn),圓C1與圓C2相離且圓心距|C1C2|=92,若|MN|的最小值為1,則橢圓E的焦距的取值范圍是()A.1,3B.2,4C.2,6D.3,65.(山東青島高二月考,)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過點(diǎn)F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且|PF1|PQ|QF1|=234,則橢圓的離心率為()A.1

3、77B.1717C.519D.1766.(四川成都七中高二期中,)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1且垂直于x軸的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),直線AF2與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)是C,且|AF2|=2|F2C|,若ABF2的周長(zhǎng)為45,則橢圓的方程為()A.x25+y2=1B.x220+y216=1C.x25+y24=1D.x220+y212=17.(多選)(河北名校聯(lián)盟高二診斷考試,)已知F1,F2分別是橢圓C:x2m+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),若橢圓上存在使PF1F2的面積為3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4,則實(shí)數(shù)m的值可以是()A.2B.3C.92D.5二

4、、填空題8.(湖南六校高二聯(lián)考,)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)離心率的最小值為23,其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若P是橢圓上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn),則|PF1|PF2|=. 三、解答題9.(重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)高二月考,)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為M(-2,0),離心率為22.(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)N(1,0)的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),當(dāng)MA·MB取得最大值時(shí),求MAB的面積.答案全解全析一、選擇題1.D解法一:不妨設(shè)A點(diǎn)在B點(diǎn)上方,由題意知F2(1,0),將F2的橫坐標(biāo)代入方程x24+y2

5、3=1中,可得A點(diǎn)縱坐標(biāo)為32,故|AB|=3,所以內(nèi)切圓半徑r=2SC=68=34,其中S為ABF1的面積,C為ABF1的周長(zhǎng).解法二:由橢圓的通徑公式可得|AB|=2b2a=3,則ABF1的面積S=2×3×12=3,ABF1的周長(zhǎng)C=4a=8,則內(nèi)切圓的半徑r=2SC=68=34.2.B因?yàn)镻M·AM=0,所以PMAM,所以|PM|=|PA|2-|AM|2=|PA|2-1,易知A(3,0)為橢圓的右焦點(diǎn),所以a-c|PA|a+c,即4|PA|10,所以|PM|15,311,所以|PM|的最小值為15.3.D依題意可知A(-a,0),B(a,0).設(shè)P(x0,y

6、0),代入橢圓方程,得y02=-b2a2x02+b2,由kPA·kPB=-14得y0x0+a·y0x0-a=-14,即y02=-14x02+a24 ,由可得b2a2=14,所以橢圓C的離心率e=ca=1-ba2=1-14=32.4.C因?yàn)镸是以PF為直徑的圓C1上的動(dòng)點(diǎn),N是半徑為2的圓C2上的動(dòng)點(diǎn),圓C1與圓C2相離且圓心距|C1C2|=92,|MN|的最小值為1,所以|C1C2|=2+1+|PF|2=92,解得|PF|=3,又因?yàn)镻在橢圓E上,所以a-c|PF|a+c,因?yàn)闄E圓E的離心率為12,所以a=2c,所以c33c,故1c3,所以22c6.5.C設(shè)|PF1|=2,

7、則|PQ|=3,|QF1|=4,則|PF2|=2a-2,|QF2|=2a-4,所以(2a-2)+(2a-4)=3,解得a=94,所以|PF2|=52.在PF1Q中,由余弦定理,可得cosQPF1=22+32-422×2×3=-14.在PF1F2中,由余弦定理,可得|F1F2|=22+522-2×2×52×-14=512,則橢圓的離心率為51494=519.6.C過C點(diǎn)作x軸的垂線,垂足記為D,易知AF1F2CDF2,所以AF1CD=F1F2DF2=AF2CF2=2,不妨設(shè)A-c,b2a,則DF2=c,CD=b22a,于是C2c,-b22a.由于

8、C點(diǎn)在橢圓上,所以(2c)2a2+-b22a2b2=1,整理得4c2a2+b24a2=1,即5b24a2=1.又因?yàn)锳BF2的周長(zhǎng)為45,所以4a=45,得a2=5,所以b2=4,故橢圓的方程為x25+y24=1.7.AD當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),0<m<4,此時(shí)a=2,b=m,c=4-m,設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A(m,0),由于PF1F2面積的最大值為AF1F2的面積,所以12·24-m·m>3,解得1<m<3;當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),m>4,此時(shí)a=m,b=2,c=m-4,設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B,則B(0,2),由于PF1F2面積的最大值為BF1

9、F2的面積,所以12·2m-4·2>3,解得m>194.結(jié)合選項(xiàng)知實(shí)數(shù)m的值可以是2,5.二、填空題8.答案5解析依題意|PF1|>|PF2|,設(shè)|PF1|PF2|=(>1),則|PF1|=|PF2|.由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a,因此|PF2|=2a+1,又因?yàn)镕2是右焦點(diǎn),所以|PF2|a-c,因此2a+1a-c,整理,得e-1+1,于是有-1+1=23,故=5.三、解答題9.解析(1)由題意,可得a=2,ca=22,所以c=2,則b2=a2-c2=2.所以橢圓C的方程為x24+y22=1.(2)當(dāng)直線l與x軸重合時(shí),不妨取A(-2,0),B(2,0),此時(shí)MA·MB=0;當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí),設(shè)直線l的方程為x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立x=ty+1,x24+y22=1,整理,得(t2+2)y2+2ty-3=0,顯然>0,y1+y2=-2tt2+2,y1·y2=-3t2+2,所以MA·MB=(x1+2)(x2+2)+y1y2=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1