第四節(jié) 空間曲線及其方程

1、2022-4-141第四節(jié)第四節(jié) 空間曲線及其方程空間曲線及其方程一一 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程（Space Curve and Equations)二二 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程三三 空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影四四 小結(jié)與思考判斷題小結(jié)與思考判斷題2022-4-142一一 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程即兩個曲面的交線）( 0),(0),(zyxGzyxF例例1 112)1(22222zyxzyxC曲曲線線 214322zyx即即xY Z 2022-4-143例例2 C: 4)2(222222ayaxyxaz 4)2(2222ayaxaxa

2、z即即xyz02022-4-144二二 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程(The Parametric Equation of Space Curve)標表示為參數(shù)的函數(shù)：只要將曲線上動點的坐參數(shù)形式表示，般方程之外，也可以用空間曲線的方程除了一)()()(tzztyytxx(*)方程（*）叫做空間曲線的參數(shù)方程。2022-4-145例3 螺旋線 vtztRytRx sincos解：解：0AMMxyZ 222Ryx 如果空間一點如果空間一點M在圓柱面在圓柱面上以角速度上以角速度繞繞Z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度v, 那么點那么點M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線構(gòu)成的圖形叫做螺旋線.v

3、沿平行于沿平行于Z軸的正方向上升（其中軸的正方向上升（其中都是常數(shù)都是常數(shù)),試建立其參數(shù)方程。試建立其參數(shù)方程。2022-4-146例 4 曲線C的一般方程為 xyzyx3222將其化為參數(shù)方程 xyzx1222 xyzx1 )3()23(2222即即 tztytx3sin23cos232022-4-147三三 空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影1 投影柱面及投影曲線：過空間曲線過空間曲線C 做母線平行于做母線平行于Z軸柱面，稱它為軸柱面，稱它為C 關(guān)于關(guān)于xoy面的投影柱面，此與面的投影柱面，此與xoy面的交線面的交線C稱為稱為C 關(guān)于關(guān)于xoy面的投影曲線（簡稱投影）面的投

4、影曲線（簡稱投影）CC0 xyZ(Projecting Curve on a Coordinate Plane of Space Curve2022-4-1482 投影柱面及投影曲線的求法1) 空間曲線的一般方程）1( 0),(0),( zyxGzyxF消去變量 方程組 00),(zyxH所表示的曲線是在xoy面的投影曲線也是包含投影曲線的柱面。0),(, yxHz0),( yxH為母線平行于Z軸柱面，2022-4-1492) 空間曲線的一般方程）1( 0),(0),( zyxGzyxF消去變量方程組 00),(xyxR所表示的曲線是在yoz面的投影曲線也是包含投影曲線的柱面。0),(, yx

5、Rx0),( yxR為母線平行于X軸柱面，2022-4-14103) 空間曲線的一般方程）1( 0),(0),( zyxGzyxF消去變量方程組 00),(yyxT所表示的曲線是在xoz面的投影曲線也是包含投影曲線的柱面。0),(, yxTy0),( yxT為母線平行于y軸柱面，2022-4-1411例例4 已知兩球面方程分別為已知兩球面方程分別為求它們的交線在求它們的交線在XOY的投影方程。的投影方程。解：兩方程相減，得解：兩方程相減，得y+z=1, z=1-y帶入球面方程其中一個，得帶入球面方程其中一個，得1)1(222 yyx化簡得交線在化簡得交線在XOY的投影方程：的投影方程： 002

6、222zyyx1222 zyx1)1()1(222 zyx和和2022-4-14123 空間曲面圍成的立體在坐標面上的投影空間曲面圍成的立體在坐標面上的投影例例5 設(shè)一個立體，由上半球面設(shè)一個立體，由上半球面所圍成，求它在所圍成，求它在XOY面的投影。面的投影。 ）（2222232:yxzyxzc解：解：消去Z得，122 yx 0122zyx投投影影曲曲線線0 xyZ）（和和錐錐面面2222232yxzyxz 2022-4-1413例6.0 22222面上的投影面上的投影和和所圍成的立體在所圍成的立體在及平面及平面，柱面，柱面求上半球面求上半球面XOZXOYXOYaxyxyxaz 4)2(2222ayaxaxazxyz解：曲線解：曲線立體在立體在XOY面上投影為面上投影為axyxayax 22222 4)2(即即立體在XOZ面上投影為0z0,x 222 azx2022-4-1414空間曲線的一般方