數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)

1、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)王凌云從接受教育開始，數(shù)學(xué)一直陪伴著我們的成長。雖然家長和老師一遍又一遍的對我們說“數(shù)學(xué)很重要”，但為什么要學(xué)好數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)到底有多重要在我的大腦中掛著問號?，F(xiàn)在上了大學(xué)，開始了思考，并對這些問題有了一定的認(rèn)識。我在大學(xué)的專業(yè)是國經(jīng)貿(mào)。但在真正接觸經(jīng)濟學(xué)之前，我只是從一些報刊雜志上了解到數(shù)學(xué)對經(jīng)濟學(xué)研究的重要性。僅有的一點高中政治經(jīng)濟學(xué)的知識，使我無法深入了解數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)研究中扮演著何等重要的角色，而只知道經(jīng)濟學(xué)科對數(shù)學(xué)的要求很高。在平時的學(xué)習(xí)中我發(fā)現(xiàn)大家有以下兩種典型的認(rèn)識：有些同學(xué)認(rèn)為經(jīng)濟學(xué)無非是數(shù)學(xué)在特定經(jīng)濟模型下的運用，做經(jīng)濟學(xué)計算題和做高數(shù)應(yīng)用題并無多大差別，為用數(shù)學(xué)而用

2、數(shù)學(xué)。再看看近年來北大等名?？佳蓄}，定量分析的比重不斷上升，確實有不少題目是在經(jīng)濟背景下，拼微積分功底，這更加深了同學(xué)們的這種想法。還有一部分同學(xué)則認(rèn)為，經(jīng)濟學(xué)屬于“文科”，數(shù)學(xué)并不重要， 能用經(jīng)濟學(xué)原理解釋社會經(jīng)濟現(xiàn)象，就是學(xué)好了經(jīng)濟學(xué)。而在經(jīng)濟學(xué)院學(xué)習(xí)的這段時間中，通過老師所授、書本所講及課外的閱讀，我發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟學(xué)確實是離不開數(shù)學(xué)的，而且數(shù)學(xué)確實在經(jīng)濟理論的證明當(dāng)中發(fā)揮很大的作用。其中有簡單的數(shù)量分析、幾何圖形展示，也有很多微積分、線性代數(shù)及其他高深的數(shù)學(xué)知識，如微分方程、拓?fù)鋵W(xué)等等。我們經(jīng)濟學(xué)科的主修數(shù)學(xué)課程有微積分、概率論和數(shù)理統(tǒng)計等等。 “只有可以模型化的思想才會得到垂青”。 我印象最

3、深的莫過于阿羅的“不可能定理”， 平鋪直敘難有說服力，但他用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果讓人一目了然，充分顯示了數(shù)學(xué)的魅力。雖然在很多信息中我們能夠了解數(shù)學(xué)對經(jīng)濟研究的重要性，但其中也不乏相反的聲音。有人認(rèn)為數(shù)學(xué)的運用過于艱深會成為一些人研究經(jīng)濟學(xué)的桎梏；也有人認(rèn)為現(xiàn)實中很多簡單的現(xiàn)象只需用經(jīng)驗做簡單的語言描述便可解釋，很多大規(guī)模的數(shù)學(xué)推理證明是沒有什么實際意義的；還有些人認(rèn)為在經(jīng)濟學(xué)中大規(guī)模使用數(shù)學(xué)會使經(jīng)濟學(xué)失去其原來的意義。我想說： 的確數(shù)學(xué)本身是很抽象很難的，即使是專門從事數(shù)學(xué)研究的人也未嘗不這么認(rèn)為。數(shù)學(xué)作為一門理想的工具，對其在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，起作用的是其方法和思路，而經(jīng)濟學(xué)研究的對象是沒有改

4、變的。 數(shù)學(xué)之于經(jīng)濟學(xué)的意義在于：（ 1） 可以使經(jīng)濟學(xué)研究的對象數(shù)量化；（2）將經(jīng)濟學(xué)中關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)的理論數(shù)學(xué)化后，可幫助經(jīng)濟學(xué)家對其進(jìn)行更有效更細(xì)致的分析與研究；（ 3）數(shù)量化使經(jīng)濟學(xué)研究對象間的關(guān)系更具體更清晰；（ 4）數(shù)學(xué)可以使很多概念的描述準(zhǔn)確和精確；（ 5） 研究經(jīng)濟學(xué)時我們關(guān)心的不僅是它們的表現(xiàn)、 它們之間的數(shù)量關(guān)系，而且關(guān)心它們?nèi)绾伟l(fā)展，而數(shù)學(xué)對此提供了有效的方法。 這樣我們的決策就會更多的建立在推理而不是猜測的基礎(chǔ)上。雖然的確有不少好的經(jīng)濟學(xué)的初步想法或猜想一時還難以用精確的數(shù)學(xué)模型表示，而不得不用描述性的或定性的語言來表達(dá)?？墒?， 一旦這些思想被后繼者用數(shù)學(xué)模型表述， 做深

5、入分析研究，并取得明確的、可預(yù)測的理論結(jié)果后，就會產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。反過來， 經(jīng)濟學(xué)家也經(jīng)常先用數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)出他的理論或用統(tǒng)計方法進(jìn)行實證檢驗，然后再來給出它們的經(jīng)濟解釋。諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎從1969 年開始頒發(fā), 至今已歷34 屆 , 獲獎?wù)哌_(dá)51 人。除了1974 年獲獎的哈耶克，幾乎所有的獲獎成果都用到了數(shù)學(xué)工具。一半以上獲獎?wù)叨际怯猩詈駭?shù)學(xué)功底的經(jīng)濟學(xué)家, 還有少數(shù)獲獎?wù)弑旧砭褪侵臄?shù)學(xué)家。人們習(xí)慣稱數(shù)學(xué)為自然科學(xué)“王冠上的明珠”，經(jīng)濟學(xué)中為社會科學(xué)的“皇后”。有人做過統(tǒng)計，僅1969 年首屆諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎頒發(fā)至1981 年間的 13 個獲獎成果中， 其中 8 次是成功地將數(shù)學(xué)方法運用于經(jīng)濟

6、學(xué)領(lǐng)域的工作?？梢哉f， 諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎從1969年首次授予計量經(jīng)濟學(xué)的奠基人 RFrish （挪威，18951979） 和J Jinbergen （荷蘭，19031994）以來，就與數(shù)學(xué)結(jié)下了不解之緣。正如 瑞典著名的經(jīng)濟學(xué)家，后來的瑞典皇家科學(xué)院院長 E Lundberg在首屆頒獎儀式 上的講話所說： “過去四十年中， 經(jīng)濟科學(xué)日益朝著數(shù)學(xué)表達(dá)經(jīng)濟內(nèi)容和統(tǒng)計定量的方向發(fā)展。正是這條經(jīng)濟研究路線數(shù)理經(jīng)濟學(xué)和計量經(jīng)濟學(xué)， 表明了最近幾十年這個學(xué)科的發(fā)展?！?1997年 3月，1996年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者JamesMirrcless 在波蘭給數(shù)學(xué)家作了一次學(xué)術(shù)報告。主持人以幽默的方式介紹他時說：

7、 “諾貝爾獎沒有數(shù)學(xué)家的份， 不過， 數(shù)學(xué)家已找到了摘取諾貝爾桂冠的途徑那就是把自己變成經(jīng)濟學(xué)家！”這些講話都是相當(dāng)客觀而深刻的?？v觀世界各國發(fā)展的歷史特別是二戰(zhàn)結(jié)束以后，各國經(jīng)濟等領(lǐng)域的競爭突顯了數(shù)學(xué)這一競爭關(guān)鍵的作用。 當(dāng)今世界工業(yè)化國家的決策者們愈來愈把數(shù)學(xué)及其教育領(lǐng)域的變革，看作是經(jīng)濟增長的關(guān)鍵。作為國家經(jīng)濟競爭力在學(xué)術(shù)范圍的支持， 當(dāng)代經(jīng)濟學(xué)理論的數(shù)學(xué)化已經(jīng)是一個普遍的趨勢，這使我們想起馬克思在 150 多年前就提出的一句名言： “一門科學(xué)只有在成功地應(yīng)用數(shù)學(xué)時， 才算達(dá) 到了真正完善的地步”。由于所學(xué)知識有限，在這里我僅就經(jīng)濟學(xué)與數(shù)學(xué)的相互關(guān)系及數(shù)學(xué)在現(xiàn)代經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用談一點自己

8、膚淺的看法。一、經(jīng)濟學(xué)與數(shù)學(xué)之間的相互關(guān)系1 .數(shù)學(xué)經(jīng)濟學(xué)理論研究的理想工具早在古希臘時期，杰出的歷史學(xué)家色諾芬的財富增長思想中就包含了簡單的數(shù)量關(guān)系。他通過借助數(shù)學(xué)工具和統(tǒng)計資料來分析，模糊的意識到商品價格的波動是依供給和需求關(guān)系的變化而變化的。而到近代以來，經(jīng)濟學(xué)當(dāng)中的數(shù)學(xué)分析方法更是俯拾皆是。到邊際革命以后，數(shù)學(xué)當(dāng)中的各種新思想和方法更是大規(guī)模的涌入到經(jīng)濟學(xué)的分析中來，使得經(jīng)濟學(xué)變成一門愈來愈嚴(yán)密的學(xué)科。在經(jīng)濟競爭甚為激烈的現(xiàn)代，數(shù)學(xué)對經(jīng)濟學(xué)的發(fā)展起到了極大的推動作用，經(jīng)濟學(xué)理論越來越傾向于數(shù)學(xué)，成果也愈來愈數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用已是遍地開花。且經(jīng)濟學(xué)主要的研究對象，如勞動、資本、

9、人口、價值、貨幣、地租、投入、產(chǎn)出等都與數(shù)學(xué)有不可分的聯(lián)系。例如，如果沒有60 年代前后，最優(yōu)控制數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，Mirrcless 和 Vickrey 就不會因在不對稱信息條件下的經(jīng)濟激勵和控制問題所做出的貢獻(xiàn)而獲1996 年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。又如，現(xiàn)在人們公認(rèn)數(shù)學(xué)在管理科學(xué)和運籌學(xué)中有非常廣泛的應(yīng)用；現(xiàn)代社會科學(xué)的主要工具統(tǒng)計方法是建立在艱深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上的。數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用，產(chǎn)生了包括數(shù)理經(jīng)濟學(xué)、經(jīng)濟計量學(xué)、經(jīng)濟控制論、經(jīng)濟預(yù)測、經(jīng)濟信息等等分支。數(shù)學(xué)在這個龐大的數(shù)量經(jīng)濟學(xué)科群的表達(dá)經(jīng)濟理論方面，擁有難以替代的地位。不僅如此，商業(yè)數(shù)學(xué)、會計學(xué)、金融數(shù)學(xué)、投資數(shù)學(xué)、市場統(tǒng)計、營銷數(shù)學(xué)、經(jīng)

10、濟調(diào)控等眾多交叉學(xué)科大量涌現(xiàn)。從中我們可以看出數(shù)學(xué)工具已在經(jīng)濟學(xué)各領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用，有的還很精深，其中包括線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、非線性規(guī)劃、不動點原理、變分法、拓?fù)鋵W(xué)、概率論、數(shù)理統(tǒng)計、隨機過程、矩陣論、微分方程、混沌理論和分形理論等。對于經(jīng)濟理論家或一般經(jīng)濟工作者、經(jīng)營行為實施者，數(shù)學(xué)理論的重要意義還在于： 他們不應(yīng)僅僅是一個定性思維者，他們不能只滿足于粗線條的大致估計，他們必須同時是一位定量思維者。數(shù)學(xué)科學(xué)不僅幫助人們在經(jīng)營中獲利，而且給予人們以具體可操作的能力和深層經(jīng)濟決策能力，包括直觀思維、邏輯推理、精確計算結(jié)論及宏觀微觀決策等。2 .數(shù)學(xué)和經(jīng)濟學(xué)互相促進(jìn)，共同發(fā)展在經(jīng)濟現(xiàn)象中，數(shù)量關(guān)

11、系無處不在，像投入量、產(chǎn)出量、 成本、 效用、 價格、價值、利率、商品量、生產(chǎn)量、產(chǎn)值、利潤、消費量等等。在18 世紀(jì) , 瓦爾拉斯為了弄懂“邊際效用”專門去學(xué)習(xí)微積分 , 使他成為“邊際效用學(xué)派”的奠基人之一。 而數(shù)量經(jīng)濟學(xué)是在經(jīng)濟理論的分析基礎(chǔ)上，利用數(shù)學(xué)方法和計算技術(shù)，研究經(jīng)濟數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律的經(jīng)濟學(xué)科。數(shù)學(xué)發(fā)展的較早，已形成網(wǎng)狀知識體系。而經(jīng)濟學(xué)作為一門獨立學(xué)科發(fā)展較晚， 有許多理論還沒有完善。但在數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)隨時間共同發(fā)展的過程中，可以看出它們是相互促進(jìn)，共同發(fā)展的。一方面， 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)研究中起著重要作用。由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性及嚴(yán)密的邏輯性，所以它更容易沖破表面看到本質(zhì)聯(lián)系

12、，繼而抓住本質(zhì)，建立模型，使其對經(jīng)濟原理的解釋具有極大的幫助；另一方面經(jīng)濟現(xiàn)象的復(fù)雜性也不斷地向數(shù)學(xué)提出新的問題。推動著數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。研究經(jīng)濟現(xiàn)象要提出很多假設(shè)前提，數(shù)學(xué)模型不可能與現(xiàn)實經(jīng)濟完全一致，如張伯倫的壟斷競爭模型，正是這種不一致性成為數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉。由于這兩個方面，使得數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)在前進(jìn)中相互促進(jìn)、共同發(fā)展。從18世紀(jì)亞當(dāng)斯密提出“看不見的手”，到19世紀(jì)瓦爾拉斯提出“供需均衡” ，始終不可能解決一般經(jīng)濟均衡問題，因為證明一般經(jīng)濟均衡定理所需要的布勞維不動點定理是1911 年才給出的。事實上， 被阿羅和德布洛于1954年證明的特殊形式的一般經(jīng)濟均衡存在定理與布勞維不動點定理是等價的

13、。數(shù)學(xué)家與經(jīng)濟學(xué)家從不同的目的殊途同歸。二、數(shù)學(xué)在現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)研究中的作用1. 從理論研究角度看，借助數(shù)學(xué)模型至少有三個優(yōu)勢，即清晰、嚴(yán)密、深入。具體說來就是：第一，前提假定用數(shù)學(xué)語言描述既清晰明了又精煉，省去了分析文字所耗費的精力；第二， 邏輯推理嚴(yán)密精確，可以防止漏洞和謬誤；第三，可利用已有的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)定理推導(dǎo)新的結(jié)果，擯除一切瑣碎干擾，更深入的得到僅憑直覺無法或不易得出的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象之間更深層次的本質(zhì)聯(lián)系。運用數(shù)學(xué)模型討論經(jīng)濟問題，可以不走或少走彎路，將討論集中于前提假設(shè)、論證過程及模型原理問題上來，從而避免了許多無謂的爭執(zhí)，也使得在深層次上發(fā)現(xiàn)似乎不相關(guān)的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)變成可能。2

14、. 從實證研究角度看，使用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計方法的優(yōu)勢也至少有三：第一，以經(jīng)濟理論的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)發(fā)展出可用于定性和定量分析的計量經(jīng)濟模型；第二， 證據(jù)的數(shù)量化使得實證研究具有一般性和系統(tǒng)性；第三， 使用精致復(fù)雜的統(tǒng)計方法讓研究者從已有的數(shù)據(jù)中最大程度地汲取有用的信息。因此， 運用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計方法做經(jīng)濟學(xué)的實證研究可以把實證分析建立在理論基礎(chǔ)上，并從系統(tǒng)的數(shù)據(jù)中定量地檢驗理論假說和估計參數(shù)的數(shù)值。這就可以減少經(jīng)驗性分析中的表面化和偶然性，可以得出定量性結(jié)論，并分別確定它在統(tǒng)計和經(jīng)濟意義下的顯著程度。三、數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)應(yīng)用中的舉例宏觀經(jīng)濟學(xué)研究的是經(jīng)濟綜合指標(biāo)的控制，如研究失業(yè)、價格水平以及收支平衡的控制等

15、。1972年以來，承擔(dān)調(diào)整美國經(jīng)濟的政府機構(gòu)如聯(lián)邦儲備局等，以最優(yōu)控制方法，特別是線性二次方法為背景，提出了包括失業(yè)與通貨膨脹平衡的政策建議，對美國政府調(diào)整經(jīng)濟政策起了很大作用。利用控制理論和梯度法，人們還求解了南朝鮮經(jīng)濟的最優(yōu)計劃模型。美國、 加拿大、 智利等也有類似的經(jīng)濟模型，有力的促進(jìn)了這些國家的經(jīng)濟發(fā)展。微觀經(jīng)濟學(xué)中研究稀缺資源最合理配置的問題，很多時候都用到了高等數(shù)學(xué)的方法。 甚至有人說，微觀經(jīng)濟學(xué)就是半本數(shù)學(xué)書。它以單個經(jīng)濟主體的經(jīng)濟行為作為考察對象，包括價值理論、分配理論以及福利經(jīng)濟學(xué)等；它研究具體產(chǎn)品的數(shù)量、 產(chǎn)量、 相對價格以及質(zhì)量管理等具體經(jīng)濟活動。比如數(shù)理經(jīng)濟學(xué)亦是它的工

16、具之一，可以用數(shù)理統(tǒng)計中的“實驗設(shè)計”、 “質(zhì)量控制（QC） ”、 “多元分析”等來提高產(chǎn)品的質(zhì)量。如一家美國電視機制造公司被日本人買下，通過運用QC后，大大降低該公司的廢品率至 2%美國電話電報公司運用質(zhì)量控制 QC改進(jìn)自動化裝配線，生產(chǎn)率增加121%， 工作時間減少61%， 產(chǎn)品成功率從90%增到98%。再如一個國家外匯儲備規(guī)模究竟多大為宜，并沒有一個固定的衡量標(biāo)準(zhǔn)。我們可采取國際上多數(shù)學(xué)者所運用的三種方法進(jìn)行衡量：1. 外匯儲備與進(jìn)口的比率法； 2. 結(jié)合進(jìn)口支付與外債還本付息的比率法；3. 結(jié)合外商直接投資資金回流的綜合比率法。這些方法均運用了數(shù)學(xué)知識。雖然數(shù)學(xué)理論和方法已深深滲透于經(jīng)

17、濟學(xué)研究之中，但是我們還應(yīng)注意的是： 經(jīng)濟學(xué)是一門獨立的學(xué)科，數(shù)學(xué)是經(jīng)濟學(xué)者工具箱中的重要工具，但工具本身并不能創(chuàng)造理論。它為理論生動直觀地或需要定量地表達(dá)提供了可能的方式。過分強調(diào)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟學(xué)中的作用，只會使數(shù)學(xué)成為經(jīng)濟學(xué)的主人，使經(jīng)濟學(xué)失去作為社會科學(xué)的人文性和真正的科學(xué)性。我們應(yīng)克服以往忽視運用數(shù)學(xué)的缺陷，適當(dāng)增添經(jīng)濟數(shù)量的成份，但又要防止走上過度數(shù)學(xué)化的另一個極端。應(yīng)該把科學(xué)的定性分析與定量分析、人文精神與數(shù)理表達(dá)有機地結(jié)合起來?？v觀整個歷史，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)自古就已結(jié)下了不解之緣。從早先簡單的數(shù)量分析方法到后來的偏導(dǎo)數(shù)，以及后來的集合論、線性模型的概念，經(jīng)濟學(xué)中的數(shù)學(xué)可謂是

18、越來越廣博精深起來，數(shù)學(xué)方法已深深植入經(jīng)濟學(xué)研究的血液中。 在今天， 我們甚至?xí)驍?shù)學(xué)基礎(chǔ)不過關(guān)而無法看懂一些數(shù)理性較強的經(jīng)濟學(xué)論文。而數(shù)學(xué)本身作為一種強有力的分析工具，一種高效的推理語言，已成為嚴(yán)密邏輯和高度抽象的代名詞，其地位是任何文字推理所無法取代的?？梢哉f，數(shù)學(xué)使得經(jīng)濟學(xué)概念更加精確、清晰、明白、簡潔，提高了人們爭論時的效率。正如前所說，這里實際上顯示了用數(shù)學(xué)代替語言的兩個優(yōu)勢：簡單、清楚。數(shù)學(xué)引入經(jīng)濟學(xué)是大勢所趨，這一趨勢從每年頒布的諾貝爾獎獲得者的學(xué)術(shù)背景也可看出。除了極少數(shù)的例外，其他的經(jīng)濟學(xué)家都有深厚的數(shù)學(xué)功底。在這里， 我想引用茅于軾先生的話作為全文的結(jié)束語： “利用數(shù)學(xué)方法

19、研究復(fù)雜現(xiàn)象，不論其推演過程如何冗長，絲毫不會喪失其可靠性。而利用常識來推理，很快就會變得牽強附會，使人將信將疑，而這一點正是古典經(jīng)濟學(xué)中突出的一個弱點，由于數(shù)理經(jīng)濟學(xué)的建立，現(xiàn)在經(jīng)濟學(xué)家之間十分清楚他們的共同基礎(chǔ)是什么，萬一出現(xiàn)意見的分歧，沿著推理的思路逆流追朔，也很容易找到分歧的所在，能夠明確什么是需要進(jìn)一步研究的問題，這又使得討論問題和探索問題的效率大大提高。 其次， 由于數(shù)學(xué)方法的客觀性和嚴(yán)密性，當(dāng)將它應(yīng)用于經(jīng)濟現(xiàn)象的研究時一切先入為主的偏見都將被檢驗并暴露出來。有些我們認(rèn)為理所當(dāng)然，其實應(yīng)當(dāng)加以仔細(xì)檢驗的概念，數(shù)學(xué)將會幫助我們擺脫其影響。數(shù)學(xué)推理具有巨大的說服力，它能給人以信心。甚至

20、最頑固的成見，也會在嚴(yán)密的邏輯面前節(jié)節(jié)敗退。第三個原因是數(shù)學(xué)方法本身所提供的可能性。多變量微積分的理論特別適合于研究以復(fù)雜事物為對象的經(jīng)濟學(xué)。偏導(dǎo)數(shù)、 全導(dǎo)數(shù)、 全微分公式在數(shù)理經(jīng)濟學(xué)中是一些最基本的手段，當(dāng)這些表達(dá)一旦被賦予經(jīng)濟學(xué)的含義時，復(fù)雜的事物就變得如此之清晰可辨，以致用不著任何多余的文字說明。尤其是數(shù)學(xué)規(guī)劃理論可以說是為了經(jīng)濟學(xué)而創(chuàng)立的。它研究在滿足一系列約束之下能夠獲得極值的條件。經(jīng)濟學(xué)的任務(wù)也正是在遵守資源約束、生產(chǎn)技術(shù)約束的條件下，求得消費者效用的最大化。 ”國際經(jīng)濟與貿(mào)易是經(jīng)濟學(xué)研究的一個領(lǐng)域，數(shù)學(xué)在此之上的應(yīng)用將一如上述所說， 非常重要。它是我們學(xué)習(xí)和研究經(jīng)濟學(xué)不可或缺的好

21、助手。從某種意義上講，數(shù)學(xué)還可被看作經(jīng)濟學(xué)的“門檻”，翻越了這個“門檻”，我想這“皇后”王冠上的珍珠是有機會摘走的！參考文獻(xiàn)：中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部(王櫬坤院士執(zhí)筆)，今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用，數(shù)學(xué)通報1994 年第 7 期史樹中，諾貝爾經(jīng)濟獎與數(shù)學(xué)，中國數(shù)學(xué)會通訊，1997年第(1 , 2, 3, 4)期彭實戈，史樹中，倒向隨機微分方程和金融數(shù)學(xué)，科學(xué)，Vol.49 No.5 (1997 )史樹中，諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎與數(shù)學(xué)，中學(xué)生數(shù)學(xué)，2001年10月張效成、張陽、徐琰，經(jīng)濟類數(shù)學(xué)分析，天津大學(xué)出版社，2006年版F面是古文鑒賞，不需要的朋友可以下載后編輯刪除！謝謝！九歌湘君屈原朗誦：路英君不行兮夷猶，

22、蹇誰留兮中部I。 美要眇兮宜修，沛吾乘兮桂舟。 令沅湘兮無波，使江水兮安流。 望夫君兮未來，灰參差兮誰思。： 駕飛龍兮北征，擅吾道兮洞庭。薜荔柏兮蕙綢，左棱兮蘭旌。望涔陽兮極浦，橫大江兮揚靈。揚靈兮未極，女嬋媛兮為余太息。橫流涕兮潺漫，隱思君兮琲側(cè)。桂棹兮蘭枇，斫冰兮積雪。采薜荔兮水中，搴芙蓉兮木末。心不同兮媒勞，恩不甚兮輕絕。石漱兮淺淺，飛龍兮翩翩。交不忠兮怨長，期不信兮告余以不閑。朝騁鷲兮江皋，夕弭節(jié)兮北渚。她含著笑，切著冰屑悉索的蘿卜,她含著笑，用手掏著豬吃的麥糟，一她含著笑，扇著燉肉的爐子的火，她含著笑，背了團箕到廣場上去曬好那些大豆和小麥，J大堰河，為了生活，在她流盡了她的乳液之后，

23、她就用抱過我的兩臂，勞動了。大堰河，深愛著她的乳兒；在年節(jié)里，為了他，忙著切那冬米的糖，為了他，常悄悄地走到村邊的她的家里去，為了他，走到她的身邊叫一聲“媽”，大堰河，把他畫的大紅大綠的關(guān)云長貼在灶邊的墻上，大堰河，會對她的鄰居夸口贊美她的乳兒；大堰河曾做了一個不能對人說的夢：在夢里，她吃著她的乳兒的婚酒，坐在輝煌的結(jié)彩的堂上，而她的嬌美的媳婦親切的叫她“婆婆” 大堰河，深愛她的乳兒！大堰河，在她的夢沒有做醒的時候已死了。她死時，乳兒不在她的旁側(cè)，她死時，平時打罵她的丈夫也為她流淚，五個兒子，個個哭得很悲，她死時，輕輕地呼著她的乳兒的名字，大堰河，已死了，她死時，乳兒不在她的旁側(cè)。大堰河，含淚

24、的去了 ！同著四十幾年的人世生活的凌侮，同著數(shù)不盡的奴隸的凄苦，同著四塊錢的棺材和幾束稻草，同著幾尺長方的埋棺材的土地，同著一手把的紙錢的灰， 大堰河，她含淚的去了。這是大堰河所不知道的：她的醉酒的丈夫已死去，大兒做了土匪，第二個死在炮火的煙里，第三，第四，第五而我，我是在寫著給予這不公道的世界的咒語。當(dāng)我經(jīng)了長長的飄泊回到故土?xí)r，在山腰里，田野上，兄弟們碰見時，是比六七年鳥次兮屋上，水周兮堂下。捐余玦兮江中，遺余佩兮澧浦。采芳洲兮杜若，將以遺兮下女。時不可兮再得，聊逍遙兮容與。注釋湘君：湘水之神，男性。一說即巡視南方時死于蒼梧的舜。君：指湘君。夷猶：遲疑不決。蹇（jian3簡）：發(fā)語詞。洲：

25、水中陸地。要眇（miao3秒）：美好的樣子。宜修：恰到好處的修飾。沛：水大而急。桂舟：桂木制成的船。沅湘：沅水和湘水，都在湖南。無波：不起波浪。夫：語助詞。參差：高低錯落不齊，此指排簫，相傳為舜所造。飛龍：雕有龍形的船只。北征：北行。一|擅（zhanl沾）：轉(zhuǎn)變。洞庭：洞庭湖。（11）薜荔：蔓生香草。柏（bo2伯）：通“箔”，簾子。蕙：香草名。綢：帷帳。孤：香草，即石菖蒲。橫 （rao2饒）：短槳。蘭：蘭草：旌：旗桿頂上的飾物。涔（cen2岑）陽：在涔水北岸，洞庭湖西北。極浦：遙遠(yuǎn)的水邊。（22）媒：媒人。勞：徒勞。（23）甚：深厚。輕絕：輕易斷絕。（24）石漱：石上急流。淺（jianl間）淺

26、：水流湍急的樣子。（25）翩翩：輕盈快疾的樣子。（26）交：交往。（27）期：相約。不閑：沒有空閑。（28） it（zhaol招）：同“朝”，早晨。騁鷲（wu4務(wù)）：急行。皋：水旁高地。（29）弭（mi3米廣 停止。節(jié)：策，馬鞭。渚：水邊。(30)次：止息。(31)周：周流。(32)捐：拋棄。玦(juel決)：環(huán)形玉佩。(33)遺(yi2儀廣留下。佩：佩飾。醴(li3里)：澧水，在湖南，流入洞庭湖。(34)芳洲：水中的芳草地。杜若：香草名。(35)遺(wei4味)：贈予。下女：指身邊侍女。(36)聊：暫且。容與：舒緩放松的樣子。譯文君不行兮夷猶，神君遲疑猶豫徘徊不肯向前，蹇誰留兮中洲I? 你為

27、誰滯留在水中的島上呢？美要眇兮宜修，我容顏妙麗裝飾也恰倒好處，沛吾乘兮桂舟。急速地乘坐上我那桂木小舟。令沅、湘兮無波，叫沅湘之水柔媚得波瀾不生，一使江水兮安流。讓長江之水平靜地緩緩前行。望夫君兮未來,=盼望著你啊你為何還不到來，=吹參差兮誰思！吹起洞簫寄托我的思念之情！駕飛龍兮北征，用飛龍駕舟急速地向北行駛，擅吾道兮洞庭。 改變我的道路引舟直達(dá)洞庭。薜荔柏兮蕙綢，用薜荔做門簾用蕙草做床帳，孤?lián)腺馓m旌。以香芥裝飾船槳以蘭草為旗。望涔陽兮極浦，遙望涔陽啊在那遼遠(yuǎn)的水邊，橫大江兮揚靈。大江橫陳面前彰顯你的威靈。揚靈兮未極， 難道你的威靈彰顯還沒終止？女嬋媛兮為余太息！我心中為你發(fā)出長長的嘆息。橫流涕

28、兮潺漫，眼中的清淚似小溪潺潺流下，【隱思君兮徘側(cè)。暗地里思念你心中充滿悲傷。桂棹兮蘭枇， 想用桂木作成槳蘭木作成舵，斫冰兮積雪。劈開你堅冰積雪也似的情懷。采薜荔兮水中，卻似在水中采集陸生的薜荔，搴芙蓉兮木末。 更似爬樹梢采摘水生的芙蓉。心不同兮媒勞，兩心不相通讓媒妁徒勞無功，恩不甚兮輕絕。 恩愛不深切就會輕易的斷絕。石漱兮淺淺，留連著沙石灘上淺淺的流水，飛龍兮翩翩。等待著你駕著飛龍翩然降臨。交不忠兮怨長，你交情不忠徒增我多少幽怨，期不信兮告余以不間。既相約又失信卻說沒有時間。朝騁鷲兮江皋，早晨我駕車在江邊急急奔馳，夕弭節(jié)兮北渚。 晚間我停鞭在北岸灘頭休息。鳥次兮屋上， 眾鳥棲息在這空閑的屋頂上

29、，水周兮堂下。 空屋的四周有流水迂緩圍繞。捐余玦兮江中，將你贈的玉制扳指置于江中，遺余佩兮澧浦。 將你贈的玉佩放在澧水岸邊。采芳洲兮杜若，采來香草裝飾這芬芳的洲瀆，將以遺兮下女。 這一切都是你留給我的信物。時不可兮再得， 難道那往昔的時光不可再得， 聊逍遙兮容與。暫且慢步洲頭排除心中煩惱。賞析在屈原根據(jù)楚地民間祭神曲創(chuàng)作的九歌中， 湘君和湘夫人是兩首最富生活情 趣和浪漫色彩的作品。人們在欣賞和贊嘆它們獨特的南國風(fēng)情和動人的藝術(shù)魅力時，卻對湘君和湘夫人的實際身份迷惑不解，進(jìn)行了長時間的探討、爭論。從有關(guān)的先秦古籍來看，盡管楚辭的遠(yuǎn)游篇中提到“二女”和“湘靈”，山海經(jīng)中山經(jīng)中說“洞庭之山帝之二女居

30、之，是常游于江淵”，但都沒有像后來的注釋把湘君指為南巡道死的舜、把湘夫人說成追趕他而溺死湘水的二妃娥皇和女英的跡象。最初把兩者結(jié)合在一起的是 史記秦始皇本紀(jì)。書中記載秦始皇巡游至湘山（即今洞庭湖君山） 時，“上問博士日：湘君何神？博士對日：聞之，堯女，舜之妻，而葬此。后來劉向 的列女傳也說舜“二妃死于江、湘之間，俗謂之湘君”。這就明確指出湘君就是舜的兩個妃子，但未涉及湘夫人。到了東漢王逸為楚辭作注時，鑒于二妃是女性，只適合于湘 夫人，于是便把湘君另指為“湘水之神”。對于這種解釋。唐代韓愈并不滿意，他在黃陵廟碑中認(rèn)為湘君是娥皇，因為是正妃故得稱“君”；女英是次妃，因稱“夫人”。以后宋代洪興祖楚辭

31、補注、朱熹楚辭集注皆從其說。這一說法的優(yōu)點在于把湘君和湘夫人分 屬兩人，雖避免了以湘夫人兼指二妃的麻煩，但仍沒有解決兩人的性別差異，從而為詮釋作品中顯而易見的男女相戀之情留下了困難。有鑒于此，明末清初的王夫之在楚辭通釋中采取了比較通脫的說法，即把湘君說成是湘水之神， 把湘夫人說成是他的配偶， 而不再拘泥于按舜與二妃的傳說一一指實。應(yīng)該說這樣的理解，比較符合作品的實際，因而也比較可取。雖然舜和二妃的傳說給探求湘君和湘夫人的本事帶來了不少難以自圓的穿鑿附會，但是如果把這一傳說在屈原創(chuàng)作九歌時已廣為流傳、傳說與創(chuàng)作的地域完全吻合、湘夫人中又有“帝子”的字樣很容易使人聯(lián)想到堯之二女等等因素考慮在內(nèi)，則

32、傳說的某些因子如舜與二妃飄泊山川、 會合無由等，為作品所借鑒和吸取也并不是沒有可能的。因此既注意到傳說對作品可能產(chǎn)生的影響，又不拘泥于傳說的具體人事，應(yīng)該成為我們理解和欣賞這兩篇 作品的基點。由此出發(fā)，不難看出作為祭神歌曲， 湘君和湘夫人是一個前后相連的整體，甚 至可以看作同一樂章的兩個部分。這不僅是因為兩篇作品都以 “北渚”相同的地點暗中銜接，而且還由于它們的末段，內(nèi)容和語意幾乎完全相同，以至被認(rèn)為是祭祀時歌詠者的合唱（見姜亮夫屈原賦校注）。這首湘君由女神的扮演者演唱，表達(dá)了因男神未能如約前來而產(chǎn)生的失望、懷疑、 哀傷、埋怨的復(fù)雜感情。第一段寫美麗的湘夫人在作了一番精心的打扮后，乘著小船興致

33、勃勃地來到與湘君約會的地點，可是卻不見湘君前來，于是在失望中抑郁地吹起了哀怨的排簫。 首二句以問句出之，一上來就用心中的懷疑揭出愛而不見的事實，為整首歌的抒情作了明確的鋪墊。以下二句說為了這次約會， 她曾進(jìn)行了認(rèn)真的準(zhǔn)備， 把本已姣好的姿容修飾得恰到 好處，然后才駕舟而來。這說明她十分看重這個見面的機會，內(nèi)心對湘君充滿了愛戀。正是在這種心理的支配下， 她甚至虔誠地祈禱沅湘的江水風(fēng)平浪靜，能使湘君順利赴約。 然而久望之下，仍不見他到來， 便只能吹起聲聲幽咽的排簫，來傾吐對湘君的無限思念。這一段的描述，讓人看到了一幅望斷秋水的佳人圖。第二段接寫湘君久等不至， 湘夫人便駕著輕舟向北往洞庭湖去尋找，忙

34、碌地奔波在湖中江岸，結(jié)果依然不見湘君的蹤影。作品在這里把對湘夫人四出尋找的行程和她的內(nèi)心感受緊密地結(jié)合在一起。你看她先是駕著龍舟北出湘浦，轉(zhuǎn)道洞庭，這時她顯然對找到湘君滿懷希望；可是除了眼前浩渺的湖水和裝飾精美的小船外，一無所見；她失望之余仍不甘心，于是放眼遠(yuǎn)眺涔陽，企盼能捕捉到湘君的行蹤；然而這一切都毫無結(jié)果， 她的心靈便再次橫越大江，遍尋沅湘一帶的廣大水域，最終還是沒有找到。如此深情的企盼和如此執(zhí)著的追求，使得身邊的侍女也為她嘆息起來。正是旁人的這種嘆息，深深地觸動和刺激了湘夫人，把翻滾在她內(nèi)心的感情波瀾一下子推向了洶涌澎湃的高潮，使她止不住淚水縱橫，一想起湘君的失約就心中陣陣作痛。第三段

35、主要是失望至極的怨恨之情的直接宣泄。首二句寫湘夫人經(jīng)多方努力不見湘君之后，仍漫無目的地泛舟水中，那如劃開冰雪的船槳雖然還在擺動，但給人的感覺只是她行動的遲緩沉重和機械重復(fù)。接著用在水中摘采薜荔和樹上收取芙蓉的比喻，既總結(jié)以上追求不過是一種徒勞而已，同時也為后面對湘君“心不同”、“恩不甚”、“交不忠”、“期不信”的一連串斥責(zé)和埋怨起興。這是湘夫人在極度失望的情況下說出的激憤語，它在表面的絕情和激烈的責(zé)備中，深含著希望一次次破滅的強烈痛苦；而它的原動力，又來自對湘君無法回避的深愛，正所謂愛之愈深，責(zé)之愈切，它把一個大膽追求愛情的女子的內(nèi)心世界表現(xiàn)得淋漓盡 致。第四段可分二層。 前四句為第一層，補敘

36、出湘夫人浮湖橫江從早到晚的時間，并再次強調(diào)當(dāng)她兜了一大圈仍回到約會地“北渚”時，還是沒有見到湘君。從“捐余玦”至末為第二 層，也是整首樂曲的卒章。把玉環(huán)拋入江中。把佩飾留在岸邊，是湘夫人在過激情緒支配下做出的過激行動。以常理推測，這玉環(huán)和佩飾當(dāng)是湘君給她的定情之物。現(xiàn)在他既然不念前情，一再失約，那么這些代表愛慕和忠貞的信物又留著何用，不如把它們拋棄算了。這一舉動，也是上述四個“不”字的必然結(jié)果。讀到這里，人們同情惋惜之余，還不免多有遺憾。 最后四句又作轉(zhuǎn)折：當(dāng)湘夫人心情逐漸平靜下來， 在水中的芳草地上采集杜若準(zhǔn)備送給安慰 她的侍女時，一種機不可失、時不再來的感覺油然而生。于是她決定“風(fēng)物長宜放眼量”，從長計議，松弛一下繃緊的心弦，慢慢等待。這樣的結(jié)尾使整個故事和全首歌曲都余音裊裊， 并與篇首的疑問遙相呼應(yīng)，同樣給人留下了想像的懸念豐樂亭游春三首歐陽修朗誦：焦晃綠樹交加山鳥啼，晴風(fēng)蕩漾落花飛。 鳥歌花舞太守醉，明日酒醒春已歸。春云淡淡日輝輝，草惹行襟絮拂衣。 行到亭前逢太守，籃輿酩酊插花歸。紅樹青山日欲斜，長郊草色綠無涯。 游人不管春將盡，來往亭前踏落花。作者簡介歐陽修（10071072年）【注音】ouySgxi u,字永叔，自號醉翁，晚年號六一居士， 謚號文忠，世稱歐陽文忠公