D5_4反常積分ppt課件

1、二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推行一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 反常積分 (廣義積分)反常積分 第五章 一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分引例引例. 曲線曲線21xy 和直線1x及 x 軸所圍成的開口曲邊梯形的面積21xy A1可記作12dxxA其含義可理解為 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定義定義1. 設(shè)設(shè), ),)(aCxf,ab 取假設(shè)xxfbabd)(lim存在 , 則稱此極限為 f (x) 的無窮限反常積分, 記作xxfx

2、xfbabad)(limd)(這時(shí)稱反常積分xxfad)(收斂 ;如果上述極限不存在,就稱反常積分xxfad)(發(fā)散 .類似地 , 假設(shè), ,()(bCxf則定義xxfxxfbaabd)(limd)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 , ),()(Cxf若則定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱xxfd)(發(fā)散 .無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分. ,并非不定型 ,闡明闡明: 上述定義中若出現(xiàn)上述定義中若出現(xiàn) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 它表明該反常積分發(fā)散 .,)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記

3、號; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例1. 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xoy211xy思索思索: ?01d2對嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積分發(fā)散 !留意留意: 對反常積分對反常積分, 只有在收斂的條件下才能使用只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤 .例例2. 證明第一

4、類證明第一類 p 積分積分apxxd證證:當(dāng)當(dāng) p =1 時(shí)有時(shí)有 axxdaxlnapxxdappx11當(dāng) p 1 時(shí)有 1p1p,11pap當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ; p1 時(shí)發(fā)散 .,因此, 當(dāng) p 1 時(shí), 反常積分收斂 , 其值為;11pap當(dāng) p1 時(shí), 反常積分發(fā)散 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3. 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分引例引例:曲線曲線xy1所圍成的1x與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記

5、作10dxxA其含義可理解為 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定義定義2. 設(shè)設(shè), ,()(baCxf而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0這時(shí)稱反常積分xxfbad)(收斂 ; 如果上述極限不存在,就稱反常積分xxfbad)(發(fā)散 .類似地 , 假設(shè), ),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxfbabad)(limd)(0若極限baxxfd)(lim0數(shù) f (x) 在 a , b 上的反常積分, 記作則定義機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 則稱此極限為函 若被

6、積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類 闡明闡明: ,)(,)(外連續(xù)上除點(diǎn)在若bcacbaxf而在點(diǎn) c 的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分, 無界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)) .例如,xxxd11112xxd) 1(11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 間斷點(diǎn),而不是反常積分. 則本質(zhì)上是常義積分, 則定義留意留意: 若瑕點(diǎn)若瑕點(diǎn),)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計(jì)算表達(dá)式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF則也有

7、類似牛 萊公式的假設(shè) b 為瑕點(diǎn), 那么假設(shè) a 為瑕點(diǎn), 那么假設(shè) a , b 都為瑕點(diǎn), 那么, ),(bac那么xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 112dxx211111x下述解法是否正確: , 積分收斂例例4. 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分. )0(d022axaxa解解: 顯然瑕點(diǎn)為顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以所以原式0arcsinaax1arcsin2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例5. 討論反常積分討論反常積分112dxx的收斂性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常積分112d

8、xx發(fā)散 .例例6. 證明反常積分證明反常積分baqaxx)(d證證: 當(dāng)當(dāng) q = 1 時(shí)時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1 時(shí)發(fā)散 .baaxxdbaax ln當(dāng) q1 時(shí)baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值為;1)(1qabq當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例7.解：解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf設(shè)求.d)(1)(312xxfxfI)(20 xfxx為與 的無窮間斷點(diǎn), 故 I 為反常xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan01

9、2d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf積分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 10內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 反常積分反常積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限 2. 兩個(gè)重要的反常積分兩個(gè)重要的反常積分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 闡明闡明: (1) 有時(shí)通過換元有時(shí)通過換元 , 反常積分和常義積分可以反常積分和常義

10、積分可以互互相轉(zhuǎn)化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí)當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的反常積分. (3) 有時(shí)需考慮主值意義下的反常積分. 其定義為baxxfd)(v.p.),(bcac為瑕點(diǎn)xxfd)(v.p.xxfaaad)(limP256 題 1 (1) , (2) , (7) , (8) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xxfxxfbccad)(d)(lim0常積分收斂 .留意留意: 主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反思考與練習(xí)思考與練習(xí)P256 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 提示提示: P256 題題22)(lndkxxx2)(ln)d(lnkxx,1時(shí)當(dāng)k12)2)(ln1(1)(lnd)(kkkxxxkI,)2)(ln1()(1kkkf令求其最大值 .作業(yè)作業(yè)備用題備用題 試證試證xxxxxd11d04204, 并求其值