數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)解題思維與思想精美word

1、高中數(shù)學(xué)解題思維與思想-.W.-3 v3> -.-3 «.-3 二-.w.-3 -3*-3> w3> -.-31 w3> -.-3* -.-3>'，三$二$二、3>1勺、勺. v3M9 7、必導(dǎo) 讀；)Ii數(shù)學(xué)家g .波利亞在怎樣解題中說過：數(shù)學(xué)教學(xué)的目的在于培jii養(yǎng)學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)良好思維品質(zhì)的途徑，是進(jìn)行有效的訓(xùn)練，本策f!,略結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際情況，從以下四個(gè)方面進(jìn)行講解：;：一、數(shù)學(xué)思維的變通性；ii根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活設(shè)想和解題方案I艮二、數(shù)學(xué)思維的反思性s!J:!提出獨(dú)特見解，檢查思維過程，不盲從、不輕信。！Cy三

2、、數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性-S;考察問題嚴(yán)格、準(zhǔn)確，運(yùn)算和推理精確無誤。：F!i四、數(shù)學(xué)思維的開拓性i*3對一個(gè)問題從多方面考慮、對一個(gè)對象從多種角度觀察、對一個(gè)題JJ,目運(yùn)用多種不同的解法。,iiiJ;!什么”轉(zhuǎn)變，從而培養(yǎng)他們的思維能力。！ii思維與思想的即時(shí)性、針對性、實(shí)用性，已在教學(xué)實(shí)踐中得到了*; 全面驗(yàn)證。；iiII,iIIiiII呂'.'3 .=.白-.'3 ,=1.'3 :二注通:二區(qū) 73 :=通-.'3 v=jM -.'3 :=區(qū):=區(qū)".'3 .=.，凈-.'3 .=.，三".'3 .=1

3、.3 73 :=通.=.，呂".'3 :=通,.,3 ,=1.'3 ".'3三:=通".'3 7二通信:=注通:=*臺3事-.'3 :=3注 vh'M'M 由M .&一、高中數(shù)學(xué)解題思維策略第一講數(shù)學(xué)思維的變通性一、概念數(shù)學(xué)問題千變?nèi)f化，要想既快又準(zhǔn)的解題，總用一套固定的方案是行不通的， 必須具有思維的變通性一一善于根據(jù)題設(shè)的相關(guān)知識，提出靈活的設(shè)想和解題方案。 根據(jù)數(shù)學(xué)思維變通性的主要體現(xiàn)，本講將著重進(jìn)行以下幾個(gè)方面的訓(xùn)練：(1)善于觀察心理學(xué)告訴我們：感覺和知覺是認(rèn)識事物的最初級形式，而觀察則是知

4、覺的高 級狀態(tài)，是一種有目的、有計(jì)劃、比較持久的知覺。觀察是認(rèn)識事物最基本的途徑, 它是了解問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的前提。任何一道數(shù)學(xué)題，都包含一定的數(shù)學(xué)條件和關(guān)系。要想解決它，就必須依據(jù)題目 的具體特征，對題目進(jìn)行深入的、細(xì)致的、透徹的觀察，然后認(rèn)真思考，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。1n(n 1)1例如，求和1 2這些分?jǐn)?shù)相加，通分很困難，但每項(xiàng)都是兩相鄰自然數(shù)的積的倒數(shù)，且111111111 、 一 ，1 1 ,因此，原式等于11111-1 ,問題很快就n(n 1) n n 1223nn 1 n 1解決了。(2)善于聯(lián)想聯(lián)想是問題轉(zhuǎn)化的橋梁。稍具難度的問題和

5、基礎(chǔ)知識的聯(lián)系，都是不明顯的、間接的、復(fù)雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征,靈活運(yùn)用有關(guān)知識，做出相應(yīng)的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。例如，解方程組x y 2xy 3這個(gè)方程指明兩個(gè)數(shù)的和為2,這兩個(gè)數(shù)的積為 3。由此聯(lián)想到韋達(dá)定理，x、y是一元二次方程t2 2t 3 0的兩個(gè)根，x 1x 3所以 或.可見，聯(lián)想可使問題變得簡單。y 3y 1(3)善于將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)家G .波利亞在怎樣解題中說過： 數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換。 可見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的。轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題

6、，把抽象問題轉(zhuǎn)化 成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題。在解題時(shí)，觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)問題 之后，就要尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系。1111例如，已知一一 一 ，(abc 0, a b c 0),a b c a b c求證a、b、c三數(shù)中必有兩個(gè)互為相反數(shù)。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使問題變得熟悉、簡單。要證的結(jié)論，可以轉(zhuǎn)化為：(a b)(b c)(c a) 0思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個(gè)人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題。 它表現(xiàn)就 是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙,必須加以克服。綜上所述，善于觀察、善于聯(lián)想、

7、善于進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)思維變通性的具體體現(xiàn)。要想提高思維變通性，必須作相應(yīng)的思維訓(xùn)練。二、思維訓(xùn)練實(shí)例(1)觀察能力的訓(xùn)練雖然觀察看起來是一種表面現(xiàn)象，但它是認(rèn)識事物內(nèi)部規(guī)律的基礎(chǔ)。所以，必須重視觀察能力的訓(xùn)練，使學(xué)生不但能用常規(guī)方法解題，而且能根據(jù)題目的具體特征， 采用特殊方法來解題。例1 已知a,b, c,d都是實(shí)數(shù)，求證Ja2 b2Vc2 d2式a c)2 (b d)2.思路分析 從題目的外表形式觀察到，要證的結(jié)論的右端與平面上兩點(diǎn)間的距離公式很相似，而左端可看作是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離公式。根據(jù)其特點(diǎn)，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現(xiàn)。證明 不妨設(shè)A(a,b), B(c,d)

8、如圖12 1所示, 則 AB| J(a c)2 (b d)2.OA Va2 b2, OB Vc2 d2,在 OAB中，由三角形三邊之間的關(guān)系知：OA OB AB當(dāng)且僅當(dāng)。在AB上時(shí)，等號成立。因此，.a2 b2, c2 d2. (a c)2 (b d)2.思維障礙 很多學(xué)生看到這個(gè)不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等, 公式相似的原因，是對這個(gè)公式不熟，進(jìn)一步講是對基礎(chǔ)知識的掌握不牢固。因此，而此題利用這些方法證明很繁學(xué)生沒能從外表形式上觀察到它與平面上兩點(diǎn)間距離平時(shí)應(yīng)多注意數(shù)學(xué)公式、定理的運(yùn)用練習(xí)。例2已知3x2 2y2 6x ,試求x2 y2的最大值。解由3x2 2y2 6x得y2

9、x2 3x.223 2y 0,-x 3x Q 0 x 2.2又 x2 y2 x2 3 x2 3x9(x 3)2 9,222當(dāng)x 2時(shí)，x2 y2有最大值，最大值為2(2 3)2 9 4.思路分析 要求x2 y2的最大值，由已知條件很快將 x2 y2變?yōu)橐辉魏瘮?shù) f(x) 2(x 3)2 2,然后求極值點(diǎn)的x值，聯(lián)系到y(tǒng)2 0,這一條件，既快又準(zhǔn)地 求出最大值。上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的變通性。思維障礙大部分學(xué)生的作法如下:由 3x2 2y2 6x得 y22x2 3x,x2 y2 x2 3x2 3x 1(x 3)2 9, 222當(dāng)x 3時(shí)，x2 y2取最大值，最大值為這種解法由于

10、忽略了 y2 0這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯誤。因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注 意主要的已知條件, 又要注意次要條件，這樣，才能正確地解題，提高思維的變通性。有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手例3 已知二次函數(shù)f(x) ax2 bx c 0(a 0),滿足關(guān)系f (2 x) f (2 x),試比較 "0.5)與£()的大小。思路分析 由已知條件f (2 x) f (2 x)可知，在與x 2左右等距離的點(diǎn)的函數(shù)值相等，說明該函數(shù)的圖像關(guān)于直線 x 2對稱，又由 已知條件知它的開口向上，所以，可根據(jù)該函數(shù)的大致 圖像簡捷地

11、解出此題。解(如圖 122)由 f(2 x) f (2 x),知f(x)是以直線x 2為對稱軸，開口向上的拋物線它與x 2距離越近的點(diǎn)，函數(shù)值越小。2 0.52 f (0.5) f()思維障礙 有些同學(xué)對比較f(0.5)與f()的大小，只想到求出它們的值。而此題 函數(shù)f(x)的表達(dá)式不確定無法代值，所以無法比較。出現(xiàn)這種情況的原因，是沒有充 分挖掘已知條件的含義，因而思維受到阻礙，做題時(shí)要全面看問題，對每一個(gè)已知條 件都要仔細(xì)推敲，找出它的真正含義，這樣才能順利解題。提高思維的變通性。(2)聯(lián)想能力的訓(xùn)練例4在ABC中，若 C為鈍角，則tgA tgB的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D

12、)不能確定思路分析 此題是在 ABC中確定三角函數(shù)tgA tgB的值。因此，聯(lián)想到三角函數(shù)正切的兩角和公式tg(A B) tgA tgB可得下面解法。1 tgA tgBC為鈍角，tgC 0 .在ABC中A B C(A B)且A、B均為銳角,tgCtg(AB) tg(AB) IgAAtgBB0.tgA0,tgB0,1tgA tgB0.即tgA tgB 1.故應(yīng)選擇(B)思維障礙 有的學(xué)生可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數(shù)的基 本公式掌握得不牢固，不能準(zhǔn)確把握公式的特征，因而不能很快聯(lián)想到運(yùn)用基本公式。例5 若(z x)2 4(x y)(y z) 0,證明：2y x z.思路分析此題

13、一般是通過因式分解來證。但是，如果注意觀察已知條件的特點(diǎn), 不難發(fā)現(xiàn)它與一元二次方程的判別式相似。于是，我們聯(lián)想到借助一元二次方程的知識來證題。證明當(dāng) x y 0 時(shí)，等式(z x)2 4(x y)(y z) 0可看作是關(guān)于t的一元二次方程(x y)t2 (z x)t (y z) 0有等根的條件，在進(jìn)一步觀察這個(gè)方程，它的兩個(gè)相等實(shí)根是1 ,根據(jù)韋達(dá)定理就有：-一z 1 即 2y x z x y若x y 0,由已知條件易得 z x 0,即x y z,顯然也有2y x z.例6已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，滿足關(guān)系式a2 b2 c2,又n為不小于3的自然數(shù)，求證:anbncn.思路分析由條件a2 b

14、2c2聯(lián)想到勾股定理，a、b、c可構(gòu)成直角三角形的三邊，進(jìn)一步聯(lián)想到三角函數(shù)的定義可得如下證法。證明 設(shè)a、b、c所對的角分別為A、B、C.則C是直角，A為銳角，于是asin A , cosAcb,且0 csin A1, 0 cos A 1,當(dāng) n3時(shí)，有 sin n A sin 2 A, cosn A cos2 A于是有 sin n A cosn A sin 2 A cos2 A1即 (a)n (b)n1,c c從而就有an bn cn.思維阻礙 由于這是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，一些學(xué)生都會想到用數(shù)學(xué)歸納法 來證明，難以進(jìn)行數(shù)與形的聯(lián)想，原因是平時(shí)不注意代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系，單純學(xué) 代數(shù)，學(xué)

15、幾何，因而不能將題目條件的數(shù)字或式子特征與直觀圖形聯(lián)想起來。(3)問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練我們所遇見的數(shù)學(xué)題大都是生疏的、復(fù)雜的。在解題時(shí)，不僅要先觀察具體特征，聯(lián)想有關(guān)知識，而且要將其轉(zhuǎn)化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化， 往往使問題很快得到解決，所以，進(jìn)行問題轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練是很必要的。轉(zhuǎn)化成容易解決的明顯題目,一111例11 已知a b c - 1,求證a、b、c中至少有一個(gè)等于1。a b c思路分析 結(jié)論沒有用數(shù)學(xué)式子表示，很難直接證明。首先將結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表 示，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式。a、b、c中至少有一個(gè)為1,也就是說a 1、b 1、c 1 中至少有一個(gè)為零，這樣，問題就容易解決了。證

16、明 1 1 1 1, bc ac ab abc.a b c于是(a 1)(b 1)(c 1) abc (ab ac bc 1) (a b c) 0.a 1、b 1、c 1中至少有一個(gè)為零，即a、b、c中至少有一個(gè)為1。思維障礙 很多學(xué)生只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個(gè)為1,其原因是不能把要證的結(jié)論“翻譯”成數(shù)學(xué)式子，把陌生問題變 為熟悉問題。因此，多練習(xí)這種“翻譯”，是提高轉(zhuǎn)化能力的一種有效手段。例12 直線L的方程為x ，其中p 0;橢圓E的中心為0（2 £,0）,焦點(diǎn) 在X軸上，長半軸為2,短半軸為1,它的一個(gè)頂點(diǎn)為A（-p,0）,問p在什么范圍內(nèi)

17、取 值時(shí)，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中的每一點(diǎn)到點(diǎn) A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距思路分析 從題目的要求及解析幾何的知識可知，四個(gè)不同的點(diǎn)應(yīng)在拋物線(1)2y 2px是，又從已知條件可得橢圓E的方程為因此，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)方程組x (2 224y2 1(1) 、 (2)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求p的取值范圍。將（2）代入（1）得:x2 (7p2p4)x 2p 0.4(3)確定p的范圍，實(shí)際上就是求（3）有兩個(gè)不等正根的充要條件，解不等式組:(7p244)22p7p在p 0的條件下，得0p 13.2p4(2p) 04本題在解題過程中，不斷地把問題化歸為標(biāo)準(zhǔn)問題：解方程組和不等式組的問題。2逆向思維的訓(xùn)練

18、逆向思維不是按習(xí)慣思維方向進(jìn)行思考，而是從其反方向進(jìn)行思考的一種思維方式。當(dāng)問題的正面考慮有阻礙時(shí)，應(yīng)考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。例13 已知函數(shù)f(x) 2x2 mx n,求證f(1)、f(2)、f (3)中至少有一個(gè)不 小于1.思路分析 反證法被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，它也是中學(xué)數(shù)學(xué)常用的解題方法。當(dāng)要證結(jié)論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般可考慮采用 反證法證明(反證法)假設(shè)原命題不成立，即|f(1)|、|f(2)、| f (3)都小于1。f 112m n 13m n1則f (2)|1182m n 192m n7f(3)11183m n 1193m n1

19、7十得11 2m n 9,與矛盾，所以假設(shè)不成立，即|f、|f(2)、|f (3)中至少有一個(gè)不小于1。3 一題多解訓(xùn)練由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真 觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。例14 已知復(fù)數(shù)z的模為2 ,求|z i|的最大值。解法一(代數(shù)法)設(shè)z x yi(x、y R),則x2 y2=4. z i vx2 (y 1)2 <5 2y.y 2,當(dāng) y 2時(shí)，z imax 3.解法二（三角法）設(shè)z 2（cos isin ）,4cos2十 (2sin 1)2

20、.54sin .解法三（幾何法）2,點(diǎn)謂圓max 3.x2 y24上的點(diǎn),z i表示z與i所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離如圖12 3所示，可知當(dāng)z2i時(shí),解法四（運(yùn)用模的性質(zhì)）z i而當(dāng)z2i時(shí),3.max 3.解法五（運(yùn)用模的性質(zhì)）(z i)(z i)zz(zz)i 15 2I(z),(I (z)表z的虛部).又 I(z)2,2max 9,max 3.第二講數(shù)學(xué)思維的反思性、概述精細(xì)地檢查思維過程，不盲獲得獨(dú)特的解決問題的方法,數(shù)學(xué)思維的反思性表現(xiàn)在思維活動中善于提出獨(dú)立見解, 從、不輕信。在解決問題時(shí)能不斷地驗(yàn)證所擬定的假設(shè), 它和創(chuàng)造性思維存在著高度相關(guān)。本講重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性的訓(xùn)練，培養(yǎng)他

21、們 的創(chuàng)造性思維。、思維訓(xùn)練實(shí)例(1)檢查思路是否正確，注意發(fā)現(xiàn)其中的錯誤例1 已知f (x) ax錯誤解法由條件得+得 3錯誤分析c b 3a 3f(1) 0,f(2)6,求f (3)的范圍2a43,畔f(3) 433采用這種解法，忽視了這樣個(gè)事實(shí)xf(x) ax -，其值是同時(shí)受a和b制約的。當(dāng)a取取大(/J b6 a 158 b23 33:作為滿足條件的函數(shù))值時(shí)，b不一定取最大(小)值，因而整個(gè)解題思路是錯誤的。正確解法由題意有f(1) a b bf(2) 2a b解得：a%2f(2) f(1), b 72 f (1) f(2), 33f(3) 3a 3 f) 9f., 1637把f和

22、f (2)的范圍代入得-f(3) 37 33在本題中能夠檢查出解題思路錯誤， 并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識，才能反思性地看問題。例2證明勾股定理：已知在 ABC中， C 90 ,求證c2 a2 b2.ab 一 o錯塊證法 在 Rt ABC 中，sin A -, cosA -，而sin A cos A 1 , cc(a)2 (b)2 1,即 c2 a2 b2. c c錯誤分析 在現(xiàn)行的中學(xué)體系中，sin2 A cos2 A 1這個(gè)公式本身是從勾股定理推出來的。這種利用所要證明的結(jié)論，作為推理的前提條件，叫循環(huán)論證。循環(huán)論證 的錯誤是在不知不覺中產(chǎn)生的，而且不易發(fā)

23、覺。因此，在學(xué)習(xí)中對所學(xué)的每個(gè)公式、法則、定理，既要熟悉它們的內(nèi)容，又要熟悉它們的證明方法和所依據(jù)的論據(jù)。這樣 才能避免循環(huán)論證的錯誤。發(fā)現(xiàn)本題犯了循環(huán)論證的錯誤，正是思維具有反思性的體 現(xiàn)。驗(yàn)算的訓(xùn)練驗(yàn)算是解題后對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)的過程。通過驗(yàn)算，可以檢查解題過程的正確性, 增強(qiáng)思維的反思性。例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和& 2n 1,求an.錯誤解法 an Sn Sn1(2n1) (2n1 1) 2n 2n 12nl.錯誤分析顯然，當(dāng)n 1時(shí)，© S1 3 211 1 ,錯誤原因，沒有注意公式an Sn Sn1成立的條件是n2(nN).因此在運(yùn)用an SnSn1時(shí)，必須檢驗(yàn)n時(shí)的

24、情形。即：anS1 (n 1)Sn (n 2,n N)1例4實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓x y 2ax a 1 0與拋物線y x有兩個(gè)公共點(diǎn)。錯誤解法 將圓x2 y2 2ax a2 1 0與拋物線y2 乂聯(lián)立，消去丫，212得 x2 (2a -)x a2 1 0 (x 0).01因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等正根，得 2a 1 02a2 1 0.右17解之，得a -.8錯誤分析(如圖22 1; 2 22)顯然，當(dāng)a 0時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時(shí)，得 2 0 解之，得1 a 1.a2 1 0.171

25、 .因此，當(dāng)a 或1 a 1時(shí)，圓x y 2ax a 1 0與拋物線y -x有兩 82個(gè)公共點(diǎn)。思考題：實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓x2 y2 2ax a2 1 0與拋物線y2 1x,(1)有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)有三個(gè)公共點(diǎn)；(3)有四個(gè)公共點(diǎn)；(4)沒有公共點(diǎn)。養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式； 對數(shù)方程、對數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會發(fā)生 變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。(3)獨(dú)立思考，敢于發(fā)表不同見解受思維定勢或別人提示的影響，解題時(shí)盲目附和，不能提出自己的看法，這不利于增強(qiáng)思維的反思性。因此

26、，在解決問題時(shí)，應(yīng)積極地獨(dú)立思考，敢于對題目解法發(fā)表自己的見解，這樣才能增強(qiáng)思維的反思性，從而培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。例5 30支足球隊(duì)進(jìn)行淘汰賽，決出一個(gè)冠軍，問需要安排多少場比賽？解 因?yàn)槊繄鲆蕴?個(gè)隊(duì)，30個(gè)隊(duì)要淘汰29個(gè)隊(duì)才能決出一個(gè)冠軍。因此應(yīng)安排29場比賽。思 路分析 傳統(tǒng)的思維方法是：30支隊(duì)比賽，每次出兩支隊(duì)，應(yīng)有15 + 7 +4 + 2+1 = 29場比賽。而上面這個(gè)解法沒有盲目附和，考慮到每場比賽淘汰1個(gè)隊(duì),要淘汰29支隊(duì)，那么必有29場比賽。例6解方程x2 2x 3 cosx.考察方程兩端相應(yīng)的函數(shù)y (x 1)2 2, y cosx ,它們的圖象無交點(diǎn)。所以此方程無解。例7

27、 設(shè)、是方程x2 2kx k 6 0的兩個(gè)實(shí)根，則(1)2 (1)2的最小值是()49一,，(A)49；(B) 8;(C) 18;(D)不存在4思路分析 本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了 3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得:2k, k 6,(1)2(22_2_1)212()2 22(3 24(k 7)49449有的學(xué)生一看到 49 ,常受選擇答案(A)的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏 4反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別, 就能從中選出正確答案原方程有兩個(gè)實(shí)根、，4k2 4(k 6) 0, k 2 或 k 3.當(dāng)k 3時(shí)，(1)2 (1)2

28、的最小值是8;當(dāng)k 2時(shí)，(1)2(1)2的最小值是18;這時(shí)就可以作出正確選擇，只有(B)正確第三講 數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性、概述在中學(xué)數(shù)學(xué)中，思維的嚴(yán)密性表現(xiàn)為思維過程服從于嚴(yán)格的邏輯規(guī)則，考察問題時(shí)嚴(yán)格、準(zhǔn)確，進(jìn)行運(yùn)算和推理時(shí)精確無誤。數(shù)學(xué)是一門具有高度抽象性和精密邏輯性的 科學(xué)，論證的嚴(yán)密性是數(shù)學(xué)的根本特點(diǎn)之一。但是，由于認(rèn)知水平和心里特征等因素 的影響，中學(xué)生的思維過程常常出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：概念模糊 概念是數(shù)學(xué)理論體系中十分重要的組成部分。 它是構(gòu)成判斷、推理的要素。因此必須弄清概念，搞清概念的內(nèi)涵和外延，為判斷和推理奠定基礎(chǔ)。概念不清就容易陷入思維混亂，產(chǎn)生錯誤。判

29、斷錯誤 判斷是對思維對象的性質(zhì)、關(guān)系、狀態(tài)、存在等情況有所斷定的一種思維形式。數(shù)學(xué)中的判斷通常稱為命題。在數(shù)學(xué)中，如果概念不清，很容易導(dǎo)致判斷錯誤。 1 例如，”函數(shù)y (3) x是一個(gè)減函數(shù)”就是一個(gè)錯誤判斷。推理錯誤推理是運(yùn)用已知判斷推導(dǎo)出新的判斷的思維形式。它是判斷和判斷的聯(lián)合。任何一個(gè)論證都是由推理來實(shí)現(xiàn)的，推理出錯，說明思維不嚴(yán)密。，一 一 一一 ,1例如，解不等式x -.x解 X -,x2 1,X12X 1,或X 1.這個(gè)推理是錯誤的。在由X -推導(dǎo)X2 1時(shí)，沒有討論X的X正、負(fù)，理由不充分，所以出錯。思維的嚴(yán)密性是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵之一。訓(xùn)練的有效途徑之一是查錯。(1)有關(guān)概念的訓(xùn)

30、練概念是抽象思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)推理離不開概念?！闭_理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的前提?！敝袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試行草案)例1、 不等式 log(x2 2)(3x2 2x 4) log(x2 2)(x2 3x 2).錯誤解法 x2 2 1,_ 2_2_3x 2x 4 x 3x 2,2x2 x 6 0, x 3 或x 2.2錯誤分析當(dāng)x 2時(shí)，真數(shù)x2 3x 2 0且x 2在所求的范圍內(nèi)(因 2 |),說明解法錯誤。原因是沒有弄清對數(shù)定義。此題忽視了 “對數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。正確解法 x2 2 13x2 2x 4 02x2 3x 2 03x2 2x 4 x2

31、3x 2x 2或 x2.1 ,13.x 或x3x 2或x 13或x2例2、求過點(diǎn)(0,1)的直線，使它與拋物線11332x僅有一個(gè)交點(diǎn)。錯誤解法設(shè)所求的過點(diǎn)(0,1)的直線為y kx 1 ,則它與拋物線的交點(diǎn)為y kx 122,消去 y 得：（kx 1） 2x 0.整理得k2x2y 2x(2 k 2)x 1 0.直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn),一 1 10,解得k -. 所求直線為y -x 1.22錯誤分析此處解法共有三處錯誤：第一，設(shè)所求直線為y kx 1時(shí)，沒有考慮k 0與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包

32、含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只 有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所 以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即k 0,而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密(0,1),所以x 0,即正確解法 當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直x軸，因?yàn)檫^點(diǎn)y軸，它正好與拋物線y判斷的訓(xùn)練造成判斷錯誤的原因很多，我們在學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視如下幾個(gè)方面。 2x相切。當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y 1,平行x軸，它正好與拋物線y2 2x只有一個(gè)交設(shè)所求的過點(diǎn)(0,1)的直線為ykx 1 (k 0

33、)則y kx 1y2 2x '(2k 2)x 1 0.令0,解得 k1,，一1所求直線為2y 2x 1.綜上，滿足條件的直線為:1y 1, x 0, y 2 x1.注意定理、公式成立的條件數(shù)學(xué)上的定理和公式都是在一定條件下成立的。如果忽視了成立的條件，解題中難免出現(xiàn)錯誤。例3、實(shí)數(shù)m,使方程x2 (m 4i)x 1 2mi 0至少有一個(gè)實(shí)根。錯誤解法方程至少有一個(gè)實(shí)根，2_2_(m 4i)4(1 2mi) m 20 0.m 2J5，或 m2j5.錯誤分析 實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判

34、別式是對實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯誤。正確解法 設(shè)a是方程的實(shí)數(shù)根，則a2 (m 4i)a 1 2mi 0, 2a ma 1 (4a 2m)i 0.由于a、m都是實(shí)數(shù)，a2 ma 1 04a 2m 0解得 m 2.例4已知雙曲線的右準(zhǔn)線為x 4,右焦點(diǎn)F(10,0),離心率e 2,求雙曲線方程。2錯解 1 x 4,c 10, a2 40, b2 c2 a2 60. c故所求的雙曲線方程為22L 1.40 60錯解2 由焦點(diǎn)F (10,02 10,22a 75.c2e 2, a 5,b c a故所求的雙曲線方程為2 x252L 1.75錯解

35、分析 這兩個(gè)解法都是誤認(rèn)為雙曲線的中心在原點(diǎn)，而題中并沒有告訴中心 在原點(diǎn)這個(gè)條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設(shè)條件，都會 產(chǎn)生錯誤解法。正解1設(shè)P(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的右準(zhǔn)線為x 4,右焦點(diǎn)F(10,0),離心率e 2,由雙曲線的定義知(x 10)2 y2.|x 4|整理得正解2依題意，設(shè)雙曲線的中心為(m,0)(x 2)2 亡 1I .10解得482.所以,22b c2_a64 1648,故所求雙曲線方程為(x 2)2162 y1.1648注意充分條件、必要條件和充分必要條件在解題中的運(yùn)用我們知道：如果A成立，那么B成立，即A B,則稱A是B的充分條

36、件。如果B成立，那么A成立，即B A,則稱A是B的必要條件。如果A B ,則稱A是B的充分必要條件。充分條件和必要條件中我們的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到。 像討論方程組的解，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡等等。但充分條件和必要條件中解題中的作用不同，稍用疏忽，就會出錯例5解不等式Jx 1 x 3.錯誤解法要使原不等式成立，只需x 1 0x 3 0,解得3x5.2x 1 (x 3)2錯誤分析 不等式VA B成立的充分必要條件是:A 0B 0或A B2原不等式的解法只考慮了一種情況x10x30,而忽視了另一種情況x1(x3)23 x 5 ,或1 x 3.原不等式的解集為x|1 x 5例6 （軌跡問題）求與y軸相切于右側(cè)

37、，并與OC : x2 y2 6x 0也相切的圓的圓心的軌跡方程。錯誤解法 如圖3-2-1所示，已知。C的方程為（x 3）2 y2 9.設(shè)點(diǎn)P（x, y）（x 0）為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且。P與y軸相切于M點(diǎn)， 與。C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得2 2-|CP | | PM | 3 ,即 v（x 3） y x 3.化簡得y2 12x （x 0）.錯誤分析本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件）， 而沒有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合 題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以 x軸 正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到

38、原點(diǎn)的距離為半徑（不等于 3）的圓也符合條件，所 以y 0 （x 0且x 3）也是所求的方程。即動圓圓心的軌跡方程是y2 12x （x 0）和 y 0 （x 0且x 3）。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問題， 這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。防止以偏概全的錯誤以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全 部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。例7 設(shè)等比數(shù)列an的全n項(xiàng)和為Sn .若S3 S62s9 ,求數(shù)列的公比q .錯誤解法S3 S6 2 s9,3 69、ai(1q) ai(1 q)2 ai(1q)1q 1 q1q整理得 q3(2q6 q3

39、 1)= 0.由 q 訓(xùn)方程 2q6 q3 1 0.(2q3 1)(q3 1) 0,34q 5-或 q 1369、錯誤分析在錯解中，由a1(1 q) a1(1q) 2 a1(1q)1 q 1q1q整理得 q3(2q6 q3 1)=0.時(shí)，應(yīng)有a10和q 1.在等比數(shù)列中，a10是顯然的,但公比q完全可能為1,因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比q 1的情況，再在q 1的情況下，對式子進(jìn)行整理變形正確解法 若q 1,則有S3 3a1,S6 6a1,S9 9a1.但a1 0,即得S3 S6 2s9,與題設(shè)矛盾，故q 1.又依題意S3 S62 s9,可得整理得a« q3) a1(1 q6)2 a(1

40、 q9)1 q 1 q1 qq3(2q6 q3 1)= 0.即(2q31)(q3 1) 0,因?yàn)閝 1,所以q3 10,所以2q3 1 0.所以說明 此題為1996年全國高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同 錯誤解法，根據(jù)評分標(biāo)準(zhǔn)而痛失 2分避免直觀代替論證我們知道直觀圖形常常為我們解題帶來方便。但是，如果完全以圖形的直觀聯(lián)系 為依據(jù)來進(jìn)行推理，這就會使思維出現(xiàn)不嚴(yán)密現(xiàn)象。例8 （如圖3-2-2）,具有公共y軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面和 所成的二面角y軸 等于60 .已知 內(nèi)的曲線C的方程是y2 2Px （p 0）,求曲線C在內(nèi)的射影的曲線方程。.'錯誤解法 依題意，可知曲線c是

41、拋物線，在內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F 0P,0）,p 0.強(qiáng)因?yàn)槎娼莥軸等于60 ,圖3且x軸 y軸，x軸 y軸，所以xox 60 .設(shè)焦點(diǎn)F在 內(nèi)的射影是F（x,y）,那么，F(xiàn)位于x軸上，從而 y 0, F OF 60 , F FO 90 ,所以O(shè)F OF cos60 1十.所以點(diǎn)F（：,0）是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影 是一條拋物線，開口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。所以曲線C在 內(nèi)的射影的曲線方程是y2 px.錯誤分析 上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為 F是射影（曲線）的焦點(diǎn)， 其次，未經(jīng)證明 默認(rèn)C在 內(nèi)的射影（曲線）是一條拋物線。正確解法 在 內(nèi)，設(shè)點(diǎn)M （x ,y ）是曲線上任意一點(diǎn)（如圖3

42、2 3）過點(diǎn)M作MN ,垂足為N ,/ 過N作NH y軸，垂足為H.連接MH ,x則MH y軸。所以 MHN是二面角y軸一 的平面角，依題意，MHN 60 .,1在 Rt MNH 中，HN HM cos60-x.又知HM x軸(或M與O重合)，HN x軸(或H與O重合)，設(shè)N (x,y),x 2xy y.1 x -x 則2y y因?yàn)辄c(diǎn)M (x , y )在曲線y2 2Px ( p 0)上，所以y2 2p(2x).即所求射影的方程為y2 4px(p 0).(3)推理的訓(xùn)練數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核 心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依

43、據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸} 方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用 的命題之間的相互關(guān)系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。例9設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸x在軸上，離心率e會已知點(diǎn)P(0$到這個(gè)橢圓上的最遠(yuǎn)距離是7 ,求這個(gè)橢圓的方程。錯誤解法依題意可設(shè)橢圓方程為2 x-2 a2y三 1(a b 0)b222, 2則e2c?一a a2b.b21 口所以T ,即aa24設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x, y）到點(diǎn)P的距離為d ,則 d2 x8例10 求 y 2 21的取小值 sin x cos x (y 3)2 222 y 29a (1 9)y 3y - b41

44、223( y -)2 4b2 3. 2所以當(dāng)y 1時(shí)，d2有最大值，從而d也有最大值。2所以 4b2 3 (<7)2,由此解得：b2 1,a2 4.2于是所求橢圓的方程為 y2 1.4錯解分析盡管上面解法的最后結(jié)果是正確的，但這種解法卻是錯誤的。結(jié)果正確只是碰巧而已。由當(dāng)y 1時(shí)，d2有最大值，這步推理是錯誤的，沒有考慮 y到2的取值范圍。事實(shí)上，由于點(diǎn)（x,y）在橢圓上，所以有 b y b,因此在求d 2的最大值時(shí)，應(yīng)分類討論。即:若b 1,則當(dāng)y b時(shí)，d2 （從而d）有最大值。于是（萬）2 （b 3）2,從而解得b 71 1，與b）矛盾。22 22所以必有b 1 ,此時(shí)當(dāng)y 1時(shí)，

45、d2 （從而d ）有最大值, 22所以 4b2 3 （"）2,解得 b2 1,a2 4.2錯解12sin2 x82cos xJxcoix8| sinxcosx |于是所求橢圓的方程為亍y2 1.16| sin 2x |16,.ymin 16.2. 282錯解 2 y (2 Sin x)(2 cos x) 1 2 2 2 8 11 6 2.sin xcos x28錯誤分析在解法1中，y 16的充要條件是'且|sin2x| 1.sin x cos xr-1.即|tgx| -且|sinx| 1.這是自相矛盾的。 ymin 16. 2在解法2中，y 1 6<2的充要條件是2si

46、n 2k 2 .8k k x且一82cos2x,即 sin2 x 22,cos2x2T2這是不可能的。sin xcos x正確解法 1 y 2 csc2 x 8sec2 x2(1 ctg2x) 8(1 tg2x)一 一 ,2.2 、10 2(ctg x 4tg x)10 2 2 ctg2x 4tg2x18.其中，當(dāng) ctg2x 4tg2x,即 ctg2x 2時(shí)，y 18. ymin 18.正確解法2取正常數(shù)k ,易得8(2-cos x,2、,k cos x) k,2, . 2 、y (2 ksin x) sin x6 .2k k.其中“ ”取“=”的充要條件是2 k sin2 x且 一8 k

47、cos2 x, 即 tg2x1且k 18.sin xcos x221i因此，當(dāng) tg x 一時(shí)，y 6 V2k k 18,ym.18.2第四講 數(shù)學(xué)思維的開拓性、概述 數(shù)學(xué)思維開拓性指的是對一個(gè)問題能從多方面考慮；對一個(gè)對象能從多種角度觀察; 對一個(gè)題目能想出多種不同的解法，即一題多解?！皵?shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，它的各個(gè)部分之間存在概念的親緣關(guān)系。我們在學(xué)習(xí) 每一分支時(shí)，注意了橫向聯(lián)系，把親緣關(guān)系結(jié)成一張網(wǎng)，就可覆蓋全部內(nèi)容，使之融 會貫通”，這里所說的橫向聯(lián)系，主要是靠一題多解來完成的。通過用不同的方法解 決同一道數(shù)學(xué)題，既可以開拓解題思路，鞏固所學(xué)知識；又可激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和 積極性，達(dá)到

48、開發(fā)潛能，發(fā)展智力，提高能力的目的。從而培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。在一題多解的訓(xùn)練中，我們要密切注意每種解法的特點(diǎn)，善于發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從中發(fā)現(xiàn)最有意義的簡捷解法。數(shù)學(xué)思維的開拓性主要體現(xiàn)在：(1) 一題的多種解法例如 已知復(fù)數(shù)z滿足|z| 1,求|z i|的最大值。我們可以考慮用下面幾種方法來解決：運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角形式；運(yùn)用復(fù)數(shù)的幾何意義；運(yùn)用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)(三角不等式)|Zi | | Z2 | | Zl Z2 | | Zl | | Z2 | ；運(yùn)用復(fù)數(shù)的模與共腕復(fù)數(shù)的關(guān)系|z|2 zZ；(數(shù)形結(jié)合)運(yùn)用復(fù)數(shù)方程表示的幾何圖形，轉(zhuǎn)化為兩圓 |z| 1與|z i | r有 公共點(diǎn)時(shí)

49、，r的最大值。(2) 一題的多種解釋 1例如，函數(shù)式y(tǒng)ax22-(a x)2 (b y)2 0, 所以 ax by 1.分析2運(yùn)用分析法，從所需證明的不等式出發(fā)，運(yùn)用已知的條件、定理和性質(zhì) 等，得出正確的結(jié)論。從而證明原結(jié)論正確。分析法其本質(zhì)就是尋找命題成立的充分條件。因此，證明過程必須步步可逆，并注意書寫規(guī)范 ' '證法2 要證 ax by 1.只需證 1 (ax by) 0,可以有以下幾種解釋：2可以看成自由落體公式s 2gt2.可以看成動能公式E -mv2.212可以看成熱量公式Q -RI2.2又如“1”這個(gè)數(shù)字，它可以根據(jù)具體情況變成各種形式，使解題變得簡捷?！?可以變

50、換為：log a a, - , sin2x cos2 x, (log a b) (logb a), sec2 x tg2x,等等。 x1 .思維訓(xùn)練實(shí)例例 1 已知 a2 b2 1, x2 y2 1.求證：ax by 1.分析1用比較法。本題只要證1 (ax by) 0.為了同時(shí)利用兩個(gè)已知條件，只需要觀察到兩式相加等于2便不難解決，, 、1,證法11 (ax by) 2(1 1) (ax by)1 z 222(a b x22、y ) (ax by)1(a2 2ax x2) (b2 2by y2)2即2 2(ax by) 0,因?yàn)閍2 b2 1, x2 y2 1.所以只需證(a2 b2 x2

51、y2) 2(ax圖 42 1因?yàn)樽詈蟮牟坏仁匠闪ⅲ也讲娇赡?。所以原不等式成立。?a x)2(b y)2 0.分析3運(yùn)用綜合法（綜合運(yùn)用不等式的有關(guān)性質(zhì)以及重要公式、定理（主要是 平均值不等式）進(jìn)行推理、運(yùn)算，從而達(dá)到證明需求證的不等式成立的方法）22.2222,22ax by. a x b y .證法 3 ax , by -. ax by - 1.2222即 ax by 1.分析4三角換元法：由于已知條件為兩數(shù)平方和等于 1的形式，符合三角函數(shù) 同角關(guān)系中的平方關(guān)系條件，具有進(jìn)行三角代換的可能，從而可以把原不等式中的代 數(shù)運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)運(yùn)算關(guān)系，給證明帶來方便。證法 4a2b21,

52、 x2 y21,可設(shè)a sin ,b cos . x sin , y cosax bysinsin cos cos cos（） 1,分析5數(shù)形結(jié)合法：由于條件x2 y2 1可看作是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的單位圓，而ax byax2 by2 .聯(lián)系到點(diǎn)到直線距離公式，可得下面證法。a b證法5（如圖4-2-1 ）因?yàn)橹本€l :ax by 0經(jīng)過圓x2 y2 1的圓心O,所以圓上任意一點(diǎn)M（x,y）到直線ax by 0的距離都小于或等于圓半徑1,| ax by |d| ax by | 1 ax by 1.a2 b2簡評五種證法都是具有代表性的基本方法，也都是應(yīng)該掌握的重要方法。除了證法4、證法5的方法有適應(yīng)條件的限制這種局限外，前三種證法都是好方法。可在具體應(yīng)用過程中，根