注重?cái)?shù)學(xué)的整體性提升系統(tǒng)思維水平

1、注重?cái)?shù)學(xué)的整體性提升系統(tǒng)思維水平注重?cái)?shù)學(xué)的整體性提升系統(tǒng)思維水平人民教育出版社人民教育出版社 章建躍章建躍一、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性一、關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性 整體是事物的一種真實(shí)存在形式。整體是事物的一種真實(shí)存在形式。 數(shù)學(xué)是一個(gè)整體。數(shù)學(xué)是一個(gè)整體。 數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等數(shù)學(xué)的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上，同時(shí)也體現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系現(xiàn)在同一部分內(nèi)容中知識(shí)的前后邏輯關(guān)系上上縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系。縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系。 學(xué)生的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、逐步深入的，概學(xué)生的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)、逐步深入的，概念要逐個(gè)學(xué)，知識(shí)要逐步

2、教。如何處理好念要逐個(gè)學(xué)，知識(shí)要逐步教。如何處理好這種矛盾，是教學(xué)中的核心問(wèn)題。這種矛盾，是教學(xué)中的核心問(wèn)題。例例“反比例函數(shù)反比例函數(shù)”反映的整體性反映的整體性 學(xué)習(xí)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)：反比例關(guān)系，函數(shù)、自變量、：反比例關(guān)系，函數(shù)、自變量、函數(shù)值等概念，三種表示形式，函數(shù)圖像函數(shù)值等概念，三種表示形式，函數(shù)圖像的概念，一次函數(shù)、二次函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)的概念，一次函數(shù)、二次函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)（函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、過(guò)程和方法）。（函數(shù)的研究?jī)?nèi)容、過(guò)程和方法）。 研究一類函數(shù)的內(nèi)容、過(guò)程研究一類函數(shù)的內(nèi)容、過(guò)程：背景：背景概概念念圖象與性質(zhì)圖象與性質(zhì)簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用。簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用。 研究方法研究方法：特殊到一般、具體到

3、抽象；數(shù)：特殊到一般、具體到抽象；數(shù)形結(jié)合（畫圖像、觀察圖像得性質(zhì)等）。形結(jié)合（畫圖像、觀察圖像得性質(zhì)等）。反比例函數(shù)概念的抽象過(guò)程反比例函數(shù)概念的抽象過(guò)程 概念的引入概念的引入借助具體事例，從數(shù)學(xué)概借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要引入概念；引入概念； 概念屬性的歸納概念屬性的歸納對(duì)典型豐富的具體例對(duì)典型豐富的具體例證進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，歸納不證進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征；同例證的共同特征； 概念的抽象與概括概念的抽象與概括下定義，給出準(zhǔn)確下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述（文字的、符號(hào)的）；的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描

4、述（文字的、符號(hào)的）； 概念的辨析概念的辨析以實(shí)例為載體分析概念關(guān)以實(shí)例為載體分析概念關(guān)鍵詞的意義（恰當(dāng)使用反例）；鍵詞的意義（恰當(dāng)使用反例）； 概念的鞏固應(yīng)用概念的鞏固應(yīng)用用概念解決簡(jiǎn)單問(wèn)題用概念解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，形成用概念作判斷的具體步驟；，形成用概念作判斷的具體步驟； 概念的概念的“精致精致”通過(guò)概念的綜合應(yīng)用通過(guò)概念的綜合應(yīng)用，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，將概念納入概，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，將概念納入概念系統(tǒng)。念系統(tǒng)。 上述過(guò)程與正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次上述過(guò)程與正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等概念的抽象過(guò)程是一脈相承的。函數(shù)等概念的抽象過(guò)程是一脈相承的。 其實(shí)，初中教材中的概念編寫思路基本上

5、其實(shí)，初中教材中的概念編寫思路基本上都按照這個(gè)都按照這個(gè)“套路套路”展開。展開。反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究思路反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究思路 畫出圖象，并根據(jù)圖象和函數(shù)表達(dá)式探索畫出圖象，并根據(jù)圖象和函數(shù)表達(dá)式探索其性質(zhì)。其性質(zhì)。 上述過(guò)程體現(xiàn)了研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)上述過(guò)程體現(xiàn)了研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)的一般過(guò)程與方法。的一般過(guò)程與方法。概念辨析概念辨析 成反比例的量和關(guān)系：成反比例的量和關(guān)系：xy=k（定值），這里（定值），這里x和和y都是可以變化的；都是可以變化的； 反比例函數(shù)：體現(xiàn)的反比例函數(shù)：體現(xiàn)的“變化規(guī)律變化規(guī)律”是是“變量變量y隨變量隨變量x的變化而變化，且它們的積的變化而變

6、化，且它們的積xy保持不保持不變變”。 關(guān)鍵詞：反比例；函數(shù)。關(guān)鍵詞：反比例；函數(shù)。 y=1/x2 ，y是是x2的反比例函數(shù)，對(duì)嗎？的反比例函數(shù)，對(duì)嗎？ 注意：自變量是注意：自變量是x而不是而不是x2；“反比例函數(shù)反比例函數(shù)”是是“自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值成反比例關(guān)系自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值成反比例關(guān)系”。二、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng)二、關(guān)于系統(tǒng)思維的培養(yǎng) 數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)需數(shù)學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)需要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作要系統(tǒng)思維。系統(tǒng)思維就是把認(rèn)識(shí)對(duì)象作為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系為系統(tǒng)，從系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地統(tǒng)

7、和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用中綜合地考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法。系統(tǒng)思維考察認(rèn)識(shí)對(duì)象的一種思維方法。系統(tǒng)思維能極大地簡(jiǎn)化人們對(duì)事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思能極大地簡(jiǎn)化人們對(duì)事物的認(rèn)知。系統(tǒng)思維給我們帶來(lái)整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)維給我們帶來(lái)整體觀、全局觀，具備系統(tǒng)思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn)。思維是邏輯抽象能力強(qiáng)的集中表現(xiàn)。例例 “三角形三角形”研究中的系統(tǒng)思維研究中的系統(tǒng)思維 定義定義“三角形三角形”，明確它的構(gòu)成要素；用，明確它的構(gòu)成要素；用符號(hào)表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為符號(hào)表示三角形及其構(gòu)成要素；以要素為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類；標(biāo)準(zhǔn)對(duì)三角形進(jìn)行分類；明確研究對(duì)明確研究對(duì)象象 基本性質(zhì)，即研究要素

8、之間的關(guān)系，得到基本性質(zhì)，即研究要素之間的關(guān)系，得到 “三角形內(nèi)角和等于三角形內(nèi)角和等于180” 等；等； 研究研究“相關(guān)要素及其關(guān)系相關(guān)要素及其關(guān)系”，如，如“三角形三角形的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和的外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和”等；等； 三角形的全等（反映空間的對(duì)稱性，三角形的全等（反映空間的對(duì)稱性，“相相等等”是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成是重要的數(shù)學(xué)關(guān)系，也可以看成“確確定一個(gè)三角形的條件定一個(gè)三角形的條件”）；）； 特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、特殊三角形的性質(zhì)與判定（等腰三角形、直角三角形）；直角三角形）； 三角形的變換（如相似三角形等）；三角形的變換（如相似三角形等）； 直角三角

9、形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)）直角三角形的邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)），解直角三角形；，解直角三角形； 解三角形（正弦定理、余弦定理）。解三角形（正弦定理、余弦定理）。把三角形作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究把三角形作為一個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行研究 明確研究對(duì)象（定義、表示、分類）明確研究對(duì)象（定義、表示、分類） 性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）性質(zhì)（要素、相關(guān)要素的相互關(guān)系）特例（性質(zhì)和判定）特例（性質(zhì)和判定）聯(lián)系；聯(lián)系； 定性研究（相等、不等、對(duì)稱性等）定性研究（相等、不等、對(duì)稱性等）定量研究（面積、勾股定理、相似、解三定量研究（面積、勾股定理、相似、解三角形等）。角形等）。 培養(yǎng)系統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思培養(yǎng)系

10、統(tǒng)思維，是為了使學(xué)生養(yǎng)成全面思考問(wèn)題的習(xí)慣，避免考問(wèn)題的習(xí)慣，避免“見木不見林見木不見林”，進(jìn)，進(jìn)而使他們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能把解決問(wèn)而使他們?cè)诿鎸?duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能把解決問(wèn)題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過(guò)程、解決過(guò)程的題的目標(biāo)、實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的過(guò)程、解決過(guò)程的優(yōu)化以及對(duì)問(wèn)題的拓展、深化等作為一個(gè)優(yōu)化以及對(duì)問(wèn)題的拓展、深化等作為一個(gè)整體進(jìn)行研究。這樣，整體進(jìn)行研究。這樣，“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的人才，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的人才”就能就能落在實(shí)處。落在實(shí)處。什么叫性質(zhì)？什么叫性質(zhì)？ 性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部性質(zhì)是指事物所具有的本質(zhì)，即事物內(nèi)部穩(wěn)定的聯(lián)系。穩(wěn)定的聯(lián)系。 問(wèn)

11、題：這里的問(wèn)題：這里的“事物內(nèi)部事物內(nèi)部”指什么？指什么？“穩(wěn)穩(wěn)定的聯(lián)系定的聯(lián)系”是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能是怎么表現(xiàn)的？到底怎樣才能發(fā)現(xiàn)這種發(fā)現(xiàn)這種“聯(lián)系聯(lián)系”？ 從三角形的從三角形的“內(nèi)角和為內(nèi)角和為180”、“兩邊之兩邊之和大于第三邊和大于第三邊”、“大邊對(duì)大角大邊對(duì)大角”、“等等邊對(duì)等角邊對(duì)等角”等你想到了什么？等你想到了什么？ “內(nèi)部?jī)?nèi)部”可以是可以是“三角形的組成要素三角形的組成要素”，“穩(wěn)定的聯(lián)系穩(wěn)定的聯(lián)系”是指是指“三角形要素之間確三角形要素之間確定的關(guān)系定的關(guān)系”。 幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性幾何對(duì)象組成要素之間確定的關(guān)系就是性質(zhì)。質(zhì)。 從從“外角等于不相鄰兩內(nèi)角的

12、和外角等于不相鄰兩內(nèi)角的和”、“三三條高交于一點(diǎn)條高交于一點(diǎn)”、“等腰三角形三線合一等腰三角形三線合一”等又想到了什么？等又想到了什么？ 把外角、高、中線、角平分線等叫做三角把外角、高、中線、角平分線等叫做三角形的相關(guān)要素，這些形的相關(guān)要素，這些“相關(guān)要素相關(guān)要素”也可以也可以看成是看成是“三角形的內(nèi)部三角形的內(nèi)部”。 要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)要素、相關(guān)要素之間確定的關(guān)系也是性質(zhì)。 兩個(gè)幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體兩個(gè)幾何事物所形成的某種位置關(guān)系所體現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從現(xiàn)的性質(zhì)，例如兩條直線平行，從“同位同位角相等角相等”、“內(nèi)錯(cuò)角相等內(nèi)錯(cuò)角相等”以及以及“同旁內(nèi)同旁

13、內(nèi)角互補(bǔ)角互補(bǔ)”可以想到，這時(shí)的可以想到，這時(shí)的“性質(zhì)性質(zhì)”是借是借助助“第三條直線第三條直線”構(gòu)成一些角，然后看由構(gòu)成一些角，然后看由兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些兩條直線平行這一位置關(guān)系所決定的這些角之間有什么確定的關(guān)系。角之間有什么確定的關(guān)系。 研究?jī)蓚€(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有研究?jī)蓚€(gè)幾何事物的某種位置關(guān)系下具有什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的什么性質(zhì)，可以從探索這種位置關(guān)系下的兩個(gè)幾何事物與其他幾何事物之間是否形兩個(gè)幾何事物與其他幾何事物之間是否形成確定的關(guān)系入手。成確定的關(guān)系入手。圓的幾何性質(zhì)圓的幾何性質(zhì) 要素：圓心、半徑、直徑、弧、圓心角；要素：圓心、半徑、直徑、弧、

14、圓心角； 相關(guān)要素：弦、圓周角相關(guān)要素：弦、圓周角 你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得你認(rèn)為可以怎樣引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的命題？研究的命題？ 同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過(guò)圓心的任何同（等）圓的直徑大于不經(jīng)過(guò)圓心的任何一條弦；一條弦； 垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??；所對(duì)的兩條弧； 在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦相等在同（等）圓中：弧相等則所對(duì)的弦相等，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大，且弦心距也相等；兩條劣弧不等，則大弧所對(duì)的弦較大（弦心距較?。?；逆定理弧所對(duì)的弦較大（弦心距較小）；逆定理也成立。也成立。 切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

15、切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。 過(guò)圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長(zhǎng)相等。過(guò)圓外一點(diǎn)所作圓的兩條切線長(zhǎng)相等。 你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？你能發(fā)現(xiàn)一些與圓心角相關(guān)的定理嗎？從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)從培養(yǎng)系統(tǒng)思維的要求出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué) 以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，按學(xué)以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程為載體，按學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究生的認(rèn)知規(guī)律設(shè)計(jì)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)程，提高發(fā)現(xiàn)和提一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本過(guò)程，提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)認(rèn)出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的能力。識(shí)和解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)化的過(guò)程數(shù)學(xué)化的過(guò)程相似相似對(duì)內(nèi)容的認(rèn)

16、識(shí)對(duì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí) 初中幾何，包括圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、運(yùn)動(dòng)初中幾何，包括圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、運(yùn)動(dòng)或變化、性質(zhì)和證明以及位置等。或變化、性質(zhì)和證明以及位置等。 相似是相似是“圖形的變化圖形的變化”的主要內(nèi)容，研究的主要內(nèi)容，研究的主題是圖形形狀之間的關(guān)系，圖形的位的主題是圖形形狀之間的關(guān)系，圖形的位似還涉及圖形的位置關(guān)系，因此也是似還涉及圖形的位置關(guān)系，因此也是“圖圖形的認(rèn)識(shí)形的認(rèn)識(shí)”的深化；投影與視圖則是在三的深化；投影與視圖則是在三維圖形與二維圖形的轉(zhuǎn)化中，體現(xiàn)出維圖形與二維圖形的轉(zhuǎn)化中，體現(xiàn)出“圖圖形的變化形的變化”。兩種兩種“圖形的變換圖形的變換” 軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)或平移變換：改變了圖形的軸對(duì)稱、旋

17、轉(zhuǎn)或平移變換：改變了圖形的位置但不改變圖形的形狀和大?。晃恢玫桓淖儓D形的形狀和大??； 相似變換：改變了圖形的位置和大小，圖相似變換：改變了圖形的位置和大小，圖形的形狀則保持不變。形的形狀則保持不變。 三角形的相似是三角形的相似是“相似相似”的核心內(nèi)容。的核心內(nèi)容。 “相似相似”與與“全等全等”一般與特殊。一般與特殊。 類比全等三角形，安排相似的內(nèi)容，引導(dǎo)類比全等三角形，安排相似的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生探索相似三角形的判定和性質(zhì)及在實(shí)學(xué)生探索相似三角形的判定和性質(zhì)及在實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用。際測(cè)量中的應(yīng)用。 位似圖形是一種具有特殊位置關(guān)系的相似位似圖形是一種具有特殊位置關(guān)系的相似圖形，可用來(lái)放大或縮小圖形；

18、在直角坐圖形，可用來(lái)放大或縮小圖形；在直角坐標(biāo)系中研究位似，用坐標(biāo)之間的關(guān)系表示標(biāo)系中研究位似，用坐標(biāo)之間的關(guān)系表示位似，滲透用代數(shù)方法研究幾何變換的思位似，滲透用代數(shù)方法研究幾何變換的思想。想?！跋嗨葡嗨啤钡膬?nèi)容結(jié)構(gòu)的內(nèi)容結(jié)構(gòu) 圖形的相似圖形的相似 通過(guò)生活實(shí)例，在學(xué)生感受相似圖形的基通過(guò)生活實(shí)例，在學(xué)生感受相似圖形的基礎(chǔ)上，給出相似圖形的概念，再特殊化給礎(chǔ)上，給出相似圖形的概念，再特殊化給出相似多邊形概念，并從定義出發(fā)給出判出相似多邊形概念，并從定義出發(fā)給出判定兩個(gè)多邊形相似的方法，以及相似多邊定兩個(gè)多邊形相似的方法，以及相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)。形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例

19、的性質(zhì)。相似三角形相似三角形 按照按照“定義定義判定判定性質(zhì)性質(zhì)應(yīng)用應(yīng)用”的順序展開。的順序展開。 定義：相似圖形的特殊化，既是判定也是定義：相似圖形的特殊化，既是判定也是性質(zhì)。性質(zhì)。 判定：類比全等三角形的判定，提出尋找判定：類比全等三角形的判定，提出尋找判定三角形相似的任務(wù)。判定三角形相似的任務(wù)?！芭卸ǘɡ砼卸ǘɡ怼钡臉?gòu)建過(guò)程的構(gòu)建過(guò)程 從定義出發(fā)，關(guān)鍵是從定義出發(fā)，關(guān)鍵是“對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)應(yīng)邊成比例”； 通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移等變換，移到通過(guò)旋轉(zhuǎn)、平移等變換，移到“一個(gè)角重一個(gè)角重合、一條邊平行合、一條邊平行”的位置，于是的位置，于是“平行截平行截割割”成為出發(fā)點(diǎn)成為出發(fā)點(diǎn)基本事實(shí)；基本事實(shí)； 特

20、殊化：平行于三角形一邊的直線截其他特殊化：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；段成比例； 預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；相似； 三個(gè)判定定理；三個(gè)判定定理； 特殊化：相似直角三角形的判定定理。特殊化：相似直角三角形的判定定理。 降低了難度但保持了相似三角形的主干內(nèi)降低了難度但保持了相似三角形的主干內(nèi)容，體現(xiàn)了公理化思想。容，體現(xiàn)了公理化思想。“性質(zhì)定理性質(zhì)定理”的構(gòu)建過(guò)程的構(gòu)建過(guò)程通過(guò)“思考”欄目引出問(wèn)

21、題，明確探究方向：通過(guò)“探究”欄目引導(dǎo)學(xué)生探究并證明相似三角形性質(zhì)：銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)對(duì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)對(duì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí) 三角形是最簡(jiǎn)單而基本的封閉圖形，而空三角形是最簡(jiǎn)單而基本的封閉圖形，而空間的大部分基本性質(zhì)都已經(jīng)在三角形的幾間的大部分基本性質(zhì)都已經(jīng)在三角形的幾何性質(zhì)中得到充分體現(xiàn)。所以，三角形成何性質(zhì)中得到充分體現(xiàn)。所以，三角形成為平面幾何所研究的主角，就在于它既簡(jiǎn)為平面幾何所研究的主角，就在于它既簡(jiǎn)單而又能充分反映空間的本質(zhì)。而在三角單而又能充分反映空間的本質(zhì)。而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最為基形中，等腰三角形和直角三角形是最為基本的。本的。 定性平面幾何研究的主題是定性平面幾何

22、研究的主題是“全等形全等形”和和“平行性平行性”。其中有兩個(gè)核心內(nèi)容，一是。其中有兩個(gè)核心內(nèi)容，一是三角形內(nèi)角和定理，二是等腰三角形的性三角形內(nèi)角和定理，二是等腰三角形的性質(zhì)。質(zhì)。 定量平面幾何中，要對(duì)不等長(zhǎng)的兩條線段定量平面幾何中，要對(duì)不等長(zhǎng)的兩條線段、不同大小的兩個(gè)角區(qū)或不同大小的兩個(gè)、不同大小的兩個(gè)角區(qū)或不同大小的兩個(gè)區(qū)域，賦予兩者之間定量的比值去度量?jī)蓞^(qū)域，賦予兩者之間定量的比值去度量?jī)烧咧g的差異。這時(shí)，平行性扮演著舉足者之間的差異。這時(shí)，平行性扮演著舉足輕重的輕重的“角色角色”，其作用是大大簡(jiǎn)化了定，其作用是大大簡(jiǎn)化了定量幾何的基礎(chǔ)理論和基本公式。由此得到量幾何的基礎(chǔ)理論和基本公式

23、。由此得到的是簡(jiǎn)樸好用的矩形面積公式、勾股定理的是簡(jiǎn)樸好用的矩形面積公式、勾股定理和相似三角形定理。和相似三角形定理。 三角學(xué)就是以這三個(gè)定理為基礎(chǔ)，討論三三角學(xué)就是以這三個(gè)定理為基礎(chǔ)，討論三角形的各種幾何量（三邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的角形的各種幾何量（三邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、高、外徑和內(nèi)徑等）之間的度數(shù)、面積、高、外徑和內(nèi)徑等）之間的函數(shù)關(guān)系，銳角三角函數(shù)則是討論直角三函數(shù)關(guān)系，銳角三角函數(shù)則是討論直角三角形各種幾何量之間的函數(shù)關(guān)系，它為討角形各種幾何量之間的函數(shù)關(guān)系，它為討論一般三角形奠定了基礎(chǔ)。因此，研究直論一般三角形奠定了基礎(chǔ)。因此，研究直角三角形的種種性質(zhì)對(duì)定量平面幾何有奠角三角形的種

24、種性質(zhì)對(duì)定量平面幾何有奠基作用?；饔谩?“銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)”就是在研究勾股定理、就是在研究勾股定理、相似三角形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論直角三相似三角形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論直角三角形的邊角之間的關(guān)系，主要內(nèi)容是正弦角形的邊角之間的關(guān)系，主要內(nèi)容是正弦、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念，并、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念，并綜合運(yùn)用這些知識(shí)解直角三角形綜合運(yùn)用這些知識(shí)解直角三角形銳角三角函數(shù)的定義過(guò)程銳角三角函數(shù)的定義過(guò)程 以以“比薩斜塔糾偏問(wèn)題比薩斜塔糾偏問(wèn)題”引入，以引入，以“對(duì)于對(duì)于直角三角形，我們已經(jīng)知道三邊之間、兩直角三角形，我們已經(jīng)知道三邊之間、兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，它的邊角之間有什

25、么個(gè)銳角之間的關(guān)系，它的邊角之間有什么關(guān)系呢？關(guān)系呢？”提出問(wèn)題，然后研究銳角的正提出問(wèn)題，然后研究銳角的正弦，再給出銳角的余弦、正切。弦，再給出銳角的余弦、正切。銳角的正弦的定義銳角的正弦的定義 先利用先利用“直角三角形中，直角三角形中，30角所對(duì)的邊角所對(duì)的邊是斜邊的一半是斜邊的一半”，得到，得到30角所對(duì)的邊與角所對(duì)的邊與斜邊的比值；再討論斜邊的比值；再討論45、 60角所對(duì)的角所對(duì)的邊與斜邊的比值；然后討論一般情況：相邊與斜邊的比值；然后討論一般情況：相似直角三角形中，一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊似直角三角形中，一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比，隨著這個(gè)銳角的變化而變化，隨著的比，隨著這個(gè)銳角的變化而

26、變化，隨著它的確定而唯一確定，把它的確定而唯一確定，把RtABC中銳角中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做的對(duì)邊與斜邊的比叫做A的正弦。的正弦。銳角三角函數(shù)概念的展開銳角三角函數(shù)概念的展開 課題的引入課題的引入 從實(shí)際需要看（比薩斜塔糾偏從實(shí)際需要看（比薩斜塔糾偏問(wèn)題）；從數(shù)學(xué)內(nèi)部看（以往討論了直角問(wèn)題）；從數(shù)學(xué)內(nèi)部看（以往討論了直角三角形邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊三角形邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊與角有沒(méi)有確定的關(guān)系？）。與角有沒(méi)有確定的關(guān)系？）。 概念屬性的歸納概念屬性的歸納 例證例證1 從最熟悉的開始，從最熟悉的開始，30角所對(duì)的邊與斜邊的比值是角所對(duì)的邊與斜邊的比值是1/2 。 思考：由

27、這個(gè)結(jié)論能解決什么問(wèn)題？思考：由這個(gè)結(jié)論能解決什么問(wèn)題？當(dāng)當(dāng)A=30時(shí)，已知斜邊就可求出時(shí)，已知斜邊就可求出A的的對(duì)邊，反之也然。對(duì)邊，反之也然。 例證例證2 等腰直角三角形中，銳角等腰直角三角形中，銳角A的對(duì)邊與的對(duì)邊與斜邊的比是多少？由此能解決什么問(wèn)題？斜邊的比是多少？由此能解決什么問(wèn)題？ 歸納：任意給定銳角歸納：任意給定銳角A，A的對(duì)邊與斜邊的對(duì)邊與斜邊的比值是否為一個(gè)確定的值？的比值是否為一個(gè)確定的值？ 概念的明確與表示概念的明確與表示 下定義，用符號(hào)表示。下定義，用符號(hào)表示。 定義的辨析定義的辨析 （1）A為為RtABC的銳角，的銳角， ABC的大小可以變化，但的大小可以變化，但A的

28、對(duì)邊與斜的對(duì)邊與斜邊的比值不變，即對(duì)于每一個(gè)銳角邊的比值不變，即對(duì)于每一個(gè)銳角A都有唯都有唯一確定的比值與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)比值叫做一確定的比值與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)比值叫做A的正弦；（的正弦；（2）符號(hào)）符號(hào)sinA的理解的理解一個(gè)由一個(gè)由A唯一確定的數(shù)，例如唯一確定的數(shù)，例如sin30=1/2 ；等。；等。 概念的鞏固應(yīng)用概念的鞏固應(yīng)用 已知直角三角形的邊求正已知直角三角形的邊求正弦值等。弦值等。 概念的精致概念的精致 解直角三角形。解直角三角形。關(guān)于關(guān)于“解三角形解三角形” 教學(xué)設(shè)計(jì)中，加強(qiáng)思想方法、解決問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)中，加強(qiáng)思想方法、解決問(wèn)題的策略等方面的思考：策略等方面的思考： 如何發(fā)現(xiàn)問(wèn)題；如何

29、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題； 從定性到定量地研究問(wèn)題；從定性到定量地研究問(wèn)題； 將新問(wèn)題化歸為舊問(wèn)題；將新問(wèn)題化歸為舊問(wèn)題； 從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問(wèn)題；等等。從知識(shí)的相互聯(lián)系性思考問(wèn)題；等等。如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問(wèn)題）如何研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（問(wèn)題） 數(shù)學(xué)中，往往是在定性研究問(wèn)題后，希望數(shù)學(xué)中，往往是在定性研究問(wèn)題后，希望得到定量的結(jié)果。一個(gè)三角形有六個(gè)要素得到定量的結(jié)果。一個(gè)三角形有六個(gè)要素，由全等三角形的，由全等三角形的“基本事實(shí)基本事實(shí)”SSSSSS，SASSAS，ASAASA，你能提出什么新的問(wèn)題？，你能提出什么新的問(wèn)題？ 六個(gè)要素中，只要知道三個(gè)（其中至少有六個(gè)要素中，只要知道三個(gè)（其中至少有一個(gè)是邊

30、），三角形就唯一確定。也就是一個(gè)是邊），三角形就唯一確定。也就是說(shuō)，其余三個(gè)要素可以由這三個(gè)要素唯一說(shuō)，其余三個(gè)要素可以由這三個(gè)要素唯一確定。從定量角度，由這三個(gè)要素可以求確定。從定量角度，由這三個(gè)要素可以求出其余三個(gè)要素。出其余三個(gè)要素。關(guān)于解直角三角形關(guān)于解直角三角形關(guān)于解三角形關(guān)于解三角形 對(duì)于對(duì)于“解三角形解三角形”，你會(huì)哪些知識(shí)？，你會(huì)哪些知識(shí)？會(huì)解直角三角形，對(duì)于一般三角形，只有會(huì)解直角三角形，對(duì)于一般三角形，只有“內(nèi)角和定理內(nèi)角和定理”。 給定兩邊一夾角，求其他邊、角給定兩邊一夾角，求其他邊、角化歸化歸為直角三角形。為直角三角形。 還有沒(méi)有其他方法？還有沒(méi)有其他方法？從知識(shí)的聯(lián)系

31、性從知識(shí)的聯(lián)系性出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識(shí)還有哪些？出發(fā)，與解三角形相關(guān)的知識(shí)還有哪些？怎么用？怎么用？ 你還能提出哪些問(wèn)題？你還能提出哪些問(wèn)題？ 對(duì)于一個(gè)確定的三角形，其外接圓是唯一對(duì)于一個(gè)確定的三角形，其外接圓是唯一確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形確定的，因此外接圓的半徑可以用三角形的邊、角來(lái)表示。怎樣用三角形的邊、角的邊、角來(lái)表示。怎樣用三角形的邊、角來(lái)表示它的外接圓半徑？來(lái)表示它的外接圓半徑？ 對(duì)于一個(gè)確定的三角形，它的高、中線、對(duì)于一個(gè)確定的三角形，它的高、中線、角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣角平分線、面積等都是唯一確定的，怎樣用三角形的邊、角來(lái)表示它們的度量？用三角形的邊

32、、角來(lái)表示它們的度量？ 一個(gè)三角形包含的各種幾何量，如三邊的一個(gè)三角形包含的各種幾何量，如三邊的邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)、面積、外徑、內(nèi)徑、高、中線長(zhǎng)、角平分線長(zhǎng)等，這是三徑、高、中線長(zhǎng)、角平分線長(zhǎng)等，這是三角形這個(gè)整體中的各種要素。對(duì)它們之間角形這個(gè)整體中的各種要素。對(duì)它們之間存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)存在的各種函數(shù)關(guān)系的研究中，可以體現(xiàn)出系統(tǒng)思維的力量，在培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思出系統(tǒng)思維的力量，在培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維、掌握維、掌握“認(rèn)識(shí)、解決問(wèn)題的方法認(rèn)識(shí)、解決問(wèn)題的方法”、提、提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力等

33、方面都能發(fā)揮很好的作用。力等方面都能發(fā)揮很好的作用。加強(qiáng)認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題方法的教學(xué)加強(qiáng)認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題方法的教學(xué) 如何獲得研究對(duì)象；如何獲得研究對(duì)象； 構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本線索；構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象的基本線索； 發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的具體問(wèn)題；發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的具體問(wèn)題； 掌握研究問(wèn)題的基本方法。掌握研究問(wèn)題的基本方法。例例 投影與視圖投影與視圖對(duì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)對(duì)內(nèi)容的認(rèn)識(shí) 中心投影、平行投影的事例隨處可見，與中心投影、平行投影的事例隨處可見，與投影相關(guān)的概念都與現(xiàn)實(shí)生活緊密相關(guān)。投影相關(guān)的概念都與現(xiàn)實(shí)生活緊密相關(guān)。 平行投影是三視圖的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。平行投影是三視圖的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。 投影與視圖涉及立體圖形與平面

34、圖形間的投影與視圖涉及立體圖形與平面圖形間的轉(zhuǎn)化，要利用直觀感知、動(dòng)手操作等學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，要利用直觀感知、動(dòng)手操作等學(xué)習(xí)方式，是培養(yǎng)空間觀念的好載體。方式，是培養(yǎng)空間觀念的好載體。 本章順序：投影本章順序：投影三視圖三視圖課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí)（制作立體模型）。（制作立體模型）。投影投影 按照從一般到特殊的線索展開，重點(diǎn)討論按照從一般到特殊的線索展開，重點(diǎn)討論正投影問(wèn)題。正投影問(wèn)題。 從實(shí)例引出投影的概念及其分類（平行投從實(shí)例引出投影的概念及其分類（平行投影、中心投影）；影、中心投影）； 通過(guò)通過(guò)“思考思考”，引導(dǎo)學(xué)生比較和認(rèn)識(shí)中心，引導(dǎo)學(xué)生比較和認(rèn)識(shí)中心投影與平行投影的投影線的區(qū)別，以及平投影與平行投影的投影線的區(qū)別，以及平行投影中行投影中“斜投影斜投影”與與“正投影正投影”的區(qū)別的區(qū)別，進(jìn)而給出正投影的概念；，進(jìn)而給出正投影的概念； 再通過(guò)再通過(guò)“探究探究”，借助生活經(jīng)驗(yàn)，討論正，借助生活經(jīng)驗(yàn)，討論正投影中基本而重要的線段、正方形的投影投影中基本而重要的線段、正方形的投影問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 線段與投影面的位置關(guān)系（有且只有平行線段與投影面的位置關(guān)系（有且只有平行、傾斜和垂直三種），