曲線積分與曲面積分復習課件

1、第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分習題課（三）習題課（三）對面積的曲面積分（第一型曲面積分）對面積的曲面積分（第一型曲面積分）一、對面積的曲面積分的定義一、對面積的曲面積分的定義 1定義定義: 2物理意義物理意義: 二、對面積的曲面積分的定義二、對面積的曲面積分的定義 1. 線性性質：線性性質： 2. 可加性：可加性： niiiiiSfdSzyxf10 ) , ,(lim) , ,( ) , ,(dSzyxM的曲面的曲面 的質量的質量。表示面密度為表示面密度為 ) , ,(zyx ), ,(), ,(dSzyxgzyxf dSzyxgdSzyxf), ,(), ,( 21 ),

2、 ,(dSzyxf 21), ,(), ,( dSzyxfdSzyxf dSS3. 的體積：的體積： 若若 在上，在上， ，則，則 ), ,(), ,(zyxgzyxf dSzyxgdSzyxf), ,(), ,( 三、對面積的曲面積分的計算方法三、對面積的曲面積分的計算方法 方法：方法：化為二重積分計算化為二重積分計算(1) 若若 ， 。 ) ,( :yxzz xyDyx ) ,( xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf 22 1) ,( , ,) , ,(4. 單調性：單調性：關鍵：關鍵：確定二重積分的積分變量確定二重積分的積分變量(2) 若若 ， 。 ) ,( :zyxx yzD

3、zy ) ,( yzDzydydzxxzyzyxfdSzyxf 22 1 , ),() , ,(3) 若若 ， 。 ) ,( :xzyy zxDxz ) ,( zxDxzdzdxyyzxzyxfdSzyxf 22 1 ),( ,) , ,(四、對面積的曲面積分的解題方法四、對面積的曲面積分的解題方法計算第一型曲面積分的基本方法是將其化成二重積分計算第一型曲面積分的基本方法是將其化成二重積分 計算。一般有三種方法，究竟利用哪種方法取決于計算。一般有三種方法，究竟利用哪種方法取決于 的方程的方程 0) , ,( zyxF中哪個變量能用其它另外兩個變量的顯示形式中哪個變量能用其它另外兩個變量的顯示形

4、式 表示，若表示，若 的方程既可化為的方程既可化為 ，又可化為，又可化為 ) ,(yxzz ) ,(zyxx ) ,(xzyy 或或 ，則我們可從三種方法中取優(yōu)。，則我們可從三種方法中取優(yōu)。 關于第一型曲面積分的解題方法流程圖如下框圖所示：關于第一型曲面積分的解題方法流程圖如下框圖所示： ( , , )If x y z dS :( , )xx y z221yzdSxx dxdz 求求yzD22 ( , ), , 1yzyzDIf x y z y zxx dxdz 方程的形式方程的形式 :( , )zz x y221xydSzz dxdy 求求xyD22 , , ( , ) 1xyxyDIf x

5、 y z x yzz dxdy :( , )yy z x 221xzdSyy dxdz 求求xzD22 , ( , ), ) 1xzxzDIf x y x z zyy dxdz 解題方法流程圖解題方法流程圖2物理應用物理應用質量質量 質心質心 ) , ,(dSzyxM ) , ,(1dSzyxxMx ) , ,(1dSzyxyMy ) , ,(1dSzyxzMz轉動慣量轉動慣量 dSzyxyxIz),()(22 dSzyxzxIy),()(22 dSzyxzyIx),()(22 五、對面積的曲面積分的應用五、對面積的曲面積分的應用1幾何應用幾何應用 求曲面的面積：求曲面的面積： dSS【例【例

6、1】計算曲面積分】計算曲面積分 ，其中，其中 為平面為平面 dSyxz)342( 1432 zyx在第一卦限中的部分。在第一卦限中的部分。分析因為分析因為 ： ，可恒等變形為，可恒等變形為 ： ， 1432 zyx yxz3424 故我們可采用框圖中線路故我們可采用框圖中線路2解題方法求解。又因被積函數解題方法求解。又因被積函數 yxz342 與與 形式相同，故可利用曲面方程來簡化被積形式相同，故可利用曲面方程來簡化被積 函數，即將函數，即將 代入，從而簡化計算。代入，從而簡化計算。 4342 yxz解：平面解：平面 方程的為方程的為 （見下圖），（見下圖）， )321(4yxz 在在 面上的

7、投影區(qū)域為：面上的投影區(qū)域為： xoy34, 2 yzxz面積元素面積元素 dxdydxdyyzxzdS361122 從而從而 xyDdxdydSyxz3614)342(61432213614 注：注： 本題亦可框圖中線路本題亦可框圖中線路1或線路或線路3的解題方法來求解。的解題方法來求解。xyD0, 0, 132 yxyx:xyzo234【例【例2】計算曲面積分】計算曲面積分 ，其中，其中 為錐面為錐面 ()xyyzzx dS 22zxy 被柱面被柱面 所截得的有限部分。所截得的有限部分。222xyax分析分析 由題可知由題可知 關于關于 面對稱面對稱,所以關于所以關于 的奇函數積分為零的奇

8、函數積分為零. xozy解：曲面解：曲面 方程為方程為 ， 22zxy xyD222,xyax :在在 面上的投影區(qū)域為：面上的投影區(qū)域為： xoy2222,zxzyxyxyxy 面積元素面積元素 2212zzdSdxdydxdyxy 從而從而 22()2xyDxyyzzx dSxxy dxdy 2 cos3420264 22cos15adrdra 【例【例3】計算曲面積分】計算曲面積分 ，其中，其中 為曲面為曲面 dSxyz | 22yxz )10( z。分析分析 注意到積分曲面注意到積分曲面 為旋轉拋物面為旋轉拋物面 ， 22yxz )10( z它關于它關于 面和面和 面對稱，且被積函數面

9、對稱，且被積函數 yozxoz|) , ,(xyzzyxf 關于變量關于變量 和和 均為偶函數，因此只要計算均為偶函數，因此只要計算 在第一在第一 xy dSxyz |卦限部分，再卦限部分，再4倍即可，即本題利用對稱性計算比較簡便。倍即可，即本題利用對稱性計算比較簡便。 解：設解：設 在第一卦限的部分為在第一卦限的部分為 ，則，則 在在 面上的投影面上的投影 1 1 xoy區(qū)域為：區(qū)域為：0 , 0 , 1 :22 yxyxDxy于是于是 14|xyzdSdSxyzdxdyyxyxxyxyD2222441)(4 1 0 222 0 41sincos4rdrrrrrd 1 0 252 0 41c

10、ossin4drrrd 5 1 2220241)41(sin2uduuu 5 1 222)1(321duuu42015125 （令（令 ） 241ru 【例【例4】 計算曲面積分計算曲面積分 ，其中，其中 為球面為球面 dSdczbyax2)( 2222Rzyx 。分析分析 由于積分曲面由于積分曲面 為球面為球面 ，它關于三個，它關于三個 2222Rzyx 坐標面具有輪換對稱性，所以坐標面具有輪換對稱性，所以 ，而，而 dSzdSydSx2220 zdSydSxdS，故本題利用輪換對稱性和奇偶對，故本題利用輪換對稱性和奇偶對 稱性計算比較簡單。稱性計算比較簡單。 解：因解：因 ， 222222

11、22)(dzcybxadczbyax由由奇偶對稱性可知，上述未寫出項的積分值均為奇偶對稱性可知，上述未寫出項的積分值均為0，而由，而由輪換對稱性易知輪換對稱性易知 ，故故 dSzdSydSx222 dSdczbyax2)( dSddSxcba22222)(222222224)(3dRdSzyxcba 2222224)(31dRdSRcba 2242224)(34dRRcba 注：從以上幾個例子可以看出，計算對面積的曲面積分應注意注：從以上幾個例子可以看出，計算對面積的曲面積分應注意掌握以下幾個要點：掌握以下幾個要點：（1）由于積分范圍）由于積分范圍 是曲面，所以點是曲面，所以點 的坐標滿足曲面

12、的坐標滿足曲面 ) , ,(zyx 的方程的方程 ，計算中要善于利用曲面，計算中要善于利用曲面 的方程的方程 0),( zyxF 來化簡被積函數；來化簡被積函數；（2）計算對面積的曲面積分時，應注意觀察積分曲面）計算對面積的曲面積分時，應注意觀察積分曲面 的對的對 稱性（包括輪換對稱性）和被積函數稱性（包括輪換對稱性）和被積函數 的奇偶性，的奇偶性，),(zyxf可以利用此類特殊性來簡化積分的計算；可以利用此類特殊性來簡化積分的計算； （3）將對面積的曲面積分轉化為二重積分計算，關鍵在于）將對面積的曲面積分轉化為二重積分計算，關鍵在于 二重積分積分變量的選擇，這是由積分曲面二重積分積分變量的選

13、擇，這是由積分曲面 的方程的方程 的特點所決定的，從以上的例子即可看出。的特點所決定的，從以上的例子即可看出。0),( zyxF【例【例5】求面密度為】求面密度為 的均勻半球殼的均勻半球殼 0 2222azyx )0( z對于對于 軸的轉動慣量。軸的轉動慣量。 z分析分析 本題為曲面積分在物理中的應用問題，只需按公式本題為曲面積分在物理中的應用問題，只需按公式 將其轉化為對面積的曲面積分進行計算即可。將其轉化為對面積的曲面積分進行計算即可。解：由題意解：由題意 dSyxIz022)(因因 ： ；在；在 坐標面上的投影區(qū)域為坐標面上的投影區(qū)域為 222yxaz xoy222 :ayxDxy xy

14、DzdxdyyxaayxI222022)( ardrraard 0 22202 0 adrrara022302 202120)(212adruaua4034a 且且 。所以。所以 dxdyyxaadS222 （令（令 ） 2ru 【1】 計算曲面積分計算曲面積分 , 其中其中 為為 222(4936)xyzxyz dS 上半部分，已知面積為上半部分，已知面積為 222194xyz xyz分析可利用曲面方程來簡化被積函數，再注意分析可利用曲面方程來簡化被積函數，再注意 關于三個變量都是奇函數，關于坐標面對稱，所以關于三個變量都是奇函數，關于坐標面對稱，所以 可以簡化計算可以簡化計算解：由題意解：

15、由題意222(4936)xyzxyz dS3636 .dSA【2】 計算曲面積分計算曲面積分 ，其中，其中 為為 222zyxdS 222Ryx 在在 與與 之間的部分。之間的部分。 0 zHz 分析分析 因為因為 ： ，即，即 ， 222Ryx 0),(222 RyxzyxF所以我們可采用框圖中線路所以我們可采用框圖中線路1或線路或線路3的解題方法求解。的解題方法求解。從從 中能確定中能確定 ，或，或 ； 0),( zyxF22yRx 22xRy 下面僅用線路下面僅用線路1的方法計算。的方法計算。 解：令解：令 ： ； ： 。則。則 1 22yRx 2 22yRx 21 （如圖）（如圖）（1）求）求 和和 在在 平面上的投影區(qū)域：平面上的投影區(qū)域： 1 2 yoz因因 和和 在在 平面上的投影區(qū)域相同，平面上的投影區(qū)域相同，1 2 yozxyzoHRR 1 2yzD： ， 。 RyR Hz 0設為設為dydzyRRdydzzxyxdS2222)()(1 （3）轉化為二重積分：）轉化為二重積分： 222zyxdS 12222)(zyxdS yzDdydzyRzRR2222)(2 HRRzRdzyRdyR 0