2020屆天一大聯(lián)考高三高考全真模擬卷(四)數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、2020屆天一大聯(lián)考高三高考全真模擬卷（四）數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1 .已知集合 A x y JX , B x y 1g x2 x ,則 A。B()A. 0 U 1，B.,0 J 1, C. 0,D. 1,【答案】D【解析】求函數(shù)定義域確定集合A,B,然后由集合交集定義求解.【詳解】由題意A xx 0 , B ,0 U 1,.根據(jù)交集的定義得 A|B 1,故選：D.【點睛】本題主要考查集合的交集運算.,掌握對數(shù)函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.2 .已知復(fù)數(shù)z滿足z 1 i 2 3i （i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z的虛部為（A 5B.5C. 5iD. -i2222【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)除法運算計算出z,再由

2、復(fù)數(shù)概念得結(jié)論.【詳解】. 一2 3i155由z 1 i 2 3i知z £上 -?i,故復(fù)數(shù)z的虛部為-5. 1 i2 22故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的運算.對于復(fù)數(shù)z a bi aR,b R ,復(fù)數(shù)z的虛部為b ,不是bi.3 .某高中有1300名高一學(xué)生，1200名高二學(xué)生，1500名高三學(xué)生，其性別比例如圖所示,則該校女生人數(shù)是（）A. 1660B. 1960C. 2040D. 2340【解析】根據(jù)圖表中比例分別計算各年級女生人數(shù)后相加即得.思路點撥女生人數(shù) n 1300 40% 120045% 1500 40%1660.故選：A.本題考查統(tǒng)計圖中的扇形圖，

3、屬于基礎(chǔ)題.4.已知雙曲線2y_2a2當(dāng) 1 a b 0 b2的兩條漸近線的夾角為2,則該雙曲線C的離心3B.C.過3或由3【解析】由漸近線的夾角得a,b的關(guān)系式，從而可得 a,c的關(guān)系式,求得離心率e由雙曲線2y2a2 x b21 a b 0的方程，可知漸近線方程為 ya ,tan b 3所以a二儡，即a2 3b2 3a2 ,所以3c2以離心率e2.33故選：A.本題考查雙曲線的漸近線和離心率，解題時直接求出a,c的關(guān)系式即可,如果忽略條件中的a b 0 ,則導(dǎo)致結(jié)果有兩種可能，從而錯選C.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸人的x1,1 ,則輸出的y的取值范圍為（*B ,0 u e,1D. e

4、, 10,A.，0 U "c1，： U 0，【答案】B【解析】由程序框圖，確定函數(shù)f(x)的解析式，然后可求得值域.【詳解】ex, 1 x 0, 一， v1由程序框圖可知，y，函數(shù)y ex在區(qū)間1,0上單調(diào)遞增，值域為-，1 ;ln x,0 x 1e函數(shù)y ln x在區(qū)間0,1上也單調(diào)遞增，值域為,0 ,所以當(dāng)x 1,1時，y的取值范圍為，0 U 1,1. e故選：B.【點睛】ex, 1 x 0,本題考查程序框圖及分段函數(shù)的值域.本題可以畫出分段函數(shù) y的圖象，借lnx,0 x 1助函數(shù)的圖象求分段函數(shù)的值域 .函數(shù)的值域為函數(shù)圖象上所有點的縱坐標(biāo)組成的集合.分段函數(shù)的值域為各段上函

5、數(shù)值域的并集.6.已知圓錐的底面半徑為 2,高為4,有一個半徑為1的圓柱內(nèi)接于此圓錐，則該圓柱的側(cè)面 積是()A.B. 2C. 3D. 4【解析】作出軸截面，在軸截面中由相似三角形可求解.【詳解】h 1如圖，設(shè)圓枉的圖為 h ,由題意可得，所以h 2,從而圓柱的側(cè)面積 4 2際 212 4,故選：D.本題考查圓柱側(cè)面積的計算公式，對旋轉(zhuǎn)體解題時可作出軸截面，在軸截面中計算.7.已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn,且S20190,S20200,則使an0成立的最小自然數(shù)門為()A. 1009B.1010C. 1011D. 1012【解析】由等差數(shù)列的前n項和公式Snn(ai an)結(jié)合等差

6、數(shù)列的性質(zhì)確定項的正負(fù). 2因為S20190,所以da20190,即 2a10100, 0.因為S20200 ,所以a1a20200,即 a1010a)0110,所以 a10110.故選：C.本題考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,考查等差數(shù)列的性質(zhì)，由等差數(shù)列只要確定數(shù)列相鄰兩項一正一負(fù)即可得結(jié)論.8.設(shè)滿足約束條件x y 1x 2y0,0,的變量y形成的區(qū)域為D,有下列四個命題:2y 2 0Pl:y 3 0；P2 :0;.P3：x,y dy 3 0；P4 :其中正確命題的個數(shù)為（A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】作出可行域，再作直線x y 3 0,觀察此直線與可行域的關(guān)系

7、，根據(jù)存在命題與全稱命題的概念判斷.【詳解】x y 1 0,思路點撥約束條件x 2y 0, 所表示的可行域為圖中三角形區(qū)域，直線 x y 3 0經(jīng)過x 2y 2 0三角形的一個頂點2, 1 ,根據(jù)題意可知Pi ：x, y D , x y 3 0正確，P2 ：x, y D , x y 3 0正確，可行域均在直線 x y 3 0 的上方，故 P3 ： x, y D, x y 3 0 正確，P4 ：x, y D ,x y 3 0錯誤，故選：C.【點睛】本題考查線性規(guī)劃與簡易邏輯，解題關(guān)鍵是作出可行域，作出直線x y 3 0,由直線與可行域的關(guān)系得出結(jié)論.9 . 2019年9月8日，中華人民共和國第十

8、一屆少數(shù)民族體育運動會在河南鄭州開幕，現(xiàn)從我省曾獲得乒乓球獎牌的 2男1女三名運動員與獲得跳遠(yuǎn)獎牌的1男2女三名遠(yuǎn)動員中各選 1人作為運動會的火炬手，則選出的 2名運動員性別恰好相同的概率是（A.B.C.D.2人性別相同的基本事件【解析】把6人編號，然后寫出各選 1人的所有基本事件，從中可得的個數(shù)，從而計算出概率.由題意，記獲得乒乓球獎牌的三名運動員分別為A, A2, Bi,1人的基本獲得跳遠(yuǎn)獎牌的三名運動員分別為 A3, B2 , B3,則從中各選事件有：A1,A3，A,民，A,B3，MAA2,B2A2,B3Bi, ABi,B2 ,Bi, B3，共9個，而2人性別相同的基本事件有:A2,A3

9、 , Bi,B2Bl,B34共4個，故所求的概率為 P 9故選：B.【點睛】考查目標(biāo)本題考查古典概型的計算.求古典概型概率的關(guān)鍵是求問題中基本事件的總數(shù)和子事 件所包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法，列b , c, A3，且A ABC的外接表法和樹狀圖法，具體應(yīng)用則可根據(jù)需要靈活選擇10 .在AABC中，內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a,圓的半徑為 B 則八ABC周長的最大值是（A. 12B.C. 10D. 9【解析】由正弦定理求出a ,由余弦定理及基本不等式求出b c的最大值，即得周長最大值.由正弦定理sin A sinB2R,a 2RsinA2,3

10、3人3.由余弦定理2b22c 2bccosA,b212bc 2b22.c bc,所以2c 3bc b c4b cb c 6,當(dāng)且僅當(dāng)b c 3時等號成立，所以ABC周長的最大值為3 69.故選：D.本題考查正弦定理、余弦定理以及均值不等式的應(yīng)用.屬于中檔題.11.設(shè)曲線fx 41nx 在點 1,0處的切線上有一動點P ,曲線g x3x2 2ln x.上有PQ長度的最小值為（17A. -7B.立17C. 3-17D.五17【答案】C【解析】求出曲線f(x)在(1,0)處的切線l方程，再同曲線g(x)的與直線l平行的切線方程, 兩平行線間的距離就是所求的最小值.【詳解】* f 10, f x切線斜

11、率k14,故曲線fx在1,0處的切線方程為4x y 4 0.又 g x226x 一,令 6x 一1-(舍去).又g 13,3故g (x)在1,3處的切線方程為4x y 10 ,與直線4x y 40平行，這兩條平行線間的距離為d竺7 ,故線段PQ長度的最小值為173/1717故選：C.【點睛】本題考查求一般曲線的切線問題，兩條平行線間的距離的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想.解題關(guān) 鍵是把兩點間距離的最小值轉(zhuǎn)化為平行線間的距離.2212.已知橢圓交橢圓于Axr當(dāng) 1 a b 0的左右焦點分別為F1, F2,過F2且與x軸垂直的直線a2b2B兩點，直線AF1與橢圓的另一個交點為C ,若SA ABC4SA

12、BCF1 ,則橢圓的離心率為(A. -5510B. 5C.3D). -i3【解析】由ABx軸，可得出A點坐標(biāo)(不妨設(shè)A在第一象限)，由SA ABC 4 s BCF1 得AC 4 CFj ,從而可表不出C點坐標(biāo),把C點坐標(biāo)代入橢圓方程得 a,b,c的關(guān)系式，變形后可求得e.因為AB x軸，所以不妨設(shè)Ac,b2 a因為SA ABC4SaBCF1,所以 AC4CF1 ,即 AFi3 CF1.因為 F1c,05cb2yc3a5c222，代入橢圓方程可得 生黑 -b-3a9a2 9a21, 25c2 a2 c2 9a2, a2 3c2,所以e m3故選：c.【點睛】本題考查橢圓的定義及基本性質(zhì)，求離心率

13、，關(guān)鍵是列出關(guān)于a,b,c的等式，本題根據(jù)三角形面積關(guān)系得出 AC 4CF1 ,從而表示出C點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.二、填空題13.已知向量ra3 升，3 rx 1,x , b ,2 .右 1口，則 x 的值為x 1一 ,1【答案】2或12【解析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出x .A共線，所以2 x 131x 0得 x 2 或-.x 12本題考查平面向量共線的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.14.已知定義在區(qū)間,0 U 0, 上的函數(shù)f x滿足f x f x 0,當(dāng)x 0時,f x Inx ,則函數(shù)g x f x e的所有零點的乘積為 .【答案】1【解析】由解方程的思想求出 x 0時，g(x)的零點，在根據(jù)偶函

14、數(shù)性質(zhì)得出 x 0時的零點, 計算乘積即可.【詳解】當(dāng)x 0時，由f x lnx知，g x f x e的零點有兩個，分別為 x ee和x? e e由題意f x f x可知函數(shù)f x為偶函數(shù)，所以當(dāng) x 0時，g x還有兩個零點，即eeX3e , X4e ,所以 x1 x2eee ee01 ,X3X4eee e e0 1 ,從而X1X2X3X41 .【點睛】標(biāo)本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的零點.解題時根據(jù)零點定義直接求出零點是解題的基本方法.1,15.已知函數(shù)f X s1nx與g X cos 2x 0的圖象有一個橫坐標(biāo)為的26交點，則g x在X 0,上的值域為.4-13【答案】0,2【解析】由

15、交點橫坐標(biāo)得交點坐標(biāo)，代入g(x)可求得 ，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得值域.1 ，一 ，一，一，一由題意知交點坐標(biāo)為-,-，代入g X的解析式可以得到 cos 6 23 k , k Z.因為 032冗CI一,所以 g x cos 2x .662因為x 0,一,所以2x 46-,，所以g x的值域為0,13 6 32故答案為:考查目標(biāo)本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求函數(shù)值域時，先關(guān)注定義域，再判斷函數(shù)的單調(diào) 性，從而求得值域.16 .四面體ABCD的四個頂點都在半徑為 1的球面上，若ABC為直角三角形，則該四面體 體積的最大值為.81【解析】ABC為直角三角形，不妨設(shè)斜邊 BC是所在截面圓的直徑

16、，當(dāng)且僅當(dāng) & ABC為等 腰直角三角形時， ABC的面積最大，當(dāng) D到平面ABC的距離最大時，四面體 ABCD體積最大.由此可得解法. BC中點是。1,設(shè)OO1 x,把體積表示為x的函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)的知識求得最大值.【詳解】設(shè)過A, B, C三點的平面截已知球 O所得的圓為圓Oi,因為& ABC為直角三角形，不妨 設(shè)AB AC ,則BC為圓Oi的直徑，設(shè)圓Oi的半徑為r ,則當(dāng)且僅當(dāng)ABC為等腰直角三 角形時，八ABC的面積最大，連接OiO并延長交球面于一點，若使得四面體 ABCD的體積最大，則該交點應(yīng)為點 D, DOi即為四面體 ABCD的高，設(shè)OOix,則有x2 r2 i，

17、則VI面體ABCD令 fx 3x3 ix2 3x 5 0x i_.i 所以f x在0,1上單調(diào)遞增，在3i ，二，-,i上單調(diào)遞減, 3i .一時，f x取得取大值，f x3 i的最大值為f3328i故答案為： .8i本題考查多面體外接球問題.解題關(guān)鍵是分析出多面體體積最大時，多面體的結(jié)構(gòu)特征.然后 引入?yún)?shù)OOi x,體積可表示為x的函數(shù)，由函數(shù)知識求得最大值.三、解答題17 .已知Sn為等差數(shù)列 an的前n項和，且a3 a5i0, S05.(i)求數(shù)列 an的通項公式；i(2)令bn anan i,數(shù)列 一的取小項.61【答案】（1） an 3n 17-2【解析】(1)由已知條件列出 d與

18、ai的關(guān)系式，求解，得 an的通項公式的最小,口 ,1(2)由(1)得出 6的通項公式，由通項公式得出滿足 4 0時的那一項，即 一 bn項.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列 an的公差為d ,2a1 6d 10,a114,由a3 %10, S105,得解得,10a1 45d5, d 3,所以 an 3n 17.3n 17 3n 14 , n N1 八,此時0 ,bn（2）由 bn anan 1,可得 b當(dāng)n 4或n 6時，bn 0當(dāng) n 5時，42 0,11所以數(shù)列一最小項為-bnb5本題考查等差數(shù)列的通項公式，數(shù)列中的最值問題.基本量法是解決等差數(shù)列通項公式和前項和的基本方法.18 .在三棱柱 A

19、BC ABC1 中，CC1 平面 ABC, ABC 90 且 AB BC CC1為棱AC的中點(1)求證：AC1 平面BQM ；(2)求三棱錐A B1CM的體積、1【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】（1）欲證線面垂直，先證線線垂直，證明同一平面內(nèi)的兩條相交直線垂直時，要注意 應(yīng)用平面幾何的知識解決.（2）注意應(yīng)用等體積轉(zhuǎn)化的思想，即求Bi MAC的體積.【詳解】（1）由題意知，CC1 底面 A1B1G. CC1 B1M.又；AB BC, ABC 90, AC 點，ARG為等腰直角三角形且AB1C1 90 ,AC1 J2.；M為AG的中點，BM AC1.又：CC1 AG G ,B1M 平面

20、 ACg A .I *.AC1 平面 ACC1A1, BM AC1.在四邊形 ACC/中，“AC 庭,CC1 1, C1M 絲,ACGCCM 90 ,2AC1 CM .CC1M相似,AC1 MAC1CCMC1CMC1AC1C.AC1M90又 7B1M0CM MAC1平面B1CM .2 1a.26【點睛】本題考查立體幾何中線面垂直問題的證明，證明時注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化.應(yīng)用等體積轉(zhuǎn)化求三棱錐的體積 2219.已知橢圓C ： x2 ， 1 a b 0的左、右焦點分別為E, F2,橢圓C與圓x2 y2 c2 a2 b2（c為橢圓的半焦距）在第一象限內(nèi)的交點為M 3,4 .（2）由題意知V

21、a &CMV& ACM1T SAACM B1M3(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C的右焦點F2的直線l與橢圓C相交于A, B兩點，求aBFi面積的最大值22【答案】(1) ± .y_ 1 (2) 30 45 20【解析】(1)由點M 3,4在圓x2 y2 c2上，得c 5 .再根據(jù)橢圓的定義求出 a,然后再求得b ,從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .(2)設(shè)A x,% , B X2, y2 ,設(shè)直線AB的方程為x my 5,與橢圓方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理，求出 y y2 ,先求出三角形面積，再利用換元法，構(gòu)造均值不等式求三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意可知點

22、 M 3,4在圓上，32 42 C2 ,即c 5 ,兩焦點坐標(biāo)分別為 F1 5,0 , F2 5,0 .由|MF MF2 2a,得 a 3新，b2 a2 c2 45 25 20，220故所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為45(1)由題意可設(shè)直線 AB的方程為x my 5,x my 5,4x2 9y2 180,設(shè) A X1,y ，B X2N2 ,可得 4m2 9 y2 40my 80則 V240m4m2 9V1V20804m2 9yy22y24y1y2402 m24 80, 4m2 9 2 4m2 9_ _2_245m52-'4m 9S>A ABF11 _ _2 'El |y y212

23、0、5，m2 14 m2 9，則 t 1,c 120 5 t 120.5120,5故有&ABF17tF = -7=5 30，t 24t t當(dāng)且僅當(dāng)4t 5,即t Y5時取等號， t2aBF面積的最大值為30.【點睛】本題考查橢圓的定義及簡單的幾何性質(zhì)，應(yīng)用函數(shù)思想，解決三角形面積的最大值問題.合理恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出直線AB的方程對解決該問題起到化繁為簡的作用，直線與橢圓相交問題中設(shè)而不求思想方法是基本方法.20.某網(wǎng)站為了解某新聞的傳播總?cè)藬?shù)y （千人）隨時間x （小時）的變化情況，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:x （小時）12345傳播總?cè)藬?shù)y （千人）612254995H I N & * * 5M

24、（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)畫出散點圖，并判斷函數(shù)y a bx與y cekx中，哪一個適合作為傳播總?cè)藬?shù)y關(guān)于時間x的回歸方程？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y與X的回歸方程；69.3（3）右該網(wǎng)站的平均收由 M （萬兀）與x , y滿足關(guān)系M In y ，試求平均收益的x最小值.附：參考數(shù)據(jù)：z5_ 2Zi z i 15Zjz x xi 13.1884.8066.93015Zi.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)Ui,ViU2,V2 , UnM ,其回歸直線u的斜率和截距的最小二乘估計分別為:Ui uvi vn 2，Ui u i 1【答案】(1)作圖見解析;y cekx

25、比較適合(2) y0.693x 1109e(3) 14.969 萬元【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)描點即可.根據(jù)散點圖確定函數(shù)cekx更適合.(2)由題中數(shù)據(jù)計算，代入公式即得回歸方程(3)求出平均收益 M后用均值不等式計算最值.(1)題目中所給數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示,3“IU) 如 u/小時由散點圖容易判斷方程 ycekx比較適合.(2)由 ycekx,兩邊取對數(shù)可得ln ykx lnc,即kx lnc.由題意可知,3,5_ 2xi x 10i 1一 1z (ln 65ln12In 25 In 49ln95)3.19 ,所以_ 2xixi 16.930 0.693,103.188 0.693 3 1

26、.109,表中 z In y , z 5所以z關(guān)于x的回歸方程為0.693x 1.109,所以y關(guān)于x的回歸方程為ye0.693x 1109(3)由(2)知網(wǎng)站的平均收益69.369.369.3M ln y 0.693x 1109 1.109 2 0.693x 14.969, xx,x693 當(dāng)且僅當(dāng)0.693x ，即x 10時取等號，x故平均收益的最小值為 14.969萬元.【點睛】本題考查散點圖，求非線性回歸方程及其應(yīng)用.解題根據(jù)所給數(shù)據(jù)和公式計算即可.本題還考 查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.一，一1 2vv21.已知函數(shù)f x -e ae ax有兩個極值點. 2(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)f

27、 x的兩個極值點分別為x1,x2,若不等式fx1fx2e國ex2恒成立，求的最小值.【答案】(1) a 4 (2) 2ln 2 3【解析】(1)求導(dǎo)數(shù).f (x) 0有兩個不等實根，換元后轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等正根，得a的取值范圍；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到ex1 ex2 a, ex1 ex2 a,先轉(zhuǎn)化炎關(guān)于a的不等式恒成立，最后轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a的函數(shù)求最值.【詳解】1 2x x(1)因為f x 2e ae ax有兩個極值點 x1，x2,所以f x e2x aex a有兩個不同的零點，即方程t2 at a 0 (其中t ex 0)有兩個不同的正根，a2 4a 0, 所以 a 0,，

28、所以a 4.2a 0,2x x(2)由(1)知Xi , x2是f x e ae a的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得e51ex2a ,ex1ex2a ,所以xx?In a ,所以f x1f x22xie 12x)e_xi_x2一aeeax1x21 xix2 2% x2xix2-e1 e2 e e2 a e1 e2 a x. x2 2所以1 a2 a a2 alna a.2一，1因為a 4,所以ln a 1 - a .2、L., 111c設(shè) ga 帖212,則920,2a 2ex1ex2所以g (a)在4,上單調(diào)遞減，所以 g a故的最小值為21n 2 3.【點睛】本題考查函數(shù)極值點的定義以及不等式恒成立問題.考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)有零點極值點,轉(zhuǎn)化方程根的分布問題，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.22.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2J2.(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線 C2的直角坐標(biāo)方程;(2)求