2020年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義一遍過01第一章集合與常用邏輯用語1.1集合及其運(yùn)算(解析版)

1、§1.1集合的概念及運(yùn)算最新考綱考情考向分析1.了解集合的含義，體會(huì)兀素與集合的屬于關(guān)系2能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不冋 的具體問題3理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集4在具體情境中，了解全集與空集的含義5理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集 與交集6理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.7能使用韋恩（Venn）圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算 及兩集合間的包含關(guān) 系是考查的重點(diǎn)，在集 合的運(yùn)算中經(jīng)常與不 等式、函數(shù)相結(jié)合，解 題時(shí)常用到數(shù)軸和韋 恩（Venn）圖.考查學(xué)生 的

2、數(shù)形結(jié)合思想和計(jì) 算推理能力.題型以選 擇題為主，低檔難度1.集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性 元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)或?表示.集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN + （或 N*）ZQR2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言付號(hào)語言Venn 圖子集集合A中任意一個(gè)元素都是集合B的元素（即若x A,則x B）A? B（或 B? A）真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于AA B（或 B A）集合相等如果集合A中的每一個(gè)兀素都是集合B的元素，反過來，集合 B的每一

3、個(gè)元素 也都是集合A的元素A = B3集合的基本運(yùn)算運(yùn)算自然語言付號(hào)語言Venn 圖交集由屬于集合A又屬于集合B的所有元素構(gòu)成的集合An B= x|x A 且 x B并集對(duì)于給定的兩個(gè)集合 A, B，由兩 個(gè)集合的所有元素構(gòu)成的集合AU B= x|x A 或 x B補(bǔ)集如果給定集合 A是全集U的一個(gè) 子集，由全集U中不屬于集合A 的所有元素組成的集合?uA = x|x U 且 x?A概念方法微思1 若一個(gè)集合 A 有 n 個(gè)元素，則集合 A 有幾個(gè)子集，幾個(gè)真子集 提示 2n,2n 1.2 .從A n B= A, AU B= A可以得到集合 A, B有什么關(guān)系？提示 An B= A? A? B

4、, AU B= A? B? A.題組一思考辨析1 判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“V”或“X”)(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.(X )x|y= x2 + 1 = yy= X2+ 1 = (x, y)|y= x2+ 1 ( X )若x2,1 = 0,1，則 x= 0,1.( X )x|x< 1 = t|tw 1 ( V )若 A n B= An C,貝y B= C.( X )題組二教材改編2 .若集合 A = x N|XW 2 020 , a= 2 2，則下列結(jié)論正確的是 ()A . a? AB. a? AC. a AD. a?A答案 D3 已知集合 A= (x, y)|x2+

5、y2= 1, B= (x, y)|y= x，貝V A n B 中元素的個(gè)數(shù)為 .答案 2解析 集合A表示以(0,0)為圓心，1為半徑的單位圓上的點(diǎn)，集合B表示直線y= x上的點(diǎn),圓x2 + y2= 1與直線y = x相交于兩點(diǎn) 于，孑,-_22,-，貝U A n B中有兩個(gè)元素.題組三易錯(cuò)自糾4. (2018湖南長郡中學(xué)月考)已知集合A = x N|0W x< 4，則下列說法正確的是()A. 0?AB. 1? AD. 3 AC. .2? A答案 D解析 集合 A= x N|OW xw 4 , 0 A,1 A,2?A,3 A,故選 D.5. 已知集合 A=xX2 4x+ 3<0 ,

6、B=x|2<x<4，則(?rA) U B =.答案 x|x< 1 或 x>2解析 由已知可得集合 A= x|1<x<3,又因?yàn)?B= x|2<x<4, ?rA= x|x< 1 或 x> 3,所以(?rA)U B= x|x< 1 或 x>2.6. 已知集合 M = x|x a= 0 , N= x|ax 1 = 0，若 MQ N= N,則實(shí)數(shù) a 的值是答案 0或1或1解析 易得 M = a . T M Q N= N , N? M ,n= ?或 N= M , a= 0 或 a = ±1.題型一集合的含義1 已知集合

7、A= 0,1,2，則集合B= (x, y)|x> y, x A, y A中元素的個(gè)數(shù)是()A. 1 B. 3 C. 6 D. 9答案 C解析 當(dāng) x= 0 時(shí)，y= 0 ;當(dāng) x= 1 時(shí)，y= 0 或 y= 1 ;當(dāng) x = 2 時(shí)，y= 0,1,2.故集合 B= (0,0) , (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (2,2)，即集合 B 中有 6 個(gè)元素.32 .已知集合A= x x Z,且. Z ，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為()2 xA. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案 C3解析 因?yàn)橘?Z,所以2-x的取值有一3, - 1,1,3,又因?yàn)閤 Z,所以x的值分

8、別為5,3,1,2-x1，故集合A中的元素個(gè)數(shù)為4.3.已知集合 A= m + 2,2m2+ m，若3 A,貝V m的值為.3答案一3解析由題意得m + 2 = 3或2m2+ m= 3,3則 m= 1 或 m= 2當(dāng)m= 1時(shí)，m+ 2= 3且2m2+ m= 3,根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；當(dāng) m=號(hào)時(shí),m+ 2 = ，而 2m2+ m = 3，故 m= 思維升華(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條 件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合.(2)如果是根據(jù)已知列方程求參數(shù)值，一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗(yàn)是否滿足元素的互異性.題型二集合

9、間的基本關(guān)系例1集合M = xxZn1+n- 21y y= m+ 2, m Z，則兩集合M ,N的關(guān)系為（）A.m n n = ?B.M = NC.M? ND.N? M答案 D解析由題意，對(duì)于集合 M，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n = 2k(k Z)，則x= k+ 1(k Z),當(dāng)n為奇1數(shù)時(shí)，設(shè) n= 2k+ 1(k Z)，則 x= k+ 1 + 2(k Z), / N? M，故選 D.已知集合 A= xlx2 2 019x+ 2 018<0 , B = x|x<a，若 A? B，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是答案2 018 ,+s )解析 由 x2 2 019x+ 2 018<0，解得 1

10、<x<2 018 ,故 A= x|1<x<2 018.又 B= x|x<a, A? B，如圖所示，可得 a > 2 018.引申探究本例(2)中，若將集合B改為x|x> a，其他條件不變，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 答案 (3 1解析 a = x|1<x<2 018 , B= x|xa, A? B，如圖所示，可得 a< 1.思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則 會(huì)造成漏解.(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn) 化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Ve

11、nn圖等來直觀解決這類問題.跟蹤訓(xùn)練 1 (1)已知集合 A = y|0W y<a, y N , B= x|x2 2x 3< 0, x N，若 A B，則滿足條件的正整數(shù)a所構(gòu)成集合的子集的個(gè)數(shù)為 .答案 8解析B = x|x2 2x 3W 0, x N = x| 1 < x< 3, x N = 0,1,2,3，當(dāng) a 分別取 1,2,3 時(shí),所得集合A分別為0 ,0,1 ,0,1,2，均滿足A B，當(dāng)a= 4時(shí)，A= 0,1,2,3，不滿足A B, 同理，當(dāng)a> 5時(shí)均不滿足A B所以滿足條件的正整數(shù) a所構(gòu)成的集合為1,2,3，其子集有 8個(gè).已知集合 A =

12、 x| 1<x<3 , B = x| m<x<m.若B? A,貝U m的取值范圍為 .答案 （3 1解析當(dāng)mW 0時(shí)，B = ?，顯然B? A.當(dāng) m>0 時(shí)，因?yàn)?A= x| 1<x<3 , B? A,所以在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合，如圖，m>0, 所以m > 1, 所以0<mW 1.綜上所述，m的取值范圍為（3, 1.題型三集合的基本運(yùn)算多 探維究命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算例 2 （1）（2018 全國 I ）已知集合 A = x|x2 x 2>0，則?ra 等于（）A. x| 1<x<2B . x| 1 w xw 2C. x|

13、x< 1 U x|x>2D. x|xw 1 U x|x> 2答案 B解析 / x2 x 2>0, / (x 2)(x+ 1)>0 , x>2 或 x< 1,即即 A = x|x>2 或 x< 1.在數(shù)軸上表示出集合A，如圖所示.由圖可得？rA= x| 1w xw 2.故選B.已知集合 A = x|x2 2x>0 , B = x| . 5<x<5，則()A . A n B = ?B . A? BC . B? AD . AU B= R答案 D解析/ A= x|x>2 或 x<0 , AU B= R.命題點(diǎn)2利用集合

14、的運(yùn)算求參數(shù)例 3(1)(2018 錦州模擬)已知集合 A = x|x<a, B= x|x2 3x+ 2<0，若 A n B = B,則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()A . a<1 B . aw 1 C . a>2 D . a >2答案 D解析 集合 B= x|x2 3x+ 2<0 = x|1<x<2, 由An B = B可得B? A,作出數(shù)軸如圖.可知a> 2.1設(shè)集合A= 1,0,1, B= a 1, a+- , A門B= 0，則實(shí)數(shù)a的值為.a答案 11 1解析 0 a 1, a + -，由a + -工0,貝U a 1 = 0，則實(shí)數(shù)a的值

15、為1.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a= 1時(shí)滿aa足題意.(3)設(shè)集合 A = 0， 4 , B= xlx2+ 2(a+ 1)x+ a2 1 = 0, x R 若 An B = B，則實(shí)數(shù) a 的 取值范圍是.答案(一3 1 U 1解析因?yàn)锳n B = B,所以B? A,因?yàn)锳= 0， 4，所以B? A分以下三種情況： 當(dāng)B= A時(shí)，B= 0， 4，由此可知，0和一4是方程x2+ 2(a+ 1)x+ a2 1 = 0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得= 4 a+ 1 2 4 a2 1 >0,2 a+ 1 = 4,解得 a= 1;a2 1 = 0, 當(dāng) BM ?且 B A 時(shí)，B= 0或 B= 4,并且 = 4

16、(a+ 1)2 4(a2 1) = 0, 解得a= 1，此時(shí)B = 0滿足題意; 當(dāng) B= ?時(shí)，= 4(a + I)2 4(a2 1)<0,解得 a<1.綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0 1 U1.思維升華(1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況(2)運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化跟蹤訓(xùn)練 2 (1)(2018 葫蘆島檢測(cè))已知集合 A = x| 2<x<4 , B= x|y= lg(x 2),則 A n (?rB) 等于 ( )A(2,4)B (

17、 2,4)C(2,2)D(2,2答案 D解析 由題意得 B = x|y= lg(x 2) = (2, + 0), ?rB = (0, 2, An (?rB) = ( 2,2.已知集合 A = x|x2 x 12W 0, B= x|2m 1<x<m+ 1,且 A n B = B,則實(shí)數(shù) m 的取值范 圍為 ()A. 1,2)B. 1,3C. 2,0 ) D. 1,0 )答案 D解析 由 x2 x 12W 0,得(x+ 3)(x 4) w 0,即一3w xw 4,所以 A = x| 3w x< 4.又 An B = B，所以 B? A. 當(dāng)B= ?時(shí)，有 m+ 1w 2m 1，解

18、得m2; 3w 2m 1, 當(dāng)BM ?時(shí)，有 m + 1 w 4,2m 1<m1 ,解得 1 w m<2.綜上, m 的取值范圍為 1,0).題型四集合的新定義問題例4 （1）（2018沈陽模擬）已知集合 A = x N|x11 長度為3= 2x 3< 0, B= 1,3，定義集合 A, B之間 的運(yùn)算"* ”： A*B= x|x= Xi+ x2, xi A, X2 B，貝U A* B中的所有元素?cái)?shù)字之和為（）A. 15 B. 16 C. 20 D. 21答案 D解析 由 x2 2x 3< 0,得（x+ 1）（x 3）w 0,得 A = 0,1,2,3.因?yàn)?

19、A*B = xx = X1 + x2, X1 A, X2 B,所以 A*B 中的元素有：0+ 1 = 1,0 + 3= 3,1 + 1 = 2,1 + 3 = 4,2 + 1 = 3（舍去）,2 + 3= 5,3 + 1 = 4（舍去），3+ 3 = 6，所以A*B= 123,4,5,6，所以A* B中的所有元素?cái)?shù)字之和為 21.31、（2）設(shè)數(shù)集 M = x mW x< m+ 4 , N= x n 3W x< n ，且 M , N 都是集合 U = x|0w xw 1的子集，定義b a為集合x|aw xw b的“長度”，則集合M n N的長度的最小值為 .答案1解析在數(shù)軸上表示出

20、集合M與N（圖略）,1 3可知當(dāng)m = 0且n = 1或n 3= 0且m+ 4= 1時(shí)，M n N的“長度”最小.2 3當(dāng) m= 0 且 n= 1 時(shí)，M n N = x 3w xw4,3 21長度為4 3 = 121 1 1 1當(dāng) n = 3且 m= 4時(shí)，M n N = x 4w xw 3,1綜上，mn n的長度的最小值為 .思維升華 解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程之中.(2)用好集合的C A > C B ,C A <C B .性質(zhì)解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一

21、些因素.跟蹤訓(xùn)練3用C(A)表示非空集合 A中元素的個(gè)數(shù)，定義A*B = 若A= 1,2 , B =x|(x2+ ax)(x2+ ax+ 2) = 0，且A*B= 1,設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S,貝U C(S)=.答案 3 解析 因?yàn)?C(A)= 2, A*B= 1，所以 C(B)= 1 或 C(B)= 3.由 x2+ ax= 0,得 X1= 0, x2= a.關(guān)于x的方程x2 + ax+ 2 = 0，當(dāng)= 0,即卩a =i2 2時(shí)，易知 C(B) = 3，符合題意；當(dāng) A>0, 即a< 2 2或a>2 2時(shí)，易知0, a均不是方程x2+ ax+ 2= 0的根，故C

22、(B) = 4,不符合題 意；當(dāng) A<0,即一2 2<a<2 ,2時(shí)，方程 x2+ ax+ 2 = 0 無實(shí)數(shù)解，當(dāng) a= 0 時(shí)，B = 0 , C(B) =1，符合題意，當(dāng)2 ,2<a<0或0<a<2 2時(shí)，C(B) = 2,不符合題意. 綜上，S= 0 , 2 .2, 2 ,2，故 C(S)= 3.1.已知集合 A= yy =兇一1, x R, B= x|x>2，則下列結(jié)論正確的是 （）A . - 3 A B. 3?B C. AA B= B D . AU B = B答案 C解析由題意知 A = y|y>- 1，因此A A B = x|

23、x> 2 = B,故選C.12 .設(shè)集合M = 1,1 , N = x -<2 ，則下列結(jié)論中正確的是（）xA . N M B . M N C. NA M = ? D. M U N= R答案 B、 1 1解析由題意得，集合N = x -<2= x x<0或x> ，所以M N.故選B. 23 設(shè)集合 A = x Z|x" 3x 4<0 , B= x|2x> 4，則 A A B 等于（）A. 2,4） B. 2,4 C. 3 D. 2,3答案 D解析 由 x2 3x 4<0，得一1<x<4，因?yàn)?x Z，所以 A= 0,1,2,

24、3，由 2x> 4，得 x> 2，即B = x|x>2，所以 AA B= 2,3.4. （2018全國n ）已知集合A= （x，y）|x2 + y2< 3，x Z，y Z，則A中元素的個(gè)數(shù)為（）A. 9 B. 8 C. 5 D. 4答案 A解析 將滿足x2+ y2<3的整數(shù)x，y全部列舉出來，即（ 1， 1），（ 1,0），（ 1,1），（0， 1），（0,0），（0,1），（1， 1），（1,0），（1,1），共有 9 個(gè).故選A.5. 設(shè)集合 A = x Z|x2 2x 3W 0 , B= 0,1，則?aB 等于（）A 3， 2， 1B 1,2,3D. 0,1

25、C. 1,0,1,2,3答案 B 解析 由題意可知 A= 1,0,1,2,3，貝U ?aB = 1,2,3.故選 B.6. （2018 呼和浩特聯(lián)考）已知全集 U =x N|x2 5x 6<0，集合 A= x N| 2<x< 2, B =1,2,3,5，則（？uA） A B 等于（）A. 3,5B. 2,3,5C. 2,3,4,5D. 3,4,5答案 A解析由題意知，U = 0,123,4,5 , A = 0,1,2，則（?uA） A B= 3,5.故選 A.7. （2017 全國 II ）設(shè)集合 A= 1,2,4 , B= xlx2 4x + m = 0 若 AA B= 1

26、，則 B 等于（）A1 ， 3B1,0C1,3D1,5答案 C解析/ AA B = 1 , 1 B.1 4+ m= 0,即卩 m= 3. B=x|x24x3=0=1,3 故選 C.8. 已知集合 A= x| 1<x<0, B= x|xw a，若A? B，貝U a的取值范圍為（）A. （ a, 0B. 0,+ ）C. （ a, 0）D. （0,+ ）答案 B解析用數(shù)軸表示集合 A, B（如圖），由A? B，得a>0.9 .已知集合 P=xy = . - x2+ X+ 2, x N , Q = x|ln x<1，貝V P n Q=.答案1,2解析 由一x2+ x+ 2>

27、; 0，得一1< xw 2,因?yàn)?x N,所以 P= 0,1,2.因?yàn)?In x<1 ,所以 0<x<e,所以 Q= (0, e),貝U P n Q = 1,2.10. 若全集 U= R，集合 A= xlx2-x- 2> 0, B = x|log3(2 x)w 1，則 An (?uB) =. 答案x|x< 1 或 x > 2解析 集合 A= x|x2 x 2> 0 = x|x< 1 或 x>2,log3(2 x)< 1 = log33, / 0<2 x< 3, 1w x<2, B = x| 1 w x<2

28、,二?uB = x|x< 1 或 x> 2,二 An (?uB) = x|x< 1 或 x> 2.11. 設(shè)集合 A = 1,1,2, B= a + 1, a2 2，若 An B = 1,2，則 a 的值為.答案 2或1a + 1 = 1,解析集合 A = 1,1,2 , B= a + 1 , a2 2 , An B = 1,2 , 或a2 2 = 2a+ 1 = 2,解得a = 2或a = 1.a2 2= 1,經(jīng)檢驗(yàn)，a= 2和a= 1均滿足題意.12. 已知集合A = x|y= lg(x x2) , B= xf cx<0, c>0,若A? B,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是答案 1 ,+s