2021年中考數(shù)學(xué)真題分項匯編專題33 幾何綜合壓軸問題（解答題）-（原卷版）

1、 專題33幾何綜合壓軸問題（解答題）一、解答題1（湖南省郴州市2021年中考數(shù)學(xué)試卷）如圖1，在等腰直角三角形中，點，分別為，的中點，為線段上一動點（不與點，重合），將線段繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，（1）證明：；（2）如圖2，連接，交于點證明：在點的運動過程中，總有；若，當?shù)拈L度為多少時，為等腰三角形？2（2021·湖北中考真題）問題提出 如圖（1），在和中，點在內(nèi)部，直線與交于點，線段，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題探究 （1）先將問題特殊化如圖（2），當點，重合時，直接寫出一個等式，表示，之間的數(shù)量關(guān)系； （2）再探究一般情形如圖（1），當點，不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成

2、立問題拓展 如圖（3），在和中，（是常數(shù)），點在內(nèi)部，直線與交于點，直接寫出一個等式，表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系3（2021·浙江中考真題）（證明體驗）（1）如圖1，為的角平分線，點E在上，求證：平分（思考探究）（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點，連結(jié)交于點G若，求的長（拓展延伸）（3） 如圖3，在四邊形中，對角線平分，點E在上，若，求的長4（2021·浙江中考真題）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，上存在點E，滿足，連結(jié)并延長交的延長線于點F，與交于點G（1）若，請用含的代數(shù)式表列（2）如圖2，連結(jié)求證；（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)，若，求的周長求的最小值5（2

3、021·浙江中考真題）在扇形中，半徑，點P在OA上，連結(jié)PB，將沿PB折疊得到（1）如圖1，若，且與所在的圓相切于點B求的度數(shù)求AP的長（2） 如圖2，與相交于點D，若點D為的中點，且，求的長6（2021·浙江中考真題）已知在中，是的中點，是延長線上的一點，連結(jié)（1）如圖1，若，求的長（2）過點作，交延長線于點，如圖2所示若，求證：（3）如圖3，若，是否存在實數(shù)，當時，？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由7（2021·安徽中考真題）如圖1，在四邊形ABCD中，點E在邊BC上，且，作交線段AE于點F，連接BF（1）求證：；（2）如圖2，若，求BE的長；（3

4、）如圖3，若BF的延長線經(jīng)過AD的中點M，求的值8（2021·四川中考真題）在等腰中，點是邊上一點（不與點、重合），連結(jié)（1）如圖1，若，點關(guān)于直線的對稱點為點，結(jié)，則_；（2）若，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)在圖2中補全圖形；探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3） 如圖3，若，且，試探究、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明9（2021·山東中考真題）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點，且連接并延長，與的延長線相交于點E（1）求證：；（2）與，分別交于點F，H若，如圖2，求證：；若圓的半徑為2，如圖3，求的值10（2021·江蘇中考真題）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小

5、亮進行數(shù)學(xué)探究活動（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；（2）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；（3）是邊長為3的等邊三角形，M是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；（4） 正方形的邊長為3，E是邊上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形，其中點F、G都在直線上，如圖4，當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合則點H所經(jīng)過的路徑長為_，點G所經(jīng)過的路徑長為

6、_ 11（2021·吉林中考真題）實踐與探究操作一：如圖，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部，點B的對應(yīng)點為點M，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，則 度操作二：如圖，將正方形紙片沿EF繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N我們發(fā)現(xiàn)，當點E的位置不同時，點N的位置也不同當點E在BC邊的某一位置時，點N恰好落在折痕AE上，則 度在圖中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：（1）設(shè)AM與NF的交點為點P求證：（2）若，則線段AP的長為 12（2021·湖南中考真題）如圖，在中，N是邊上的一點，D為的中

7、點，過點A作的平行線交的延長線于T，且，連接（1）求證：；（2）在如圖中上取一點O，使，作N關(guān)于邊的對稱點M，連接、得如圖求證：；設(shè)與相交于點P，求證：13（2021·浙江臺州市·中考真題）如圖，BD是半徑為3的O的一條弦，BD4，點A是O上的一個動點（不與點B，D重合），以A，B，D為頂點作平行四邊形ABCD（1）如圖2，若點A是劣弧的中點求證：平行四邊形ABCD是菱形；求平行四邊形ABCD的面積（2）若點A運動到優(yōu)弧上，且平行四邊形ABCD有一邊與O相切求AB的長；直接寫出平行四邊形ABCD對角線所夾銳角的正切值14（2021·青海中考真題）在我們學(xué)習過的數(shù)學(xué)

8、教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，若身旁沒有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展開（如圖13-1）第二步：再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕，同時得到線段（如圖13-2）猜想論證：（1）若延長交于點，如圖13-3所示，試判定的形狀，并證明你的結(jié)論拓展探究：（2） 在圖13-3中，若，當滿足什么關(guān)系時，才能在矩形紙片中剪出符（1）中的等邊三角形？15（2021·海南中考真題）如圖1，在正方形中，點E是邊上一點，且點E不與點重合，點F是的延長線上一點，且（1）求證：；（2）如圖2，連接，交于點K，過點

9、D作，垂足為H，延長交于點G，連接求證：；若，求的長16（2021·甘肅中考真題）問題解決：如圖1，在矩形中，點分別在邊上，于點（1）求證：四邊形是正方形；（2）延長到點，使得，判斷的形狀，并說明理由類比遷移：如圖2，在菱形中，點分別在邊上，與相交于點，求的長17（2021·四川中考真題）如圖1，在中，點D是邊上一點（含端點A、B），過點B作垂直于射線，垂足為E，點F在射線上，且，連接、（1）求證：；（2）如圖2，連接，點P、M、N分別為線段、的中點，連接、求的度數(shù)及的值；（3）在（2）的條件下，若，直接寫出面積的最大值18（2021·山西中考真題）綜合與實踐，問

10、題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖，在中，垂足為，為的中點，連接，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將沿著（為的中點）所在直線折疊，如圖，點的對應(yīng)點為，連接并延長交于點，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將沿過點的直線折疊，如圖，點A的對應(yīng)點為，使于點，折痕交于點，連接，交于點該小組提出一個問題：若此的面積為20，邊長，求圖中陰影部分（四邊形）的面積請你思考此問題，直接寫出結(jié)果19（2021·浙江中考真題）問題：如圖，在中，的平分線AE，BF分別與直線CD交于點E，

11、F，求EF的長答案：探究：（1）把“問題”中的條件“”去掉，其余條件不變當點E與點F重合時，求AB的長；當點E與點C重合時，求EF的長（2）把“問題”中的條件“，”去掉，其余條件不變，當點C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等時，求的值 20（2021·浙江嘉興市·中考真題）小王在學(xué)習浙教版九上課本第72頁例2后，進一步開展探究活動：將一個矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形探究1如圖1，當時，點恰好在延長線上若，求BC的長探究2如圖2，連結(jié)，過點作交于點線段與相等嗎？請說明理由探究3在探究2的條件下，射線分別交，于點，（如圖3），存在一定的數(shù)量關(guān)系，并加以證明 21（2021

12、3;浙江中考真題）如圖，在菱形中，是銳角，E是邊上的動點，將射線繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線于點F（1）當時，求證：；連結(jié)，若，求的值；（3） 當時，延長交射線于點M，延長交射線于點N，連結(jié)，若，則當為何值時，是等腰三角形 22（2017·山東德州市·中考真題）如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB3cm，AD5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EFAB交PQ于F，連接BF（1）求證：四邊形BFEP為菱形；（2）當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動

13、，求出點E在邊AD上移動的最大距離23（2020·廣西中考真題）已知：在矩形中，是邊上的一個動點，將矩形折疊，使點與點重合，點落在點處，折痕為（1）如圖1，當點與點重合時，則線段_，_；（2）如圖2，當點與點，均不重合時，取的中點，連接并延長與的延長線交于點，連接，求證：四邊形是平行四邊形：當時，求四邊形的面積24（2020·山東中考真題）在等腰ABC中，ACBC，是直角三角形，DAE90°，ADEACB，連接BD，BE，點F是BD的中點，連接CF（1）當CAB45°時如圖1，當頂點D在邊AC上時，請直接寫出EAB與CBA的數(shù)量關(guān)系是 線段BE與線段CF

14、的數(shù)量關(guān)系是 ；如圖2，當頂點D在邊AB上時，（1）中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由；學(xué)生經(jīng)過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：思路一：作等腰ABC底邊上的高CM，并取BE的中點N，再利用三角形全等或相似有關(guān)知識來解決問題；思路二：取DE的中點G，連接AG，CG，并把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、三角形全等或相似有關(guān)知識來解快問題（2）當CAB30°時，如圖3，當頂點D在邊AC上時，寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由25（2021·天津中考真題）已知內(nèi)接于，點D是上一點（）如圖，若

15、為的直徑，連接，求和的大小；（）如圖，若/，連接，過點D作的切線，與的延長線交于點E，求的大小26（2021·浙江中考真題）如圖，銳角三角形內(nèi)接于，的平分線交于點，交邊于點，連接(1)求證：(2)已知，求線段的長（用含，的代數(shù)式表示）(3)已知點在線段上（不與點，點重合），點在線段上（不與點，點重合），求證： 27（2021·山東中考真題）如圖，已知正方形ABCD，點E是BC邊上一點，將ABE沿直線AE折疊，點B落在F處，連接BF并延長，與DAF的平分線相交于點H，與AE，CD分別相交于點G，M，連接HC（1）求證：AGGH；（2）若AB3，BE1，求點D到直線BH的距離；

16、（3）當點E在BC邊上（端點除外）運動時，BHC的大小是否變化？為什么？ 28（2021·甘肅中考真題）在阿基米德全集中的引理集中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個引理如圖，已知是弦上一點，請你根據(jù)以下步驟完成這個引理的作圖過程（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：作線段的垂直平分線，分別交于點于點，連接；以點為圓心，長為半徑作弧，交于點（兩點不重合），連接（2） 直接寫出引理的結(jié)論：線段的數(shù)量關(guān)系 29（2021·北京中考真題）在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于點和線段，給出如下定義：若將線段繞點旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對應(yīng)點），則稱線段是的以點為中心的

17、“關(guān)聯(lián)線段”（1）如圖，點的橫縱坐標都是整數(shù)在線段中，的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是_；（2）是邊長為1的等邊三角形，點，其中若是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，若是的以點為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長30（2021·湖北中考真題）如圖，在菱形中，是對角線上一點（），垂足為，以為半徑的分別交于點，交的延長線于點，與交于點（1）求證：是的切線；（2）若是的中點，求的長；求的長 31（2021·山東中考真題）如圖，在中，是直徑，弦，垂足為，為上一點，為弦延長線上一點，連接并延長交直徑的延長線于點，連接交于點，若（1）求證：是的切線；（

18、2）若的半徑為8，求的長 32（2021·四川中考真題）如圖，O的半徑為1，點A是O的直徑BD延長線上的一點，C為O上的一點，ADCD，A30°（1）求證：直線AC是O的切線；（2）求ABC的面積；（3）點E在上運動（不與B、D重合），過點C作CE的垂線，與EB的延長線交于點F 當點E運動到與點C關(guān)于直徑BD對稱時，求CF的長；當點E運動到什么位置時，CF取到最大值，并求出此時CF的長 33（2021·重慶中考真題）在中，是邊上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得（1）如圖，當時，連接，交于點若平分，求的長；（2）如圖，連接，取的中點，連接猜想與存在的數(shù)量

19、關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖，在（2）的條件下，連接，若，當，時，請直接寫出的值34（2021·四川中考真題）如圖，點D在以AB為直徑的O上，過D作O的切線交AB延長線于點C，于點E，交O于點F，連接AD，F(xiàn)D（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求EF的長 35（湖南省益陽市2021年中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在等腰銳角三角形中，過點B作于D，延長交的外接圓于點E，過點A作于F，的延長線交于點G（1）判斷是否平分，并說明理由；（2）求證：； 36（2021·湖南中考真題）如圖，是等腰的斜邊上的兩動點，且（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請利用（2）的結(jié)論證明：當時，成立 37（2021·黑龍江中考真題）如圖所示，四邊形為正方形，在中，的延長線與的延長線交于點，點在同一條直線上（1）求證：；（2）當時，求的值；（3）當時，求的值 38（2021·四川中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點，連接，D為延長線上一點，連接，且（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，的面積