補(bǔ)充張量分析學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1補(bǔ)充張量分析補(bǔ)充張量分析第一頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。第1頁/共59頁第二頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。自然法則與坐標(biāo)無關(guān)（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)下的平自然法則與坐標(biāo)無關(guān)（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)下的平衡方程）衡方程）坐標(biāo)系的引入方便了問題的分析，但也掩蓋了物坐標(biāo)系的引入方便了問題的分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)，并且相關(guān)表達(dá)式冗長理本質(zhì)，并且相關(guān)表達(dá)式冗長 引入張量方法引入張量方法 第2頁/共59頁第三頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。第3頁/共59頁第四頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。第4頁/共59頁第五頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。A A1 指標(biāo)符號指標(biāo)符號),(n21i

2、xi下標(biāo)符號下標(biāo)符號 i 稱為稱為指標(biāo)指標(biāo)，n 為維數(shù)為維數(shù)指標(biāo)指標(biāo) i 可以是下標(biāo)，如可以是下標(biāo)，如 xi 也可以是上標(biāo)，如也可以是上標(biāo)，如 xi nxxx,21記作記作指標(biāo)的取值范圍如不作說明，均表示從指標(biāo)的取值范圍如不作說明，均表示從13通過指標(biāo)輪換，用通過指標(biāo)輪換，用1項(xiàng)表示很多項(xiàng)，簡潔！項(xiàng)表示很多項(xiàng)，簡潔！第5頁/共59頁第六頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。采用指標(biāo)表示的符號系統(tǒng)稱為采用指標(biāo)表示的符號系統(tǒng)稱為指標(biāo)符號指標(biāo)符號，一般，一般采用下標(biāo)采用下標(biāo) xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, zui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, wzzyzxy

3、zyyxxzxyx333231232221131211ij321ji ),(第6頁/共59頁第七頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。一若干約定一若干約定 啞標(biāo)和自由標(biāo)啞標(biāo)和自由標(biāo) 1. Einstein求和約定求和約定 凡在某一項(xiàng)內(nèi)，凡在某一項(xiàng)內(nèi)，重復(fù)一次且僅重復(fù)一次重復(fù)一次且僅重復(fù)一次的指的指標(biāo)，表示對該指標(biāo)在它的取值范圍內(nèi)求和，并稱這標(biāo)，表示對該指標(biāo)在它的取值范圍內(nèi)求和，并稱這樣的指標(biāo)為樣的指標(biāo)為啞指標(biāo)啞指標(biāo)或或啞標(biāo)啞標(biāo)。如：。如： n1iiinn2211iixaxaxaxan21ixa ),(又如：又如： zyx332211jjii第7頁/共59頁第八頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。

4、重復(fù)不止一次的指標(biāo)，求和約定失敗重復(fù)不止一次的指標(biāo)，求和約定失敗 求和約定僅對字母指標(biāo)有效，如求和約定僅對字母指標(biāo)有效，如 同一項(xiàng)內(nèi)二對啞標(biāo)應(yīng)使用不同指標(biāo)，如同一項(xiàng)內(nèi)二對啞標(biāo)應(yīng)使用不同指標(biāo)，如 3131ijjiijjiijxxaxxaz331234啞標(biāo)可以換用不同的字母指標(biāo)啞標(biāo)可以換用不同的字母指標(biāo)第8頁/共59頁第九頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。2.2.求導(dǎo)求導(dǎo)記號的縮寫約定記號的縮寫約定 22,( )( ) ijk ijijijuux xx x k二維問題二維問題 平衡微分方程的指標(biāo)表示平衡微分方程的指標(biāo)表示第9頁/共59頁第十頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。3.3.自由指標(biāo)自由

5、指標(biāo) 定義：凡在同一項(xiàng)內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)。如定義：凡在同一項(xiàng)內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)。如 jijibxaj 為自由指標(biāo)為自由指標(biāo) j=1 1313212111bxaxaxaj=1 1313212111bxaxaxaj=1 2323222121bxaxaxaj=2 3333232131bxaxaxaj=3 j=1 1313212111bxaxaxaj=1 第10頁/共59頁第十一頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。同一個(gè)方程中各項(xiàng)的自由指標(biāo)必須相同同一個(gè)方程中各項(xiàng)的自由指標(biāo)必須相同 不能單獨(dú)改變某一項(xiàng)的自由指標(biāo)，但可不能單獨(dú)改變某一項(xiàng)的自由指標(biāo)，但可以同時(shí)改變所有項(xiàng)的自由指標(biāo)以同時(shí)改變所有項(xiàng)的自由指標(biāo)

6、12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：如：第11頁/共59頁第十二頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。二二克羅內(nèi)克（克羅內(nèi)克（Kronecker-）符號）符號 定義定義： jijiij當(dāng)當(dāng)01由定義由定義 1ijijI333231232221131211100010001特殊的指標(biāo)符號特殊的指標(biāo)符號第12頁/共59頁第十三頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。jiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxdxdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA當(dāng)克羅內(nèi)克符與其它項(xiàng)連乘時(shí)，可作指標(biāo)替當(dāng)克羅內(nèi)克符與其它項(xiàng)連乘時(shí)，可作指標(biāo)替換換第13頁/共5

7、9頁第十四頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。性質(zhì)：性質(zhì)： ijjijiilkljkijikjkijikjkijjjiiijijiiijijxxxAAAAAAAA,3322113322113第14頁/共59頁第十五頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。三三Ricci 符號符號 kjie定義：定義： 共共27個(gè)分量，亦稱為排列符號或個(gè)分量，亦稱為排列符號或置換符號置換符號 有兩個(gè)或三個(gè)相同時(shí)當(dāng)?shù)钠娲沃脫Q，形成當(dāng)?shù)呐即沃脫Q，形成當(dāng)kjikjikjieijk,0321,1-321,1即：即：011113112111321132213312231123eeeeeeeee特殊的指標(biāo)符號特殊的指標(biāo)符號第15

8、頁/共59頁第十六頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。ki ji jkjkijikikjkjieeeeee322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaA 321321322311332112312213kjikjikjikjiaaaeaaaeaaaaaaaaa矩陣的行列式可表示為: 第16頁/共59頁第十七頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。 A A2 張量的定義和張量的定義和 代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算 ia分量矢量 a標(biāo)方向的單位矢量） ( 個(gè)坐基矢量3 e e e321 33221iiaaaaeeeea1說明說明任意矢量可以表示為基矢

9、量的線性組合任意矢量可以表示為基矢量的線性組合 12基矢量不是唯一的基矢量不是唯一的 1. 矢量的基本運(yùn)算矢量的基本運(yùn)算第17頁/共59頁第十八頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。(1)(1)點(diǎn)積點(diǎn)積 基矢量點(diǎn)積基矢量點(diǎn)積 )22( A ijjiee 任意兩矢量的點(diǎn)積任意兩矢量的點(diǎn)積 3)2( A babababajjiiijjijijieeba12投影投影第18頁/共59頁第十九頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。1(2) 叉積叉積 基矢量的叉積基矢量的叉積 ekjikjieee第19頁/共59頁第二十頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。由于由于 kjkieeeekjki ktt321jie

10、eeeeeeekjitjisjr itsrjjjiiieee321321特別地：特別地： 33k21eeeee12312eekkjikjiaaaeaaaaaaaaaA321333231232221131211（比較：（比較：）第20頁/共59頁第二十一頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。 兩個(gè)任意矢量的叉積兩個(gè)任意矢量的叉積 cbaeebababakjikjikjijijiji ceeeeeeebakkkjiji2jiijkkbaec 第21頁/共59頁第二十二頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。(3) 混合混合積積 基矢量混合積基矢量混合積 )(kjikrr jir jieeekrkjiee

11、eee故也有定義故也有定義 )()(kjikjieeeeeekjie1置換符號就是基矢量的混合積置換符號就是基矢量的混合積第22頁/共59頁第二十三頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。 矢量混合積矢量混合積 表示的是以表示的是以 為邊長的平行六面體的體積。為邊長的平行六面體的體積。 cb,a,2第23頁/共59頁第二十四頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。(4) (4) 并矢（并乘）并矢（并乘） 定義：定義： jijieeeeabjijibaba展開共展開共9項(xiàng)，項(xiàng)， 可視為并矢的基可視為并矢的基 ije ejiba為并矢的分解系數(shù)或分量為并矢的分解系數(shù)或分量 第24頁/共59頁第二十五頁，編

12、輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。2x2x1x1x2x1x1x2x2e1e2. 平面笛卡兒坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換平面笛卡兒坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換1ee2第25頁/共59頁第二十六頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。2x2x1x1x2x1x1x2x)2 , 1,( )(jicosj ijie ,e令：cossinsincosj i)cos()cos()cos()cos(22122111e ,ee ,ee ,ee ,e則：1e2ee21ecossinsincosj i互為逆矩陣互為逆矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣互為轉(zhuǎn)置矩陣第26頁/共59頁第二十七頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。)( 21212212211121xxxx

13、xxj i于是： 21212212211121xxxxxxTj i同樣：21121 xxxxj i）式得由（1 :j iTj i比較ji為正交矩陣為正交矩陣第27頁/共59頁第二十八頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。引用指標(biāo)符號：引用指標(biāo)符號：jj iixxjjiixx由由kkjijjjiixxx又又ikkjijkikixx 互為逆矩陣互為逆矩陣第28頁/共59頁第二十九頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。說明說明 1jijieeeej ij i2矢量的分量也具有與坐標(biāo)分量相同的變換矢量的分量也具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律規(guī)律jj iijj iivvvv基矢量具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律基矢

14、量具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律第29頁/共59頁第三十頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。3. 三維情況三維情況 (三維坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)三維坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn))j iij jijieeee 考慮一位置矢量考慮一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxii jjjxxx )(cosije ,ejjiixx第30頁/共59頁第三十一頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。同理同理jj iixx同二維問題，可得同二維問題，可得ikkjj i（正交性）（正交性）可試證：可試證：kik jj i第31頁/共59頁第三十二頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。4. 張量定義張量定義 定義：在坐標(biāo)變換時(shí)，滿足如下變

15、換關(guān)系的定義：在坐標(biāo)變換時(shí)，滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量量稱為張量 lkjil lkkj ji iijklijklkkjjiilkji自由指標(biāo)數(shù)目自由指標(biāo)數(shù)目n稱為張量的階數(shù)，對于三維空間稱為張量的階數(shù)，對于三維空間，張量分量的個(gè)數(shù)為，張量分量的個(gè)數(shù)為3n個(gè)，變換式也有個(gè)，變換式也有3n個(gè)。個(gè)。第32頁/共59頁第三十三頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。采用并矢記號（不變性記法或抽象記法）采用并矢記號（不變性記法或抽象記法） ()ijklijkle e e e可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）基矢量的坐標(biāo)變換符合前述要求基矢量的坐標(biāo)變換符合前述要求標(biāo)

16、量：零階張量標(biāo)量：零階張量矢量：一階張量矢量：一階張量張量：二階張量張量：二階張量第33頁/共59頁第三十四頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。討論討論 ijk lTTijklTe ee e12上述表達(dá)式具有不變性特征；上述表達(dá)式具有不變性特征；張量分量張量分量 與坐標(biāo)系有關(guān)；與坐標(biāo)系有關(guān)；ijT3 在坐標(biāo)變換時(shí)遵循相同的變換規(guī)律在坐標(biāo)變換時(shí)遵循相同的變換規(guī)律ijT第34頁/共59頁第三十五頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。自然法則與坐標(biāo)無關(guān)（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)下的平自然法則與坐標(biāo)無關(guān)（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)下的平衡方程）衡方程）坐標(biāo)系的引入方便了問題的分析，但也掩蓋了物理本坐標(biāo)系的引入方便了問題的

17、分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)，并且相關(guān)表達(dá)式冗長質(zhì)，并且相關(guān)表達(dá)式冗長 引入張量方法引入張量方法 第35頁/共59頁第三十六頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。1. 張量的數(shù)乘張量的數(shù)乘張量代數(shù)張量代數(shù)jiijjiijSTeeSeeTijijST則，若ST2. 張量的加法張量的加法jiijjiijSTeeSeeTijijST ijBSTB第36頁/共59頁第三十七頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。3. 矢量與二階張量的點(diǎn)積矢量與二階張量的點(diǎn)積 ijiTaijiTe eae12左點(diǎn)乘：左點(diǎn)乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右點(diǎn)乘右點(diǎn)乘 :kiikjieeeeee

18、aTkiijjikjkjiTaaTaTa)()(Tkj i時(shí)相等只有一般jiijTT, aTTa張量代數(shù)張量代數(shù)1左點(diǎn)乘：左點(diǎn)乘：第37頁/共59頁第三十八頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。3. 矢量與二階張量的點(diǎn)積矢量與二階張量的點(diǎn)積張量代數(shù)張量代數(shù) 點(diǎn)積相當(dāng)于指標(biāo)縮并，導(dǎo)致張量階數(shù)降低點(diǎn)積相當(dāng)于指標(biāo)縮并，導(dǎo)致張量階數(shù)降低jijiaTb aTb 二階張量相當(dāng)于一個(gè)線性變換，或空間轉(zhuǎn)移二階張量相當(dāng)于一個(gè)線性變換，或空間轉(zhuǎn)移第38頁/共59頁第三十九頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)4. 矢量與二階張量的叉積矢量與二階張量的叉積 ijiTaijiTe eaeAeeeeeTak

19、rkjiijrjkijkieTaTaBeeeeeaTrjikjkirijkijkeaTaT1左叉乘：左叉乘：2右叉乘右叉乘 :第39頁/共59頁第四十頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)4. 兩個(gè)張量的點(diǎn)積兩個(gè)張量的點(diǎn)積srjieeBeeArsijBA,sisisrjieeeeeeeeBAjsijjrrsijrsijBABABA第40頁/共59頁第四十一頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)5. 兩個(gè)張量的雙點(diǎn)積兩個(gè)張量的雙點(diǎn)積srjieeBeeArsijBA,ijijjsirrsijrsijBABABAsrjieeeeBA:tititsrkjieeeeeeeee

20、eBAjktijkksjrrstijkrstijkBABABA:第41頁/共59頁第四十二頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)6. 張量的縮并張量的縮并jieeAijAAeeAjitrAAAiiijijij第42頁/共59頁第四十三頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)7. 張量的轉(zhuǎn)置張量的轉(zhuǎn)置jiijjiijSTeeSeeTT STSST記互為轉(zhuǎn)置與則稱若jiijT TTTABBABA則為二階張量，與若為對稱張量若TTT T為反對稱張量若TTT -T對于對稱張量，一定可以找到三個(gè)互相正交的主方向?qū)τ趯ΨQ張量，一定可以找到三個(gè)互相正交的主方向應(yīng)力張量與應(yīng)變張量均為

21、對稱的二階張量應(yīng)力張量與應(yīng)變張量均為對稱的二階張量第43頁/共59頁第四十四頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。張量代數(shù)張量代數(shù)7. 張量的轉(zhuǎn)置張量的轉(zhuǎn)置之和和反對稱張量均可分解為對稱張量任一二階張量NTTTTT21TT21NNTDPN和偏張量又可分解為球張量對稱張量IPDPNkkN31第44頁/共59頁第四十五頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。幾種常用的幾種常用的二階張量二階張量1. 單位張量單位張量jiijeeI2. 置換張量置換張量kjiijkeeeee 以置換符號為分量的三階張量以置換符號為分量的三階張量3. 逆張量逆張量ITT1并非所有張量都可逆，有逆存在的張量稱為可逆張量并非所有

22、張量都可逆，有逆存在的張量稱為可逆張量 -1-1-1ABBABA則為可逆張量，與若第45頁/共59頁第四十六頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。幾種常用的幾種常用的二階張量二階張量4. 正交張量正交張量IRRRRTT1 RRT bRaRbaabbaaRb且可以證明則為矢量和其中若, ,正交張量對應(yīng)的線性變換保持矢量長度和內(nèi)積不變正交張量對應(yīng)的線性變換保持矢量長度和內(nèi)積不變正交張量對應(yīng)的線性變換代表一個(gè)轉(zhuǎn)動正交張量對應(yīng)的線性變換代表一個(gè)轉(zhuǎn)動IRRRRTT1 RRT第46頁/共59頁第四十七頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。A A3 張量分析張量分析梯度梯度標(biāo)量場的梯度是一個(gè)向量場，標(biāo)量場中某一

23、點(diǎn)上的梯度指向標(biāo)量場增長最快的方向。對單變量實(shí)值函數(shù)，梯度只是導(dǎo)數(shù)，如應(yīng)變。圖中標(biāo)量場是黑白的，黑色代表大的數(shù)值，藍(lán)色箭頭代表梯度方向。第47頁/共59頁第四十八頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。散度、旋度散度、旋度散度是將向量空間上的一個(gè)向量場（矢量場）對應(yīng)到一個(gè)標(biāo)量場上，描述的是向量場里一個(gè)點(diǎn)是匯聚點(diǎn)還是發(fā)源點(diǎn)。旋度表示三維向量場對某一點(diǎn)附近的微元造成的旋轉(zhuǎn)程度，這個(gè)向量提供了向量場在這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)。第48頁/共59頁第四十九頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。力學(xué)中：力學(xué)中：幾何方程與位移場的幾何方程與位移場的梯度梯度有關(guān)有關(guān)轉(zhuǎn)動量與位移場的轉(zhuǎn)動量與位移場的旋度旋度有關(guān)有關(guān)平衡方程與

24、應(yīng)力場的平衡方程與應(yīng)力場的散度散度有關(guān)有關(guān)第49頁/共59頁第五十頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。1、哈密頓、哈密頓(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子) 梯度、散度、旋度均涉及到梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子算子,可以表示為可以表示為:iixiiee 可以證明可以證明, Hamilton算子具有張量的屬性算子具有張量的屬性,相當(dāng)相當(dāng)于一階張量。于一階張量。啞標(biāo)啞標(biāo)第50頁/共59頁第五十一頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。2、梯度、梯度 1標(biāo)量場標(biāo)量場 ieigradxxx,321),(為一階張量矢量為一階張量矢量 第51頁/共59頁第五十二頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。2張量場張量場 kjjkAeeA（1）左梯度）左梯度kjikjieeeeeeijkjkiAA,A（2）右梯度）右梯度高一階的張量場 A,ikjikjeeeeeeijkjkiAA AA 一般并乘并乘第52頁/共59頁第五十三頁，編輯于星期日：十九點(diǎn) 五十四分。3、散、散度度 1矢量場矢量場 ueeuujitruujjji,d