檢測(cè)系統(tǒng)的誤差合成

1、第2章 檢測(cè)系統(tǒng)的誤差合成檢測(cè)系統(tǒng)的誤差合成 2.1 測(cè)量誤差的基本概念測(cè)量誤差的基本概念 2.2 隨機(jī)誤差及其處理隨機(jī)誤差及其處理 2.3 系統(tǒng)誤差的處理系統(tǒng)誤差的處理2.4 測(cè)量粗大誤差的存在判定準(zhǔn)則測(cè)量粗大誤差的存在判定準(zhǔn)則 2.5 測(cè)量系統(tǒng)的誤差計(jì)算方法測(cè)量系統(tǒng)的誤差計(jì)算方法 2.6 測(cè)量系統(tǒng)最佳測(cè)量方案的確定測(cè)量系統(tǒng)最佳測(cè)量方案的確定 下頁(yè)下頁(yè)返回返回2.1 測(cè)量誤差的基本概念測(cè)量誤差的基本概念 2.1.1 測(cè)量誤差的名詞術(shù)語(yǔ)測(cè)量誤差的名詞術(shù)語(yǔ) （1）真值）真值 指一定的時(shí)間及空間條件下，某物理量體現(xiàn)的指一定的時(shí)間及空間條件下，某物理量體現(xiàn)的真實(shí)數(shù)值。真值是客觀(guān)存在，但不可測(cè)量的，是

2、一個(gè)理想真實(shí)數(shù)值。真值是客觀(guān)存在，但不可測(cè)量的，是一個(gè)理想的概念。的概念。 約定真值是指對(duì)給定的目的而言，在實(shí)際測(cè)量中，被約定真值是指對(duì)給定的目的而言，在實(shí)際測(cè)量中，被測(cè)量的實(shí)際值、已修正過(guò)的算術(shù)平均值均可作為約定真值。測(cè)量的實(shí)際值、已修正過(guò)的算術(shù)平均值均可作為約定真值。 相對(duì)真值叫實(shí)際值，是在滿(mǎn)足規(guī)定準(zhǔn)確度時(shí)用來(lái)代替相對(duì)真值叫實(shí)際值，是在滿(mǎn)足規(guī)定準(zhǔn)確度時(shí)用來(lái)代替真值使用的值。真值使用的值。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 （2）標(biāo)稱(chēng)值）標(biāo)稱(chēng)值 計(jì)量或測(cè)量器具上標(biāo)注的量值。計(jì)量或測(cè)量器具上標(biāo)注的量值。 標(biāo)稱(chēng)值并不一定等于它的實(shí)際值，通常在給出標(biāo)稱(chēng)值的標(biāo)稱(chēng)值并不一定等于它的實(shí)際值，通常在給出標(biāo)稱(chēng)值的同時(shí)

3、也給出其誤差范圍或精度等級(jí)。同時(shí)也給出其誤差范圍或精度等級(jí)。 （3）示值）示值 由測(cè)量?jī)x器給出或提供的量值，也稱(chēng)測(cè)量值。由測(cè)量?jī)x器給出或提供的量值，也稱(chēng)測(cè)量值。 （4）測(cè)量結(jié)果）測(cè)量結(jié)果 由測(cè)量所得的測(cè)量值。在測(cè)量結(jié)果的表述中，由測(cè)量所得的測(cè)量值。在測(cè)量結(jié)果的表述中，還應(yīng)包括測(cè)量不確定度和有關(guān)影響量的值。還應(yīng)包括測(cè)量不確定度和有關(guān)影響量的值。 （5）測(cè)量結(jié)果的精度）測(cè)量結(jié)果的精度 反映測(cè)量結(jié)果與真值接近程度的量。反映測(cè)量結(jié)果與真值接近程度的量。與誤差大小相對(duì)應(yīng)，即：誤差大，精度低；誤差小，精度高。與誤差大小相對(duì)應(yīng)，即：誤差大，精度低；誤差小，精度高。可細(xì)分為可細(xì)分為：（：（A A）準(zhǔn)確度（反映

4、測(cè)量中系統(tǒng)誤差的大小，即準(zhǔn)確度（反映測(cè)量中系統(tǒng)誤差的大小，即測(cè)量結(jié)測(cè)量結(jié)偏離真值的程度），（偏離真值的程度），（B）精密度（反映測(cè)量中隨機(jī)）精密度（反映測(cè)量中隨機(jī)誤差的大小，即測(cè)量結(jié)果的分散程度），（誤差的大小，即測(cè)量結(jié)果的分散程度），（C）精確度（反）精確度（反映測(cè)量中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差綜合影響的程度）。映測(cè)量中系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差綜合影響的程度）。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回圖圖2.1 測(cè)量的準(zhǔn)確度與精密度測(cè)量的準(zhǔn)確度與精密度 （6）測(cè)量不確定度）測(cè)量不確定度 表征被測(cè)量的真值在某量值范圍內(nèi)表征被測(cè)量的真值在某量值范圍內(nèi)不能肯定程度的一個(gè)估計(jì)。即不確定度就是測(cè)量誤差不能肯

5、定程度的一個(gè)估計(jì)。即不確定度就是測(cè)量誤差極限估計(jì)值的評(píng)價(jià)。通常采用統(tǒng)計(jì)方法和非統(tǒng)計(jì)方法極限估計(jì)值的評(píng)價(jià)。通常采用統(tǒng)計(jì)方法和非統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)不確定度。估計(jì)不確定度。 （7）測(cè)量誤差）測(cè)量誤差 測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值之差，即：測(cè)量測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值之差，即：測(cè)量誤差誤差=測(cè)量結(jié)果測(cè)量結(jié)果真值。真值。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.1.2 測(cè)量誤差的分類(lèi)測(cè)量誤差的分類(lèi) 為便于分析與處理誤差，按照其特點(diǎn)與性質(zhì)，可將誤為便于分析與處理誤差，按照其特點(diǎn)與性質(zhì)，可將誤差分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差三大類(lèi)。差分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差三大類(lèi)。 （1）系統(tǒng)誤差）系統(tǒng)誤差 在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重

6、復(fù)測(cè)量時(shí)，出在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，出現(xiàn)某種保持恒定或按一定規(guī)律變化著的誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。現(xiàn)某種保持恒定或按一定規(guī)律變化著的誤差稱(chēng)為系統(tǒng)誤差。根據(jù)其變化規(guī)律又可分為已定系統(tǒng)誤差（誤差大小和符號(hào)已根據(jù)其變化規(guī)律又可分為已定系統(tǒng)誤差（誤差大小和符號(hào)已知）和未定系統(tǒng)誤差（誤差大小和符號(hào)未知，可估計(jì)其范知）和未定系統(tǒng)誤差（誤差大小和符號(hào)未知，可估計(jì)其范圍）。其中，已定系統(tǒng)誤差可以并應(yīng)當(dāng)通過(guò)修正來(lái)消除。系圍）。其中，已定系統(tǒng)誤差可以并應(yīng)當(dāng)通過(guò)修正來(lái)消除。系統(tǒng)誤差按誤差的規(guī)律可分為不變系統(tǒng)誤差（誤差大小和方向統(tǒng)誤差按誤差的規(guī)律可分為不變系統(tǒng)誤差（誤差大小和方向?yàn)楣潭ㄖ担┖妥兓到y(tǒng)誤差

7、（誤差大小和方向?yàn)樽兓模?。為固定值）和變化系統(tǒng)誤差（誤差大小和方向?yàn)樽兓模Ｆ渲?，變化系統(tǒng)誤差按其變化規(guī)律又可分為線(xiàn)性系統(tǒng)誤差、其中，變化系統(tǒng)誤差按其變化規(guī)律又可分為線(xiàn)性系統(tǒng)誤差、周期性系統(tǒng)誤差和復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差等（如圖周期性系統(tǒng)誤差和復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差等（如圖2.2所示）。所示）。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.1.2 測(cè)量誤差的分類(lèi)測(cè)量誤差的分類(lèi)圖圖2.2 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差a變系統(tǒng)誤差；變系統(tǒng)誤差；b線(xiàn)性系統(tǒng)誤差；線(xiàn)性系統(tǒng)誤差；c非線(xiàn)性系統(tǒng)誤差；非線(xiàn)性系統(tǒng)誤差；d周期性系統(tǒng)誤差；周期性系統(tǒng)誤差；e復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差復(fù)雜規(guī)律系統(tǒng)誤差 dtabce下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 （2）隨機(jī)誤差）隨機(jī)誤差

8、 在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，受在相同條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，受偶然因素影響而出現(xiàn)誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知的方式偶然因素影響而出現(xiàn)誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知的方式變化著，則此類(lèi)誤差稱(chēng)為隨機(jī)誤差。引起隨機(jī)誤差的原因都變化著，則此類(lèi)誤差稱(chēng)為隨機(jī)誤差。引起隨機(jī)誤差的原因都是一些微小因素，只能用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算它出現(xiàn)是一些微小因素，只能用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算它出現(xiàn)可能性的大小。隨機(jī)誤差不可能修正，但在了解其統(tǒng)計(jì)規(guī)律可能性的大小。隨機(jī)誤差不可能修正，但在了解其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性之后，可以控制和減少它們對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。性之后，可以控制和減少它們對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響

9、。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回隨機(jī)誤差具有以下特性：隨機(jī)誤差具有以下特性：1）對(duì)稱(chēng)性：絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的誤差在多次重復(fù)測(cè)）對(duì)稱(chēng)性：絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的誤差在多次重復(fù)測(cè)量中出現(xiàn)的可能性相等；量中出現(xiàn)的可能性相等；2）有界性：在一定測(cè)量條件下，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)）有界性：在一定測(cè)量條件下，隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超出某一限度；超出某一限度；下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回3）單峰性：絕對(duì)值小的隨機(jī)）單峰性：絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差比絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差誤差比絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差在多次重復(fù)測(cè)量中出現(xiàn)的機(jī)在多次重復(fù)測(cè)量中出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多；會(huì)多；4）抵償性：隨機(jī)誤差的算術(shù)）抵償性：隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值隨測(cè)量次數(shù)的增加而平均值

10、隨測(cè)量次數(shù)的增加而趨于零。趨于零。（3）粗大誤差）粗大誤差 在測(cè)量結(jié)果中有明顯錯(cuò)誤的誤差稱(chēng)為粗大誤差，在測(cè)量結(jié)果中有明顯錯(cuò)誤的誤差稱(chēng)為粗大誤差，也稱(chēng)為寄生誤差。這種誤差主要是由于某種不正常的也稱(chēng)為寄生誤差。這種誤差主要是由于某種不正常的原因造成的，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，允許也應(yīng)該剔除含有粗原因造成的，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，允許也應(yīng)該剔除含有粗大誤差的數(shù)據(jù)，但必須有充分依據(jù)。大誤差的數(shù)據(jù)，但必須有充分依據(jù)。 此外，也可以根據(jù)產(chǎn)生誤差的原因可以將誤差分此外，也可以根據(jù)產(chǎn)生誤差的原因可以將誤差分為：器具誤差、方法誤差、調(diào)整誤差、觀(guān)測(cè)誤差、環(huán)為：器具誤差、方法誤差、調(diào)整誤差、觀(guān)測(cè)誤差、環(huán)境誤差等。其中，調(diào)整誤差和觀(guān)測(cè)

11、誤差是人員誤差。境誤差等。其中，調(diào)整誤差和觀(guān)測(cè)誤差是人員誤差。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.1.3 誤差產(chǎn)生的原因誤差產(chǎn)生的原因 產(chǎn)生誤差的原因多種多樣，根據(jù)檢測(cè)系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)產(chǎn)生誤差的原因多種多樣，根據(jù)檢測(cè)系統(tǒng)的各個(gè)環(huán)節(jié)可分類(lèi)如下：節(jié)可分類(lèi)如下：（1）被檢測(cè)物理模型的前提條件屬于理想條件，與實(shí)際檢）被檢測(cè)物理模型的前提條件屬于理想條件，與實(shí)際檢測(cè)條件有出入；測(cè)條件有出入；（2）測(cè)量器件的材料性能或制作方法不佳使檢測(cè)特性隨時(shí)）測(cè)量器件的材料性能或制作方法不佳使檢測(cè)特性隨時(shí)間發(fā)生劣化；間發(fā)生劣化；（3）電氣、空氣壓、油壓等動(dòng)力源的噪聲及容量的影響；）電氣、空氣壓、油壓等動(dòng)力源的噪聲及容量的影響；（4

12、）檢測(cè)線(xiàn)路接頭之間存在接觸電勢(shì)或接觸電阻；）檢測(cè)線(xiàn)路接頭之間存在接觸電勢(shì)或接觸電阻；（5）檢測(cè)系統(tǒng)的慣性即遲延傳遞特性不符和檢測(cè)的目的要）檢測(cè)系統(tǒng)的慣性即遲延傳遞特性不符和檢測(cè)的目的要求，因此要同時(shí)考慮系統(tǒng)靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性；求，因此要同時(shí)考慮系統(tǒng)靜態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性；下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回（6）檢測(cè)環(huán)境的影響，包括溫度、氣壓、振動(dòng)、輻射等；）檢測(cè)環(huán)境的影響，包括溫度、氣壓、振動(dòng)、輻射等；（7）不同采樣所得測(cè)量值的差異造成的誤差；）不同采樣所得測(cè)量值的差異造成的誤差；（8）人為的造成誤讀，包括個(gè)人讀表偏差、知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)）人為的造成誤讀，包括個(gè)人讀表偏差、知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的深淺、體力及精神狀態(tài)等因素；的

13、深淺、體力及精神狀態(tài)等因素；（9）測(cè)量器件進(jìn)入被測(cè)對(duì)象，破壞了所要測(cè)量的原有狀）測(cè)量器件進(jìn)入被測(cè)對(duì)象，破壞了所要測(cè)量的原有狀態(tài)；態(tài)；（10）被測(cè)對(duì)象本身變動(dòng)大，易受外界干擾以致測(cè)量值）被測(cè)對(duì)象本身變動(dòng)大，易受外界干擾以致測(cè)量值不穩(wěn)定等。不穩(wěn)定等。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.1.4 測(cè)量誤差的表示方法測(cè)量誤差的表示方法 （1）絕對(duì)誤差）絕對(duì)誤差 被測(cè)量的測(cè)量值與其真值之差稱(chēng)之為測(cè)量絕對(duì)誤差，被測(cè)量的測(cè)量值與其真值之差稱(chēng)之為測(cè)量絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差，即簡(jiǎn)稱(chēng)誤差，即 測(cè)量誤差測(cè)量誤差=測(cè)量結(jié)果測(cè)量結(jié)果真值真值 （2.1）（2）相對(duì)誤差）相對(duì)誤差 被測(cè)量的絕對(duì)誤差與其真值之比值的百分?jǐn)?shù)值稱(chēng)被測(cè)量的絕對(duì)誤

14、差與其真值之比值的百分?jǐn)?shù)值稱(chēng)為相對(duì)誤差，即為相對(duì)誤差，即 （2.2） %100%100測(cè)量結(jié)果絕對(duì)誤差真值絕對(duì)誤差相對(duì)誤差下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回（3）引用誤差）引用誤差 引用誤差為儀器儀表表示值誤差與儀表測(cè)范圍上限引用誤差為儀器儀表表示值誤差與儀表測(cè)范圍上限的百分比，即的百分比，即 （2.3） （4）分貝誤差）分貝誤差 分貝誤差定義為：分貝誤差定義為： （2.4） 分貝誤差的單位為分貝誤差的單位為dB。 %100儀表測(cè)量范圍上限儀器儀表示值誤差引用誤差真值測(cè)量結(jié)果分貝誤差lg20下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 通常，用絕對(duì)誤差來(lái)評(píng)價(jià)相同被測(cè)量測(cè)量精度的高低，通常，用絕對(duì)誤差來(lái)評(píng)價(jià)相同被測(cè)量測(cè)量精度

15、的高低，相對(duì)誤差可用于評(píng)價(jià)不同被測(cè)量測(cè)量精度的高低。為了減少相對(duì)誤差可用于評(píng)價(jià)不同被測(cè)量測(cè)量精度的高低。為了減少儀器儀表引用誤差，一般應(yīng)在滿(mǎn)量程儀器儀表引用誤差，一般應(yīng)在滿(mǎn)量程2/3范圍以上進(jìn)行測(cè)量。范圍以上進(jìn)行測(cè)量。 例如，用兩種方法測(cè)得工件例如，用兩種方法測(cè)得工件 的誤差分別的誤差分別為：為： ， ，從絕對(duì)誤差看，顯然第一，從絕對(duì)誤差看，顯然第一種方法精度較高，但若用第三種方法測(cè)得種方法精度較高，但若用第三種方法測(cè)得 時(shí)的誤時(shí)的誤差為差為 ，從絕對(duì)誤差上不好判定精度的高低，因，從絕對(duì)誤差上不好判定精度的高低，因?yàn)闉?不是同一被測(cè)量，此時(shí)三者的相對(duì)誤差為：不是同一被測(cè)量，此時(shí)三者的相對(duì)誤差為

16、：mmL1001mml01. 01mml02. 02mmL1802mml02. 0312,LL%011. 0%10018002. 0%02. 0%10010002. 0%01. 0%10010001. 0231211LlLlLl下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 由此可見(jiàn)，第一種方法精度最好，第三種方法次之，第由此可見(jiàn)，第一種方法精度最好，第三種方法次之，第二種方法最差。二種方法最差。2.2 隨機(jī)誤差及其處理隨機(jī)誤差及其處理 2.2.1 隨機(jī)誤差的概率分布隨機(jī)誤差的概率分布 若有一非負(fù)函數(shù)若有一非負(fù)函數(shù) ，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù) 有分布函有分布函數(shù)數(shù) （2.5）則稱(chēng)為的概率分布密度函數(shù)，即則

17、稱(chēng)為的概率分布密度函數(shù)，即 （2.6） xfx xF dxxfxFx dxxfaFbFbxaPba下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回為誤差在為誤差在a與與b之間的概率。因此，凡是能把隨機(jī)誤差取之間的概率。因此，凡是能把隨機(jī)誤差取值于某一范圍的每個(gè)值及其概率表達(dá)出來(lái)的函數(shù)都是隨機(jī)值于某一范圍的每個(gè)值及其概率表達(dá)出來(lái)的函數(shù)都是隨機(jī)誤差的一種分布。誤差的一種分布。 由概率論的中心極限定理可知：大量的、微小的及獨(dú)立由概率論的中心極限定理可知：大量的、微小的及獨(dú)立的隨機(jī)變量之總和服從正態(tài)分布。但在實(shí)際中，各種非正態(tài)的隨機(jī)變量之總和服從正態(tài)分布。但在實(shí)際中，各種非正態(tài)分布也很多，故對(duì)隨機(jī)誤差一般將其按下述方法給予描

18、述。分布也很多，故對(duì)隨機(jī)誤差一般將其按下述方法給予描述。 （1）正態(tài)分布）正態(tài)分布 如果用函數(shù)如果用函數(shù) 來(lái)表示各個(gè)測(cè)量值出現(xiàn)的概率密度分布，來(lái)表示各個(gè)測(cè)量值出現(xiàn)的概率密度分布，則則 （2.7） xf 222,2exp21mNmxxf下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 式（式（2.7）稱(chēng)為正態(tài)分布函數(shù)或高斯分布函數(shù)。只要參數(shù)）稱(chēng)為正態(tài)分布函數(shù)或高斯分布函數(shù)。只要參數(shù)m和和已知，正態(tài)分布曲線(xiàn)就確定了，所以已知，正態(tài)分布曲線(xiàn)就確定了，所以m和和是決定正態(tài)分布是決定正態(tài)分布曲線(xiàn)的兩個(gè)特征參數(shù)。曲線(xiàn)的兩個(gè)特征參數(shù)。 式（式（2.7）稱(chēng)為正態(tài)分布函數(shù)或高斯分布函數(shù)。由此可）稱(chēng)為正態(tài)分布函數(shù)或高斯分布函數(shù)。由此可見(jiàn)

19、，只要參數(shù)見(jiàn)，只要參數(shù)m和和已知，正態(tài)分布曲線(xiàn)就確定了。所以已知，正態(tài)分布曲線(xiàn)就確定了。所以m和和是決定正態(tài)分布曲線(xiàn)的兩個(gè)特征參數(shù)，其中是決定正態(tài)分布曲線(xiàn)的兩個(gè)特征參數(shù)，其中m表示測(cè)得表示測(cè)得值分布的集中位置，稱(chēng)為正態(tài)分布的位置特征，值分布的集中位置，稱(chēng)為正態(tài)分布的位置特征，m值改變值改變時(shí)，分布曲線(xiàn)沿橫坐標(biāo)移動(dòng)，而形狀不變。時(shí)，分布曲線(xiàn)沿橫坐標(biāo)移動(dòng)，而形狀不變。則表示測(cè)得值則表示測(cè)得值的分散程度，稱(chēng)為離散特征。當(dāng)?shù)姆稚⒊潭?，稱(chēng)為離散特征。當(dāng)改變時(shí)，分布曲線(xiàn)位置不改變時(shí)，分布曲線(xiàn)位置不變，但形狀改變（如圖變，但形狀改變（如圖2.3所示）。所示）。小，則曲線(xiàn)尖銳，表示小，則曲線(xiàn)尖銳，表示測(cè)得值的

20、離散性小，也即小誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)越多，而大誤測(cè)得值的離散性小，也即小誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)越多，而大誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)少，即測(cè)量精度高；反之，差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)少，即測(cè)量精度高；反之，大，曲線(xiàn)平坦，大，曲線(xiàn)平坦，表示所測(cè)得值分散。當(dāng)表示所測(cè)得值分散。當(dāng)m趨于無(wú)窮大時(shí)，趨于無(wú)窮大時(shí)，m即為真值，即即為真值，即為均方差（標(biāo)準(zhǔn)偏差），而即為均方差（標(biāo)準(zhǔn)偏差），而即 為方差，即為方差，即2下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 （2.8） 值得注意的是，通常所說(shuō)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布值得注意的是，通常所說(shuō)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布是從統(tǒng)計(jì)角度而言的，也就是針對(duì)測(cè)量次數(shù)極大而測(cè)是從統(tǒng)計(jì)角度而言的，也就是針對(duì)測(cè)量次數(shù)極大而測(cè)量分辨率又極高的測(cè)量情

21、況而言的。量分辨率又極高的測(cè)量情況而言的。 圖圖2.3 與與 離散性的關(guān)系離散性的關(guān)系 NmxNiiN12limx下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中，常常采用去偏差并歸一化的前處實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中，常常采用去偏差并歸一化的前處理方法，即設(shè)標(biāo)準(zhǔn)單位理方法，即設(shè)標(biāo)準(zhǔn)單位 （2.9）利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 進(jìn)行分析考察，如式進(jìn)行分析考察，如式 （2.10）表表2.1給出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布給出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的一些的一些 與與 的代表數(shù)的代表數(shù)值。值。mxt1 , 0N 2exp212ttfy1 , 0Nt tf下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回表表2.1 正態(tài)分布的概率密度和置信概率的數(shù)值表正態(tài)分布的

22、概率密度和置信概率的數(shù)值表下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回T 或 z 0.00 0.50 0.6745 0.7979 1.00 1.96 2.00 3.00 概率密度 tf 0.3989 0.3521 0.3177 0.2901 0.2420 0.0584 0.054 0.0044 0.00 置信概率 z 0.0000 0.3829 0.5000 0.5751 0.6827 0.9500 0.9545 0.9973 1.0000 置信區(qū)間：定義為隨機(jī)變量取值的范圍，常用正態(tài)置信區(qū)間：定義為隨機(jī)變量取值的范圍，常用正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差分布的標(biāo)準(zhǔn)誤差 的倍數(shù)來(lái)表示，即的倍數(shù)來(lái)表示，即 ，其中，其中 為置為置

23、信系數(shù)。信系數(shù)。 置信概率：隨機(jī)變量在置信區(qū)間置信概率：隨機(jī)變量在置信區(qū)間 內(nèi)取值的概率，內(nèi)取值的概率，即即 （2.11） 置信水平：表示隨機(jī)變量在置信區(qū)間以外取值的概率，置信水平：表示隨機(jī)變量在置信區(qū)間以外取值的概率，即即 （2.12）zzz zxzzdxedxxfzxpz022222 zxpzz1下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 置信系數(shù)取不同典型值時(shí)，正態(tài)分布的置信概率數(shù)值置信系數(shù)取不同典型值時(shí)，正態(tài)分布的置信概率數(shù)值如表如表2.1所示。由此可知，置信系數(shù)越大，置信區(qū)間越寬，所示。由此可知，置信系數(shù)越大，置信區(qū)間越寬，置信概率越大，隨機(jī)誤差的范圍也越大，對(duì)測(cè)量精度的要置信概率越大，隨機(jī)誤差的范圍

24、也越大，對(duì)測(cè)量精度的要求越低。求越低。 在實(shí)際測(cè)量中，如有在實(shí)際測(cè)量中，如有95%的置信概率時(shí)，其可靠性已經(jīng)的置信概率時(shí)，其可靠性已經(jīng)足夠了，此時(shí)的置信區(qū)間是足夠了，此時(shí)的置信區(qū)間是 ，置信水平為，置信水平為5%。（2）隨機(jī)誤差的非正態(tài)分布）隨機(jī)誤差的非正態(tài)分布 隨機(jī)誤差的概率分布有多種類(lèi)型，除正態(tài)分布外，在隨機(jī)誤差的概率分布有多種類(lèi)型，除正態(tài)分布外，在計(jì)量和測(cè)量中經(jīng)常遇到的非正態(tài)分布有均勻分布、計(jì)量和測(cè)量中經(jīng)常遇到的非正態(tài)分布有均勻分布、 分布分布等。等。 1）均勻分布）均勻分布 均勻分布特點(diǎn)是：在某一區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概均勻分布特點(diǎn)是：在某一區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率處處相等，而在該區(qū)

25、域外隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為零。均率處處相等，而在該區(qū)域外隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率為零。均勻分布的概率密度函數(shù)為：勻分布的概率密度函數(shù)為： 2t下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 （2.13）式中式中 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 的極限值。的極限值。 均勻分布是一種常見(jiàn)的誤差分布，如圖均勻分布是一種常見(jiàn)的誤差分布，如圖2.4所示。所示。例如，儀器刻度差引起的誤差，儀器最小分辨率限制例如，儀器刻度差引起的誤差，儀器最小分辨率限制引起的誤差，數(shù)字儀表的量化誤差（引起的誤差，數(shù)字儀表的量化誤差（ ），數(shù)字計(jì)算），數(shù)字計(jì)算中的舍入誤差等等。此外，對(duì)一些只知道誤差出現(xiàn)的中的舍入誤差等等。此外，對(duì)一些只知道誤差出現(xiàn)的大致范圍，而不知道

26、其分布規(guī)律的誤差，在處理時(shí)常大致范圍，而不知道其分布規(guī)律的誤差，在處理時(shí)常按均勻分布的誤差對(duì)待。按均勻分布的誤差對(duì)待。 aaaa021a1下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回圖2.4 均勻分布曲線(xiàn) aaa210下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2） 分布分布 分布主要用來(lái)處理小樣本（即測(cè)量數(shù)據(jù)比較少）的測(cè)分布主要用來(lái)處理小樣本（即測(cè)量數(shù)據(jù)比較少）的測(cè)量數(shù)據(jù)。正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)，而量數(shù)據(jù)。正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)，而對(duì)小樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)通常采用對(duì)小樣本的測(cè)量數(shù)據(jù)通常采用 分布理論來(lái)處理。分布理論來(lái)處理。 分布分布的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為： （2.14）式中式中 的估計(jì)值；的估計(jì)值

27、； 測(cè)得值的平均值；測(cè)得值的平均值； N測(cè)量次數(shù)；測(cè)量次數(shù)；ttttNmxtftfffftN1222,22x下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 =N-1稱(chēng)為自由度；稱(chēng)為自由度； 是伽馬函數(shù)。是伽馬函數(shù)。 分布的概率密度曲線(xiàn)如圖分布的概率密度曲線(xiàn)如圖2.5所示，他與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分所示，他與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形相似，其特點(diǎn)在于分布與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值無(wú)布的圖形相似，其特點(diǎn)在于分布與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值無(wú)關(guān)，但與自由度關(guān)，但與自由度N-1有關(guān)。當(dāng)有關(guān)。當(dāng)N較大（大于較大（大于30）時(shí)，分）時(shí)，分布和正態(tài)分布的差異就很小了，當(dāng)布和正態(tài)分布的差異就很小了，當(dāng) 時(shí)，兩者就完時(shí)，兩者就完全相同。分布置信系數(shù)列于表全相同。分布置信系數(shù)

28、列于表2.2。ff x 01dtetxtxNttt下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回圖2.5 分布曲線(xiàn)t下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回表2.2 分布置信系數(shù) 數(shù)值表 ttk下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回P f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0.99 63.7 9.92 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 3.17 3.11 3.06 3.01 2.98 2.95 2.92 2.90 2.88 0.95 12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.23 2.20 2.18

29、2.16 2.14 2.13 2.12 2.11 2.10 P f 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 0.99 2.86 2.84 2.83 2.82 2.81 2.80 2.79 2.78 2.77 2.76 2.76 2.75 2.70 2.66 2.62 2.58 0.95 2.09 2.09 2.08 2.07 2.07 2.06 2.06 2.06 2.05 2.05 2.04 2.04 2.02 2.00 1.98 1.96 當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)較少時(shí)，由給定的置信概率當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)較少時(shí)，由給定的置信概率P和自由和自由度度 ，可查表得出

30、，可查表得出 分布置信系數(shù)分布置信系數(shù) ，再根據(jù)小樣本數(shù)，再根據(jù)小樣本數(shù)據(jù)的據(jù)的 和和 值，可確定被測(cè)量真值值，可確定被測(cè)量真值 的置信區(qū)間，即的置信區(qū)間，即 （2.15） 式中式中 小樣本數(shù)據(jù)均值的極限誤差小樣本數(shù)據(jù)均值的極限誤差 或隨機(jī)不確定度。或隨機(jī)不確定度。 tkftxmNkxmtNkt下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.2.2 隨機(jī)誤差的估計(jì)隨機(jī)誤差的估計(jì) （1）隨機(jī)誤差的表示方法）隨機(jī)誤差的表示方法由前面分析可知，在一定的置信概率由前面分析可知，在一定的置信概率P下，真值下，真值 一定落在一定落在以測(cè)得值以測(cè)得值 為中心，以誤差限為中心，以誤差限 為區(qū)間的一個(gè)范圍內(nèi)，為區(qū)間的一個(gè)范圍內(nèi)，即

31、即 （2.16）式中式中 由于所取置信概率不同，以及表示誤差的習(xí)慣差異，由于所取置信概率不同，以及表示誤差的習(xí)慣差異，誤差有各種表示方法，但以下面兩種情況最為常見(jiàn)。誤差有各種表示方法，但以下面兩種情況最為常見(jiàn)。 mxkkxmNmxNii12下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 1)標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差 標(biāo)準(zhǔn)偏差所對(duì)應(yīng)的置信度標(biāo)準(zhǔn)偏差所對(duì)應(yīng)的置信度P=68.3%，置信系數(shù)，即真值，置信系數(shù)，即真值 處于處于 范圍內(nèi)的可信程度為范圍內(nèi)的可信程度為68.3%。從正態(tài)分布曲線(xiàn)的幾。從正態(tài)分布曲線(xiàn)的幾何圖形上看，當(dāng)何圖形上看，當(dāng) 正好是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)，也即當(dāng)正好是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)，也即當(dāng) 以后，以后，概率密度變化比較慢，這就是選

32、用標(biāo)準(zhǔn)差作為誤差限的理由之概率密度變化比較慢，這就是選用標(biāo)準(zhǔn)差作為誤差限的理由之一。一。 2)極限偏差極限偏差 當(dāng)置信系數(shù)當(dāng)置信系數(shù) 時(shí)，置信度時(shí)，置信度P=99.73%，故可以認(rèn)為真值落在，故可以認(rèn)為真值落在 范圍內(nèi)的概率已接近范圍內(nèi)的概率已接近100%。因此，在工程測(cè)試中常以。因此，在工程測(cè)試中常以 這個(gè)這個(gè)參數(shù)來(lái)表示測(cè)量精度，稱(chēng)為極限誤差或最大誤差，用參數(shù)來(lái)表示測(cè)量精度，稱(chēng)為極限誤差或最大誤差，用 表示，表示，即即 （2.17） mixmxmx3k33m3m下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 值得提醒的是，對(duì)于不同學(xué)科，不值得提醒的是，對(duì)于不同學(xué)科，不同測(cè)量對(duì)象和測(cè)量的目的而言，極限誤同測(cè)量對(duì)象和

33、測(cè)量的目的而言，極限誤差所取的置信系數(shù)是不同的。例如，在差所取的置信系數(shù)是不同的。例如，在某些與人身事故有直接關(guān)系的場(chǎng)合，某些與人身事故有直接關(guān)系的場(chǎng)合， ；而在一般工程和貿(mào)易中，而在一般工程和貿(mào)易中， ；在統(tǒng)；在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，計(jì)學(xué)中， 。4k96. 1k58. 2k下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回其期望值恰好就是真值其期望值恰好就是真值 ，即，即 （2.19）（2）真值的估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)偏差）真值的估計(jì)與標(biāo)準(zhǔn)偏差 當(dāng)每個(gè)測(cè)量結(jié)果當(dāng)每個(gè)測(cè)量結(jié)果 按按 正態(tài)分布時(shí)，一正態(tài)分布時(shí)，一組測(cè)量數(shù)據(jù)組測(cè)量數(shù)據(jù) 的平均值為：的平均值為： （2.18）ix2,mNNxxx,21NNiixxxNxNx21111下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)

34、返回返回 mmNxENxENiNii1111m由于由于 也屬于正態(tài)分布，因此可以用也屬于正態(tài)分布，因此可以用 的標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)表征的離的標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)表征的離散度，由誤差傳遞法則可得：散度，由誤差傳遞法則可得： （2.20）其標(biāo)準(zhǔn)偏差為：其標(biāo)準(zhǔn)偏差為： （ 2.21） 此式表明，子樣平均值的方差此式表明，子樣平均值的方差 并不等于母體方并不等于母體方差差 ，而只是它的，而只是它的N分之一。由這一結(jié)論可推論到等精度分之一。由這一結(jié)論可推論到等精度測(cè)量條件下，多批次測(cè)量（即分組多次測(cè)量）所獲得的平測(cè)量條件下，多批次測(cè)量（即分組多次測(cè)量）所獲得的平均值（也即分組平均值的平均值）均值（也即分組平均值的平均值）

35、 要比單批次測(cè)量所獲要比單批次測(cè)量所獲得的結(jié)果精確，而且測(cè)量次數(shù)越多，得的結(jié)果精確，而且測(cè)量次數(shù)越多， 越小，越小， 越向母越向母體真值體真值 集中，即用集中，即用 作為作為 的最佳估計(jì)值的離散的最佳估計(jì)值的離散度越小。然而，由于度越小。然而，由于 與與 成反比，隨著測(cè)量次數(shù)增加，成反比，隨著測(cè)量次數(shù)增加， 值的減小逐漸不顯著了，故并非值的減小逐漸不顯著了，故并非N N越大越好。越大越好。xx NNNxDNxNDxDNiiNiix2221212111Nx2x2下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回ixxmmixixxNx（3）標(biāo)準(zhǔn)偏差）標(biāo)準(zhǔn)偏差 的估計(jì)的估計(jì) 式（式（2.19）說(shuō)明數(shù)據(jù)平均值就是真值）說(shuō)明數(shù)

36、據(jù)平均值就是真值 的無(wú)偏估計(jì)，即的無(wú)偏估計(jì)，即當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 。但又如何求得標(biāo)準(zhǔn)偏差。但又如何求得標(biāo)準(zhǔn)偏差 的無(wú)偏估計(jì)。的無(wú)偏估計(jì)。先考慮殘差平方和先考慮殘差平方和S mNmx 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 21212221212122mxNmxmxmxmxmxmxmxxxvSNiiNiiiNiiNiiNii 2222122121NNNNmxNEmxEmxNmxESENiiNii（2.22）則其期望值為：則其期望值為：21NSE即：即：所以，方差的無(wú)偏估計(jì)為：所以，方差的無(wú)偏估計(jì)為： （2.24）無(wú)偏標(biāo)準(zhǔn)偏差為：無(wú)偏標(biāo)準(zhǔn)偏差為： （2.25）將式（將式（2.24）代入式（）代入式（2.20）可得數(shù)

37、據(jù)平均值的方差）可得數(shù)據(jù)平均值的方差 的無(wú)偏估計(jì)值，即的無(wú)偏估計(jì)值，即 （2.26）11122NSNvNii1112NvNSNii2x11122NNSNNvNiix下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)值平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的無(wú)偏估計(jì)值 為：為： （2.27）應(yīng)當(dāng)注意的是，測(cè)量數(shù)據(jù)的方差為：應(yīng)當(dāng)注意的是，測(cè)量數(shù)據(jù)的方差為： （2.28） 它不是母體方差的無(wú)偏估計(jì)值。因?yàn)闊o(wú)偏方差的它不是母體方差的無(wú)偏估計(jì)值。因?yàn)闊o(wú)偏方差的計(jì)算中沒(méi)有用真值，而用的是平均值，因此自由度減計(jì)算中沒(méi)有用真值，而用的是平均值，因此自由度減少了一個(gè)。少了一個(gè)。x1NNSxNSNvsNii122下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返

38、回2.3 系統(tǒng)誤差的處理 系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是在一定條件下，其數(shù)值服從某一確切函數(shù)規(guī)律，故其處理方法原則上可結(jié)合專(zhuān)業(yè)知識(shí)，通過(guò)理論分析或?qū)嶒?yàn)方法加以掌握。由于系統(tǒng)誤差常涉及到對(duì)具體測(cè)量對(duì)象、測(cè)量原理及測(cè)量方法的具體分析，因此，系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與處理往往比隨機(jī)誤差困難得多，而系統(tǒng)誤差的存在對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響也比隨機(jī)誤差嚴(yán)重，所以，必須消除系統(tǒng)誤差的影響，以將其降低到允許限度之內(nèi)。對(duì)系統(tǒng)誤差的處理，通常涉及到以下幾個(gè)方面： 1） 判斷系統(tǒng)誤差是否存在； 2） 分析產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因以及在測(cè)量前盡量消除； 3）在測(cè)量過(guò)程中采取某些有效措施，盡量消除或減小 系統(tǒng)誤差的影響； 4）設(shè)法估計(jì)出殘存系統(tǒng)誤差的數(shù)位或

39、范圍。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.3.1 系統(tǒng)誤差的判別系統(tǒng)誤差的判別 系統(tǒng)誤差有恒值系差和變值系差兩種情況，判別其存在的方法很多，下面分別介紹這兩種系差的常用判別方法。 （1）恒值系差的判別 實(shí)驗(yàn)對(duì)比法。這種方法主要是用于發(fā)現(xiàn)不變系統(tǒng)誤差（恒值系差）。例如0級(jí)量塊，公稱(chēng)尺寸 時(shí)，由于制造偏差，其中心長(zhǎng)度相對(duì) 有一不變系統(tǒng)誤差 ，多次重復(fù)測(cè)量不能發(fā)現(xiàn)此誤差，當(dāng)用一等量塊與其比較測(cè)量時(shí)，就可檢定出0級(jí)量塊中心長(zhǎng)度實(shí)際值 ， ，系統(tǒng)誤差 可以找出來(lái)。 除此之外，恒值系差的判別法還有秩檢驗(yàn)法、 檢驗(yàn)法等統(tǒng)計(jì)方法（感興趣的讀者可參考其他有關(guān)文獻(xiàn)）。mml20mm20llllllt下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返

40、回（2）變值系差的判別 變值系差是指誤差按某一確切規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。因此，人為地改變測(cè)量條件或分析測(cè)量數(shù)據(jù)變化規(guī)律，便可判別變值系差的存在。若存在變值系差，則對(duì)測(cè)量結(jié)果應(yīng)進(jìn)行修正，或改進(jìn)測(cè)量條件重新測(cè)量。1）殘余誤差 觀(guān)察法 這種主要用來(lái)發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差（簡(jiǎn)稱(chēng)系差）。若測(cè)量列含有變值系差，其測(cè)得值為： 。設(shè)其系統(tǒng)誤差為： ，其不含系統(tǒng)誤差測(cè)量值為： ，則有： 取算術(shù)平均值： 。其中 表示測(cè)得值的平均值， 表示系統(tǒng)誤差的平均值。因?yàn)?，相應(yīng) （不含系差測(cè)量值與其平均值之差），所以有ivnlll,21nlll,2121,nlllnillliii, 2 , 1iilllililllviii

41、iillv下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回式中式中 算術(shù)平均值系差。算術(shù)平均值系差。由于由于 =不含系差測(cè)量值不含系差測(cè)量值不含系差測(cè)量值的平均不含系差測(cè)量值的平均值，故值，故 主要反映了隨機(jī)誤差的影響，當(dāng)測(cè)量列中系主要反映了隨機(jī)誤差的影響，當(dāng)測(cè)量列中系統(tǒng)誤差顯著大于隨機(jī)誤差時(shí)，統(tǒng)誤差顯著大于隨機(jī)誤差時(shí)， 可以略去，則可以略去，則 ，由于由于 為確定值，所以測(cè)量列中殘余誤差為確定值，所以測(cè)量列中殘余誤差 的變化主要反映測(cè)的變化主要反映測(cè)量中系統(tǒng)誤差量中系統(tǒng)誤差 的變化。若將測(cè)量列的的變化。若將測(cè)量列的 按序作圖進(jìn)按序作圖進(jìn)行觀(guān)察，并與圖行觀(guān)察，并與圖2.26的圖形比較，即可判斷有無(wú)系統(tǒng)的圖形比較，即可

42、判斷有無(wú)系統(tǒng)誤差。誤差。llvlllllllllllllllviiiiiiiiiiiiiiliiillvivivllviiliviliv下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回圖圖2.6 含系差的測(cè)量列含系差的測(cè)量列（a）大體上正負(fù)相間無(wú)顯著變化規(guī)律）大體上正負(fù)相間無(wú)顯著變化規(guī)律不存在系差；不存在系差；（b）有規(guī)律地向一個(gè)方向成比例變化）有規(guī)律地向一個(gè)方向成比例變化有線(xiàn)性系差存有線(xiàn)性系差存在；在；（c）有規(guī)律地重復(fù)交替呈周期性變化）有規(guī)律地重復(fù)交替呈周期性變化周期性系差存周期性系差存在；在；（d）呈周期性與線(xiàn)性復(fù)合變化）呈周期性與線(xiàn)性復(fù)合變化復(fù)雜系差存在。復(fù)雜系差存在。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2）馬利科夫（）

43、馬利科夫（ ）準(zhǔn)則）準(zhǔn)則用于發(fā)現(xiàn)線(xiàn)性系差用于發(fā)現(xiàn)線(xiàn)性系差 設(shè)對(duì)某量設(shè)對(duì)某量 等精度測(cè)等精度測(cè)N次，按先后順序得出測(cè)量結(jié)果次，按先后順序得出測(cè)量結(jié)果 ，由，由 求出相應(yīng)的偏差（殘差）求出相應(yīng)的偏差（殘差） ， 將其偏差分成前后兩部分，并求其偏值將其偏差分成前后兩部分，并求其偏值 （2.29） 其中，當(dāng)其中，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，取為偶數(shù)時(shí)，取 ；當(dāng)；當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，取為奇數(shù)時(shí)，取 。若。若值顯著地不為零（或與值顯著地不為零（或與 值相當(dāng)或更大），值相當(dāng)或更大），則有線(xiàn)性系統(tǒng)誤差存在。則有線(xiàn)性系統(tǒng)誤差存在。 例如，測(cè)量一裝置溫度得到如下結(jié)果，由例如，測(cè)量一裝置溫度得到如下結(jié)果，由 規(guī)律曲規(guī)律曲線(xiàn)（圖線(xiàn)（圖2

44、.7）明顯可見(jiàn)有線(xiàn)性系差存在。（）明顯可見(jiàn)有線(xiàn)性系差存在。（ ） MalukobM.Nxxx,21NiiiixNxv11Nvvv,21Nkiikiivv112Nk 21Nkiviv10N下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回圖2.7 規(guī)律曲線(xiàn)iv下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 顯著地不為零，說(shuō)明有線(xiàn)性系差，與觀(guān)察結(jié)果一致。顯著地不為零，說(shuō)明有線(xiàn)性系差，與觀(guān)察結(jié)果一致。 3）阿貝）阿貝赫梅特（赫梅特（Abbe-Helmert）準(zhǔn)則）準(zhǔn)則用于判定周期性用于判定周期性系差系差將等精度測(cè)量列的殘余誤差將等精度測(cè)量列的殘余誤差 按序排列，令按序排列，令（2.30）若若 （其中，（其中， 為方差）存在，則可認(rèn)為測(cè)量列含有呈為

45、方差）存在，則可認(rèn)為測(cè)量列含有呈周期性性系差。周期性性系差。46. 023. 023. 010651iiiivv09. 0maxivmaxivivNNNiiivvvvvvvv13221111下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回it 20.06 20.07 20.06 20.08 20.10 20.12 20.14 20.18 20.18 20.21 iv -0.06 -0.05 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.06 0.06 0.09 21N24）不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差比較法）不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差比較法 對(duì)一列等精度測(cè)量值，可用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差，通過(guò)比較對(duì)一列等精度測(cè)量值，可用不同

46、公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差，通過(guò)比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。用貝賽爾公式用貝賽爾公式 （2.31）用佩特斯公式用佩特斯公式 （2.32）N有限時(shí)，二者有差異。但如主要是隨機(jī)誤差存在，其差異應(yīng)有一定有限時(shí)，二者有差異。但如主要是隨機(jī)誤差存在，其差異應(yīng)有一定程度。觀(guān)察二者相對(duì)誤差程度。觀(guān)察二者相對(duì)誤差 （2.33）1121NvNii145122NNvNii112112e下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 即 若 成立時(shí)，則可懷疑測(cè)量列中有系統(tǒng)誤差。5）正態(tài)分布判別法 當(dāng)不存在變值系差時(shí)，隨機(jī)誤差的分布一般都服從正態(tài)分布。若觀(guān)測(cè)值的分布偏離正態(tài)時(shí)，根據(jù)其不一致的程度便可作為判斷變值系差的依據(jù)。2.3.2 減小或

47、消除系統(tǒng)誤差的方法減小或消除系統(tǒng)誤差的方法 一般來(lái)說(shuō)，消除或減小系統(tǒng)誤差的方法有： （1）從產(chǎn)生誤差根源上消除 在測(cè)量前，通過(guò)分析比較盡量發(fā)現(xiàn)并消除（或減小）產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的來(lái)源。例如按測(cè)量規(guī)程調(diào)整儀器，測(cè)量前后都必須檢查儀器零位是否變化，選擇合理的支撐與定位面，進(jìn)行周期的檢定和維護(hù)儀器設(shè)備等等。e11212Ne下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回（2）用修正方法消除恒值系差 引用修正值對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，即對(duì)儀器不僅要正確選擇和使用，且要定期檢定和校準(zhǔn)。例如，將測(cè)量出的系統(tǒng)誤差數(shù)值做成誤差表或誤差曲線(xiàn)，或作為修正值，將與其大小相等、符號(hào)相反的數(shù)值加入到測(cè)量結(jié)果中，即可基本消除測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響。（3

48、）采用一些專(zhuān)門(mén)的測(cè)量技術(shù)和測(cè)量方法。典型測(cè)量方法有以下幾種： 1） 替代法消除恒值系差 替代法是比較測(cè)量法的一種，它是先將被測(cè)量 接在測(cè)量裝置上，調(diào)節(jié)測(cè)量裝置處于某一狀態(tài)，然后用與被測(cè)量相同的同類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)量 替代 ，調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量 ，使測(cè)量裝置恢復(fù)原狀態(tài)，則被測(cè)量等于調(diào)整后的標(biāo)準(zhǔn)量，即 = ?？梢?jiàn)替代法的特點(diǎn)是測(cè)量裝置的誤差不影響測(cè)量結(jié)果，但測(cè)量裝置必須有一定的穩(wěn)定性和靈敏度。 xAxANANAxANA下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 例如：在電橋上用替代法測(cè)電阻，先把被測(cè)電阻 ，調(diào)節(jié)電橋比例臂 和比較臂 使電橋平衡，則 。顯然橋臂參數(shù)的誤差會(huì)影響測(cè)量結(jié)果。若以標(biāo)準(zhǔn)量電阻 代替被測(cè) 接入電橋，調(diào)節(jié) 使電橋重新

49、平衡，則 。由此可知， = ，且橋臂參數(shù)的誤差不影響測(cè)量結(jié)果， 僅取決于 的準(zhǔn)確度等級(jí)。 2） 交換法消除恒值系差 交換法又稱(chēng)對(duì)照法。它將測(cè)量中的某種條件相互交換，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因?qū)y(cè)量結(jié)果起相反的作用，從而抵消了系統(tǒng)誤差。 例如：如圖2.8所示測(cè)量物體重量裝置，x與P平衡后，則 ，然后將x與P交換位置，由于臂長(zhǎng) 與 不可能絕對(duì)相等，即 ，則 ，二式相乘即可得到：xR21,RR3R321RRRRxNRxRNR321RRRRNxRNRNRxRPllx121l2l21ll xllP12下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回將上式按級(jí)數(shù)展開(kāi)，舍去高階項(xiàng)，即得： 圖2.8 代替法消除不變系差212121,PPP

50、PPPPPPxPPx221PPPPPPx1l2lxP下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 3）對(duì)稱(chēng)測(cè)量法（交叉讀數(shù)法）消除線(xiàn)性系統(tǒng)誤差 很多隨時(shí)間變化的系統(tǒng)誤差，在短時(shí)間內(nèi)均可近似看成線(xiàn)性變化的。復(fù)雜變化的系統(tǒng)誤差，短時(shí)間內(nèi)也近似地作為線(xiàn)性系統(tǒng)誤差。因此，一切精密實(shí)驗(yàn)均可采用交叉讀數(shù)法。 圖2.9 爐溫隨時(shí)間變化圖12341t2t3t4t溫度時(shí)間下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 例如：用標(biāo)準(zhǔn)溫度 計(jì)來(lái)校正被檢溫度計(jì) 時(shí)，由于校正時(shí)爐溫T隨時(shí)間呈線(xiàn)性變化，如圖2.9所示。為求得被檢溫度計(jì)的示值誤差，采用交叉讀數(shù)法，測(cè)量順序?yàn)?，或 ，則有： 時(shí)： 時(shí)： 時(shí)： 時(shí)： 因 與 相鄰近，所以 ，測(cè)量時(shí)只要 ，則有 ，于是

51、 所以量值的差值不受線(xiàn)性系統(tǒng)誤差 的影響。 4）半周期測(cè)量法消除周期性系統(tǒng)誤差 采用此方法可很好地消除周期性系統(tǒng)誤差。周期性系差可表示為： 。當(dāng)測(cè)量 時(shí)， ，若同時(shí)在 處測(cè)量，得axaxxa,xaax,1t2t3t4t1Ta2Tx3 Tx4Taxx3412tttt34122/2/aaxxsinal 111sinal 12下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 即任意相隔半周期的兩個(gè)誤差，其大小相等，方向相反，則取半周期二次測(cè)量平均值為測(cè)量結(jié)果，即周期性系差變?yōu)?。也就是說(shuō)，兩次（或偶數(shù)次）測(cè)量的平均值其誤差為零。1112sinsinlaal0221121llll下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.4 測(cè)量粗大誤差的

52、存在判定準(zhǔn)則測(cè)量粗大誤差的存在判定準(zhǔn)則 在無(wú)系統(tǒng)誤差的條件下進(jìn)行等精度測(cè)量時(shí)，對(duì)殘差絕對(duì)值較大的測(cè)量數(shù)據(jù)，可列為可疑數(shù)據(jù)，它對(duì)平均值，特別是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)將會(huì)產(chǎn)生較大的影響。如果可疑數(shù)據(jù)確實(shí)是由粗大誤差所引起，則稱(chēng)其為壞值。壞值必須剔除，否則會(huì)造成測(cè)量結(jié)果錯(cuò)誤。但并不是所有可疑值均為壞值，它可能預(yù)示著測(cè)量?jī)x器、測(cè)量方法、測(cè)量條件的不正常、不穩(wěn)定，甚至于預(yù)示著一種新的物理現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)。故發(fā)現(xiàn)可疑數(shù)據(jù)時(shí)，要仔細(xì)分析或增加觀(guān)測(cè)次數(shù)，進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，盡可能正確判斷所產(chǎn)生的原因，決不能輕易將其示為壞值的數(shù)據(jù)，應(yīng)根據(jù)誤差理論來(lái)決定取舍。 根據(jù)誤差理論判定粗大誤差的基本方法是：給定一個(gè)置信概率，并確定一個(gè)置信

53、區(qū)間，凡超過(guò)此區(qū)間的誤差即認(rèn)為它不屬于隨機(jī)誤差而是粗大誤差。下面介紹兩種常用的準(zhǔn)則。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.4.1 拉依達(dá)準(zhǔn)則拉依達(dá)準(zhǔn)則 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 一般呈正態(tài)分布的隨機(jī)誤差分布在一般呈正態(tài)分布的隨機(jī)誤差分布在 以外的概以外的概率為率為0.0027，即約，即約0.3%，相當(dāng)于，相當(dāng)于 ，為小概率事件，為小概率事件，故當(dāng)測(cè)量值的故當(dāng)測(cè)量值的 （2.34） 時(shí)，則可認(rèn)為時(shí)，則可認(rèn)為 對(duì)應(yīng)的測(cè)量值含有粗大誤差，應(yīng)予以剔對(duì)應(yīng)的測(cè)量值含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。除。式中式中 被懷疑為壞值的測(cè)量值；被懷疑為壞值的測(cè)量值； 所有測(cè)量值的算術(shù)平均值；所有測(cè)量值的算術(shù)平均值； 被懷疑為壞值的測(cè)量小殘差；被懷疑為

54、壞值的測(cè)量小殘差； 包括壞值在內(nèi)的全部測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差的估包括壞值在內(nèi)的全部測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值。計(jì)值。3337013xxviiixixxiv下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回表表2.3 的數(shù)值表的數(shù)值表 下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回 n 5% 1% n 5% 1% n 5% 1% 3 1.15 1.16 11 2.23 2.48 23 2.62 2.96 4 1.46 1.49 13 2.33 2.61 24 2.64 2.99 5 1.67 1.75 15 2.41 2.71 25 2.66 3.01 6 1.82 1.94 17 2.48 2.78 30 2.74 3.10 7 1.94 2.10

55、 19 2.53 2.85 35 2.81 3.18 8 2.03 2.22 20 2.56 2.88 40 2.87 3.74 9 2.11 2.32 21 2.58 2.91 50 2.96 3.34 10 2.18 2.41 22 2.60 2.94 100 3.17 3.59 2.4.2 格拉布斯準(zhǔn)則格拉布斯準(zhǔn)則Grubbs 將等精度測(cè)量列將等精度測(cè)量列 排列順序統(tǒng)計(jì)量排列順序統(tǒng)計(jì)量 ，先算出包括可疑值在內(nèi)的這組數(shù)據(jù)的平均值先算出包括可疑值在內(nèi)的這組數(shù)據(jù)的平均值 及其標(biāo)及其標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)殘差殘差 ；算出可疑值殘；算出可疑值殘 差與差與 的比值的比值 ；根據(jù)格拉布斯準(zhǔn)則，可得根據(jù)格拉布斯準(zhǔn)則，可

56、得n次測(cè)量下置信概率為次測(cè)量下置信概率為 時(shí)的界時(shí)的界限系數(shù)限系數(shù) ，表，表2.3為為 的數(shù)值表；如果的數(shù)值表；如果 （2.35）即認(rèn)該測(cè)量值含粗大誤差，應(yīng)剔除。即認(rèn)該測(cè)量值含粗大誤差，應(yīng)剔除。ixnxxx21x112nxxniiiviv n n niv下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.5 測(cè)量系統(tǒng)的誤差計(jì)算方法測(cè)量系統(tǒng)的誤差計(jì)算方法 一個(gè)測(cè)量系統(tǒng)總是由若干子系統(tǒng)所組成，每個(gè)子系統(tǒng)一個(gè)測(cè)量系統(tǒng)總是由若干子系統(tǒng)所組成，每個(gè)子系統(tǒng)都具有不同的誤差，這些誤差再通過(guò)一定的傳遞從而形成都具有不同的誤差，這些誤差再通過(guò)一定的傳遞從而形成系統(tǒng)的總誤差。對(duì)各種測(cè)量系統(tǒng)總可以找到系統(tǒng)的總誤差系統(tǒng)的總誤差。對(duì)各種測(cè)量系

57、統(tǒng)總可以找到系統(tǒng)的總誤差與各子系統(tǒng)分項(xiàng)誤差之間的內(nèi)在函數(shù)關(guān)系，只不過(guò)隨著實(shí)與各子系統(tǒng)分項(xiàng)誤差之間的內(nèi)在函數(shù)關(guān)系，只不過(guò)隨著實(shí)際系統(tǒng)復(fù)雜程序的不同，所擬合的函數(shù)關(guān)系可能簡(jiǎn)單也可際系統(tǒng)復(fù)雜程序的不同，所擬合的函數(shù)關(guān)系可能簡(jiǎn)單也可能十分復(fù)雜。一般的測(cè)量系統(tǒng)?？梢杂贸醯榷嘣瘮?shù)來(lái)表能十分復(fù)雜。一般的測(cè)量系統(tǒng)?？梢杂贸醯榷嘣瘮?shù)來(lái)表達(dá)系統(tǒng)總誤差與子系統(tǒng)分項(xiàng)誤差之間的關(guān)系，而對(duì)二次函達(dá)系統(tǒng)總誤差與子系統(tǒng)分項(xiàng)誤差之間的關(guān)系，而對(duì)二次函數(shù)又可以通過(guò)變量置換轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)進(jìn)行分析，因而測(cè)數(shù)又可以通過(guò)變量置換轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)進(jìn)行分析，因而測(cè)量系統(tǒng)或測(cè)量裝置誤差的計(jì)算方法可以從函數(shù)誤差分析入量系統(tǒng)或測(cè)量裝置誤差的計(jì)算

58、方法可以從函數(shù)誤差分析入手。手。下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.5.1 測(cè)量系統(tǒng)隨機(jī)誤差的計(jì)算測(cè)量系統(tǒng)隨機(jī)誤差的計(jì)算 一般常用初等多元函數(shù)表達(dá)系統(tǒng)中各直接測(cè)量值一般常用初等多元函數(shù)表達(dá)系統(tǒng)中各直接測(cè)量值 與與 函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，即函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，即 ，而多元函數(shù)，而多元函數(shù)的增量可用其全微分表示，即的增量可用其全微分表示，即 （2.36）式中式中 函數(shù)誤差，可認(rèn)為是系統(tǒng)總隨機(jī)誤差；函數(shù)誤差，可認(rèn)為是系統(tǒng)總隨機(jī)誤差； 各分項(xiàng)隨機(jī)誤差的大?。ǜ鞣猪?xiàng)隨機(jī)誤差的大?。?）；）； 誤差傳遞系數(shù)（誤差傳遞系數(shù)（ ）。）。式（式（2.36）可以作為隨機(jī)誤差計(jì)算的通用公式。當(dāng)函數(shù)關(guān)）可以作為隨機(jī)誤差計(jì)算的通用公式。

59、當(dāng)函數(shù)關(guān)系系 確定后，函數(shù)總隨機(jī)誤差確定后，函數(shù)總隨機(jī)誤差 可求。可求。ixynxxxfy,21nndxxfdxxfdxxfdy2211dyidxixfni, 2 , 1ni, 2 , 1下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回dyf 在一般情況下，常采用標(biāo)準(zhǔn)偏差在一般情況下，常采用標(biāo)準(zhǔn)偏差作為隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)作為隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)平均估計(jì)。式（平均估計(jì)。式（2.36）中用）中用 代代替后，其傳遞關(guān)系將發(fā)生替后，其傳遞關(guān)系將發(fā)生變化。一般情況下，隨機(jī)誤差按方差傳遞計(jì)算為：變化。一般情況下，隨機(jī)誤差按方差傳遞計(jì)算為： （2.37） 當(dāng)各測(cè)量值的隨機(jī)誤差為同一分布時(shí)（即在同概率水平當(dāng)各測(cè)量值的隨機(jī)誤差為同一分布時(shí)（即在

60、同概率水平下），可用隨機(jī)誤差極限值進(jìn)行計(jì)算：下），可用隨機(jī)誤差極限值進(jìn)行計(jì)算： （2.38） 若若 時(shí)，則時(shí)，則 （2.39）idx212222222121nxnxxyxfxfxf2lim22lim222lim21lim21nxnxxyxfxfxfnixfi, 2 , 112lim2lim2limlim21nxxxy下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)返回返回2.5.2 測(cè)量系統(tǒng)系統(tǒng)誤差的計(jì)算測(cè)量系統(tǒng)系統(tǒng)誤差的計(jì)算 （1）已定系差的計(jì)算）已定系差的計(jì)算 由式（由式（2.36）知，當(dāng)各分項(xiàng)誤差為已定系差時(shí)，）知，當(dāng)各分項(xiàng)誤差為已定系差時(shí)， 可可視為其增量，即：視為其增量，即： （ ），則函數(shù)增量為），則函數(shù)增量為系