固體物理(第15課)近自由電子

1、6.2 準（近）自由電子近似準（近）自由電子近似近自由電子近似：近自由電子近似： 能帶理論的簡單模型，認為晶體中價電子的行為能帶理論的簡單模型，認為晶體中價電子的行為接近于自由電子。接近于自由電子。 周期性勢場的作用可看作是很微弱的周期性起伏周期性勢場的作用可看作是很微弱的周期性起伏的微擾。的微擾。以一維晶格為例進行討論。以一維晶格為例進行討論。6.2.1 一維非簡并情況1. 周期性勢場模型與零級近似(1) 周期性勢場模型（示意圖）(2) 零級近似一維周期性勢場的傅立葉展開：VVeVVxVVdxexVaVeVxVaZnnaxVxVnnxainanxainnnnxain 0020022)()(1

2、)( )()( 為周期性勢場的平均值為周期性勢場的平均值：原胞長度：原胞長度，VHVdxdmHVVdxdmxVdxdmHxExHHxExHkkkkkk22)(2)()()()()(0222002222220 ，令其中.,00000kkkkkkkkEEEEHH變成由波函數(shù)變成能級由微擾的引入使得體系的就是就是就是則如果沒有微擾NakkkkkikxkkkkdxZllNakmkENaLeLxxExH00022000000 , 2 2 1)()()(近自由電子近似正交歸一化自由電子（晶體長度）零級近似：代表勢能偏離平均值的部分，隨代表勢能偏離平均值的部分，隨坐標變化，看作微擾勢。坐標變化，看作微擾勢。

3、02nnxaineVH受微擾后受微擾后0H : :000000000kk) 1 ()2() 1 (0V dxV(x) dx) V(V(x) dx H EEEEE kL *k kL *k kL *kkkkkk一級修正電子能量寫成 a2-kk 0a2-kk dx 1 dx H .H H : 0)a2kk(n 00* 0kkkkk002kk)2(nnVeVLHEEEnLninkLkkkk當當稱為微擾矩陣元二級微擾電子能量電子能量ZllNaknakmmkVmkEEEnakmmkeVeLxxxnnkkknnxainikxkkk 22222 22211 )()()(02222222)2(0022222*)

4、1(0的的共共厄厄復復數(shù)數(shù)為為nnVV*波函數(shù)波函數(shù)前進波前進波 散射波，因子代表其振幅，散射波，因子代表其振幅，位相之間無關(guān)，相互削弱，電子與自由電位相之間無關(guān)，相互削弱，電子與自由電子相似子相似 布洛赫波布洛赫波 為為布布洛洛赫赫波波函函數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè)，則則令令)()(22211)()()( 22211)(22211)( )1(022222*022222*022222*xxunakmmkeVLmaxuZmxuexnakmmkeVLxunakmmkeVeLxkknmaxnainkkikxknnxainknnxainikxk 前前進進的的平平面面波波散散射射波波。xnakkkk簡并微擾法計算此時散

5、射波加強，需用，無意義，則即若)(示意圖示意圖kkxk ikikxnxk inikxnnxainikxkeLeLeLmkmkVeLnakmmkeVeLxnkknakk11 122122211)(02 ) 1 (02222*022222*），則：（即且令6.2.2 一維簡并微擾的情況一維簡并微擾的情況(2) 簡并微擾計算簡并微擾計算示意圖示意圖的線性組合.和零級近似波函數(shù)將是或相反.這時,即為布拉格反射波,則是前進的平面波,如果認為微擾處理.并態(tài).這時必須用簡并兩個狀態(tài)，這相當于簡此時一個能量對應根據(jù)量子力學,發(fā)散, 及 導致 , 由于, 時 當摻入的成分就越大.越小,而且它們的能量差,的其它零

6、級波函數(shù)與它有微擾矩陣元中將摻入在原來零級波函數(shù)根據(jù)微擾理論,0000000k0k0kkk011/EEHkkxk ikikxkkkkkeLeLEE Eankan k及布拉格反射布拉格反射大的干涉.使前進波受到很它們將互相加強,相,反射波就會有相同的位相鄰原子的n,2/k正好滿足2a前進平面波的波長如果位的話,的散射波成分有相同相如果由相鄰原子所產(chǎn)生02222222nakmmkk/2)的結(jié)果.21,sinn在正入射條件下(2asin格反射條件2a/n,這就是布拉或an由上式求得k示意圖示意圖在波矢在波矢k k接近布拉格反射條件時，散射波已很強接近布拉格反射條件時，散射波已很強了，非簡并微擾已不適

7、用。了，非簡并微擾已不適用。xk iikxkkeLBeLABAannakkankank000:)1 (2,1)1 (則應將零級函數(shù)寫成狀態(tài)加入了和它能量接近的下在周期勢場的微擾作用，則設(shè)接近如果將此波函數(shù)代入薛定鄂方程將此波函數(shù)代入薛定鄂方程0 :0)(- 0)( )(2 0*n00*n00022knkknkEEVVEEBEEAVBVAEEExVmA和B有解的條件為:程組整理后得到下列線性方并在整個晶體內(nèi)積分,分別乘以方程兩邊,和以* 0k* 0kdxexVaVanxain2)(1. )(2m T T4)1 (T )(2m(4)1 ()(2m 4)(21 22n22n22n2222222222

8、0000狀態(tài)的動能代表自由電子在由此求得ankanVanVanVEEEEEnnnkkkk下面分兩種情況討論：下面分兩種情況討論：dxexVaVnammkTVnakVExanLAxanLAiVTEVTEankankaanxainnnnngkknnknnk22222)(1 22.2, 2cos2sin2 0 .的絕對值的兩倍的傅立葉分量波矢為式中它等于周期性勢能展開禁帶寬度駐波量的狀態(tài)）時：變成兩個不同能及（示意圖示意圖1 1由此可見，這里零級近似波函數(shù)代表駐波。產(chǎn)生駐波的由此可見，這里零級近似波函數(shù)代表駐波。產(chǎn)生駐波的原因是波矢為原因是波矢為k=n /a的平面波，其波長為的平面波，其波長為 =2

9、 /k=2a/n正正好滿足布拉格反射條件，入射波遭到全反射而形成駐波。好滿足布拉格反射條件，入射波遭到全反射而形成駐波。相應電子概率密度分布（相應電子概率密度分布（示意圖示意圖） + +k k波函數(shù)在靠近正離子的區(qū)域幾率密度小，受到的波函數(shù)在靠近正離子的區(qū)域幾率密度小，受到的吸引弱，勢能較高，絕對值較小。吸引弱，勢能較高，絕對值較小。 - -k k波函數(shù)在靠近正離子的區(qū)域幾率較大，受到強的波函數(shù)在靠近正離子的區(qū)域幾率較大，受到強的吸引，勢能是較大的負值。吸引，勢能是較大的負值。 Eg是禁帶寬度，中間的能量狀態(tài)是不允許的。是禁帶寬度，中間的能量狀態(tài)是不允許的。dxexVaVnamTVTkmVTE

10、VTkmVTEknanananakknanananakTVTbanxainnnnnnknnnnknnn2222222)(1 2 212212 )1( )1( 10 .：，滿足，且示意圖示意圖2 26.2.3 能帶結(jié)構(gòu)及圖示能帶結(jié)構(gòu)及圖示(1) 能帶和禁帶能帶和禁帶 lNakmkEk 22220能能帶帶禁禁帶帶處斷開曲線在在周期勢場微擾作用下nakEk,nV2準連續(xù)能帶位置及寬度禁帶a.周期場中運動的電子其能量狀態(tài)形成一系列被禁帶周期場中運動的電子其能量狀態(tài)形成一系列被禁帶隔開的能帶隔開的能帶b.禁帶出現(xiàn)的位置以及禁帶的寬度由晶體結(jié)構(gòu)和勢場禁帶出現(xiàn)的位置以及禁帶的寬度由晶體結(jié)構(gòu)和勢場函數(shù)決定函數(shù)

11、決定c.當散射波的幅度很小時當散射波的幅度很小時,電子的狀態(tài)和自由電子很相電子的狀態(tài)和自由電子很相似似,但當散射波波矢和入射波波矢接近時但當散射波波矢和入射波波矢接近時,它們互相干它們互相干涉形成駐波涉形成駐波,這樣能量的電子波不能進入晶體這樣能量的電子波不能進入晶體,不佳在不佳在晶體中存在晶體中存在,因此在自由電子準連續(xù)的能譜中形成禁因此在自由電子準連續(xù)的能譜中形成禁帶帶.這就是禁帶形成的原因這就是禁帶形成的原因.d.一維情況下，每個能帶對應的一維情況下，每個能帶對應的k的取值范圍為的取值范圍為2 /a，即一個倒易原胞的長度。即一個倒易原胞的長度。(2) (2) 布里淵區(qū)：每個能帶對應的波矢

12、布里淵區(qū)：每個能帶對應的波矢k k的區(qū)域的區(qū)域(3) (3) 能帶結(jié)構(gòu)示意圖的三種圖式能帶結(jié)構(gòu)示意圖的三種圖式周期圖式周期圖式 簡約布里淵區(qū)圖式簡約布里淵區(qū)圖式拓展布里淵區(qū)圖式拓展布里淵區(qū)圖式)2()()()()()(.,2nakEkEGkEkErrkTnakkhGkkh一維情況下：的周期函數(shù)即它是征值這兩個狀態(tài)有相同的本因為對于平移算符等價和波矢)2()()()()()(nakEkEGkEkErrhGkkh 一一維維情情況況下下：a. 周期圖式周期圖式K K 限制在簡約布里限制在簡約布里淵區(qū)，淵區(qū)，E Ek k是是k k 的多值函的多值函數(shù)。第一布里淵區(qū)的每數(shù)。第一布里淵區(qū)的每個能帶在整個個

13、能帶在整個k k空間周期空間周期性重復。性重復。b. 簡約布里淵區(qū)圖式簡約布里淵區(qū)圖式c. 拓展布里淵區(qū)圖式拓展布里淵區(qū)圖式三種方法完全等價，三種方法完全等價，因此要標記電子狀態(tài)必須因此要標記電子狀態(tài)必須指明它的簡約波矢及所處指明它的簡約波矢及所處的能帶編號。的能帶編號。按能量從低到高將按能量從低到高將E Ek k取值分布限制在各布里淵取值分布限制在各布里淵區(qū)。區(qū)。 擴展布里淵區(qū)圖示 簡約布里淵區(qū)圖示 (a) E(k)k關(guān)系 (b) 能帶 (c) 第一布里淵區(qū) 圖2.4 晶體中電子的E(k)k關(guān)系二維簡約布里淵區(qū)圖示.6.2.4 三維晶格的能帶三維晶格的能帶 布里淵區(qū)布里淵區(qū)*1. 三維情況下

14、近自由電子近似的計算結(jié)果三維情況下近自由電子近似的計算結(jié)果為為正正點點陣陣原原胞胞的的體體積積 )(1)()( )()()()()(2)()(332211022rderVVbnbnbnGrVVeVrVRrVrVrErrVmrErHrGinnnrGinnkkkkkknn 33322211122002 1)( bNlbNlbNlkmkEVeVrkrkik為為晶晶體體體體積積零零級級近近似似： nGkknkknGkkrGinrkiknnnEEVEEEEeVeVr002000*11)( 微微擾擾計計算算：0321不不同同時時為為、nnn nkknkkknnnVEEVEEEGkGGkk0022 021：

15、時時：，即即當當。圍的區(qū)域稱為布里淵區(qū)圍的區(qū)域稱為布里淵區(qū)發(fā)生突變。由中垂面包發(fā)生突變。由中垂面包上，上，中垂面中垂面區(qū)域邊界區(qū)域邊界是準連續(xù)變化的，而在是準連續(xù)變化的，而在對于對于相相量量每個區(qū)域內(nèi)部電子的能每個區(qū)域內(nèi)部電子的能間分割為許多區(qū)域，在間分割為許多區(qū)域，在空空格點連線的中垂面將格點連線的中垂面將空間，原點和所有倒易空間，原點和所有倒易在在E)(Ekkk周期性勢場模型周期性勢場模型返回返回xZexV024)(孤立原子勢場孤立原子勢場V Vx x散散 射射 示示 意意 圖圖返回返回naknanao 22sin290對三維情況同樣適用，沿著波矢k的方向形成駐波。幾幾 率率 密密 度度 分分 布布返回返回2k2kxanLAxanLAikkcos2sin2 cos2 sin2 22xanLAexanLAiekkkkEkk 示示 意意 圖圖 1返回返回mkEk2220 Ekk 示示 意意 圖圖 2返回返回 nnnnknnnnkVTkmVTEVTkmVTE2122122222 波波 矢矢 示示 意意 圖圖返回返回量子圍欄照片量子圍欄照片4K4K溫度下溫度下,