第四章隨機向量及其分布(1,2)

1、一、隨機向量及其聯(lián)合分布函數(shù)一、隨機向量及其聯(lián)合分布函數(shù) 第四章第四章 隨機向量及其分布隨機向量及其分布 在第三章，我們討論了隨機變量及其分布，但在實際在第三章，我們討論了隨機變量及其分布，但在實際應(yīng)用中往往必須同時考慮幾個隨機變量及它們之間的相互應(yīng)用中往往必須同時考慮幾個隨機變量及它們之間的相互影響。例如，在氣象中氣溫、氣壓、溫度、風(fēng)力等都是需影響。例如，在氣象中氣溫、氣壓、溫度、風(fēng)力等都是需要考察的氣象因素，它們的數(shù)值都是隨機變量。當(dāng)然可以要考察的氣象因素，它們的數(shù)值都是隨機變量。當(dāng)然可以分別地去研究它們，一個一個地處理，那么第三章提供的分別地去研究它們，一個一個地處理，那么第三章提供的方

2、法就可用了。然而這些隨機變量之間有著甚為密切的關(guān)方法就可用了。然而這些隨機變量之間有著甚為密切的關(guān)系，發(fā)掘并利用它們之間的關(guān)系顯然是有重要意義的課題。系，發(fā)掘并利用它們之間的關(guān)系顯然是有重要意義的課題。因此有必要把這些隨機變量作為一個整體來考慮。因此有必要把這些隨機變量作為一個整體來考慮。 設(shè)設(shè)n n個隨機變量個隨機變量X X1 1，X Xn n描述同一個隨機現(xiàn)象，一般描述同一個隨機現(xiàn)象，一般地它們之間存在一定的聯(lián)系，因而需要把它們作為一個整地它們之間存在一定的聯(lián)系，因而需要把它們作為一個整體來研究，我們稱體來研究，我們稱 n n 個隨機變量個隨機變量 X X1 1 ， X Xn n 的整體的

3、整體X X（X X1 1，X Xn n) )為：為： 隨機向量。隨機向量。 定義定義 隨機隨機變量變量 X X 為：為：第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)。則：則： X X 所有可能取值為所有可能取值為 1 1，2 2，6 6，其分布率為：其分布率為：則則 Y Y 所有可能取值為所有可能取值為 1 1，2 2，6 6。其分布率為：其分布率為： 考察先后考察先后擲二個骰子擲二個骰子的的隨機試驗隨機試驗，其，其樣本空間為樣本空間為: : 定義定義 隨機隨機變量變量 Y Y 為：為：兩個骰子兩個骰子中的中的最大點數(shù)最大點數(shù)。XP1266/13456/16/16/16/16/1)6,1).(2,

4、1(),1 ,1()6,6).(2,6(),1 ,6()6,2).(2,2(),1 ,2(,)6,3).(2,3(),1 ,3()6,4).(2,4(),1 ,4(,)6,5).(2,5(),1 ,5(YP1263453611369361363365367 現(xiàn)現(xiàn)定義樣本空間定義樣本空間 上上二維隨機向量二維隨機向量（X X，Y Y）：）：X X ：第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)。 Y Y為：為：兩個骰子兩個骰子中的中的最大點數(shù)最大點數(shù)。同時規(guī)定：同時規(guī)定：事件事件X Xxixi，Y Yyiyi表示事件表示事件X Xxixi與事與事件件Y Yyjyj的交的交。如（。如（X X，Y Y）

5、= =（2 2，5 5），），表示表示： 定義定義 隨機隨機變量變量 X X 為：為：第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)。 定義定義 隨機隨機變量變量 Y Y 為：為：兩個骰子兩個骰子中的中的最大點數(shù)最大點數(shù)。XP1266/13456/16/16/16/16/1)6,1).(2,1(),1 ,1()6,6).(2,6(),1 ,6()6,2).(2,2(),1 ,2(,)6,3).(2,3(),1 ,3()6,4).(2,4(),1 ,4(,)6,5).(2,5(),1 ,5(YP1263453611369361363365367 現(xiàn)現(xiàn)定義樣本空間定義樣本空間 上上二維隨機向量二維隨機向

6、量（X X，Y Y）：）：X X ：第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)。 Y Y為：為：兩個骰子兩個骰子中的中的最大點數(shù)最大點數(shù)。同時規(guī)定：同時規(guī)定：事件事件X Xxixi，Y Yyiyi表示事件表示事件X Xxixi與事件與事件Y Yyjyj的交的交。 如（如（X X，Y Y）= =（2 2，5 5），），表示表示 X=2X=2，Y=5Y=5 ，即：即：第一個第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)骰子出現(xiàn)的點數(shù)是是 2 2。 兩個骰子兩個骰子中的中的最大點數(shù)最大點數(shù)是是 5 5。相應(yīng)的。相應(yīng)的概率為：概率為：1/361/36。 則則二維隨機向量二維隨機向量（X X，Y Y）的的聯(lián)合概率分布聯(lián)合概率分布為

7、：為： 例例 4-2 4-2 擲二個骰子，第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)記為擲二個骰子，第一個骰子出現(xiàn)的點數(shù)記為 X X，兩兩個骰子最大點數(shù)記為個骰子最大點數(shù)記為 Y Y，求（求（X X，Y Y）的聯(lián)合概率分布。的聯(lián)合概率分布。 006/1|,iXjYPiXPjYiXP 解解 X X 所有可能取值為所有可能取值為 1 1，2 2，6 6， Y Y 所有可能取值為所有可能取值為 1 1，2 2，6 6。當(dāng)當(dāng)i ij j時，時，當(dāng)當(dāng)i ij j時，時，當(dāng)當(dāng)i ij j時，時， 36/ 16/ 16/ 1|,iXjYPiXPjYiXP 36/6/6/ 1|,iiiXjYPiXPjYiXP其中其中i i，j j

8、1 1，2 2，6 6。即（即（X X，Y Y）的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為: : 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 636/121XY345636/136/136/136/136/136/136/136/136/136/236/136/136/136/136/136/136/336/636/436/5000000000000000P36/ 136/ 336/ 536/736/ 936/1116/16/16/16/16/16/1P 定義定義 4-1 4-1 設(shè)隨機試驗的樣本空間為設(shè)隨機試驗的樣本空間為 ， 對每對每一個一個 ，有確定的二個實值單值函數(shù)有確定的二個實值單值函數(shù)X X

9、（），），Y Y（）與與之對應(yīng)，則稱（之對應(yīng)，則稱（X X（），），Y Y（）為為二維隨機向量二維隨機向量，簡記，簡記為為（X X，Y Y）。）。（2 - 2 - dimensionalrandomvector ） 在定義在定義4-14-1中要注意中要注意 X X 和和 Y Y 是定義在同一個樣本空間是定義在同一個樣本空間 上的二個隨機變量。上的二個隨機變量。 現(xiàn)在約定：對于二維隨機向量（現(xiàn)在約定：對于二維隨機向量（X X，Y Y），），事件事件X Xxixi，Y Yyiyi表示事件表示事件 X Xxixi與事件與事件Y Yyjyj 的交，其中的交，其中X Xxixi和和Y Yyiyi均是樣本

10、空間均是樣本空間 的子集。同樣的子集。同樣，事，事件件XxXx，YyYy表示事件表示事件XxXx與事件與事件YyYy的交。的交。 定義定義4-2 4-2 設(shè)（設(shè)（X X，Y Y）是一個二維隨機向量，是一個二維隨機向量，x x，y y是二個是二個任意實數(shù)，則稱二元函數(shù)任意實數(shù)，則稱二元函數(shù)為（為（X X，Y Y）的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)（jointjointdistributiondistributionfunctionfunction）。）。 與一維的情形一樣，掌握了聯(lián)合分布函數(shù)也就掌握了二與一維的情形一樣，掌握了聯(lián)合分布函數(shù)也就掌握了二維隨機向量的統(tǒng)計規(guī)律。維隨機向量的統(tǒng)計規(guī)律。 2)(

11、 ),(),(Rx,yyYxXPyxF 聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）具有下列具有下列 5 5個基本性質(zhì)：個基本性質(zhì)： （1 1）2)( , 1),(0Rx,yyxF 證明（證明（1 1）（）（4 4），類似一維隨機變量分布函數(shù)的四），類似一維隨機變量分布函數(shù)的四（2 2）F F（x x，y y）對每個自變量都是單調(diào)非降的；對每個自變量都是單調(diào)非降的；（3 3）對一切實數(shù)）對一切實數(shù) x x 和和 y y，則有則有（4 4）F F（x x，y y）對每個自變量都是右連續(xù)的；對每個自變量都是右連續(xù)的；1),( , 0),(),(FxFyF（5 5）對一切實數(shù)）對一切實數(shù)x x

12、1 1x x2 2，y y1 1y y2 2則有則有0),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF個基本性質(zhì)，下面我們只證（個基本性質(zhì)，下面我們只證（5 5）。）。 xy）yx,(D（5 5）對一切實數(shù)）對一切實數(shù)x x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2則有則有0),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF 證明：證明：由定義由定義4-24-2知知：),(),(yYxXPyxF是（是（X X，Y Y）落在區(qū)域落在區(qū)域 D D 內(nèi)的概率內(nèi)的概率：則則 ),(2121yYyxXxP),(),(121221yYxXxPyYxXxP),(),(2122

13、yYxXPyYxXP),(),(1112yYxXPyYxXP),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF再由概率的非負(fù)性，即知（再由概率的非負(fù)性，即知（5 5）成立。）成立。 xy）22,(yx02x1x1y2y 這是用這是用 F F（x x，y y） 來計算來計算 （X X，Y Y） 落在矩形區(qū)域落在矩形區(qū)域x x1 1 X x X x2 2，y y1 1 Y y Y y2 2概率的公式概率的公式 。2x1x1y2y),(yxF 任何一個聯(lián)合分布函數(shù)任何一個聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）一定具有以上五個基一定具有以上五個基本性質(zhì)；反之，任何具有以上五個基本性質(zhì)的二

14、元函數(shù)本性質(zhì)；反之，任何具有以上五個基本性質(zhì)的二元函數(shù)必可作為某一二維隨機向量（必可作為某一二維隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合分布函數(shù)。的聯(lián)合分布函數(shù)。 由于聯(lián)合分布函數(shù)由于聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）全面描述了隨機向量（全面描述了隨機向量（X X，Y Y）的統(tǒng)計規(guī)律，顯然由（的統(tǒng)計規(guī)律，顯然由（X X，Y Y）的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y），），我們可以得到隨機變量我們可以得到隨機變量 X X 和和 Y Y 各自的分布函數(shù)，即各自的分布函數(shù)，即)()(xXPxFX),(xXP),(yxXP),(xF同樣，同樣，).,(limyxFy我們把我們把).,(li

15、m),()(yxFyFyFxY分別稱為（分別稱為（X X，Y Y）關(guān)于關(guān)于 X X，Y Y)(, )(yFxFYX的的邊際分布函數(shù)邊際分布函數(shù)（marginal distribution functionmarginal distribution function）。）。我們經(jīng)常討論的隨機向量有兩種類型：離散型和連續(xù)型。我們經(jīng)常討論的隨機向量有兩種類型：離散型和連續(xù)型。二、二維離散型隨機向量及其聯(lián)合概率分布二、二維離散型隨機向量及其聯(lián)合概率分布 定義定義 4-3 4-3 若二維隨機向量（若二維隨機向量（X X，Y Y）的所有可能取值是有的所有可能取值是有限對或可列無限多對，則限對或可列無限多對

16、，則 稱（稱（X X，Y Y）為二維離散型隨機向量為二維離散型隨機向量（2-2-dimensional discrete random vectordimensional discrete random vector）。）。 定義定義 4-4 4-4 設(shè)（設(shè)（X X，Y Y）的所有可能取值為的所有可能取值為則稱則稱.,.2, 1.;,.,2, 1 ),(njmiyxji為二維離散型隨機向量（為二維離散型隨機向量（X X，Y Y）的的聯(lián)合概率分布聯(lián)合概率分布（jointjoint.,.2 , 1.;,.,2 , 1 ),(njmiyYxXPPjiijprobability distributio

17、n probability distribution ），），也常用下列表格列出：也常用下列表格列出：1xXY2xmx2y1yny11p12pnp121p22pnp2mnp1mp2mp.聯(lián)合概率分布完整地描述了離散型隨機向量的統(tǒng)計規(guī)律。聯(lián)合概率分布完整地描述了離散型隨機向量的統(tǒng)計規(guī)律。聯(lián)合概率分布具有下列兩個基本性質(zhì)：聯(lián)合概率分布具有下列兩個基本性質(zhì)：.,.2,1.;,.,2,1 0njmipji（2 2）證明（證明（1 1）顯然成立。）顯然成立。 111 ijjip（2 2）由于）由于 11,ijjiyYxXP 11),(ijjiyYxXP再由概率的可列可加性知，再由概率的可列可加性知， 1

18、1),(ijjiyYxXP1)(11 Ppijij 聯(lián)合概率分布一定具有以上二個基本性質(zhì)。反之，若一串聯(lián)合概率分布一定具有以上二個基本性質(zhì)。反之，若一串（1 1）具有以上二個性質(zhì)，具有以上二個性質(zhì)，.,.2, 1.;,.,2, 1 0njmipji則則一定可作為某一二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布。一定可作為某一二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布。 下面舉例說明如何求二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布。下面舉例說明如何求二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布。 例例 4-1 4-1 箱子里裝有箱子里裝有 a a 件正品和件正品和 b b 件次品。每次從箱子件次品。每次從箱子中任取一件產(chǎn)品，共取兩次。設(shè)隨

19、機變量中任取一件產(chǎn)品，共取兩次。設(shè)隨機變量 X X 和和 Y Y 的定義如下：的定義如下： （1 1）第一次取出的產(chǎn)品仍放回去；）第一次取出的產(chǎn)品仍放回去；01X如果第一次取出的是次品如果第一次取出的是次品如果第一次取出的是正品如果第一次取出的是正品01Y如果第二次取出的是次品如果第二次取出的是次品如果第二次取出的是正品如果第二次取出的是正品 （2 2）第一次取出的產(chǎn)品不放回去。）第一次取出的產(chǎn)品不放回去。 在上述兩種情況下分別求出二維隨機向量（在上述兩種情況下分別求出二維隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合的聯(lián)合概率分布。概率分布。 解解 0|000, 0: ) 1 (XYPXPYXP2)(ba

20、abaabaa 0| 101, 0XYPXPYXP2)(baabbabbaa即聯(lián)合概率分布為即聯(lián)合概率分布為: : 0|000, 0: ) 1 (XYPXPYXP2)(baabaabaa 0| 101, 0XYPXPYXP2)(baabbabbaa 1|010, 1XYPXPYXP2)(baabbaabab 1| 111, 1XYPXPYXP22)(babbabbab 0 1 0 122)(baa01XY2)(baab2)(baab22)(bab 例例 4-1 4-1 箱子里裝有箱子里裝有 a a 件正品和件正品和 b b 件次品。每次從箱子件次品。每次從箱子中任取一件產(chǎn)品，共取兩次。設(shè)隨機變

21、量中任取一件產(chǎn)品，共取兩次。設(shè)隨機變量 X X 和和 Y Y 的定義如下：的定義如下： （1 1）第一次取出的產(chǎn)品仍放回去；）第一次取出的產(chǎn)品仍放回去；01X如果第一次取出的是次品如果第一次取出的是次品如果第一次取出的是正品如果第一次取出的是正品01Y如果第二次取出的是次品如果第二次取出的是次品如果第二次取出的是正品如果第二次取出的是正品 （2 2）第一次取出的產(chǎn)品不放回去。）第一次取出的產(chǎn)品不放回去。 在上述兩種情況下分別求出二維隨機向量（在上述兩種情況下分別求出二維隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合的聯(lián)合概率分布。概率分布。 解解 0|000, 0: )2(XYPXPYXP) 1)() 1(

22、11babaaabaabaa 0| 101, 0XYPXPYXP) 1)(1babaabbabbaa即聯(lián)合概率分布為即聯(lián)合概率分布為: : 1|010, 1XYPXPYXP 1| 111, 1XYPXPYXP 0|000, 0: )2(XYPXPYXP) 1)() 1(11babaaabaabaa 0| 101, 0XYPXPYXP) 1)(1babaabbabbaa) 1)(1babaabbaabab) 1)() 1(11bababbbabbab 0 1 0 1)1)()1(babaaa01XY)1)(babaab)1)(babaab)1)()1(bababb 由于（由于（X X，Y Y）的

23、聯(lián)合概率分布全面地描述了二維離散型隨的聯(lián)合概率分布全面地描述了二維離散型隨機向量（機向量（X X，Y Y）取值的統(tǒng)計規(guī)律取值的統(tǒng)計規(guī)律，因此，當(dāng)（，因此，當(dāng)（X，Y）的聯(lián)合的聯(lián)合概率分布已知時，我們就可求出隨機變量概率分布已知時，我們就可求出隨機變量X和和Y的概率分布的概率分布。 定義定義 4-5 4-5 我們將二維離散型隨機向量（我們將二維離散型隨機向量（X X，Y Y）中中 X X（或或 Y Y）的概率分布稱為（的概率分布稱為（X X，Y Y）關(guān)于關(guān)于 X X（或或 Y Y）的的邊際概率分布邊際概率分布（marginal probability distributionmarginal p

24、robability distribution）。）。 我們也可以直接將兩個邊際概率分布寫在（我們也可以直接將兩個邊際概率分布寫在（X，Y）的聯(lián)的聯(lián)合概率分布表中：合概率分布表中： 1xXY2xmx2y1yny11p12pnp121p22pnp2mnp1mp2mp. ipjp.1.jijipp.1p.2p.mp1.iijipp1.p2.pnp.例如，例例如，例4-1中的兩個聯(lián)合概率分布的邊際概率分布分別為中的兩個聯(lián)合概率分布的邊際概率分布分別為 0 1 0 122)(baa01XY2)(baab2)(baab22)(bab (1) (1) 1jp.baabab. ipbabbaa (2) (2

25、) 0 1 0 1)1)()1(babaaa01XY)1)(babaab)1)(babaab)1)()1(bababb1jp.baabab. ipbabbaa 從例從例4-14-1中我們可以發(fā)現(xiàn)，（中我們可以發(fā)現(xiàn)，（1 1）、（）、（2 2）兩者有完全相同）兩者有完全相同的邊際概率分布，而聯(lián)合概率分布卻是不相同的。由此可知，的邊際概率分布，而聯(lián)合概率分布卻是不相同的。由此可知，由邊際概率分布并不能由邊際概率分布并不能唯一唯一地確定聯(lián)合概率分布。地確定聯(lián)合概率分布。三、二維連續(xù)型隨機向量及其聯(lián)合密度函數(shù)三、二維連續(xù)型隨機向量及其聯(lián)合密度函數(shù) 定義定義4-6 4-6 設(shè)二維隨機向量（設(shè)二維隨機向量

26、（X X，Y Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為),(yxF若存在非負(fù)可積二元函數(shù)若存在非負(fù)可積二元函數(shù)，使得對任意實數(shù)使得對任意實數(shù) x x，y y，有有),(yxp 則稱（則稱（X X，Y Y）為為二維連續(xù)型隨機向量二維連續(xù)型隨機向量（2-2-dimensionaldimensional xydudvvupyxF),(),(continuous random vectorcontinuous random vector），）， 而稱而稱 p p（x x，y y）為二維連續(xù)型隨機向量（為二維連續(xù)型隨機向量（X X，Y Y）的的聯(lián)合密聯(lián)合密度函數(shù)度函數(shù)（joint density funct

27、ion joint density function ）。）。聯(lián)合密度函數(shù)具有下列兩個基本性質(zhì)。聯(lián)合密度函數(shù)具有下列兩個基本性質(zhì)。（1 1）（2 2） 證明（證明（1）顯然。）顯然。 2),( 0),(Ryxyxp1),( dudvvup（2 2）),(lim),(1yxFFyx xyyxdudvvup),(lim dudvvup),(),(yxp 聯(lián)合密度函數(shù)一定具有以上兩個基本性質(zhì)；反之，具有聯(lián)合密度函數(shù)一定具有以上兩個基本性質(zhì)；反之，具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù)以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù) p p（x x，y y）必可作為某一二維連續(xù)必可作為某一二維連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合密度函數(shù)。型隨機向量的聯(lián)合

28、密度函數(shù)。 性質(zhì)性質(zhì) 4-1 4-1 設(shè)二維連續(xù)型隨機向量（設(shè)二維連續(xù)型隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度函數(shù)為函數(shù)為，且且 D D 為為 x O y x O y 平面上的一個區(qū)域，則平面上的一個區(qū)域，則 證明證明 （略）（略）dxdyyxpDYXPD),(),(此性質(zhì)的幾何意義是：以此性質(zhì)的幾何意義是：以區(qū)域區(qū)域 D D 為底，為底，D D的邊界為的邊界為為準(zhǔn)線，母線平行于為準(zhǔn)線，母線平行于 z z 軸，軸，曲面曲面 z zp p（x x，y）為頂?shù)臑轫數(shù)那斨w的體積。曲頂柱體的體積。 xy0Dz）yxpz,( 由性質(zhì)由性質(zhì) 4-1 的幾何意義還可知，對矩形區(qū)域的幾何意義還可知

29、，對矩形區(qū)域 D D：有有 ),(2121bYbaXaP 2121),(aabbdxdyyxpxy0Dz）yxpz,(1a2a2b1bdxdyyxpD),( 性質(zhì)性質(zhì) 4-2 4-2 設(shè)設(shè) F F（x x，y y）為二維連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合為二維連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合xxyyyxyxdudvvupyyxxF),(lim),(lim)0, 0(),()0, 0(),(分布函數(shù)，則分布函數(shù)，則 F F（x x，y y）處處連續(xù)。處處連續(xù)。 證明證明 任意實數(shù)任意實數(shù) x x，y y 即即 F F（x x，y y）在（在（x x，y y）處連續(xù)，又（處連續(xù)，又（x x，y y）的任意性的任意性 xyd

30、udvvup),(),(yxF可知，可知，F(xiàn) F（x x，y y）處處連續(xù)。處處連續(xù)。 二維連續(xù)型隨機向量的名稱也由此性質(zhì)而得。二維連續(xù)型隨機向量的名稱也由此性質(zhì)而得。 性質(zhì)性質(zhì) 4-3 4-3 設(shè)設(shè) F F（x x，y y）和和 p p（x x，y y）分別是二維連續(xù)型分別是二維連續(xù)型),(),(2yxpyxyxF 證明證明 由高等數(shù)學(xué)中變上限積分的性質(zhì)即知。由高等數(shù)學(xué)中變上限積分的性質(zhì)即知。隨機向量的聯(lián)隨機向量的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合密度函數(shù)，則在合分布函數(shù)和聯(lián)合密度函數(shù)，則在 p（x，y）的連續(xù)點上，有的連續(xù)點上，有 性質(zhì)性質(zhì) 4-3 4-3 表明，對于二維連續(xù)型隨機向量（表明，對于二維連續(xù)

31、型隨機向量（X X，Y Y）而言，而言，當(dāng)已知聯(lián)合分布函數(shù)當(dāng)已知聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）時，用求混合二階偏導(dǎo)數(shù)可得時，用求混合二階偏導(dǎo)數(shù)可得其聯(lián)合密度函數(shù)。在其聯(lián)合密度函數(shù)。在 p p（x x，y y）不連續(xù)點上即不連續(xù)點上即 F F（x x，y y）的偏的偏導(dǎo)數(shù)不存在點上，導(dǎo)數(shù)不存在點上，p p（x x，y y）的值可任意用一個常數(shù)給出，這的值可任意用一個常數(shù)給出，這不會影響以后有關(guān)事件概率的計算結(jié)果。不會影響以后有關(guān)事件概率的計算結(jié)果。 另外，當(dāng)已知二維連續(xù)型隨機向量（另外，當(dāng)已知二維連續(xù)型隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函的聯(lián)合密度函數(shù)數(shù) p(xp(x，y) y) ，則

32、由定義則由定義4-64-6即可求得聯(lián)合分布函數(shù)即可求得聯(lián)合分布函數(shù) F(xF(x，y).y). xydudvvupyxF),(),( 例例 4-3 4-3 設(shè)隨機向量（設(shè)隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （1 1）由聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)知）由聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)知 dxdyyxp),(132c從而得從而得c 1/3. 1/3. 10202)(dxdycxyx102202)2(

33、dxycxyx102)22(dxcxx01)32(23cxx 例例 4-3 4-3 設(shè)隨機向量（設(shè)隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （2 2）1),(yxdxdyyxp) 1(YXPDdxdyyxp),(dyxyxdxx10212)3(1023)213465(dxxxx7265xy0D1 yx112102212)23(dxxyxyx102226)1()1()322(dxxxxxx

34、x 例例 4-3 4-3 設(shè)隨機向量（設(shè)隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （3 3） xydudvvupyxF),(),(所以，當(dāng)所以，當(dāng)x 0 或或 y 0 時時 00),(),( xyxydudvdudvvupyxFxy0112),( yx 例例 4-3 4-3 設(shè)隨機向量（設(shè)隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) c c；0

35、),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （3 3） xydudvvupyxF),(),(當(dāng)當(dāng)0 x 1，0 y 2時時 xydudvvupyxF),(),( xydudvuvu002)3(123223yxyxxy0112),(yx 例例 4-3 4-3 設(shè)隨機向量（設(shè)隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y

36、）。）。);1( YXP 解解 （3 3） xydudvvupyxF),(),(當(dāng)當(dāng)0 x 1，y2 時時 xydudvvupyxF),(),( xdudvuvu0202)3(233132xx xy0112),(yx 例例 4-3 4-3 設(shè)隨機向量（設(shè)隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （3 3） xydudvvupyxF),(),(當(dāng)當(dāng)x 1，0 y 2 時時 xydudvvu

37、pyxF),(),( 1002)3(ydudvuvu1232yyxy0112),(yx 例例 4-3 4-3 設(shè)隨機向量（設(shè)隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）。）。);1( YXP 解解 （3 3） xydudvvupyxF),(),(當(dāng)當(dāng)x 1，y2 時時 xydudvvupyxF),(),( 10202)3(dudvuvu1xy0112),(yx 例例 4-3 4-3 設(shè)隨機向量（設(shè)隨機向量（X X，Y

38、Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（求：（1 1）常數(shù)）常數(shù) c c；0),(2cxyxyxp20 , 10yx其他其他 （2 2） （3 3）聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F F（x x，y y）。）。);1( YXP綜上所述，綜上所述， xy0112),(yx10),(yxF1232yy233132xx123223yxyx00yx或20 , 10yx2, 10yx20, 1yx2, 1yx),(yxp 當(dāng)隨機向量（當(dāng)隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)已知時，的聯(lián)合密度函數(shù)已知時，如何如何求出求出隨機變量隨機變量 X X 和和 Y Y 的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。 具體地說，已知（具體地

39、說，已知（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為，則：，則：所以，由密度函數(shù)定義知所以，由密度函數(shù)定義知),()()(YxXPxXPxFX xdudvvup),(xdudvvup),(同樣，可求得同樣，可求得Y的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 dyyxpxpX),()(dxyxpypY),()( 定義定義 4-7 4-7 我們稱我們稱為二維連續(xù)型隨機向量為二維連續(xù)型隨機向量dyyxpxpX),()(（X X，Y Y）關(guān)于關(guān)于 X X 的邊際密度函數(shù)的邊際密度函數(shù)（marginal density functionmarginal density function），），稱稱為二維連續(xù)型隨機向

40、量（為二維連續(xù)型隨機向量（X，Y）dxyxpypY),()(關(guān)于關(guān)于 Y 的邊際密度函數(shù)。的邊際密度函數(shù)。 例例 4-4 4-4 設(shè)（設(shè)（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為求（求（X X，Y Y）的邊際密度函數(shù)的邊際密度函數(shù)：).()(ypxpYX，03),(xyxpxyx0, 10其它解解 先畫出區(qū)域（先畫出區(qū)域（x x，y y）0 0 x x1 1，0 0y yx x的圖形，的圖形，dyyxpxpX),()(則則xy011xy 與二維離散型隨機向量一樣，對于二維連續(xù)型隨機向量與二維離散型隨機向量一樣，對于二維連續(xù)型隨機向量03302xxxdy10 x其它dxyxpypY),(

41、)(023233)(21yxdxypyY10 y其它（X X，Y Y）而言，而言， 兩個邊際密度函數(shù)兩個邊際密度函數(shù)也不能惟一地確定聯(lián)合密也不能惟一地確定聯(lián)合密度函數(shù)。度函數(shù)。 下面介紹兩個常用二維連續(xù)型隨機向量。下面介紹兩個常用二維連續(xù)型隨機向量。1 1二維均勻分布二維均勻分布 定義定義 4-8 4-8 設(shè)設(shè) G G 是平面是平面 xOy xOy 上的一個有界區(qū)域，其面上的一個有界區(qū)域，其面積記為積記為 S SG G（0 0）。）。若二維連續(xù)型隨機向量（若二維連續(xù)型隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合的聯(lián)合密度函數(shù)為密度函數(shù)為: :則稱（則稱（X X，Y Y）服從區(qū)域服從區(qū)域G G上的二維均勻分

42、布（上的二維均勻分布（2-2-dimensionaldimensional01),(GSyxpGyx),(其它uniform distributionuniform distribution）。）。 容易驗證容易驗證 p p（x x，y y）滿足滿足聯(lián)合密度函數(shù)的兩個基本性質(zhì)。聯(lián)合密度函數(shù)的兩個基本性質(zhì)。xy0Gz）yxpz,(GS1 若二維隨機向量（若二維隨機向量（X X，Y Y）服從區(qū)域服從區(qū)域G G上的二維均勻分布，上的二維均勻分布，且且GD ，則則 上式表明，上式表明， 二維隨機向量二維隨機向量),(DYXPDdxdyyxp),(DGdxdyS1DGdxdyS1GDSSxy0Gz）yx

43、pz,(GS1D（X X，Y Y） 落在區(qū)域落在區(qū)域 D D 內(nèi)的概率內(nèi)的概率與與 D D 的面積成正比，而與的面積成正比，而與 D D 在在G G 中的位置和形狀無關(guān)。這也是中的位置和形狀無關(guān)。這也是二維均勻分布名稱的由來。二維均勻分布名稱的由來。 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)G G為矩形區(qū)域時，即為矩形區(qū)域時，即 G G（x x，y y）a x ba x b，c y dc y d則此二維均勻分布的聯(lián)合密度函數(shù)為則此二維均勻分布的聯(lián)合密度函數(shù)為0)(1),(cdabyxpdycbxa,其它xy0z）yxpz,()(1cdabGbacd 如果我們在一個面積為如果我們在一個面積為 S SG G 的平面區(qū)

44、域的平面區(qū)域 G G上等可能地投上等可能地投點，令（點，令（X X，Y Y）表示落點的坐標(biāo)，則（表示落點的坐標(biāo)，則（X X，Y Y）服從區(qū)域服從區(qū)域G G上上的二維均勻分布。因此，二維均勻分布實際上就是平面上幾的二維均勻分布。因此，二維均勻分布實際上就是平面上幾何概型的隨機向量描述。這樣，平面上幾何概型問題皆可利何概型的隨機向量描述。這樣，平面上幾何概型問題皆可利用二維均勻分布解決。用二維均勻分布解決。 例例 4-5 4-5 在區(qū)間（在區(qū)間（0 0，a a）的中點兩邊隨機地選取兩點，的中點兩邊隨機地選取兩點，aYaaX2 ,20求兩點間的距離小于求兩點間的距離小于 a/3 a/3 的概率。的概

45、率。 解解 以以 X X 表示中點左邊所取的隨機點到端點的距離，表示中點左邊所取的隨機點到端點的距離，Y Y 表示中點右邊所取的隨機點到端點的距離，即表示中點右邊所取的隨機點到端點的距離，即所以，（所以，（X X，Y Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為即（即（X X，Y Y）服從區(qū)域服從區(qū)域 G G上的二維均勻分布。上的二維均勻分布。04),(2ayxp其它ayaax2,20又又“兩點間距離小于兩點間距離小于a/3a/3”等價于事件等價于事件: : 3aXYDdxdyyxpaXYP),()3(, ,則則92426322dyadxaaxaa3axy6axy02/aa2aGDxy0a2/aXY如

46、用第一章幾何概率計算為：如用第一章幾何概率計算為：22)2/()62(21)3(aaaaXYP.92492122aa2二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布 定義定義 4-9 4-9 若二維連續(xù)型隨機向量（若二維連續(xù)型隨機向量（X，Y）的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度其中其中)()(2)()1(212212222212121212121),(yyxxeyxp,2121).,(),(222121NYX 可以可以驗證驗證 p p（x x，y y）滿足聯(lián)合密度函數(shù)的兩個基本性質(zhì)滿足聯(lián)合密度函數(shù)的兩個基本性質(zhì)。函數(shù)為：函數(shù)為： 為常數(shù)，且為常數(shù)，且則稱（則稱（X X，Y Y）服從二維正態(tài)分布（服從二維正態(tài)分布（2-2-dime

47、nsional normaldimensional normal1| , 0, 0,2121distributiondistribution），），記作記作（1 1）（2 2）2),( 0),(Ryxyxp1),( dudvvup 性質(zhì)性質(zhì) 4-4 若若 ).,(),(222121NYX 證明證明 令令 則則).,(),(222211NYNX則,2211yvxudvedyyxpxpvuvuX)2()1(2121222121),()(dveeuvu)1(2)(221222)1 (2121dteetu22122212121221ue21212)(121xe即為正態(tài)分布的密度函數(shù)，所以即為正態(tài)分布的

48、密度函數(shù)，所以同理可證：同理可證： ),(211NX).,(222NY 第四章第四章 習(xí)題習(xí)題 （P99）1，2，3*，4 （離散）離散）5，6*，7*，8*，9*，10，11*，12（連續(xù)）連續(xù)）13（正態(tài)）正態(tài)） 在第一節(jié)中，我們曾經(jīng)指出，二維隨機向量（在第一節(jié)中，我們曾經(jīng)指出，二維隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合密度函數(shù)不僅描述了的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合密度函數(shù)不僅描述了X X與與Y Y各自的統(tǒng)各自的統(tǒng)計規(guī)律，而且還包含了計規(guī)律，而且還包含了X X與與Y Y相互之間關(guān)系的信息。當(dāng)隨機相互之間關(guān)系的信息。當(dāng)隨機變量變量X X與與Y Y取值的規(guī)律互不影響時，稱取值的規(guī)律互不影響時，

49、稱X X與與Y Y獨立，這是本節(jié)獨立，這是本節(jié)討論的重點。當(dāng)隨機變量討論的重點。當(dāng)隨機變量X X與與Y Y取值的規(guī)律相互影響時，其取值的規(guī)律相互影響時，其中中有一類關(guān)系有一類關(guān)系相關(guān)性，將在第五章第三節(jié)討論。相關(guān)性，將在第五章第三節(jié)討論。 定義定義 4-10 4-10 設(shè)設(shè) F F（x x，y y）為二維隨機向量（為二維隨機向量（X X，Y Y）的的)(),(yFxFYX聯(lián)合分布函數(shù)，聯(lián)合分布函數(shù)，分別為二維隨機向量（分別為二維隨機向量（X X，Y Y）的兩個邊際分布函數(shù)。若對于任意實數(shù)的兩個邊際分布函數(shù)。若對于任意實數(shù)x x，y y，有有則稱則稱隨機變量隨機變量 X X 與與 Y Y 相互獨

50、立相互獨立（independentindependent）。）。否則，否則，)()(),(yFxFyxFYX稱稱隨機變量隨機變量 X X 與與 Y Y 不獨立不獨立（not independentnot independent）。）。 對于二維離散型隨機向量，隨機變量對于二維離散型隨機向量，隨機變量 X X 與與 Y Y 相互獨立，相互獨立，可等價定義可等價定義如下。如下。證明從略。證明從略。 定義定義 4-11 4-11 設(shè)二維離散型隨機向量（設(shè)二維離散型隨機向量（X X，Y Y）的聯(lián)合概率分的聯(lián)合概率分布為布為：若對于任意的正整數(shù)若對于任意的正整數(shù) i i，j j，有有jiijppp.,.2 , 1.;,.,2 , 1 ),(njmiPyYxXPijji即即 )()(),(jijiyYPxXPyY