數(shù)量方法知識點匯總

1、12 .概率的乘法公式:13 .全概率公式:率x B發(fā)生條件下A也同時發(fā)生的概率)1 .數(shù)據(jù)的類型：根據(jù)描述事物所采用的不同尺度，數(shù)據(jù)分為分類型數(shù)據(jù)和數(shù)量型而按照被描述的對象與時間的關系分為截面初|時間序列數(shù)據(jù):平口|行數(shù)據(jù)。|2 .圖形顯示：餅形圖、條形圖、柱形圖、散點圖、折線圖、曲線圖、莖葉圖。(1)悌形圖中乍用:反映各個部分的構(gòu)成各頻率的總合是100%。(2)修形圖和柱形圖：彳言息的比較條形圖：不同單位，不同信息的比較；柱形圖：同一單位不同時間信息的比較。(3)折線圖同柱形圖作用相似，對同一的數(shù)據(jù)折線圖具有唯一性(兩點間有且只有一條直線)。(4) |曲線圖同折線圖作用相似也是表示不同時間

2、信息的比較，但不具有唯一性。(5)敝點圖：|表示兩個變量之間的相互關系。(兩個變量的任何一對取值都在平面直角坐標系上代表一個點)。(6)住葉圖把每一個數(shù)據(jù)分解成兩部分莖與葉(它的優(yōu)點在于它既保留了所有的原始數(shù)據(jù)又直觀地顯示出了數(shù)據(jù)的分布情況(與條形圖相似)3 .平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的關系：(1)數(shù)據(jù)分布是對稱分布時：眾玨=中位數(shù)=平均面(2)數(shù)據(jù)分布不是對稱分布時：左偏分布時：眾數(shù)中位數(shù)(平均數(shù)右偏分布時：眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)(頻數(shù)*組中值)的和4 .分組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(加權(quán)平均)：平均數(shù)=-頻數(shù)的和5 .忸差R=最大值一最小值例差容易受極端值的影響有時是無效的)n13(n1)6 .四分位極差先排隊

3、再等分為4份，其中，一對應Q1,中位數(shù)為Q2,4的對應Q3,n為總個數(shù)。Q3-Q1=四分位極差，這兩個點上的數(shù)值叫四分位點。如果四分位點不是一個整數(shù)則將前后兩位數(shù)相加除以2便是。2127 .方差仃=一工國一X)n8 .變異系數(shù)是標準差與平均數(shù)的比值，即：V=父100%x9 .樣本空間與隨機事件的兩種表訃方法：(1)列舉法；(2)描述法10 .按照隨機變量的取值情況，一般把隨機甌分為：|(1)離散型隨機變量；(2)連續(xù)型隨機變量。11 .若兩個事件是相依的，則不一定是互斥的。P(AB)=P(B)mP(AB)=P(A)mP(BA)(B發(fā)生的概P(B)=P(AB)P(AzB)P(AnB)=PAP(B

4、A)PA2P(BA2)PAnP(BAn)=SP(A)P(B/A)14.貝葉斯公式:【例。全概率】某車間有4個工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個人生產(chǎn)的產(chǎn)品個數(shù)分別占總產(chǎn)量的15%,20%,30%和35%,每個人的次品率分別為0.05,0.4,0.03和0.02,求該產(chǎn)品的總次品率(即隨機地抽取一個產(chǎn)品，它是次品的概率)。解：設Ai代表“取到的產(chǎn)品是第i個人生產(chǎn)的，i=1,2,3,4.設B代表“取到的產(chǎn)品是次品”。根據(jù)題意有：P(B/A1)=0.05P(B/A2)=0.04P(B/A3)=0.03P(B/A4)=0.02P(A1)=0.15P(A2)=0.20P(A3)=0.30P(A4)=0.35我們想

5、要求的是P(B),首先所有的產(chǎn)品都是由4個人中的一個人生產(chǎn)的，因此A1+A2+A3+A4=M,同時，A1,A2,A3.A4兩兩互斥，由概率的加法公式得P(B)=P(BM)+PBn(A1+A2+A3+A4)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)+P(BA4)再由概率的乘法公式，得到P(B)=ZP(A)P(BA)=0.15*0.05+0.20*0.04+0.30*0.03+0.35*0.02=0.0315即總次品率為3.15%假例。全概率】在上例中，假設車間規(guī)定，出了次品要追究有關人士的經(jīng)濟責任，現(xiàn)從生產(chǎn)出的產(chǎn)品中任取一件，結(jié)果為次品，但它是由誰生產(chǎn)的標志已脫落，問這4個人當中誰生產(chǎn)了這個次品

6、的可能性最大？解：沿用上例的符號，我們想求的是P(Ai/B),i=1,2,3,4.由條件概率的定義和乘法公式，我們可以得到：P(A1/B)=0.15*0.05/0.0315=0.238P(A2/B)=0.2*0.04/0.0315=0.254P(A3/B)=0.30*0.03/0.0315=0.286P(A4/B)=0.35*0.02/0.0315=0.222即該次品由第3個人生產(chǎn)的概率最大?！纠Ｘ惾~斯】某出版社向80%教授MBA管理經(jīng)濟學的教師寄送了關于一本管理經(jīng)濟學方面的新教科書的廣告。在收到廣告的教師當中，有30%采用了該書，在沒有收到廣告的教師中了，有10%采用了該書，已知某教師采用

7、了該書，問他收到了廣告的概率是多少？解：設A代表事件“收到廣告”，B為“采用了該書”。則根據(jù)題意P(A)=0.80,P(B/A)=0.30,P(B/A非)=0.10我們想求的是P(A/B)=P(A)P(BA)P(A)P(B/A)P(A非)P(B/A非)=0.8*0.3/0.8*0.3+0.2*0.1=0.923E(2 X)te (2 + X)2 + E (X)E (2+3X) =2+3E (X)15.4望值:E(X)=1XiP17 .二項分布【例】:次品率為0.05(1)從中抽取10個1個為次品，其余為正品9P=0.050.95910個中有1個正品，第2個為次品，其余為正品的概率P(概率)C1

8、100.0510.95910個中有2個次品CM0.052x0.958次品位置固定時前兩個為0.0520.958P(=k)=Pk(1-P嚴X=K表示做幾次試驗，有K次出現(xiàn)的概率為多少。二項頒布率為XB(n、p)二項頒布期望值E(X)=np方差D(X)=np(1-p)18 .卜白松公布:一XP(九)單位時間內(nèi)某事件出現(xiàn)的次數(shù)；E(X)=XXiPE(a+bx)=a+bE(X)2x32x【例。數(shù)學期望】若E(X)=20,求E(2-),E32的期望值。452X1111E(2-)=E(05+1X)=0.5+1E(X)=0.5+E(X)=0.5+,父20444443+2X3上2=E+55X)352=E(X)

9、=532十父20=8.655E(5)16.離散型隨機變量的方九ke*PX=k=te為自然數(shù)=2.71828k!當n很大并且P很小時，可以利用泊松分布來近似地計算二項分布。泊松分布特征值：E(X)=兒(期望值)標準差瓜D(X)=九55。泊松分布】某大學計算機中心有計算機80臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01,假設一臺計算機的故障可由一個維護人員來處理，問至少需配備多少維護人員，才能保證計算機發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.01.解：設需配備N人，用X表示同一時刻發(fā)生故障的計算機臺數(shù)，則X-B(80,0.01),差：D(X)=3x-N)2p=E(?-N)2=E(*)-(EN)

10、2x Za2工重復抽樣;.nN - nx 士 z()不重復抽樣。:n N -1N08ke_08我們要確定使P（X0.99的最小的N。N應滿足工5。e5。0.99即kz0k!2- 2P （x 1 黑、M M x +1 M d）=0.6827;；n】n一、總體分布方差 b2已知，用z代表大樣本一 后了 , 1 I。2=325 1.645 (4.2426) =325 6.98,為 318.02 公里至 331.98 公里之間。P(x 2黑 x x + 2nv )=0.9545nn(2)置信度為95%時Za/2=1.96 , u的置信區(qū)間為325 1.96 (4.2426 )=325 8.32N08k

11、e-081z0.01查表得滿足上式的最小的N是3,即至少應配備3個k0k維護人員。19 .連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望值和方差若已知E（x）,計算E（a+bx尸a+bE（x）方差：若已知D（x）,計算D（a+bx）=b2D（X）所有變量值減去期望值為0。X除以標準差的方差為1?！纠?。連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望和方差】某人估計她家八月份的電費（元）由下式?jīng)Q定：X=28.5+0.6C其中C是八月份的平均溫度（單位：C）,它是均值為34.2,標準差為2.2的連續(xù)型隨機變量，求該人家八月份的平均電費以及標準差。解：該人家八月份的平均電費為：E（X）=28.5+0.6E（C）=28.5+0.6*34.2=49

12、.02（元）其標準差為（rx=VJJ0.62*為2=0.6*2.2=1.3220 .|決策的準則：|（1）極大極小原則（悲觀準則）。（2）最大期望收益原則。（3）最小期望機會損失原則（機會損失）。21 .快策的三個基本要素：|（1）要找出決策方案（兩個以上）。（2）找出自然狀態(tài)（無法控制的）。（3）收益值和損失值（找出不同方案在不同自然狀態(tài)下的收益值和損失值）。22 .總體均值的估計：x（總體均值）；P（總體比例）x1-x2（兩個總體均值之差）；P1-P2（總體比例差）1a的置信度為90%時，Za/2=1.6451a的置信度為95%時，Za/2=1.961a置信度為95.45%時，Zct/2=

13、21a置信度為99.73%時，Z/2=3二、總體正態(tài)分布、方差未知、大樣本s2s2.N。n1-axZa2,一重復抽樣；x士Zj-（）不重復抽樣-n.nN-1【例。置信區(qū)間】某汽車租賃公司欲估計全年每個租賃汽車的顧客每次租賃平均行駛的里程。由于全年汽車租賃量很大，隨機抽取了200個顧客，根據(jù)記錄計算平均行駛里程X=325公里，標準差s=60公里。試估計全年所有租賃汽車每次平均行駛里程的置信區(qū)間。置信水平分別為（1）0.90,（2）0.95.解：由于樣本量n=200為大樣本，故x的抽樣分布為正態(tài)分布，x的標準差的估s60計值為=4.2426n-200S（1）置信度為90%時，Za/2=1.645,

14、由公式x士Z*7,置信區(qū)間為n【例。置信區(qū)間】某藥廠在生產(chǎn)過程中改換了一種新的霉素，測定了36批產(chǎn)品的產(chǎn)出率與理論產(chǎn)出率的比值：1.281.311.481.100.991.221.651.400.951.251.321.231.431.241.731.351.310.921.101.051.391.161.191.410.980.821.220.911.261.321.711.291.171.741.511.25要求：（1）計算這一比值95%的置信區(qū)間；（2）得出上述結(jié)論時作出了什么假設；（3）能否以95%的置信水平說明新霉素的產(chǎn)出率提高了。解：（1）計算得到X=1.268s=0.228,置信

15、度為95%時Za/2=1.96,故置信區(qū)間為一S0.228XZa，2=1.2681.96()得1.194u1.342.n6（3） 假設36批的樣品是隨機的。（4） 說明新的霉素的產(chǎn)出率提高了，因為置信下限已超過1.23.總體正態(tài)分布、方差未知、小樣本Xta2(n1)M重復抽樣；X士L2m-1)Ms240Xta2（n-1）x=1072.09=（88.3125.7元）24 .|假設檢驗的基本思想一I小用原理；接生域和拒絕域一若在小概率范圍的區(qū)域【例】：n（0.27內(nèi)）稱n為拒絕域；顯著水平=8原假設為真的，但我們卻錯誤地拒絕了它，而這種可能性是多少？就是顯著水平a（也就是小概率原理）25 .假設檢

16、驗中兩類錯誤：棄真錯誤一一同第五點a取偽錯誤一一樣本本是假的B棄真錯誤減少則取偽錯誤增加=兩者成反比我們只能控制“棄真錯誤”26 .原假設和備擇假設H）:u=U0Hi：uwuo拒絕域兩邊H）：uUoHi：UUo拒絕域左邊H）:uUo拒絕域右邊=等號一定在原假設上；（單側(cè)檢驗）；一般把希望拒絕的假設放在原假設中（對立方不一樣），（拒絕的錯誤，就是棄真錯誤，更直觀地知道）在中立立場上，把可能拒絕的放在原假設中。三種形式，希望拒絕；可能拒絕；【例。置信區(qū)間】為研究獨生子女的每月零花錢，從某小學隨機抽取了20個獨生子女的家庭，得到X=107,s=40,試以95%的置信度估計該校獨生子女小學生家庭平均每

17、月零花錢的置信區(qū)間。解：因為t分布適用于正態(tài)總體，因此研究這一問題應首先假設獨生子女家庭的子xu女零花錢應服從正態(tài)分布，在小樣本、總體方差未知用S2代替時，ut（n.1）,s由公式x1a2（n1）黑其置信區(qū)間為27相關關系定義變量間的關系一函數(shù)關系：|一個變量決定了另外一個變量,是確定的完全嚴格的一相關關系：兩者間有關系，一個變量不是完全由另外一個變量確定的（受其它因素的影響）28 .相關關系表現(xiàn)形態(tài)（相關關系的類型）線性相關：變量這間的關系近似地表現(xiàn)為一條直線非線性相關：變量之間的關系近似地表現(xiàn)為一條曲線正相關：兩個變量同一方向變動負相關：兩個變量相反方向變動29 .回歸模型：y=P0+Pi

18、x+E回歸方程：E（y）=P0+P1xE（匯）=0估計的回歸方程y?=b0+b1xP0估計彳t為b0；P1為b1；E(y)為？30 .(1)最小二乘法bn氾-*x-：y；b0=yhxnZx-(Zx)回歸方程參數(shù)含義：幾何意義：b0截距；bl斜率。經(jīng)濟意義：bl一回歸系數(shù)【例。最小二乘法】？=0.3280-0.3777收入(x)每增加100元，儲蓄額(y)平均增加0.3777萬元,(x每變動一個單位,y平均變動的數(shù)值)B與r(相關系數(shù))的關系:b10時，x、y為正相關，斜方差為正bl0時，x、y為負相關，斜方差為負31 .回歸方程擬合程度的分析：工(y_y)2=工(？_)2+(y_?)2(SST

19、)總變差平方和二回歸平方和SSR+余平方和SSE1、判定系數(shù)：r2SSR(7-y)2SST-SSiSSESST三(y-y)2SSTSST判定系數(shù)取值0R2F2(1,n-2)拒絕原假設。33 .多元線性回歸回歸方程：E(y)=P0+P1x1+B2x2+Pkxk估計回歸方程：?=b0b1x1b2x2bkxk?=b0b1x1b2x234 .一元線性回J13方程中R2=r2r相關系數(shù)，b回歸系數(shù)，R2判定系數(shù)，cov協(xié)方差。反相等量之間相關方向：r、cov反相等量之間相關方向：r、R235 .時間數(shù)列分析：絕對數(shù)的時間數(shù)列，反應總規(guī)?？偹?時期指標可相加；時點指標不可相加)；平均類的時間數(shù)列，反應一般水平；相對數(shù)的時間數(shù)列