一致收斂函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)性質(zhì)ppt課件

1、上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁 定理定理 13.8 設(shè)函數(shù)列設(shè)函數(shù)列 fn 在在 (a , x0 )(x0 , b) 上上一致收斂于一致收斂于 f ，且，且, 2, 1)(lim0 naxfnnxx那么那么.lim)(lim0nnxxaxf 即即. )(limlim)(limlim00 xfxfnxxnnnxx 一、一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)一、一致收斂函數(shù)列的性質(zhì)這闡明在一致收斂的條件下，極限可以交換順序這闡明在一致收斂的條件下，極限可以交換順序上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁 證證 先證數(shù)列先證數(shù)列 an

2、收斂由于收斂由于 fn 一致收斂，一致收斂，故對任給的故對任給的 0 , 存在存在 N 0 , 當(dāng)當(dāng) n N 時，對任何時，對任何正整數(shù)正整數(shù) p ，對一切，對一切 x (a , x0 )(x0 , b) 有有 | fn(x) f n+p(x) | 0 , 存在存在 N 0 , 當(dāng)當(dāng) n N 時，時，對任何對任何 x (a , x0 )(x0 , b) 有有 | fn(x) f (x) | /3 和和 | an A | /3 同時成立特別取同時成立特別取 n = N +1，有，有| fN+1(x) f (x) | /3 和和 | aN+1 A | 0 , 當(dāng)當(dāng)0 | x x0 | 時，時， |

3、 fN+1(x) aN+1 | /3這樣當(dāng)這樣當(dāng)0 | x x0 | 0 , 存在存在 N 0 , 當(dāng)當(dāng) n N 時，對一切時，對一切 x a , b，都有都有 | fn ( x ) f ( x ) | N 時有時有|d)(d)(| babanxxfxxf banxxfxfd| )()(| baxd . )(ab 證畢證畢上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁 定理定理 13.11可微性可微性 設(shè)設(shè) x0a , b 為為 fn 的收的收斂點(diǎn)，且斂點(diǎn)，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在在 a , b 上有延續(xù)的導(dǎo)數(shù)，上有延續(xù)的導(dǎo)數(shù)， fn

4、在在 a , b 上一致收斂，那么上一致收斂，那么 . )(ddlim)(lim(ddxfxxfxnnnn 證證設(shè)設(shè),)(lim0Axfnn . )()(limxgxfnn 由題設(shè)及定理由題設(shè)及定理 13.9 知，知，g 在在 a , b 延續(xù)延續(xù)先證：先證： fn 在在 a , b 收斂收斂上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁先證：先證： fn 在在 a , b 收斂收斂對任何對任何 x a , b ，由牛頓，由牛頓-萊布尼茲公式，總有萊布尼茲公式，總有.d)()()(00 xxnnnttfxfxf由于由于 fn(x) 在在 a , b 上延續(xù)，由定理

5、上延續(xù)，由定理13.10 ，得，得)(limxfnn xxnnnnttfxf0d)(lim)(lim0 xxnnttfA0d)(lim.d)(0 xxttgA所以極限所以極限)(limxfnn 存在，設(shè)存在，設(shè). )()(limxfxfnn 上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁于是于是.d)()(d)()(000 xxxxttgxfttgAxf由于由于 g 在在 a , b 上延續(xù)，再由微積分根本定理，得上延續(xù)，再由微積分根本定理，得)(ddxfx xxttgx0d)(dd)(xg . )(ddlimxfxnn 即即. )(ddlim)(lim(ddxf

6、xxfxnnnn 證畢證畢上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁 二、一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)二、一致收斂函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì) 定理定理 13.12延續(xù)性延續(xù)性 假設(shè)函數(shù)項級數(shù)假設(shè)函數(shù)項級數(shù)un(x)在在a , b 上一致收斂，且每一項都延續(xù)，那么其和函數(shù)在上一致收斂，且每一項都延續(xù)，那么其和函數(shù)在a , b 上也延續(xù)上也延續(xù)在定理的條件下，求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順在定理的條件下，求和運(yùn)算與求極限運(yùn)算可以交換順序，即序，即. )(lim)(lim1100 nnxxnnxxxuxu上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁

7、 定理定理 13.12逐項求積逐項求積 假設(shè)函數(shù)項級數(shù)假設(shè)函數(shù)項級數(shù)un(x)在在a , b 上一致收斂，且每一項都延續(xù)，那么上一致收斂，且每一項都延續(xù)，那么.d)(d)(11 bannnbanxxuxxu上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁 定理定理 13.12逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo) 假設(shè)假設(shè) x0a , b 為為un(x)的收斂點(diǎn)，的收斂點(diǎn)， un (x) ( n = 1, 2, . . . ) 在在 a , b 上有延續(xù)的上有延續(xù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)， un (x) 在在a , b 上一致收斂，那么上一致收斂，那么. )(dd)(dd11 nnnnxuxxux上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁上一頁上一頁 下一頁下一頁 主主 頁頁例例3 設(shè)設(shè).,