第五課時等差數(shù)列的前n項和(一)

1、第五課時等差數(shù)列的前n項和(一)教學目標：掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路，會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題；提高學生的推理能力，增強學生的應用意識教學重點：等差數(shù)列前n項和公式的推導、理解及應用.教學難點：靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關問題.教學過程：I復習回顧經(jīng)過前面的學習，我們知道，在等差數(shù)列中：(1) anan-1=d(n>1),d為常數(shù).(2) 若a,A,b為等差數(shù)列，則(3) 若m+n=p+q,貝Vam+an=ap+aq.(其中m,n,p,q均為正整數(shù))n講授新課隨著學習數(shù)列的深入，我們經(jīng)常會遇到這樣的問題例：如圖，一個堆放鉛筆的

2、V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面層多放一支，最上面一層放120支，這個V形架上共放著多少支鉛筆這是一堆放鉛筆的V形架，這形同前面所接觸過的堆放鋼管的示意圖，看到此圖，大家都會很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關系，而且可以用一個式子來表示這種關系，利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù)那么，這個V形架上共放著多少支鉛筆呢？這個問題又該如何解決呢？經(jīng)過分析，我們不難看出，這是一個等差數(shù)求和問題？首先，我們來看這樣一個問題：1+2+3+100=?對于這個問題，著名數(shù)學家高斯10歲時曾很快求出它的結果，你知道他是怎么算的嗎？高斯的算法是：首項與末項的和：1+100=101，第2項與倒數(shù)第2

3、項的和：2+99=101，第3項與倒數(shù)第3項的和：3+98=101，第50項與倒數(shù)第50項的和：50+51=101，于是所求的和是10仁虧=5050.這個問題，它也類似于剛才我們所遇到的問題，它可以看成是求等差數(shù)列1，2，3,n,的前100項的和.在上面的求解中，我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項、末項及項數(shù)n來表示，且任意的第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首項與末項的和，這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項的和.如果我們可歸納出一計算式，那么上述問題便可迎刃而解設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,即卩Sn=a1+a2+a*把項的次序反過來，Sn又可寫成Sn=an+a.-1+玄1+2Sn=(a1+an)+(

4、a2+an-1)+(an+a1)又ta2+an1=a3+an2=a4+an3=an+a1-2Sn=n(a1+an)即:Sn=n(a1+an)若根據(jù)等差數(shù)列an的通項公式，Sn可寫為：Sn=a1+(a1+d)+a1+(n1)d，把項的次序反過來，Sn又可寫為：Sn=an+(and)+心.一(n1)d，把、兩邊分別相加，得n個_,2Sn=(a1an)1an)亠亠an)=n(a1+an)由此可得等差數(shù)列an的前n項和的公式Sn="(引+即:Sn=n(a1+an).2'也就是說，等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半又Tan=a1+(n1)d,cn(a1+an)Sn=用這

5、個公式來計算1+2+3+-+100=?我們有S100=100(丁100)=5050.na1+a1+(n1)d)n(n1)=na1+2d小n(a1+an)-2*Sn=2有了此公式，我們就不難解決最開始我們遇到的問題，下面我們看具體該如何解決?分析題意可知，這個V形架上共放著120層鉛筆，可記為an，其中a1=1,a120=120,n=120.解：設自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列an，其中n(n1)或Sn=na1+2d且自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列,n=120,ai=1,ai20=120.則：S120=120(吁120)=726054?(2)已知a6=20,求Sii.ai,ai6,d,但由等差數(shù)分析

6、：(1)由于本題只給了一個等式，不能直接利用條件求出列的性質(zhì)，可以直接利用條件求出ai+ai6的和，于是問題得以解決(2)要求Sii只需知道ai+an即可，而ai與的等差中項恰好是a6,從而問題獲解解：(i)Ta2+ai5=85+ai2=ai+ai6=i8i6(ai+ai6)2=8Xi8=i44.(2ai+aii=2a6(ai+aii)2=iia6=iix20=220.例2有一項數(shù)為2n+i的等差數(shù)列，求它的奇數(shù)項之和與偶數(shù)項之和的比分析一：利用Sn=nai+n(ni)2d解題.解法一：設該數(shù)列的首項為ai，公差為d,奇數(shù)項為ai,ai+2d，其和為S|，共n+i項；偶數(shù)項為ai+d,ai+3

7、d,ai+5d,，其和為S2,共n項.分析二：利用Sn=n(ai+an)解題.SiS2(n+n(ai+d)+2n(ni)2dai+2(n+i)(n+i)i2dn+i解法二：由解法一知:Si=(ai+a2n+1)2n(a2+a2n)2._.Sin+i-ai+a2n+i=a2+a2n/=、S2n例3若兩個等差數(shù)列的前n項和之比是(7n+i)：(4n+27)，試求它們的第ii項之比分析一：利用性質(zhì)m+n=p+q=am+an=ap+aq解題.解法一：設數(shù)列an的前n項和為Sn,數(shù)列5的前n項和為Tnai+a2iibi+b2i則：aii2,bii=2，ai+a2iai+a2i.aii222iS2i7X2

8、i+i4biibi+b2ibi+b2iT2i=4X2i+27=3222i分析二：利用等差數(shù)列前n項和Sn=An2+Bn解題.解法二：由題設，令Sn=(7n+i)nk,Tn=(4n+27)nk由an=SnSi-1=k(i4n6)，得aii=i48k,n2bn=TnTn-i=k(8n23),得bii=iiik,n>2,2a11bn評述：對本例,則：148k_4iiik=3.般性的結論有：已知等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為Sn和G,(1)anS2n-1am2n1bnT2n-1；(2)bn2m-14等差數(shù)列an的前m項和為B.170S2m1T2n1.30,前2m項和為100，則它的前3m項和

9、為C.210D.260答案：C例A.30分析一：把問題特殊化，即命m=1來解.解法一：取m=1，貝Va1=S1=30,a?=S2S|=70-d=a2a1=40,a3=a2+d=70+40=110,S3=a1+a2+a3=210分析二：利用等差數(shù)列的前n項和公式Sn=na1+n(；1>d進行求解.解法二：由已知，得m(m1)Sm=ma1+d=3022m(2m1)S2m=2ma1+d=100解得a1=+馬,d=瑪mm'mS2m=3mai+3m(3m1)d=210.分析三：借助等差數(shù)列的前n項和公式Sn=n(ai+an)及性質(zhì)m+n=p+am+an=ap+aq求解.ym(ai+am)=

10、60m(a1+a2m)=100解法三：由已知得m丄am)2S3m(a1+a3m)=2S3m'a3ma2m=a2mam由一及一結合，得S3m=210.分析四：根據(jù)性質(zhì)：“已知an成等差數(shù)列，(k>2)成等差數(shù)列”解題.解法四：根據(jù)上述性質(zhì)，知Sm,S2mSm,故Sm+(S3mS2m)=2(S2mSm),-S3m=3(SmSm)=210.分析五：根據(jù)Sn=an2+bn求解.解法五：a.為等差數(shù)列，設0=a們2+b,22Sm=am+bm=30,S2m=4ma+2mb=100得a20h10得a=2,b=mm則Sn,EnSn,3nEn,，SknS(k-1)n,S3mEm成等差數(shù)列.S3m=

11、9ma+3mb=210.分析六：運用等差數(shù)列求和公式，Sn=nai+n1）d的變形式解題解法六：由Sn=nai+“（門?1）d，即學=ai+d由此可知數(shù)列哼也成等差數(shù)列，也即詈，Sm，S3m成等差數(shù)列.由Sm=m+Sm，Sm=30,S2m=100-S3m=21°.評述：一般地，對于等差數(shù)列am中，有Sp-4p-qSp+qp+q(p豐q).10個數(shù)的和.,X10,b成等差10a+b11-S=10x1+10X92d=1010a+b1110>9+""2ba11=5(a+b)例5在a,b之間插入10個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等差數(shù)列，求這分析：求解的關鍵有二：其一是求

12、和公式的選擇；其二是用好等差數(shù)列的性質(zhì)解法一：設插入的10個數(shù)依次為X1,X2,X3,，X10,貝ya,X1,X2,數(shù)列.令S=x1+x2+x3+x10,需求出首項x1和公差d.tb=a12=a1+11dbaba-d=7T，x1=a+IT解法二：設法同上，但不求d.依x1+x10=a+b10(X1+X10)2=5(a+b)解法三：設法同上，正難則反S=S12(a+b)=12(a+b)2(a+b)=5(a+b)評述：求和問題靈活多變，要注意理解和運用.5°的等差數(shù)列,且最小角是例6在凸多邊形中，已知它的內(nèi)角度數(shù)組成公差為120°,試問它是幾邊形？解：設這是一個n邊形，則“n(n1)0,、0Sm=nX1200+50=(n-2)X18001200+(n1)5°v180°f2<n225n+144=0活V13所以這是一個九邊形川.課堂練習課本P42練習1,2,3,4.IV課時小結通過本節(jié)學習，要熟練掌握等差數(shù)列前Sn=n(ai+a*)2=nai+n(n1)2n項和公式：d及其獲取思路v課后作業(yè)課本P45習題1,2,32答案：這個V形架上共放著7260支鉛筆.下面我們再來看一例題：等差數(shù)列一10,6,-2,2,前多少項的和