國小數(shù)學(xué)解題工具發(fā)展模型的探討

1、國小數(shù)學(xué)解題工具發(fā)展模型的探討陳竹村國立花蓮師範(fàn)學(xué)院數(shù)學(xué)教育學(xué)系（收稿日期：2001年05月15日；接受刊登日期：2001年09月14日）摘 要本研究的主要目的是探討隱藏在國立編譯館的82年版國小數(shù)學(xué)教科書背後的數(shù)學(xué)解題工具發(fā)展模型。本研究採用呂科爾(Ricoeur)本文詮釋學(xué)(hermeneutics)的研究方法，以國立編譯館82年版的國小數(shù)學(xué)教科書為研究對象。本研究所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)解題工具發(fā)展模型希望有助於國小數(shù)學(xué)教材的設(shè)計。此發(fā)展模型的流程為(1)教師布題、學(xué)童解題並得到結(jié)果；(2)待形成解題活動類型之後，引入算式來摘要地記錄問題、活動方式及結(jié)果；（3）進一步地要求用算式來記錄學(xué)童自己的解題

2、過程；(4)在不斷地使用算式記錄後，它們會自動化成解題工具。關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)教育、解題工具、國小數(shù)學(xué)、算式壹、前言-解題工具的意義一、問題解決為學(xué)校教育的主要課題許多的學(xué)者都主張解題活動是學(xué)校教育的主要課題，尤其是數(shù)學(xué)教育的主要課題（郭美如，民88；Schoenfeld，1982；謝豐瑞，民82；林碧珍，民79；鄭毓信，民87；周筱亭，民83；Silver，1987；Kozmetsky，1980；林軍治，民83），九年一貫課程更把問題解決列為此次課程改革的十大基本能力範(fàn)圍內(nèi)（教育部，民90），而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的課程目標也期望學(xué)生達成發(fā)展形成數(shù)學(xué)問題與解決數(shù)學(xué)問題的能力（教育部，民90，頁186）。其

3、實問題解決原本是數(shù)學(xué)學(xué)科的特性（周筱亭，民83），但為何在這20年來數(shù)學(xué)教育界及課程專家特別鼓吹培養(yǎng)解決問題的能力，甚至於把它列為課程標準的目標之一呢？筆者猜測是由於傳統(tǒng)的教材處理和教學(xué)方式：下定義、舉例說明定理規(guī)則、教師示範(fàn)解題-學(xué)童模仿，對於提昇學(xué)習(xí)者解決問題能力成效可議，甚至於衍生其他的教育問題，希望借此給予數(shù)學(xué)教育界重新思考，以修正教材處理及教學(xué)方式吧。二、影響問題解決的因素楊瑞智（民83）把解題的意義分為二：其一為知識的表現(xiàn)(performance based on knowledge)，指解題者擁有特殊解決問題的學(xué)科知識；另一為解題的表現(xiàn)(performance involving

4、 problem solving)，指解題者在擁有已知一般的學(xué)科知識情形下，以程序性的方式靈活運用來解決問題。前者偏向於學(xué)科知識的學(xué)習(xí)與記憶；後者類似於Rogers所提出創(chuàng)造思考的概念，將基礎(chǔ)的學(xué)科知識統(tǒng)合活用，以解決高層的認知問題（張春興，民83）。郭美如（民88）歸納多位學(xué)者的觀點，將影響解題的因素分成數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)、解題策略、後設(shè)認知能力、信念和情意等四個方面（胡炳生，民84，Lester & Kroll，1991，Silver，1987）。另外，Schoenfeld也提出數(shù)學(xué)解題模式，認為數(shù)學(xué)解題的四個主要因素為：資源（resources）、啟發(fā)(heuristics)、控制（c

5、ontrol）、信念系統(tǒng)(belief system)，其中資源（resources）是指個人能立即有效應(yīng)用於此問題的相關(guān)數(shù)學(xué)知識（引自陸正威，民87）。在國內(nèi)外有不少研究結(jié)果顯示：問題表徵是造成學(xué)生解題困難的重要因素（吳昭容，民79；紀惠英，民80；林清山，民79；Hardiman & Mestre，1989；Cummins，1988；Lewis，1989；Bilsky & Judd，1986）?？v觀這些文獻，筆者認為影響解題成功與否的因素應(yīng)可歸納為兩類，其一是與解決問題有關(guān)的知識，包括概念及概念表徵，而數(shù)學(xué)語言中的算式即是概念表徵，尤其重要；其二是組識這些知識用以解決問題的

6、方法，心理學(xué)家稱之為後設(shè)認知(metacognition)能力。當(dāng)然，大家都認為兩者一樣重要，筆者亦同意。但對於解決問題有關(guān)知識的擁有與否，經(jīng)對該問題的概念分析，解題者缺什麼細部概念是可以檢驗或調(diào)查的，透過檢驗或調(diào)查（評量）可以再次教學(xué)或改變教學(xué)方式等，補救解題者所缺。換句話說，這是明確的、可見的、可測量的。至於組織知識用以解題問題的方法是否可教導(dǎo)雖有一些研究顯示可行，卻針對高中生及大學(xué)生較多（Polya, 1965；Schoenfeld, 1979）。筆者認為國小教育應(yīng)偏重於前者，以紮實的幫助學(xué)童奠定解題能力的基礎(chǔ)。三、解題工具的定義對於某一問題而言，所謂的解題工具(problem-solv

7、ing instrument)是指解題者可用以解決該問題的相關(guān)知識，包括概念及概念表徵，而數(shù)學(xué)語言中的算式即是概念表徵。由上述的文獻知，學(xué)者專家皆同意與問題有關(guān)的知識是影響問題解決的主要因素之一。但筆者認為解題者擁有解決該問題相關(guān)知識的有無是能否成功解題的關(guān)鍵，即解題者是否擁有解題工具是能否成功解題的必要條件，而擁有較多的解題工具才會使得解題多樣化，進而才有不同解題策略效率的比較。舉例來說，一隻青蛙4條腿，8隻青蛙共有多少條腿？，如果學(xué)童只有點數(shù)活動的先備經(jīng)驗或能力，即只擁有點數(shù)活動這個解題工具，則該學(xué)童只能透過點數(shù)每一隻青蛙的腿來解題。如果學(xué)童已可以把加法算式（例如448，8412，等等）當(dāng)

8、解題工具，那學(xué)童就可以透過累加來解題。進一步地，如果學(xué)童已可以把乘法算式（例如4×832）當(dāng)解題工具，此時學(xué)童可以直接使用乘法算式來解題。貳、解題工具與組織解題工具的方法以Köhler(1959)在猩猩的頓悟?qū)嶒炛校故玖艘恍┛杀挥脕砼囵B(yǎng)發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)(learning by discovering)的情境-經(jīng)由個人自我指導(dǎo)的探索而非經(jīng)由解釋或仿效某位老師所獲致的學(xué)習(xí)（Thomas L. Good, Jere Brophy 著，李素卿譯，民88）。完形心理學(xué)強調(diào)，知覺傾向於組織成有意義的型態(tài)，這些型態(tài)除了包含元素本身之外，也包含元素之間的關(guān)係。以猩猩實驗為例，完形心理學(xué)專注(f

9、ocus)於解題工具之間關(guān)係的組織。對照影響解題因素之分析，沒有解題工具（長短木棍）及使用工具的方法（手會拿長短木棍一端來移動他物），那猩猩是不可能成功的解決問題。但筆者卻強調(diào)沒有解題工具（長短木棍），縱使是聰明絕頂?shù)娜祟愐灿⑿蹮o用武之地。根據(jù)建構(gòu)主義的觀點，我們會建立屬於自己對世界的詮釋架構(gòu)，並以此觀點看世界，它可能對應(yīng)於客觀的事實，亦可能沒有，亦即，在知識基礎(chǔ)中所儲存的知識有可能不正確，其中可能包含迷思概念(misconcept)及對問題的誤解（Schoenfeld, 1987, 1992）。前者例如幼兒指者夜空中的月亮說是燈，後者例如學(xué)童面對一隻青蛙4條腿，8隻青蛙共有多少條腿？時，使用

10、關(guān)鍵字共有多少而直接把4和8加起來。筆者稱這迷思概念(misconcept)為瑕疵工具(fault instrument)，而有時直觀概念(intuitive concept)也是瑕疵工具(fault instrument)。由此可知正確的解題工具是能否解題成功的第一步。根據(jù)國小數(shù)學(xué)教材分析-整數(shù)的乘除運算及分數(shù)（含線段圖）兩書的分析，解決數(shù)學(xué)問題方面，學(xué)童可能的解題工具有：具體活動（例如點數(shù)活動、等分活動等等）、心像活動及各種算式等等（教育部，民89），及其對應(yīng)的概念。而能把各種算式當(dāng)解題工具是國小數(shù)學(xué)課程的重要目標。Goldin也指出低解題能力者在解題時，經(jīng)常是直接由語言表徵到形式表徵；而

11、高解題能力者，則是先由語文表徵轉(zhuǎn)換到意象表徵，才轉(zhuǎn)換為形式表徵。低解題者由於無法順利將語文轉(zhuǎn)為意象，因此無法引發(fā)更高層的解題思惟，影響了解題的能力（陸正威、王慧豐，民88）。對於較簡單的國小數(shù)與計算問題，學(xué)童若依據(jù)問題語意直接布置具體的問題情境、操作情境而得到答案，這樣的解題即是語意表徵；若學(xué)童可以把題意轉(zhuǎn)換為用圖像或心像來描述或布置的問題再進行解題，即為意像表徵；而學(xué)童若把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號的問題，例如算式填充題，即為形式表徵。筆者認為學(xué)童解題能力的發(fā)展是由語言表徵、意像表徵、形式表徵循序漸進，而並非在面對同一問題時循序使用三種表徵。筆者也認為學(xué)童之所以選擇不同表徵，即是因?qū)W童擁有不同解

12、題工具所造成的。Wallas(1921)描述了問題解決歷程的四個階段，和Köhler稍早對猩猩的頓悟研究相似：(1)準備期（知道問題及擁有可助於解決問題的訊息）；(2)潛伏期（反省、分析、產(chǎn)生假設(shè)，以及對問題的其他思考）；(3)啟迪期（當(dāng)一個人突然知道某個可能解決方式時的經(jīng)驗）；(4)證實期（檢驗所提出的解決方式）（Thomas L. Good, Jere Brophy 著，李素卿譯，民88）。Polya（1945，1965）教導(dǎo)問題解決的方案對較新近的一些方案的發(fā)展有過很大的影響（引自Richard E. Mayer著，林清山譯，民88）。例如Polya（1965）在觀察高中數(shù)學(xué)學(xué)

13、生後，強調(diào)表徵和計劃問題解決之技巧的重要性，並提出捷思法（heuristics，或譯為啟發(fā)法）。在如何解決它一書中，Polya提出解題的四個步驟：了解題意、擬定計劃、執(zhí)行計劃與檢討反省，而經(jīng)國內(nèi)外許多學(xué)者的同意及引用（劉秋木，民78，Dewey，1910，Schoenfeld，1992，陸正威，民87）。在此筆者要強調(diào)Ploya的研究對象是高中生的數(shù)學(xué)解題，並認為問題解決的捷思法可以教導(dǎo)給學(xué)生。後來Schoenfeld(1979)以大學(xué)生為研究對象。進行教導(dǎo)大學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)問題解決捷思法，研究結(jié)果顯示可行。然而對於國小學(xué)童的數(shù)學(xué)解題中，解題四個步驟及捷思法是否可以被教導(dǎo)，尚無研究，而筆者覺得

14、並不可行。一名幼童先畫圖，然後決定他已經(jīng)畫的是什麼；稍大一點的兒童，當(dāng)圖畫畫到一半時才給他的圖畫取名；而年齡再大一點的兒童，便能發(fā)展到?jīng)Q定畫什麼然後再動手畫（Vygotsky原著，李維譯，民87年）。依此對於初嘗試解題的學(xué)童，是否也循此模式發(fā)展呢？筆者認為Vygotsky的上述觀點，對於初嘗試解決數(shù)學(xué)問題的國小學(xué)童，其發(fā)展模型是一樣的：最初階段先嘗試解題，解完題之後才知道是在算那種類型問題；過一段時間之後，便能解題半途就知道是在算什麼問題；最後，當(dāng)學(xué)童對這種類型的問題熟悉之後，即可在未解題之前就知道是要算那種類型的問題。筆者認為Polya的四個解題步驟是當(dāng)解題者發(fā)展至Vygotsky的第三階段

15、時才會發(fā)生，而82年版部編本即依Vygotsky的幼兒畫畫觀點來設(shè)計國小相關(guān)的數(shù)學(xué)教材，筆者稍後再作說明。Mayer(林清山譯，民88)提出四種方案可以在學(xué)校情境使用且廣被採用的問題解決課程：創(chuàng)造性思考方案(Productive Thinking Program)、工具性充實方案(Instrumental Enrichment)、CoRT思考方案和問題解決組型課程(Patterns of Problem Solving) 。筆者不否認其他三者的效率，但本文較關(guān)心工具性充實方案。Feuerstein(1979，1980)提出可以教學(xué)生下列認知技能：將一個問題分解為幾個部分、把問題加以表徵和做假設(shè)

16、性思考，及其餘的工具：空間方向、時間關(guān)係、數(shù)字的級數(shù)、解析的知覺、遞移關(guān)係和三段論法。Feuerstein的研究對象是青少年特殊教育，依他的看法，在學(xué)校裡有學(xué)習(xí)困擾的學(xué)生常來自於雙親不對小孩說明、討論、或解釋各項事件（包括他們的文化）之家庭，並稱之為中介者剝奪兒童(mediationally deprived)。筆者認為Feuerstein對於解題工具的充實並非著重於基礎(chǔ)工具的發(fā)展而遍重於解題的方法，而他提出中介者剝奪兒童(mediationally deprived)的看法更突顯學(xué)校教育所提供的學(xué)習(xí)並不牢靠、不完全，而須父母家人或其他外力資源的補充合作才可完全，而這種把教育和學(xué)習(xí)成敗歸因?qū)W校

17、之外的教育觀，是否為正確的教育理念呢？從這些專家學(xué)者的論述或研究來看，多數(shù)偏好解題歷程的研究，及探討高中或大學(xué)生解題方法是否可以被教導(dǎo)，而少有論及解題所需的基本知識是否具備或成熟者，也就是說少有研究指向解題者是否具備解題工具或熟悉解題工具的程度對於能否成功解題的影響。筆者認為學(xué)童在解題時，所選用的解題策略或解題表徵十之八九與學(xué)童擁有那些解題工具有關(guān)，深入的說，學(xué)童在面對一個問題時，如果他只有一種解題工具則他別無選擇，只有一種解題策略；如果他擁有兩個以上的解題工具，他才有多種解題策略可以選用，並且比較不同解題效率的差別。筆者認為國小數(shù)學(xué)課程在數(shù)與計算教材方面的課程目標應(yīng)著重於幫助學(xué)童建立各種解題

18、工具，依此應(yīng)了解那些是國小學(xué)童應(yīng)建立的解題工具，此為解題工具的內(nèi)容；也應(yīng)了解和比較幫助學(xué)童建立解題工具的手段和路徑的有效性如何。之前筆者談到82年版部編本，依Vygotsky的幼兒畫畫觀點來達成Polya認為的解題四步驟歷程。認為尚未解題之前，先要求學(xué)童用算式填充題記錄問題之後再算，即是要求學(xué)童先提出解題計劃再執(zhí)行計劃，也就是82年版部編本教學(xué)指引所謂的問題紀錄，是Vygotsky的幼兒畫畫觀點的第三階段。因此課程主張對於某類問題，例如整數(shù)乘法情境文字題一盒草莓23顆，8盒共有多少顆？，必須讓學(xué)童自行解題，待學(xué)童形成解題活動類型（有相同的解題活動方式）後，即熟悉了這種問題類型之後，才要求學(xué)童先

19、提出解題計劃再執(zhí)行解題計劃。以下是筆者整理於國小數(shù)學(xué)教材分析-整數(shù)的數(shù)概念及加減運算一書對於問題記錄的建議流程：表：引入問題紀錄的階段表一、介紹工具：引入算式填充題（87( )）（參見82年版部編本第一冊最後單元）二、熟悉工具：給予一個活動（約78題）幫學(xué)童了解算式填充題也是一個數(shù)學(xué)問題，也可單獨解題（無法解題時可以回到情境文字題來幫助解題）。三、使用工具：此時再要求學(xué)童先使用算式填充題來記錄情境文字題，再進行解題活動。初接觸時學(xué)童可能會回到情境文字題來幫助解題，教師不必反對，大多數(shù)學(xué)童終會脫離情境文字題單獨解題。表：列式的教材處理流程步驟一：讓學(xué)童自行解是類問題，使其有成功解題的經(jīng)驗。步驟二

20、：要求學(xué)童對是類問題做問題紀錄，再進行解題。步驟三：要求學(xué)童對是類問題進行列式後，再進行解題。另外，82年版部編本亦區(qū)分問題記錄與列式兩活動，認為先用算式填充記錄問題再解題是問題紀錄，而用標準算式填充題記錄問題再解題是列式，其中標準算式填充題是指等號右邊只有括號的算式填充題。筆者也將其教材處理流程整理於下表：問題記錄與列式兩活動是對於被加數(shù)或加數(shù)（被減數(shù)或減數(shù)、被乘數(shù)或乘數(shù)、被除數(shù)或除數(shù)）未知的情境文字題才會突顯處理流程上的差別，而由在進行步驟三之前，必須考慮學(xué)童的加減互為逆運算概念是否已有。參、數(shù)學(xué)問題的類型在認知心理學(xué)上，所謂問題(problem)，是指個人在有目的待追求而尚未找到適當(dāng)手段

21、時所感到的心理困境。問題依結(jié)構(gòu)的程度而有所不同（Fredericksen, 1984; Simon, 1979）。組織健全的問題會呈現(xiàn)一個明確定義的目標及使用適當(dāng)演算法解決該問題所需的一切訊息。對照之下，組織不良的問題就比較難以定義，更別說解決了。而心理學(xué)家們慣於將問題分為三大類：(1)有結(jié)構(gòu)的問題(well-structured problem)，指按定程思維方式即可求得答案的問題；(2)無結(jié)構(gòu)的問題(ill-structured problem)，指情境不明、因素不定、不易找出解答線索的問題；(3)爭論問題，指帶有情緒色彩的問題（張春興，民83）。甯自強（民84年）提到，針對數(shù)學(xué)科的心理-

22、社會根源本質(zhì)，數(shù)與計算教材的設(shè)計在功能性上考慮低年級的小學(xué)數(shù)學(xué)教師是布題者(problem-poser)而非解題者。教師在促成學(xué)童學(xué)得特定數(shù)學(xué)概念上，需得依序布下(1)現(xiàn)象學(xué)問題-即此數(shù)學(xué)概念可以解決的問題，促成學(xué)童經(jīng)驗此數(shù)學(xué)概念；(2)心理學(xué)問題-限制學(xué)童在沒有感覺活動材料的提供下，自行提供材料（即表徵）以進行解題及記錄活動，進而達成察覺數(shù)學(xué)概念；(3)社會學(xué)問題-要求學(xué)童討論各自的解題活動記錄，藉以形成使用記錄的共識，從而使該共識成為溝通的工具；(4)人類學(xué)問題-使前述的工具與已有文化中的對應(yīng)表徵相容，藉以擴充其溝通範(fàn)圍。筆者認為這是依所布的問題所要達成的功能之分類方式，下表是一些實例：依

23、功能來分類的問題類型及其實例問題類型實 例現(xiàn)象學(xué)問題小華有25顆彈珠，小明有18顆珠，兩人共有多少顆彈珠？心理學(xué)問題小華有25顆彈珠，小明有18顆珠，兩人共有多少顆彈珠？說說看，你怎麼知道的。社會學(xué)問題小華有25顆彈珠，小明有18顆珠，兩人共有多少顆彈珠？算完後用一個算式把問題記下來。人類學(xué)問題小華有25顆彈珠，小明有18顆珠，兩人共有多少顆彈珠？用幾個十幾個一加幾個十幾個一的方法算算看。另外針對64年版及82年版國小數(shù)學(xué)部編本的數(shù)與計算教材問題可分類為：(1)情境文字題（用語言、文字加上數(shù)字來描述一情境的數(shù)學(xué)問題，例如一盒草莓有23顆，8盒共有多少顆？）；(2)數(shù)字文字題（雖然用文字和數(shù)字來

24、描述問題，但並無情境，例如23個8是多少？）；(3)純數(shù)字符號問題（算式填充題或算式問題，例如8×23( )）。其中情境文題又可依語意或成人所使用的運算法分為合成問題、分解問題、乘法問題、除法問題、對等問題、比例問題、等等。筆者認為國小數(shù)學(xué)問題應(yīng)依教學(xué)目標分為(1)為了形成與發(fā)展概念所布的問題，即為了建立解題工具所需的問題；及(2)為了訓(xùn)諫思考能力所布的問題。而如果教學(xué)目標是為了前者的目的，教材與教師應(yīng)選擇和布置大多數(shù)學(xué)童能自行解題的問題，不應(yīng)是拐彎抹角的問題，也就是說，教師應(yīng)選擇或編寫好的劇本，讓大部份學(xué)童看到劇本就能進行，學(xué)童在演完劇本之後，各自有所得。對這的觀點符合Vygots

25、ky可能發(fā)展區(qū)的觀點（zone of proximal；Vygotsky，1978，甯自強，民84）。如果是為了後者，筆者就不反對拐彎抹角的問題了。這種區(qū)分類似張春興（民83）所提多數(shù)心理學(xué)家對於問題的分類中，前者是屬於結(jié)構(gòu)性問題，後者像是無結(jié)構(gòu)性問題。肆、兼顧數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)的解題工具發(fā)展模型本文旨在討論如何幫助學(xué)童建立解題工具，其內(nèi)容包括（1）概念：形成與發(fā)展學(xué)童的數(shù)學(xué)概念使成為思考和解題工具，及（2）概念表徵：引入數(shù)學(xué)語言（各種算式）使成為思考和解題工具，因此對於問題類型應(yīng)較重視結(jié)構(gòu)性的問題。Simon(1980)指出，問題的解決仰賴累積的知識，但更重要的是使用這些知識的方法。在國

26、小階段的數(shù)學(xué)課程應(yīng)把教學(xué)目標著重在解決問題相關(guān)知識的累積，也就是積極地幫助學(xué)童建立多樣化的解題工具。自我中心言語並不僅僅作為兒童活動的一種伴隨物，除了成為一種表述手段和解除緊張的手段外，它在特定意義上很快成為一種思維工具（Vygotsky原著，李維譯，民87年）。也就是說，作為兒童具體活動表徵的自我中心語言，因重複使用而成為思維工具，用以解決問題。因此我們也應(yīng)依此模型發(fā)展數(shù)學(xué)語言成為思維工具。以下是杜威在我們?nèi)绾嗡季S(How To Think)一書中有關(guān)概念與思維工具的敘述：Dewey(杜威，民81，p179)所謂的理解，就是把握住事物的意義。觀念處於確實的理解與心智的混亂迷茫二者之間。當(dāng)一種

27、意義有條件地被接受，以便運用和試驗時，這種意義便是觀念，是假設(shè)。當(dāng)一種意義確實地被採了，那某事物或某事件也就被理解了(杜威，民81)。當(dāng)觀念被用來指導(dǎo)觀察和行動之後，它便可以被確定下來並獲得自身被承認的地位，然後人們使用這一觀念時，便不再將它視為不確定性和有條件的，而是把它當(dāng)作可靠的手段，去理解和解釋那些仍不確定和疑惑的事物。這些建立起來的可靠的、有根據(jù)的意義就是概念(conception)。概念是判斷的工具，因為它們是參照的標準?？梢源_切地稱它們是標準化的意義。那種為人們所熟悉的、本身可以充分理解的、並能夠用來判斷其他事物的普通名詞，就是一個概念。Brown等人(1989)將概念知識比喻為一

28、組工具，它必須透過使用才能完全瞭解工具之特徵（引自蔡文煥，民89）。筆者也強調(diào)此觀點：概念也好，工具也好，必須透過使用才能瞭解它們，而進一步地成為得心應(yīng)手的工具。但問題是解題工具未成為得心應(yīng)手的工具之前，怎麼使用呢？這是杜威在我們?nèi)绾嗡季S的另外段話：兒童當(dāng)不能獲得和使用與那些經(jīng)驗比較豐富的人所使用的相同概念。但是，在每一個發(fā)展階段，每一節(jié)課上，要發(fā)揮教育的作用，就應(yīng)該引導(dǎo)他們獲得一定數(shù)量的概念化印象和觀念。如果沒有獲得這些，他們將不能獲得知識去更好地理解新的經(jīng)驗。然而，概念在教育上非常重要的作用曾使教學(xué)犯了很嚴重的錯誤。.其根源是相信可以把確定的一般意義或概念提供給學(xué)生，讓他們將其視為現(xiàn)成的東

29、西加以吸收，這樣就能夠加快和提高獲得知識的速度和效率。其結(jié)果，忽視了構(gòu)成概念的基礎(chǔ)條件，留給學(xué)生更多的只是些文字的公式。所傳授的概念離學(xué)生的理解和經(jīng)驗太遠，必定造成人為的混亂。實驗學(xué)校反對任意強迫學(xué)生接受難以理解的教材，然而卻使其走到了另一個極端。他們把各種有價值的經(jīng)驗和實際的活動提供給學(xué)生，但是，他們不清楚這些活動的最終目的是要具有教育的價值，而不只為了消遺取樂-也就是說，要有一種使經(jīng)驗達到相當(dāng)確定的理智化。這種理智化就是指確定又普遍的觀念的累積。使教育具有理智性，和從經(jīng)驗中獲取觀念，這二者的意思是相同的。如果經(jīng)驗不能使意義增加，不能用來很好地理解事物，不能確立未來的計劃和行動方向，總而言之

30、，不能成為一種概念，那這種經(jīng)驗還有什麼用處呢？（摘自杜威原著我們?nèi)绾嗡季S一書p208209）這段話突顯了兩種概念教學(xué)各自的缺失。筆者喜好杜威對於概念是怎樣產(chǎn)生的的觀點：(1)概念的學(xué)得不是從現(xiàn)成事物中抽取共同性質(zhì)而形成的，也就是說，雖然概念的本質(zhì)確是指同類事物的共同性質(zhì)，但概念的習(xí)得須反例才得以成型；(2)概念起於經(jīng)驗，即把舊經(jīng)驗中的結(jié)果（可能不是正確的，例如四足動物、馴養(yǎng)動物是狗），運用於新的經(jīng)驗中（把貓叫作小狗或把馬叫作大狗），以便幫助他理解和處理新的問題；(3)概念因使用而更加確定；(4)概念因使用而具有普遍性。綜觀杜威的說法，學(xué)童因經(jīng)驗而有了初步的概念之後，必須繼續(xù)使用此概念來判準新事

31、例而使概念得以成長，光只提供正例而不提供反例並不是形成正確概念的手段。在82年版課程標準（教育部，民82）中，宣布培養(yǎng)以數(shù)學(xué)語言溝通、討論、講道理和批判事物的精神（p91），為國民小學(xué)數(shù)學(xué)教育的總目標中的一項。九年一貫數(shù)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的基本理念中，也提到利用數(shù)學(xué)語言進行溝通，明確有效，而在能力指標中更明確地把有關(guān)數(shù)學(xué)語言的能力列入，例如C-C-1、C-C-2、C-C-3、C-C-5、C-C-6（參見九年一貫學(xué)習(xí)領(lǐng)域能力指標之溝通部份）。數(shù)學(xué)語言並不限於與外人溝通，也是自己和自己溝通的工具，它可以是記錄自己數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的工具，以便於事後反?。灰部梢栽诮忸}過程中，作為前一步驟活動與後一步驟活動的溝通工具

32、（蔣治邦，民83）。這些都是在強調(diào)數(shù)學(xué)語言在溝通角色上的重要性。使數(shù)學(xué)符號成為溝通與解題的工具，是數(shù)學(xué)教育的目標，而在學(xué)習(xí)過程中，實驗教材（教育部委託臺灣省國民學(xué)校教師研習(xí)會依82年版國民小學(xué)課程標準所研編的國小數(shù)學(xué)科教材，後改編為82年版部編本）將分為三個學(xué)習(xí)階段：(1)符號初步意義的獲得；(2)符號成為溝通的工具；(3)符號成為解題的工具（蔣治邦，民83）。數(shù)學(xué)語言中的算式是數(shù)學(xué)符號之一，當(dāng)然必須遵循上述的學(xué)習(xí)階段。數(shù)學(xué)語言中的一個算式（例如整數(shù)加法算式：8715）是一個概念表徵，也是指一個概念。我們要讓一個算式成為學(xué)童的一個解題工具，也應(yīng)依循本文前述杜威的觀點：概念成為思考工具的路徑。因

33、此筆者透過詮釋性研究法，考慮杜威的觀點：由經(jīng)驗所形成的初步概念得繼續(xù)使用才得以成長為得心應(yīng)手的工具，並分析82年版部編本數(shù)與計算教材的活動設(shè)計路徑，提出隱藏在其教材背後的解題工具發(fā)展模型如下：引入數(shù)學(xué)語言用來表徵左列的具體活動解題工具發(fā)展模型-幫助國小學(xué)童使某一算式成為解題工具的新架構(gòu)要求學(xué)童不斷地使用算式來記錄左列具體活動及具體活動內(nèi)的解題過程合理的具體活動教師布題學(xué)童自行解題活動結(jié)果引入算式摘要紀錄此時算式只是用來記錄左列 的具體活動同類問題重複若干次後由於不斷地使用算式，學(xué)童會對算式的使用逐漸自動化自動化的算式記錄可成為為解題工具根據(jù)解題工具發(fā)展模型及其流程說明如下：一、根據(jù)杜威的主張教

34、學(xué)活動必須兼顧概念的學(xué)習(xí)，而概念起源於事物的意義（杜威，民81）。筆者在面對現(xiàn)職教師的演講中，調(diào)查教師們要幫助學(xué)童建立玫瑰花、乘涼、神轎、18725、187、這些表徵的意義，可以透過下列方式：(1)親自參予具體活動；(2)旁觀具體活動；(3)透過錄影帶等動態(tài)媒體觀察具體活動；(4)觀察具體物；(5)觀看圖片或幻燈片等靜態(tài)平面媒體；(6)用語言文字來描述具體活動；(7)用語言文字描述這些具體活動的特性（或特徵）。其中(1)(6)的方式是用實例來架構(gòu)該表徵的意義，而(7)是把大人（專家）的看法和觀點加諸於學(xué)童身上。而教師們普遍同意(1)的方式，讓學(xué)童親自參予具體活動是最有效建立表徵意義的學(xué)習(xí)活動，

35、而且學(xué)童能長久的記憶，但由於上課時間的壓力，大部份的學(xué)習(xí)內(nèi)容教師們無法使用(1)的方式。另外，所有教師都同意提供實例是幫助學(xué)童建立表徵意義最好的手段。強調(diào)教師只是一個布題者，由學(xué)童自行解題，而不是教師示範(fàn)解題學(xué)童模仿，像這樣把解題活動還給學(xué)童，即是讓學(xué)童親自參予具體活動的表徵意義學(xué)習(xí)方式。概念和其表徵是不可分的，幫助學(xué)童建立表徵意義的同時，也就是在幫助學(xué)童形成及發(fā)展此表徵之概念。二、對於概念的學(xué)習(xí)，傳統(tǒng)的方法是用少數(shù)的實例和專家所用語言文字描述這些同類實例的共同性質(zhì)並置的方式來教導(dǎo)學(xué)童概念。但對於人類所常用的一些非學(xué)術(shù)性概念，例如椅子、狗、遊戲、等，對於大人而言都很難使用語言文字來描述其共同性

36、質(zhì)。筆者常在上課或演講時，要求準教師及教師用語言文字來描述椅子的概念，而由於人們的受教習(xí)性，所有人總是想用語言文字來描述從小到今所經(jīng)歷過椅子的共同性質(zhì)來回應(yīng)筆者（感覺專家都是如此，自己也不應(yīng)落人後），其結(jié)果總是不儘理想?；氐秸n本上的概念，縱使專家能使用語言文字來描述此概念，又豈是學(xué)童能理解的，而為了改善這樣的學(xué)習(xí)困境，教學(xué)專家又建議舉些實例來說明語言文字所描述的概念內(nèi)容，問題是多少學(xué)童能由少數(shù)實例來看所有實例的共同性質(zhì)呢？當(dāng)學(xué)童做不到時也只是死背專家的觀點而已。如果概念學(xué)習(xí)最終的目的是在於對於概念能應(yīng)用自如，筆者認為提供夠多的實例讓學(xué)童經(jīng)驗，並各自從中抽取其共同性質(zhì)而成為概念，雖然學(xué)童不見得能

37、用語言文字描述這共同性質(zhì)（概念），或描述的很好，但卻用來判準新事例時用得不錯。這種概念學(xué)習(xí)模式是沒有課堂教學(xué)時，人們概念學(xué)習(xí)的原本，應(yīng)被重新考慮使用於國小有關(guān)概念學(xué)習(xí)的教材內(nèi)，並思考在此原本模式之下，有何方式可以加速其發(fā)展，而不應(yīng)把其他概念教導(dǎo)的方法加諸於學(xué)童身上。根據(jù)這個原則，對於整數(shù)加法概念及其算式15823的學(xué)習(xí)，教材及教師應(yīng)提供或布置，各種不同類型的整數(shù)加法情境文問題，讓學(xué)童自行解題，並不斷的擴大數(shù)字的範(fàn)圍，以幫助學(xué)童形成與發(fā)展整數(shù)加法概念。三、以一般概念表徵、一般算式或整數(shù)加法算式為例，如何幫助學(xué)童將其發(fā)展成為解題工具的流程分點說明如下：首先的步驟，教材及教師得提供若干個整數(shù)加法情境

38、文字題（包含兩類：添加型及併加型；參見82年版部編本第一冊教學(xué)指引附錄之名詞索引）給予學(xué)童自行解題及得到答案，待多數(shù)學(xué)童感覺這些解題活動有相同的活動類型時，可以說學(xué)童形成解題活動類型了，再首引整數(shù)加法算式摘要紀錄（有關(guān)細節(jié)請參閱筆者另書目標導(dǎo)向的發(fā)展式（GODS）數(shù)學(xué)課程與整數(shù)分數(shù)教材分析研究），作為學(xué)童具體活動的表徵，此具體活動包含教師的布題、學(xué)童的自行解題、及問題的結(jié)果。四、在沒有課堂教學(xué)活動的情形下，人們本來的表徵學(xué)習(xí)模型是見著一個物件（物、事等等），立即被給予表徵，即是說某人從小時的某天看到一個椅子之物，立即被他人告知這是椅子，再看到另一椅子之物，又立即被告知那是椅子，.。但考量數(shù)學(xué)課

39、堂教學(xué)時數(shù)大量的被壓縮（九年一貫低中高年級每週只剩三、四、五節(jié)），而課程標準的能力指標所指向的學(xué)習(xí)內(nèi)容並未減少的狀況，把表徵學(xué)習(xí)的模型改為經(jīng)驗若干個同類問題所引起的具體解題活動後，待預(yù)估多數(shù)學(xué)童形成解題活動類型後，再引入表徵（數(shù)學(xué)語言之整數(shù)加法算式摘要紀錄），期望此時的表徵（名詞）是用來表徵（動詞）一類物件（具體活動），而不僅是一個物件（具體活動）而已。五、依解題工具發(fā)展模型對於概念學(xué)習(xí)的設(shè)計是：把學(xué)童帶到起跑點上（至少會唱數(shù)及點數(shù)活動），給予學(xué)童合理的具體活動（教師布整數(shù)加法情境文字題、學(xué)童解題、得到結(jié)果），學(xué)童在經(jīng)驗親自參予的具體活動中各取學(xué)童認為的共同性質(zhì)，當(dāng)表徵（整數(shù)加法算式）引入後，

40、它們將成為學(xué)童們各自的表徵意義（概念）。其中(1)把學(xué)童帶到起跑點上，符合Vygotsky可能發(fā)展區(qū)的觀點（zone of proximal；Vygotsky，1978，甯自強，民84），即是合理的具體活動中所謂合理的的意義；(2)教師所布的問題應(yīng)屬於結(jié)構(gòu)性問題，是為了形成與發(fā)展學(xué)童概念的問題，通常不可以是拐彎抹角的問題，而是大多數(shù)學(xué)童會的問題（至少可用點數(shù)活動完成解題）；(3)讓學(xué)童各自用自己的兒童法解題，符合學(xué)童數(shù)概念的認知發(fā)展階段論（甯自強，民87），因各人的認知差異而有概念發(fā)展的不同品質(zhì)，進而表現(xiàn)出不同的解題策略，而允許學(xué)童用兒童法解題，才能使學(xué)童數(shù)概念的品質(zhì)得以發(fā)展與成長；(4)教師

41、必須把要發(fā)展的某一概念問題和其他不同類型問題適當(dāng)?shù)幕旌喜碱}，以符合杜威的概念學(xué)習(xí)論點：不能只靠正例（杜威，民81），因此82年部編本在同一單元內(nèi)穿插不同類型的解題活動（例如第一冊第五單元內(nèi)整數(shù)的合成、分解及比較問題一起出現(xiàn)）。六、學(xué)童在面對某一問題時所採用的解題法之所以不同，除了依學(xué)童數(shù)概念發(fā)展階段論（即數(shù)概念品質(zhì)）的影響外，另一個影響是學(xué)童所擁有的解題工具不同所造成的（筆者已在前文解題工具的定義中說明了）。七、解題工具發(fā)展模型強調(diào)不斷地使用算式（例如：8715）來記錄具體活動，使得學(xué)童自然地記憶算式而成為解題工具。當(dāng)算式仍只是記錄時，8715只是點數(shù)8個和7個物件其合起來的結(jié)果是15個物件這

42、個活動的記錄而已。當(dāng)學(xué)童因重複的使用而自動化地記憶了8715而不在需要點數(shù)時，才說這個算式成為解題工具。筆者反對死背這些算式以成為解題工具（64年版部編本在整數(shù)加法時使用心算卡，原意可能只是透過反覆的心裡點數(shù)活動加速這些算式記憶，但執(zhí)行的結(jié)果是直接死背，到整數(shù)九九乘法表時更變本加厲），而歡迎學(xué)童不記得就點數(shù)（或在整數(shù)乘法時不記得就累加）。反對死背的理由在於：(1)學(xué)童若尚未自然地記憶某算式，即表示與此算式表徵有關(guān)的概念尚未成熟，因此概念尚未能成為解題工具，而算式也未能成為解題工具；(2)學(xué)童如果養(yǎng)成這種學(xué)習(xí)習(xí)性：不理解或不知所以然而死背，會造成學(xué)習(xí)惰性：遇事不求勝解。時間久，累積多，將造成記憶

43、超載，無法學(xué)習(xí)。八、對於整數(shù)加算式中，82年部編本稱之為基本加法事實的算式：一位數(shù)或10加一位數(shù)或10的所有算式，由於其使用頻繁，如果常須透過點數(shù)活動，將是耗時的，因此成為解題工具是必須的。其實也由於其使用頻繁，學(xué)童也容易自然記憶，教師大可不必初學(xué)之時就強迫學(xué)童背誦。九九乘法表亦同（82年部編本改為十十乘法表）。不過教師應(yīng)注意：強迫學(xué)童背誦基本加減法事實，將剝奪學(xué)童點數(shù)的機會而使學(xué)童數(shù)概念的發(fā)展停滯，而強迫學(xué)童背誦九九乘法表或十十乘法表，也剝奪學(xué)童累加的機會而使學(xué)童整數(shù)加法及乘法概念的發(fā)展停滯。九、在國小階段中，對於各種算式及數(shù)學(xué)表徵的學(xué)習(xí)，教材及教師應(yīng)安排怎樣的具體活動來架構(gòu)該算式或該數(shù)學(xué)表

44、徵的意義呢？由於本解題工具發(fā)展模型所主張的具體活動是教師布題、學(xué)童自行解題而得到結(jié)果，是故上述的問題也就是教材及教師應(yīng)布什麼樣的問題，讓學(xué)童自行解題以得到結(jié)果，以作為架構(gòu)該算式或該數(shù)學(xué)表徵的意義呢？筆者認為(1)所謂合理的具體活動是指教材及教師所布的問題必須符合Vygotsky可能發(fā)展區(qū)的觀點，即所布的問題須是兒童能自行解題成功的；(2)在該算式或該數(shù)學(xué)表徵未引入之前，教材及教師應(yīng)布張春興所謂的結(jié)構(gòu)性問題，這些問題是為了形成與發(fā)展學(xué)童概念的問題，通常不可以是拐彎抹角的問題；(3)一般而言，在該算式或該數(shù)學(xué)表徵未引入之前，建議教材及教師所布的問題，82年版部編本及GODS數(shù)學(xué)課程稱之為情境文字題

45、，即是說使用語言、文字及數(shù)學(xué)來描述情境和動作。當(dāng)學(xué)童面對此類問題時，若無文字語意的了解困難，即可根據(jù)題意來布置情境、操作情境而得到解答。像這樣具有結(jié)構(gòu)性的情境文字題，就像是一個好的劇本，學(xué)童只是照著劇本演而經(jīng)歷一個活動而已。十、筆者取自82年編本的各種情境文字題類型，並對照各算式或數(shù)學(xué)表徵整理於下表：國小數(shù)學(xué)教材中建立各種算式或數(shù)學(xué)表徵意義應(yīng)布置的情境文字題類型及實例表算式或數(shù)學(xué)表徵名稱符號或數(shù)學(xué)語言應(yīng)布的情境文字題類型名稱應(yīng)布的情境文字題類型實例備註整數(shù)加法算式18725添加型小華有8顆彈珠，爸爸再給小華7顆後，小華共有多少顆？併加型小華有8顆彈珠，小明有7顆彈珠，兩人合起來共有多少顆？整數(shù)

46、加法算式填充題187( )添加型小華有8顆彈珠，爸爸再給小華7顆後，小華共有多少顆？併加型小華有8顆彈珠，小明有7顆彈珠，兩人合起來共有多少顆？整數(shù)減法算式18711拿走型小明原有18個糖果，吃掉7個，剩下多少個？比較型小明有25個花片，小華有17個花片，誰比誰多？多多少？整數(shù)減法算式填充題187( )拿走型小明原有18個糖果，吃掉7個，剩下多少個？比較型小明有25個花片，小華有17個花片，誰比誰多？多多少？整數(shù)乘法算式23×8184幾個幾的情境文字題一盒草莓23顆，8盒共有多少顆？幾個幾的純數(shù)學(xué)文字題8個23是多少？倍語言的文字題23的8倍是多少？整數(shù)乘法算式填充題23×

47、8( )幾個幾的情境文字題一盒草莓23顆，8盒共有多少顆？幾個幾的純數(shù)學(xué)文字題8個23是多少？倍語言的文字題23的8倍是多少？倍的語言23的8倍是184幾個幾的純數(shù)學(xué)文字題8個23是多少？倍語言的文字題23的8倍是多少？整數(shù)除法算式36÷94包含除情境文字題老師有36顆糖果，把9顆裝一袋，全部裝完，可以裝多少袋？等分除情境文字題媽媽把36顆糖果平分給4個小朋友，全部分完，一個小朋友，可以分得多少顆？整數(shù)除法算式填充題36÷9( )包含除情境文字題老師有36顆糖果，把9顆裝一袋，全部裝完，可以裝多少袋？等分除情境文字題媽媽把36顆糖果平分給4個小朋友，全部分完，一個小朋友，可

48、以分得多少顆？分數(shù)記號連績量問題這是一條繩子，把它10等分後，其中的三份是多少條繩子？離散量問題：單位分數(shù)內(nèi)容為單一個物一盒糖果有6顆。把一盒糖果平分成6份，5份是多少盒？離散量問題：單位分數(shù)內(nèi)容為多個個物一盒糖果有36顆。把一盒糖果平分成6份，5份是多少盒？離散量問題：單位分數(shù)內(nèi)容為非整數(shù)個個物一盒糖果有2顆。把一盒糖果平分成6份，5份是多少盒？數(shù)的大小2518比較型問題小明有25個花片，小華有17個花片，誰比誰多？多多少？分數(shù)加法算式同分母註：比照分數(shù)記號引入分類。異分母註：比照分數(shù)記號引入分類。比例式2：34：6對等問題2元可買3顆糖果，同樣的買法，4元可以買多少顆糖果？比例問題已知國旗

49、的長寬比為3：2，如果小英的國旗的長是60公分，那小英的國旗的寬是多少公分？比例算式填充題2：34：( )對等問題2元可買3顆糖果，同樣的買法，4元可以買多少顆糖果？比例問題已知國旗的長寬比為3：2，如果小英的國旗的長是60公分，那小英的國旗的寬是多少公分？兩步驟併式85710兩步驟情境文字題公車上本有8人，到臺北車站下了5人，上了7人，現(xiàn)在有多少人？兩步驟併式填充題857( )兩步驟情境文字題公車上本有8人，到臺北車站下了5人，上了7人，現(xiàn)在有多少人？註：(1)本表備註欄中的表示該算式或數(shù)學(xué)表徵是教師布題、學(xué)童自行解題並得到結(jié)果整個活動的記錄，而表示該數(shù)學(xué)表徵僅是該問題的記錄而已。(2)由於

50、篇幅的限制，本表並未包含所有國小的算式及數(shù)學(xué)表徵。伍、結(jié)論與建議若你要從事教學(xué)工作，必須同時具備學(xué)科內(nèi)容的知識和學(xué)習(xí)理論。但是不自覺得地運用著學(xué)習(xí)理論和知道學(xué)習(xí)理論並加以運用，這二者的意義是不同的。不自覺地運用學(xué)習(xí)理論是有所限制的，它是未經(jīng)過反省的。當(dāng)你從事教學(xué)活動時，你將不知道自己為何要如此教。即使學(xué)習(xí)沒有效果，你也只是持續(xù)且一再地重複相同的教法罷了（Phillips & Soltis 原著，劉子健譯，民88）。建議教育工作者，將你的學(xué)生們視為自己的一面鏡子，透過反思，了解自己是否擁有一些學(xué)習(xí)理論，用以持續(xù)的修正教學(xué)法。目標導(dǎo)向的發(fā)展式數(shù)學(xué)課程(the mathematics cur

51、riculum of goal-oriented development-style，簡稱為GODS數(shù)學(xué)課程)是筆者分析與整理82年部編本國小數(shù)學(xué)科課程的理念及其架構(gòu)而另名的，解題工具發(fā)展模型是該課程數(shù)與計算教材重要的理念之一，但由於其隱藏於教科書背後實為可惜，故特書之。由於GODS數(shù)學(xué)課程的教材設(shè)計處處細膩的替學(xué)童設(shè)想，是筆者心中的理想課程，但由於改變太大和說明文章不多，使國小教師們難以接受。筆者很想把與GODS數(shù)學(xué)課程有關(guān)的哲學(xué)觀、心理學(xué)基礎(chǔ)及隱藏於其課程背後的理論架構(gòu)加以詮釋、整理及描述，以利國小教師的理解而嘉惠學(xué)童，但礙於個人能力頗感力不從心，今借此文，喚起同好一起努力。無意義或未經(jīng)瞭

52、解的事物是很難讓人記得的，而且似乎很難和其他的事物形成網(wǎng)路或連結(jié)。，無論如何教師都不可以僅僅是有效率地告訴學(xué)生新的觀念，因為學(xué)生可能會透過機械式的背誦來學(xué)習(xí)這個新觀念，而無法理解這個觀念的含義或是瞭解這個觀念和其他觀念之間的關(guān)聯(lián)性（Phillips & Soltis 原著，劉子健譯，民88）。本研究所提出的解題工具發(fā)展模型即是以讓學(xué)童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時儘可能的減少死背為理想的學(xué)習(xí)方式，而且它也能維持學(xué)童概念的發(fā)展，並充份的幫助學(xué)童建立數(shù)學(xué)語言的意義。參考書目一、中文部份李維譯，Vygotsky原著（民87）：思維與語言。臺北：桂冠圖書公司。李素卿譯，Mayer 原著（民88）：當(dāng)代教育心理學(xué)。

53、臺北：五南圖書出版公司。吳昭容（民79）：圖示對國小學(xué)童解數(shù)學(xué)應(yīng)用題之影響。國立臺灣大學(xué)心理研究所獨立研究。林碧珍（民79）：新竹師院輔導(dǎo)區(qū)國小數(shù)學(xué)科怎樣解題教材實施情況調(diào)查與學(xué)習(xí)成效研究。新竹師院學(xué)報，3，頁363-391。林軍治（民83）：問題表徵、圖示策略教學(xué)對五年級學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題與錯誤類型之影響。臺中：書恆出版社。林清山（民79）：教育心理學(xué)-認知取向。臺北：遠流。周筱亭（民83）：國民小學(xué)教師對數(shù)學(xué)新課程應(yīng)有的認識。國民小學(xué)數(shù)學(xué)科新課程概說低年級，頁18-44。臺灣省國民學(xué)校教師研習(xí)會編印。胡炳生（民84）：數(shù)學(xué)解題思維方法。臺北：九章出版社。紀惠英（民80）：國小六年級學(xué)生數(shù)學(xué)

54、應(yīng)用問題表徵類型與同構(gòu)性之研究。國立臺灣師範(fàn)大學(xué)特殊教育研究所碩士論文。郭美如（民88）：數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)?？茖W(xué)教育研究與發(fā)展季刊，14，頁53-64。張春興（民83）：教育心理學(xué)。臺北：東華書局。教育部（民90）：國民中小學(xué)九年一貫課程暫行綱要。陸正威（民87）：同儕交互指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題方案對於國小學(xué)童數(shù)學(xué)解題表現(xiàn)、數(shù)學(xué)焦慮及後設(shè)認知影響之實驗研究。國立新竹師範(fàn)學(xué)院國民教育研究所碩士論文，未出版。陸正威、王慧豐（民88）：數(shù)學(xué)解題的意義與理論發(fā)展之研究。教育新知，14，頁1-8。甯自強（民84）：五個區(qū)分對數(shù)與計算教材設(shè)計的影響。論文發(fā)表於84年師院教授座談會（嘉義師院主辦）。甯自強（民87）

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56、科新課程概說（低年級）。臺灣省國民學(xué)校教師研習(xí)會編印。劉秋木（民78）：數(shù)學(xué)解題行為評量表編製報告。七十七年度國科會專題報告（MSC77-01111-S026-01A）劉子健譯，Phillips & Soltis 原著（民88）：透視學(xué)習(xí)。臺北：桂冠。謝豐瑞（民82）：數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)。中等教育，44（4），頁26-37。顏銘志（民87）：國小數(shù)學(xué)解題教學(xué)的省思。國教天地，129，頁40-45。二、英文部分Bilsky, L.H. & Judd, T.(1986) Sources of difficulty in the solution of verbal arithmetic problems by mildly retarded and nonretarded individuals. American Journal of mental Deficiency, 90, 395-402.Cummins, D.D., Kintsch, K., Reusser, K. & Weimer, R.(1988). The role of understanding in solving