高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)幾何體與球切接的問題

1、熱點(diǎn)七 幾何體與球切、接的問題 縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點(diǎn)之一.高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答.從實(shí)際教學(xué)來看，這部分知識(shí)學(xué)生掌握較為薄弱、認(rèn)識(shí)較為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理. 下面結(jié)合近幾年高考題對(duì)球與幾何體的切接問題作深入的探究,以便更好地把握高考命題的趨勢(shì)和高考的命題思路,力爭(zhēng)在這部分內(nèi)容不失分.從近幾年全國高考命題來看,這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見. 

2、;首先明確定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切， 則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球.1 球與柱體的切接 規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.1.1 球與正方體 如圖所示，正方體，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，為棱的中點(diǎn)，為球的球心.常見組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正方形和其內(nèi)切圓，則；二是與正方體各棱相切的球

3、，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形和其外接圓，則.通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.（1）正方體的內(nèi)切球，如圖1. 位置關(guān)系：正方體的六個(gè)面都與一個(gè)球都相切，正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有. （2）正方體的外接球，如圖2. 位置關(guān)系：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上；正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的

4、棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.（3）正方體的棱切球，如圖3. 位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合； 數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為，這時(shí)有.例 1【2018屆福建省三明市A片區(qū)高中聯(lián)盟校高三上學(xué)期期末】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【針對(duì)練習(xí)】1.如圖，虛線小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，粗實(shí)(虛)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的表面積為A36B32 C9D8答案及解析：1.B幾何體的直觀圖如圖所示為三棱錐，三棱錐中，所以外接球的直徑為，則半徑，所以外接球的表面積,故選B.

5、1.2 球與長(zhǎng)方體例 2 自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值【答案】.【解析】以為從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，則另外四個(gè)頂點(diǎn)必在球面上，故長(zhǎng)方體是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)是球的直徑 =例 3【2018屆二輪復(fù)習(xí)專題】九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑若三棱錐P­ABC為鱉臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，三棱錐P­ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為()A. 8 B. 12C. 20 D. 24【答案】C【針對(duì)練習(xí)】1.已知邊長(zhǎng)為2的

6、等邊三角形ABC，D為BC的中點(diǎn)，以AD為折痕，將ABC折成直二面角，則過A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案及解析：1.D折后的圖形可放到一個(gè)長(zhǎng)方體中，其體對(duì)角線長(zhǎng)為，故其外接球的半徑為，其表面積為.故選D.2 球與錐體的切接 規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題.2.1正四面體與球的切接問題  （1） 正四面體的內(nèi)切球，如圖4. 位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)面都與一個(gè)球相切，正四面體的

7、中心與球心重合；  數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為；球的半徑為，這時(shí)有；（可以利用體積橋證明）  （2） 正四面體的外接球，如圖5. 位置關(guān)系：正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，正四面體的中心與球心重合；  數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為；球的半徑為，這時(shí)有；（可用正四面體高減去內(nèi)切球的半徑得到）  （3） 正四面體的棱切球，如圖6. 位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；  數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，高為；球的半徑為，這時(shí)有 例 4【2018屆廣西防城港市

8、高三1月模擬】各面均為等邊三角形的四面體的外接球的表面積為，過棱作球的截面，則截面面積的最小值為_【答案】【解析】將四面體放回一個(gè)正方體中,使正四面體的棱都是正方體的面對(duì)角線,那么正四面體和正方體的外接球是同一個(gè)球,當(dāng)AB是截面圓的直徑時(shí),截面面積最小.因外接球的表面積為,則球的直徑為,則正方體的體對(duì)角線為,棱長(zhǎng)為1,面對(duì)角線為,截面圓面積最小值為.點(diǎn)評(píng)：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.【針對(duì)練習(xí)】1.設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為，則三棱錐D-

9、ABC體積的最大值為 （ ） A. B. C. D. 答案及解析：1.C2.在四面體ABCD中，則四面體體積最大時(shí)，它的外接球半徑R=答案及解析：2.如圖，取AB中點(diǎn)E，連接CE，DE，設(shè)AB=2x（0x1），則CE=DE=，當(dāng)平面ABC平面ABD時(shí)，四面體體積最大，為V=V=，當(dāng)x（0，）時(shí)，V為增函數(shù)，當(dāng)x（，1）時(shí)，V為減函數(shù)，則當(dāng)x=時(shí)，V有最大值設(shè)ABD的外心為G，ABC的外心為H，分別過G、H作平面ABD、平面ABC的垂線交于O，則O為四面體ABCD的外接球的球心在ABD中，有sin，則cos，sin=設(shè)ABD的外接圓的半徑為r，則，即DG=r=又DE=，OG=HE=GE=它的外接

10、球半徑R=OD=2.2其它棱錐與球的切接問題 球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球?yàn)槿忮F的外接球，此時(shí)三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，根據(jù)截面圖的特點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.二是球?yàn)檎忮F的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個(gè)面相切，球心到四個(gè)面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個(gè)小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積. 球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.例如，四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點(diǎn)幾何特征，巧定球心位置.例5【湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2017

11、屆高三摸底】已知邊長(zhǎng)為的菱形中，沿對(duì)角線折成二面角為的四面體，則四面體的外接球的表面積為（ ）A B C D【答案】D例6【江西省新余市第一中學(xué)2017屆高三上學(xué)期調(diào)研考試（一）】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖（1）所示, 它的府視圖的直觀圖是,如圖（2）所示, 其中,則該幾何體的外接球的表面積為【答案】【解析】由斜二測(cè)畫法易知，該幾何體的俯視圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體是如下圖所示的高為4的三棱錐DABC，將其補(bǔ)形為三棱柱ABC-EDF,設(shè)球心為O，的中心為，則,所以該幾何體的外接球的半徑,其表面積為.例7【2018屆山西省太原十二中高三上學(xué)期1月】在四棱錐

12、中， 底面，底面為正方形， ， ，記四棱錐的外接球與三棱錐的外接球的表面積分別為，則_【答案】【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，設(shè)為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，而平面，所以，又，故，又，故平面?平面，所以，故為直角三角形， 為斜邊，所以同理也為直角三角形，結(jié)合 ，所以，又， ，所以平面， 平面，所以， 為直角三角形，所以， 為三棱錐 外接球的球心，且半徑同理設(shè)為的中點(diǎn)，則為四棱錐外接球的球心，且半徑，所以填點(diǎn)睛：球的半徑的計(jì)算，關(guān)鍵在球心位置的確定，三棱錐中均為直角三角形，因此外接球的球心就是的中點(diǎn)，因?yàn)樗剿膫€(gè)頂點(diǎn)的距離是相等的同理四棱錐外接球的球心就是的中點(diǎn)【針對(duì)練習(xí)】 1.已知在三棱錐P-ABC中，平面

13、PAB平面ABC，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）A B C D答案及解析：1.B試題分析：如下圖所示，設(shè)球心為，則可知球心在面的投影在外心，即中點(diǎn)處，取中點(diǎn)，連，由題意得，面，在四邊形中，設(shè)，半徑，即球心即為中點(diǎn)，表面積，故選B.2.在四面體SABC中，SA平面ABC，BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為A11BCD答案及解析：2.DAC=2，AB=1，BAC=120°，BC=，三角形ABC的外接圓半徑為r，2r=，r=，SA平面ABC，SA=2，由于三角形OSA為等腰三角形，O是外接球的球心則有該三棱錐的外接球的半

14、徑R=，該三棱錐的外接球的表面積為S=4R2=選D.3.在四面體ABCD中，BCD與ACD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，二面角A-CD-B的大小為60°，則四面體ABCD外接球的表面積為（）A B C D答案及解析：3.A根據(jù)題意得到這個(gè)模型是兩個(gè)全等的三角形，二面角大小為，取CD的中點(diǎn)記為O，連結(jié)OB，OA，根據(jù)題意需要找到外接球的球心，選擇OA的離O點(diǎn)近的3等分店記為E，同理去OB上一點(diǎn)記為F，自這兩點(diǎn)分別做兩個(gè)面的垂線，交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是球心。在三角形POE中，角POE為三十度，OE=故答案為：A.4.已知在三棱錐 A - BCD中，底面BCD為等邊三角形，且平面ABD平面BCD

15、，則三棱錐A - BCD外接球的表面積為答案及解析：4.16取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，取CE的三等分點(diǎn)為O，使得CO=2OE，則O為等邊BCD的中心.由于平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD，CEBD，所以平面ACE平面ABD.由于AB2+AD2=BD2，所以ABD為直角三角形，且E為ABD的外心，所以O(shè)A=OB=OD.又OB=OC=OD，所以O(shè)為三棱錐A-BCD外接球的球心，且球的半徑.故三棱錐A-BCD外接球的表面積為.3 球與球相切問題 對(duì)于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準(zhǔn)確確定各個(gè)小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)

16、化平面問題求解.例8 已知有半徑分別為2、3的球各兩個(gè)，且這四個(gè)球彼此相外切，現(xiàn)有一個(gè)球與此四個(gè)球都相外切，則此球的半徑為.【答案】【解析】如圖：設(shè)四個(gè)球的球心分別為A、B、C、D，則AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.設(shè)AB中點(diǎn)為E、CD中點(diǎn)為F，連結(jié)EF.在ABF中求得BF=，在EBF中求得EF=.由于對(duì)稱性可得第五個(gè)球的球心O在EF上，連結(jié)OA、OD.設(shè)第五個(gè)球的半徑為r，則OA=r+3，OD=r+2， 于是OE=，OF=，OE+OF=EF平方整理再平方得解得或（舍掉），故答案為.例9 把四個(gè)半徑都是1的球中的三個(gè)放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個(gè)球，使它與前

17、三個(gè)都相切，求第四個(gè)球的最高點(diǎn)與桌面的距離【答案】.【針對(duì)練習(xí)】 1.兩球和在棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)部，且互相外切，若球與過點(diǎn)的正方體的三個(gè)面相切，球與過點(diǎn)的正方體的三個(gè)面相切，則球和的表面積之和的最小值為( )A B C. D答案及解析：1.A4球與幾何體的各條棱相切問題 球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對(duì)棱的一半：.例10 把一個(gè)皮球放入如圖10所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（ ）Al0cm

18、B10 cmC10cm D30cm【答案】【解析】如圖所示，由題意球心在AP上，球心為O，過O作BP的垂線ON垂足為N，ON=R，OM=R，因?yàn)楦鱾€(gè)棱都為20，所以AM=10，BP=20,BM=10，AB=,設(shè)，在BPM中，,所以.在PAM中, ,所以.在ABP中, ，在ONP中, ,所以，所以.在OAM中, ,所以，,解得，或30（舍）,所以，故選B.4 球與旋轉(zhuǎn)體切接問題 首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系例11 求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比【答案】【解析】如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓 設(shè)球的半徑

19、，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；， ， ，例12在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)有兩個(gè)球相外切且又分別與正方體內(nèi)切（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時(shí)，兩球體積之和最小【答案】【解析】如圖，球心和在上，過，分別作的垂線交于則由得， 【反思提升】綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題，應(yīng)用三角形中的邊角關(guān)系，建立與球半徑的聯(lián)系，將球的體積之和用或表示.如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過球心的對(duì)角面來作；把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的內(nèi)接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距

20、離等于球的半徑發(fā)揮好空間想象力，借助于數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題即可得解如果是一些特殊的幾何體，如正方體、正四面體等可以借助結(jié)論直接求解,此時(shí)結(jié)論的記憶必須準(zhǔn)確.高考題往往與三視圖相結(jié)合，題目的難易不一，在復(fù)習(xí)中切忌好高騖遠(yuǎn)，應(yīng)重視各種題型的備考演練，重視高考信息的搜集，不斷充實(shí)題目的類型，升華解題的境界.【針對(duì)練習(xí)】1.已知四棱錐SABCD，SA平面ABCD，ABBC，BCDDAB，SA2，二面角SBCA的大小為若四面體SACD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為A B4 C8 D16答案及解析：10.C2.已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,各頂點(diǎn)都在同一球面上,若該棱柱的體

21、積為,則此球的體積等于(   )A.B.C.D.答案及解析：19.B3.在四面體ABCD中，AD底面ABC，BC=2，E為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AE上且滿足AG=2GE，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則（ ）A B C D2答案及解析：3.D設(shè)ABC的外心為O，則點(diǎn)O在AE上，設(shè)OE=r,則.設(shè)四面體ABCD的外接球半徑為R，則.因?yàn)樗? 故選D.4.九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對(duì)幾何體外接球的研究，如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的體積是（）A81 B33 C. 56

22、D41答案及解析：4.D由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的四棱錐，其中是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面平面設(shè)為的中點(diǎn)，為正方形的中心，為四棱錐外接球的球心，為外接圓的圓心，則球心為過點(diǎn)且與平面垂直的直線與過且與平面垂直的直線的交點(diǎn)由于為鈍角三角形，故在的外部，從而球心與點(diǎn)P在平面的兩側(cè)由題意得，設(shè)球半徑為，則,即，解得，選D5.正三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若球的半徑為4，則該三棱柱的側(cè)面面積的最大值為 （ ）（A） （B） （C） （D）答案及解析：5.A設(shè)正三棱柱高為h，底面正三角形邊長(zhǎng)為a，則三棱柱側(cè)面面積為，因?yàn)?，所以因此三棱柱?cè)面面積最大值為，選A6.四棱錐P - ABCD的底面ABC

23、D為正方形，PA底面ABCD，AB=2，若該四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的同一球面上，則PA=（ ）（A）3（B）（C）（D）答案及解析：6.B試題分析：連結(jié)交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以底面，則到四棱錐的所有頂點(diǎn)的距離相等，即為球心，半徑為,所以球的體積為，解得，故選B7.某棱錐的三視圖如下圖所示,則該棱錐的外接球的表面積為（ ）A11 B12 C. 13 D14答案及解析：7.A由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐，外接球球心在過中點(diǎn)且垂直于平面的直線上，又點(diǎn)到距離相等，點(diǎn)又在線段的垂直平分面上，故是直線與面的交點(diǎn)，可知是直線與直線的交點(diǎn)（分別是左側(cè)正方體對(duì)棱的中點(diǎn)）， 故三棱錐外接球的

24、半徑，表面積為8.下圖是某四棱錐的三視圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該四棱錐的外接球的表面積為（ ）A B C. 41 D31答案及解析：8.C根據(jù)三視圖得出：該幾何體是鑲嵌在正方體中的四棱錐OABCD，正方體的棱長(zhǎng)為2，A，D為棱的中點(diǎn)其中.根據(jù)幾何體可以判斷：球心應(yīng)該在過A，D的平行于底面的中截面上，設(shè)球心到截面BCO的距離為x，則到AD的距離為：4x，R2=x2+（）2，R2=22+（4x）2，解得出：，該多面體外接球的表面積為：4R2=，故選：C9.三棱錐P-ABC中，底面ABC滿足，點(diǎn)P在底面ABC的射影為AC的中點(diǎn)，且該三棱錐的體積為，當(dāng)其外接球的表面積最小時(shí)，P到底面ABC的

25、距離為.答案及解析：9.67.在三棱錐P-ABC中，,則該三棱錐的外接球的表面積為答案及解析：67.5 68.在四面體ABCD中，若AB=CD=，AC=BD=2，AD=BC=，則四面體ABCD的外接球的表面積為_答案及解析：68. 669.已知三棱錐均為等邊三角形，二面角的平面角為60°，則三棱錐外接球的表面積是.81.表面積為的球面上有四點(diǎn)，且為等邊三角形，球心到平面的距離為，若平面平面，則三棱錐的體積的最大值為答案及解析：81.過O作OF平面SAB,則F為SAB的中心,過F作FESA于E點(diǎn),則E為SA中點(diǎn),取AB中點(diǎn)D,連結(jié)SD,則ASD=30，設(shè)球O半徑為r,則,解得.連結(jié)OS

26、,則.過O作OM平面ABC，則當(dāng)C，M，D三點(diǎn)共線時(shí)，C到平面SAB的距離最大，即三棱錐SABC體積最大.連結(jié)OC，平面SAB平面ABC，四邊形OMDF是矩形，三棱錐SABC體積.點(diǎn)睛：求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，83.已知三棱錐中，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的體積為 答案及解析：83.當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的體積最大，由于，則為直角三角形，三棱錐的外接

27、球就是以為棱的長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線等于外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，則，解得，球體的體積為，故答案為.87.在三棱錐中，,PA與平面ABC所成角的余弦值為，則三棱錐P - ABC外接球的表面積為答案及解析：87.1289.在幾何體中，是正三角形，平面平面，且，則的外接球的表面積等于答案及解析：89.由題意，取AB,PB的中點(diǎn)E,F，連接AF,PE，且，則點(diǎn)M為正三角形PAB的中點(diǎn)，易證PE 平面ABC，取AC中點(diǎn)D，連接ED，作ODPE，OMED，連接OA，則OA為外接球的半徑，又，則，所以外接球的表面積為，從而問題可得解.91.已知一個(gè)四面體的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面積，且，則答案及解析：91.98.矩形中，平面，分別是，的中點(diǎn)，則四棱錐的外