整體思想在初中數(shù)學(xué)代數(shù)式求值問題中的應(yīng)用

1、整體思想在初中數(shù)學(xué)代數(shù)式求值問題中的應(yīng)用在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，我們不是從問題的局部著手，而是從問題的整體觀點出發(fā)，將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或作整體處理后，達(dá)到化繁為簡、變難為易的目的，這就是整體思想.其主要表現(xiàn)形式有：整體代換、整體把握、整體設(shè)元、整體變形、整體補形、整體聯(lián)想、整體合并、整體轉(zhuǎn)化等.用整體觀點分析認(rèn)識數(shù)學(xué)公式、法則，用整體觀點計算、證明數(shù)學(xué)問題，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性，進而提高解決問題的效率.因而，整體思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的思想方法.每年的數(shù)學(xué)中考中出現(xiàn)了有創(chuàng)意、新穎的涉及整體思想的試題，尤其在考查高層次思維能力和創(chuàng)新意識方面

2、具有獨特的作用.在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等方面，整體思想都有很好的應(yīng)用.初中數(shù)學(xué)中代數(shù)式求值問題一般可以直接將字母的值代入計算便可解決問題，但對于比較復(fù)雜的代數(shù)式，往往需要先化簡再求值，有時還要用到整體思想方法.一、在整式中的應(yīng)用(1)在幕的運算中的應(yīng)用例1計算：(x+y)9+(x+y)5分析：此題將x+y看作一個整體，即看成一個字母，則可以較簡便地進行計算.此題若拘泥常規(guī)，則舉步維艱；若整體考慮，則暢通無阻.解：(x+y)9+(x+y)5/、9-5=(x+y)/、4=(x+y)說明：此題若改成(x+y)9-(x+y)5,也可以將x+y看作一個整體進行計算.例

3、2已知3x=25,3y=15,求32"丫的值.分析：此題先運用同底數(shù)幕除法的逆運算將所求代數(shù)式進行變形，再運用整體代入進行計算.解：32x-y=3”4=(3x)24-2=252勺5125=丁例3若3x+5y-4=0，求8x32y的值.分析：此題中所求的代數(shù)式中相乘的兩個幕都可以改寫成以2為底數(shù)的幕，變形后出現(xiàn)3x+5y,再將已知條件中的3x+5y作為一個整體代入即可.解：3x+5y-4=03x+5y=4；8x32y=(23)x(25)y=23x25y_r)3x+5y=2=24=16(2)在整式乘除中的應(yīng)用例4計算：(a+b+c)(a-b-c)分析：此題運用多項式乘多項式的法則可以計算

4、出結(jié)果，但運用整體思想將b+c看成一個字母，即看成一個整體，那么就能套用平方差公式進行計算.解：(a+b+c)(a-b-c)=a+(b+c)a-(b+c)=a2-(b+c)2=a2-b2-2bc-c2說明：類似的方法也可用于計算：(a-2b+3c)(a-2b-3c).只要將a-2b看作一個整體就能用平方差公式進行計算.例5計算：(a+b+c)2分析：同例4,此題運用多項式乘多項式的法則可以計算出結(jié)果，若將b+c(或a+b)看成一個字母，即看成一個整體，那么就能套用完全平方公式(兩數(shù)和的平方)進行計算.解：(a+b+c)22=a+(b+c)=a2+2a(b+c)+(b+c)2=a2+2ab+2a

5、c+b2+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac說明：類似的方法也可用于計算：(a+2b-3c)2.只要將a+2b看作一個整體就能用完全平方公式(兩數(shù)差的平方)進行計算.2+2例6已知x(x+1)-(x2+y)=-3，求-xy的值.2分析：此題的已知條件化簡可得到x-y=-3,而所求代數(shù)式結(jié)合乘法公式變形后會出現(xiàn)x-y,然后將x-y=-3整體代入即可求值.解：由已知條件化簡得：x-y=-32222.Xyxy二xy一2xy22(xy)2.(-3)2=92例7已知5x+y=6,求y2+5xy+30x的值.分析：此題可以運用整體代入法”求解.解:y2+5xy+30x=y(5x+y)+

6、30x=6y+30x=6(y+5x)=6>6=36說明：在代數(shù)式求值時，如果字母的值沒有明確給出或非常難求，無法直接代入計算，這時，應(yīng)根據(jù)題目的特點，將所求代數(shù)式作適當(dāng)?shù)淖冃?，再將已知條件(一個代數(shù)式)整體代入,往往能得到簡捷的解答.如：已知a+2b=6,求a3+2ab(a+b)+4b3的值.例8求值：(2a+b)10(2a+b)-9,其中a=-3,b=-.42分析：此題若將代數(shù)式先展開化簡再把字母的值代入求值，則非常繁瑣.而將2a+b看作一個整體，先將2a+b得值計算出來，再整體代入，則可以達(dá)到事半功倍的效果.角單：a=-,b=-422a+b=-1.(2a+b)10(2a+b)-9=-

7、1x10X(-1)-9=-1x(-19)=19例9計算：4(x-2)2+12(x+2)(x-2)-8(x-1)(x-2)+4(x-2).分析：此題可以將4(x-2)看作整體，運用多項式除以單項式的法則進行計算.解：4(x-2)2+12(x+2)(x-2)-8(x-1)(x-2)+4(x-2)=4(x-2)2+4(x-2)3(x+2)-4(x-2)2(x-1)+4(x-2)=(x-2)+3(x+2)-2(x-1)=2x+6(3)在因式分解中的應(yīng)用例10分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析：為解較復(fù)雜的單項式因式分解問題，我們可以把某一單項式(或多項式)看作一個整體.此題中將x2+x

8、+1看作一個整體，原式可變?yōu)閤2+x+1的二次三項式.解：(x2+x+1)(x2+x+2)-12=(x2+x+1)(x2+x+1)+1-12=(x2+x+1)2+(x2+x+1)-12=(x2+x+1+4)(x2+x+1-3)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)說明：運用整體觀點對較復(fù)雜的單項式進行因式分解，思路清晰，目標(biāo)明確.如對xn+3-7xn+2-8xn+1進行因式分解時應(yīng)將xn+1整體地看作公因式.例11分解因式(z2-x2-y2)2-4x2y2分析：此題若用常規(guī)解法，即先去括號，再分解，勢必造成分解上的困難；若運用整體的觀點，將z2-x2-y2和2

9、xy分別看成兩個整體，則可以簡便地用平方差公式進行因式分解.解：(z2-x2-y2)2-4x2y2=(z2-x2-y2)2-(2xy)2=(z2-x2-y2+2xy)(z2-x2-y2-2xy)=z2-(x-y)2z2-(x+y)2=(z+x-y)(z-x+y)(z+x+y)(z-x-y)例12分解因式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-3分析：此題若將幾個因式的乘積計算出來后再進行分解因式，則解答相當(dāng)麻煩和困難.但采用整體思想方法，此問題將能化難為易.解：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-3=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)-3=(x2-5x+4)(x2-5x+6)-3

10、=(x2-5x)2+10(x2-5x)+21=(x2-5x+3)(x2-5x+7)例13(4)在整式加減中的應(yīng)用已知x+y=4,求x3+12xy+y3的值.分析：此題運用常規(guī)代入法解答較繁，若先將所求代數(shù)式中的x3+y3用立方和公式進行分解因式得到(x+y)(x2-xy+y2),再將x+y看作一個整體，代入計算.解：x3+12xy+y3=(x+y)(x2-xy+y2)+12xy=4(x2-xy+y2)+12xy=4x2+8xy+4y2=4(x2+2xy+y2)2=4(x+y)=442=64若a+8=b+4=c+5,求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值.分析:由已知條件可得到a-b、b-c、

11、a-c的值，再將所求代數(shù)式配方整理后可以將a-b、b-c、a-c的值分別作為一個整體代入即可求值.解：由題可得：a-b=-4,b-c=1,a-c=-3a2+b2+c2-ab-bc-ac=1(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)=1(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2)2=1(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=2(-4)2+12+(-3)2=13說明：在進行條件求值時，可以根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征，合理變形，構(gòu)造出條件中含有的模型，然后整體代入，從整體上把握方向和策略，從而簡化問題.二、在分式中的應(yīng)用(1)在分式乘除中的應(yīng)用例計算:©a2%人殳a3a

12、9，©a2a9Aa2a3a8J(2)在分式加減中的應(yīng)用(3)在分式方程中的應(yīng)用三、在數(shù)的開方和二次根式中的應(yīng)用例計算：(V2-2V3+V6)(V2+2V3-V6)分析：此題應(yīng)將2<3-6看作一個整體，運用平方差公式進行計算即可.解：(V2-2j3+«6)(<2+2V3-V6)=J2-(2-6)<2+(23-76)二(M2)-(2>3-6q)=2-(12-4.18+6)=122-16例已知x2-5x-1=0，求：x211的值.x分析：由已知條件求出x的值，再代入求值，計算比較復(fù)雜.若由條件得出x-3的值,x再整體代入，則可化繁為簡.解：由題可得xwo將

13、x2-5x-1=0兩邊同時除以x得x-=5x,21112,'T2Z-”+f11=i，(x)+2-11=%5+211=4xx例已知x=1紅5，求4x2-4x-7的值.2分析：此題按照常規(guī)的解法可以把x的值直接代入，通過二次根式的計算求出代數(shù)式的值.若運用整體思想，則可以化繁為簡.癡1-2.5解：x=2 2x=1-25即(2x-1)2=(-2J5)2 4x2-4x+1=20 4x2-4x=194x2-4x-7=19-7=12說明：對于次數(shù)較高的關(guān)于某一字母的多項式求值問題，我們常利用等式的性質(zhì)，將已知條件轉(zhuǎn)化為一元二次方程的形式，然后整體代入，達(dá)到迅速降次的目的.例已知x-1=T3,求x3-x2-x+1的值.分析：此題按照常規(guī)的解法可以