人教版高中數(shù)學(xué)-平面與平面垂直的判定

1、第九屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動平面與平面垂直的判定（人教A版高中課標(biāo)教材數(shù)學(xué)必修2）平面與平面垂直的判定教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析：1 .教材的地位與作用:本節(jié)課是人教 A版必修2第2章第3節(jié)的第2課時，它是在直線與平面垂 直的基礎(chǔ)上， 介紹二面角、 二面角的平面角、面面垂直的定義及判定定理， 本節(jié)課既是前面知識的鞏固升華，又是后面研究線面、 面面垂直性質(zhì)的基礎(chǔ)，在面面垂直的判定定理探究中有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、直觀感知能力和邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素 養(yǎng)，同時本節(jié)課體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸、類比歸納等數(shù)學(xué)思想，是高中立體幾何課 程中的重點(diǎn)課題之一

2、。2 .教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：平面與平面垂直的判定定理及應(yīng)用難點(diǎn)：二面角大小的度量二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置：1 .通過直觀感受生活中的二面角實(shí)物圖，抽象出二面角的概念，提高學(xué)生觀察、分析、類比、化歸能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。2 .通過分組合作探究作二面角的平面角的過程，達(dá)到利用平面角刻畫二面 角的目標(biāo)，深化刻畫空間角的唯一性思想方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué) 生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維習(xí)慣和自我反思糾錯習(xí)慣。3 .通過動手操作實(shí)驗(yàn)探究過程，歸納猜想出面面垂直的關(guān)鍵，再通過推理 論證得出判定定理，提升學(xué)生歸納分析，猜想論證能力，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、 抽象概括數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。4 .通過運(yùn)用定理的過程，達(dá)到鞏固理解

3、所學(xué)知識的目標(biāo)，提高學(xué)生類比化歸能力，培養(yǎng)學(xué)生降低空間維數(shù)的化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。三、學(xué)生學(xué)情分析：1 .學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了面面平行以及線面垂直，有了知識儲備，課前也已 經(jīng)預(yù)習(xí)了課本內(nèi)容.2 .大部分同學(xué)已經(jīng)具備了一定的空間想象能力、基本的邏輯推理思維、書 寫的規(guī)范性等.但是，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)在于探究二面角的平面角，學(xué)生不容易理解，通過小組合作探究，給出不同的解決方案，分析利弊，最終解決問 題、加深理解，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.3 .經(jīng)過高一一年的學(xué)習(xí)，絕大多數(shù)同學(xué)能夠積極主動地參與到課堂探究、 討論活動中.在知識建構(gòu)的過程中， 各小組能夠很快形成自己的看法并主動推 選出代表發(fā)言.小組間既有競

4、爭又有合作，能夠?qū)崿F(xiàn)“生本愉悅課堂”，保證 課堂的高效.四、教學(xué)策略分析：我采用啟發(fā)引導(dǎo)、分組合作、講練結(jié)合的教學(xué)方法，使學(xué)生形成“直觀感知一操作確認(rèn)一數(shù)學(xué)抽象一歸納猜想一嚴(yán)謹(jǐn)證明一靈活應(yīng)用”的探究式學(xué)習(xí)方法，從而達(dá)到以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，師生共同發(fā)展的課堂教學(xué)效果.為此我采用如下形式：1 .實(shí)物投影一一現(xiàn)場投影學(xué)生作品，及時發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，充分體現(xiàn)問題來自于學(xué)生、解決于學(xué)生，最終提高學(xué)生的能力2 .教具一一自制教具、現(xiàn)場演示門、打開著的書，尊重學(xué)生由直觀感知到數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知規(guī)律，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活又高于生活的基本理念3 .各種制圖軟件的綜合利用一一巧妙地將幾何畫板及錄屏軟件結(jié)合使用

5、，實(shí)現(xiàn)二面角的動態(tài)轉(zhuǎn)動效果，既滿足了學(xué)生直觀感知的需要，又為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維提供了幫助.五、教學(xué)基本流程（總體設(shè)計(jì)）從人類生產(chǎn)實(shí)踐的需要引入二面角的有關(guān)概念構(gòu)建二面角的的平面角直二面角平面與平面垂直平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的應(yīng)用課堂梳理布置作業(yè)六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）直觀感知，形成概念前面討論了兩個平面平行的問題，下面將要研究兩個相交平面的位置關(guān) 系.在生產(chǎn)實(shí)踐中，有許多問題涉及到兩個平面相交成一定角的情形，例如 修筑水壩時，為了使水壩堅(jiān)固，必須使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌龋话l(fā)射 人造地球衛(wèi)星時，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面成一定 的角度.（教師用多媒體顯示模型）師

6、：生活中，你還能舉出哪些問題涉及到兩個平面相交呢？生：打開的門，門面與墻面成一定角度；翻開著的書，兩個書頁面成一 定角度；打開著的筆記本電腦兩個面也成一定角度.課件展示實(shí)物圖，將其命名為二面角，我們應(yīng)該怎么理解二面角呢？（設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生所熟悉的實(shí)際問題引入，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)來源于實(shí) 際生活；同時引導(dǎo)學(xué)生體會知識的形成過程，使學(xué)生從直觀感知到理論抽象生成概念做鋪墊，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).）引導(dǎo)學(xué)生思考：一條直線上的一個點(diǎn)把這條直線分成兩個部分，其中的每一部分都叫做射線.那么一個平面被平面中的一條直線分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面.師：初中已經(jīng)學(xué)過平面中的“角”是怎樣定義的？（教師用多

7、媒體演示角的形成）生：從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角.類比得出概念：師：你能根據(jù)平面中"角”的定義類比歸納得出平面與平面所成角的概念 嗎？（教師用自制教具生：從空間一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形.演示二面角的形成）（設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生充分思考，在結(jié)合教具演示，啟 發(fā)學(xué)生通過角的定義類比得出二面角的定義）（二）動手操作，歸納確認(rèn)1.二面角的概念：從空間一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成 的圖形叫做二面角.（課件展示）（1）二面角的畫法課件展示二面角實(shí)物圖（打開著的筆記本電腦），讓學(xué)生按 照實(shí)物圖作出直觀圖。多媒體投影學(xué)生的作品，點(diǎn)評學(xué)生作品以及強(qiáng)調(diào)作圖（二

8、面角） 的方法。（設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生親自動手作圖學(xué)會畫二面角，同時培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)物圖轉(zhuǎn)化為直觀圖的直觀想象核心素養(yǎng)，并通過師生點(diǎn)評激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造美的精神。）（2）二面角的記法：以直線L為棱，以s、P為半平面的二面角記作：口-L-P;（設(shè)計(jì)意圖：教師用課件演示平面內(nèi)的“角”與空間的“二面角”的聯(lián)系與區(qū)別）2.二面角的平面角提出問題：我們通常說“把門開大一些” “把門關(guān)小一些”（動手翻轉(zhuǎn) 門演示）.這說明二面角是有大小區(qū)分的.那么，如何去刻畫二面角的大小 呢？（設(shè)計(jì)意圖：教師提出問題，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，通過直觀感知啟發(fā)學(xué) 生的創(chuàng)造性思維.）引導(dǎo)聯(lián)想：異面直線所成角和線面角師：我們?nèi)绾慰坍嫯惷嬷本€所

9、成角？生：將異面直線平移，平移后兩相交直線所成的夾角即為異面直線所成角。師：我們?nèi)绾慰坍嬀€面角？生：斜線與其在平面內(nèi)的射影所成的夾角即為線面角。師生總結(jié)：我們在解決這兩種空間角時，都是轉(zhuǎn)化為平面角來刻畫，且平 面角的大小是唯一的。那么，二面角也是空間角，我們能否也用平面角來刻畫二 面角呢？（設(shè)計(jì)意圖：教師啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生類比分析，分組探究）分組探究（一）二面角的平面角組1:在一個平面內(nèi)取一點(diǎn)，過點(diǎn)作一條直線；再在另一個平面內(nèi)取點(diǎn)作 一條直線。組2點(diǎn)評：有兩個問題，第一，二面角的兩個面是半平面而不是平面；第 二，這樣操作得到的可能不是平面角。（學(xué)生黑板演示說明）組3:過棱上一點(diǎn)在兩個半平面內(nèi)分別

10、任意作一條射線。組4點(diǎn)評：這樣操作雖然得到平面角， 但是作出的平面角大小不唯一。 （學(xué) 生黑板演示說明）組5:過棱上一點(diǎn)在兩個半平面內(nèi)分別作一條垂直于棱的射線。/師：平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置有無關(guān)系？X OA師生總結(jié)：無關(guān)，過不同的點(diǎn)做出的平面角都相等。1 : /緊接著，教師多媒體動畫展示二面角的平面角隨著二面角張開幅度變化而"變化過程。這樣作出的平面角符合我們的直觀認(rèn)識，其次，刻畫二面角體現(xiàn)了唯 一性，我們將其稱為二面角的平面角。（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在參與探討刻畫二面角大小方法過程中，分組合作 探究，生生之間、師生之間互相交流，共同討論，變單向傳遞為多向交流， 這樣既發(fā)揮了學(xué)生主

11、體作用，又有利于學(xué)生交流合作意識、自我反思糾錯意 識的形成和創(chuàng)新能力培養(yǎng).通過學(xué)生充分參與活動，醞釀議論，畫圖，歸納，指導(dǎo)學(xué)生在歸納的 基礎(chǔ)上升華.經(jīng)過師生共同研討，學(xué)生不僅學(xué)會了二面角的平面角的定義和 二面角的度量方法，而且讓學(xué)生體會了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，了解如何給數(shù)學(xué)概念 下定義.通過小組搶答發(fā)言解決問題，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，又激發(fā) 了學(xué)生的求知興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的探究式學(xué)習(xí)能力.）現(xiàn)給出二面角的平面角的定義：（課件出示定義）二面角的平面角-取二面角的棱上任意一點(diǎn) O為垂足，過點(diǎn) O在兩個 面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.（師生共同總結(jié)歸納）二面角的平面

12、角必須具備三個條件：（1）角的頂點(diǎn)在棱上（2）角的兩邊分別在兩個半平面內(nèi)（ 3）角的兩邊 分別與棱垂直.教師強(qiáng)調(diào)：（1）二面角的平面角的范圍是口口,180打，當(dāng)兩個半平面重合時，平面角為0、當(dāng)兩個半平面合成一個平面時，平面角為180*.（2）引入直二面角（課件展示正方體中兩個相鄰平面所成的二面角，啟發(fā)學(xué)生直觀感知生成概念，進(jìn)而引入面面垂直）3 .平面與平面垂直 定義：一般地，兩個平面相交，如果兩個平面所成二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.如圖,師：生活中，平面與平面垂直的例子有哪些?生：墻面與地面，門面與地面等我們可以用定義判斷面面垂直，接下來我們一起來探究判斷面面垂直的另一種方法：探

13、究（二）面面垂直的判定定理數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（一）：將展開著的書豎立放置在水平桌面上，觀察各頁面與 水平桌面的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)共性。組1:各頁面都與桌面垂直，并且書棱線也垂直于地面，書棱線在每一 個頁面內(nèi)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（二）：將展開著的書平鋪在水平桌面上（使得有頁面與桌面 垂直，有頁面斜交不垂直），觀察垂直與不垂直的區(qū)別。組2:垂直的頁面能找到頁邊線垂直于桌面，而不垂直的頁面里找不到 任何線能垂直于桌面。師：通過歸納實(shí)驗(yàn)，猜想滿足什么條件才能使得面面垂直？（設(shè)計(jì)意圖：通過自己親自動手實(shí)驗(yàn)，合作操作經(jīng)歷，再通過觀察一歸 納猜想得出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生合情推理，數(shù)學(xué)抽象能力。）4 .發(fā)展理性思維，嚴(yán)謹(jǐn)證明猜想：一個平面

14、內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面，則這兩個平面垂直引導(dǎo)學(xué)生用面面垂直的定義證明命題的真實(shí)性。（設(shè)計(jì)意圖：通過猜想一推理論證，體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn) 的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，深化邏輯推理核心素養(yǎng)。）5 .平面與平面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直. 簡稱：線面垂直，則面面垂直。啟發(fā)學(xué)生用符號語言表達(dá)判定定理符號語言：(設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生用符號語言表達(dá)數(shù)學(xué)的能力)(三)鞏固理解，知識深化例1.判斷題(1)如果平面3內(nèi)有一條直線垂直于平面 P內(nèi)的一條直線，則 久_L P(2)如果平面a內(nèi)有一條直線垂直于平面 P內(nèi)的無數(shù)條直線，則 a _L P(3)如果平面a內(nèi)有一條直線垂直于

15、平面 P內(nèi)的兩條相交直線，則ot _L P(4)若m_La,muP,則 o(_LP(設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生動手操作，舉出反例，既鞏固了知識又培養(yǎng)了學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維)例2：如下圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是 圓周上不同于 A,B的任意一點(diǎn)，求證： 平面PAC _L平面ABC ,瓜I師：分析還有哪些面面垂直？i（引導(dǎo)提出問題）變式： 平而PAC 1平面PBC .（設(shè)計(jì)意圖：啟發(fā)學(xué)生善于提出問題，獨(dú)立思考解決問題，學(xué)會邏輯推 理以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力）分析：線線垂直 二線面垂直 面面垂直（四）學(xué)生回顧，課堂小結(jié)學(xué)生從三個層面總結(jié)本節(jié)課的收獲：知識層面；思想方法層面; 能力情感層面。教

16、師引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)，交流分享本節(jié)課的收獲，串聯(lián)知識脈絡(luò)，體會整堂課所用到的思想方法以及能力體現(xiàn)（五）課外作業(yè)見教材第41頁1,2題主板課件展示副板七、課堂教學(xué)目標(biāo)檢測引導(dǎo)學(xué)生對照課堂內(nèi)容，回扣目標(biāo)、突出重點(diǎn)，知識應(yīng)用、查漏補(bǔ)缺，自我 評價(jià)、自我反思.八、教學(xué)反思通過本節(jié)課的教學(xué)，對新課標(biāo)下的課堂有了如下的認(rèn)識：（一）注重知識的形成過程新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)“直觀感知”，在教學(xué)中教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的事物、現(xiàn) 象出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看待周圍的事物。通過動手操作、實(shí)驗(yàn)活動等讓學(xué)生去經(jīng)歷、感受、體會，在獲得大量的直接經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)知識， 總結(jié)方法，提升能力。本課通過引導(dǎo)學(xué)生例舉開門、翻書動作形成平面

17、所成 角的基礎(chǔ)上，再由折紙活動讓學(xué)生感知二面角的概念。使抽象知識直觀化， 符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。（二）注重溫故而知新在學(xué)習(xí)新知識時，要重視聯(lián)想、類比有關(guān)的舊知識，辯清它們的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)而達(dá)到知識或方法的同化。本課類比1:對平面中“角”的定義類比得出二面角的概念；類比2:回顧利用平面角唯一刻畫“異面直線所成的角”“直線和平面所成的角”的方法，類比，學(xué)生探究出利用二面角的平面角刻畫二 面角的大小，從而達(dá)到高效地突破教學(xué)難點(diǎn)。（三）注重課堂活動的多樣性新的教學(xué)理念希望給學(xué)生營造一個民主、和諧的學(xué)習(xí)氛圍，培養(yǎng)學(xué)生自主探 究、參與合作的學(xué)習(xí)方式，全面發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐與創(chuàng)新能力?；顒佑袑W(xué)生的 自己動手畫圖、

18、擺書；提問方式有個體、小組、群體提問；合作方式有同桌 交流，四人小組實(shí)驗(yàn)；教具有多媒體、教室的門、學(xué)生的書、硬紙板。本課 在課堂教學(xué)中保證學(xué)生參與教學(xué)活動的時間和空間，抓住學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、 求知欲、成就感等積極因素，積極培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、操作、畫圖、表達(dá) 等多方面的能力。（四）注重?cái)?shù)學(xué)思維的培養(yǎng)新課標(biāo)提出高中數(shù)學(xué)應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。本課在概念的構(gòu)建過 程中，通過直觀觀察到動手操作，歸納推理，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力, 培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。（五）注重對教材的開發(fā)使用 新教材在問題設(shè)置、數(shù)學(xué)知識的形成、習(xí)題設(shè)置、數(shù)學(xué)的應(yīng)用等方面設(shè)計(jì)輕 巧，因此教師在平時備課中不但

19、要吃透教材，而且要盡量地搜集與教材有關(guān) 的知識，制作與教材有關(guān)的教具，輔助教學(xué)，提高教學(xué)效果?；诒竟?jié)課的 教學(xué)，教學(xué)重點(diǎn)是面面垂直的判定，對判定定理的得出與理解學(xué)生沒有難度。 但教學(xué)難點(diǎn)是用二面角的平面角來刻畫二面角學(xué)生不易理解，整個教學(xué)容量 比較大，致使整節(jié)課教學(xué)時間緊張，時間安排可能不太科學(xué)，比如，前面二 面角及其平面角占用時間過多，后面教學(xué)重點(diǎn)略顯緊湊，留給學(xué)生的探究與 反思時間較少，這樣不利于學(xué)生能力與思維的培養(yǎng)，希望在以后的教學(xué)中改 進(jìn)。課例點(diǎn)評：安順市第二高級中學(xué)、貴州省高中數(shù)學(xué)余紅名師 工作室李彥杰老師執(zhí)教的平面與平面垂直的判定這節(jié)課，從整 體來看，李老師本著“讓學(xué)生充分經(jīng)歷知

20、識的形成、發(fā)展和應(yīng)用過 程”的“以生為本”的教學(xué)理念，將教材中靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識還原成 動態(tài)的生成過程，盡可能地為學(xué)生提供一種思考、交流、探究的空 問，立足教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)，為促進(jìn)學(xué)生在教師指導(dǎo)下主動 地學(xué)習(xí)而教；為發(fā)展學(xué)生理性思維而教；為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 教。從教材處理看，設(shè)置生活情景：學(xué)生通過觀察堤壩、衛(wèi)星運(yùn)行 面與地球赤道面等圖形中，抽象出二面角的定義。突出了二面角度 量的教與學(xué)：通過類比空間中直線與直線的角、 線面角的度量原理: 滿足唯一性的平面角來刻畫空間角大小，引導(dǎo)學(xué)生第一次自主探究, 得出二面角平面角定義。進(jìn)而為學(xué)生經(jīng)歷知識形成、學(xué)會學(xué)習(xí)、深 刻思考提高了探究的空間，難點(diǎn)得到較好突破。突出了面面垂直判 定定理的教與學(xué)：通過從動手操作、合作探究，學(xué)生觀察、歸納、 猜想出判定定理，到學(xué)生嚴(yán)格證明猜想得到定理，學(xué)生在老師的指 導(dǎo)下，經(jīng)歷了有意義的探究活動，培養(yǎng)學(xué)