試論數(shù)學(xué)的科學(xué)性及其特點與數(shù)學(xué)教學(xué)

1、試論數(shù)學(xué)的科學(xué)性及其特點與數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)是什么，數(shù)學(xué)的研究對象是什么，數(shù)學(xué)有什么特點，對于這些問題，一直都有討論和研究，許多學(xué)者發(fā)表了論述和觀點，并成為數(shù)學(xué)教育的熱門話題。確實，這些問題都既是重要的理論問題，也是重要的實踐問題，對于這些問題的不同回答，會對數(shù)學(xué)教育各個領(lǐng)域產(chǎn)生一定的影響，會影響編制怎樣的數(shù)學(xué)課程和教材，制訂怎樣的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，提倡怎樣的數(shù)學(xué)教學(xué)方法和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。本文對與此相關(guān)的問題作初步的探討。一、數(shù)學(xué)的科學(xué)性與數(shù)學(xué)教學(xué)1.1數(shù)學(xué)的研究對象和科學(xué)性數(shù)學(xué)的研究對象是什么？對這個問題，曾有各種不同的回答，也一直為我國數(shù)學(xué)教育界所重視，并加以討論研究。僅僅在莫里茲編撰的數(shù)學(xué)家言行錄中

2、，就列舉了幾十種關(guān)于數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)本性的描述：有的認為數(shù)學(xué)就是研究數(shù)量之間種種的度量關(guān)系，是為了發(fā)現(xiàn)表示種種數(shù)學(xué)規(guī)律的方程式；有的認為數(shù)學(xué)僅是關(guān)于數(shù)量關(guān)系的科學(xué)；有的認為，混合數(shù)學(xué)要研究諸如天文學(xué)、光學(xué)和力學(xué)之中的空間關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，而不包含直接經(jīng)驗的幾何或代數(shù)等則稱為純數(shù)學(xué)，等等。在此，我們僅考察作為幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展結(jié)晶的傳統(tǒng)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的主體和基本內(nèi)容來看數(shù)學(xué)的研究對象：算術(shù)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最初等的部分,它研究的對象是自然數(shù)以及自然數(shù)在加、減、乘、除、乘方、開方運算中的性質(zhì)、法則，在社會實踐中有極廣泛的應(yīng)用；初等代數(shù)主要包括有理數(shù)、實數(shù)及其運算，整式、分式和根式的運算和變形，解方程、方程組和不等

3、式，以及指數(shù)、對數(shù)運算，排列組合、二項式定理等；初等幾何研究直線、圓、平面等基本圖形的形狀、大小和相關(guān)位置關(guān)系；三角學(xué)以三角形的邊角關(guān)系為基礎(chǔ)，研究幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系及其在測量方面的應(yīng)用，并研究三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，中學(xué)數(shù)學(xué)主要學(xué)習(xí)其中與平面三角形相聯(lián)系的部分，即平面三角學(xué)；解析幾何借助于坐標(biāo)系用代數(shù)方法來研究一些簡單幾何圖形，例如直線、二次曲線、平面和二次曲面等的一門學(xué)科，被分為平面解析幾何與空間解析幾何兩個部分，中學(xué)數(shù)學(xué)以平面解析幾何為主要內(nèi)容。微積分學(xué)是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限等概念基礎(chǔ)上研究函數(shù)的微分、積分及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支；概率論研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律；統(tǒng)計學(xué)研究

4、怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷和預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議。中小學(xué)數(shù)學(xué)課程雖然與現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)前沿有很大的距離，但卻是現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)的基礎(chǔ)。“數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式。數(shù)與形，這兩個基本概念是整個數(shù)學(xué)的兩大柱石。整個數(shù)學(xué)就是圍繞著這兩個概念的提煉、演變與發(fā)展而發(fā)展的。數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域中千變?nèi)f化的應(yīng)用也是通過這兩個概念而進行的。社會的不斷發(fā)展，生產(chǎn)的不斷提高，為數(shù)學(xué)提供了無窮源泉與新穎課題，促使數(shù)與形的概念不斷深化，由此推動了數(shù)學(xué)的不斷前進，在數(shù)學(xué)中形成了形形式式、多種多樣的分支學(xué)科。這不僅使數(shù)學(xué)這一學(xué)科日益壯大，蔚為大

5、成，而且使數(shù)學(xué)的應(yīng)用也越來越廣泛與深入了?！边@里，吳文俊院士論述了數(shù)學(xué)的基本對象，同時也分析了數(shù)學(xué)的發(fā)展，很重要的是指出應(yīng)該從發(fā)展的觀點來認識數(shù)學(xué)的研究對象數(shù)與形。為什么說數(shù)學(xué)是一門科學(xué)？這就必須弄清科學(xué)的概念?？茖W(xué)概念有以下的幾層涵義：(1)科學(xué)是人類對客觀世界的認識，是反映客觀事實和規(guī)律的知識，它指出了自然界和社會現(xiàn)象間必然、本質(zhì)、穩(wěn)定和在一定條件下反復(fù)出現(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系，科學(xué)具有客觀真理性；(2)科學(xué)是反映客觀事實和規(guī)律的知識體系，知識單元的內(nèi)在邏輯特征和知識單元間的本質(zhì)聯(lián)系清楚了，建立起了一個完整的知識體系時才可以稱為科學(xué)，因而科學(xué)具有系統(tǒng)性。只是點點滴滴、互不聯(lián)系的知識還算不上科學(xué)；(3

6、)科學(xué)是一項反映客觀事實和規(guī)律的知識體系相關(guān)活動的事業(yè)，在人類實踐活動中起著重大作用。數(shù)學(xué)就是一門科學(xué)。(1) 數(shù)學(xué)的概念、定理、公式、法則都源于客觀現(xiàn)實世界，正確反映了客觀世界在數(shù)與形方面的規(guī)律性，數(shù)學(xué)結(jié)論經(jīng)歷了千錘百煉，被證明是經(jīng)受了人類長期實踐檢驗的客觀真理；(2) 數(shù)學(xué)已經(jīng)建立了嚴(yán)密的科學(xué)體系，就整個數(shù)學(xué)學(xué)科而言，可以分為若干分支學(xué)科，數(shù)學(xué)理論的建立在邏輯上具有嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)結(jié)論具有清楚性、確定性，不容半點疏忽馬虎；(3)數(shù)學(xué)理論在實踐活動中得到廣泛應(yīng)用，并在實踐活動中不斷豐富、發(fā)展。12數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)的教學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一個很重要的方面是應(yīng)該強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)是一門科學(xué)的教學(xué)。從這樣角度思考問題

7、，作為一門科學(xué)的教學(xué)，就要求我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中重視揭示數(shù)學(xué)與客觀現(xiàn)實的密切聯(lián)系,揭示數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性和真實性，揭示數(shù)學(xué)理論是怎樣從現(xiàn)實世界中得到并不斷發(fā)展；作為一門科學(xué)的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)就必須重視數(shù)學(xué)知識體系的系統(tǒng)性與邏輯性；作為一門科學(xué)的教學(xué)，就必須重視數(shù)學(xué)在實踐中巨大作用的教學(xué)，并重視數(shù)學(xué)探究活動過程的教學(xué)。下面著重就中學(xué)數(shù)學(xué)課程系統(tǒng)性問題作一探討。我國中學(xué)數(shù)學(xué)教育一直比較重視數(shù)學(xué)課程的系統(tǒng)性，根據(jù)一些重要的數(shù)學(xué)教學(xué)調(diào)查和國際數(shù)學(xué)教育比較的結(jié)論，長期以來我國中小學(xué)生數(shù)學(xué)成績好的主要原因中首先就是我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)性較強。怎樣使我國中學(xué)數(shù)學(xué)課程更加具有系統(tǒng)性，是我國中學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)該研究

8、的一個重要問題。數(shù)學(xué)各個分支學(xué)科之間有廣泛的聯(lián)系，并具有學(xué)科內(nèi)在統(tǒng)一性，但不可否認，數(shù)學(xué)不同分支具有各自不同的研究對象、各自的分支體系。高等學(xué)校數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)專業(yè)課程總是按照學(xué)科分支課程的形式呈現(xiàn)。初等數(shù)學(xué)中不同學(xué)科分支也具有一定的系統(tǒng)性，我國數(shù)學(xué)教育實踐經(jīng)驗告訴我們，數(shù)學(xué)內(nèi)容以分科形式呈現(xiàn)能夠比較清楚地把蘊涵的思想方法表達出來，學(xué)生也容易比較系統(tǒng)、深刻地學(xué)到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識基本技能和其中蘊含的思想方法，更好地加以掌握和運用?；仡櫸覈鴶?shù)學(xué)教育的歷史，為我國中學(xué)數(shù)學(xué)教育界稱道的一些中學(xué)數(shù)學(xué)教材也多釆取分科教學(xué)，并達到了較高的教學(xué)水平。良好的學(xué)科課程體系結(jié)構(gòu)是學(xué)生有良好認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。目前，高中數(shù)學(xué)新課

9、程的實施給我國的高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來了許多可喜的變化，高中數(shù)學(xué)課程大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)視野，教材內(nèi)容的廣度和深度都有了極大改觀，一些傳統(tǒng)內(nèi)容的處理讓人看到新的理念，高中數(shù)學(xué)課程釆用了模塊化的結(jié)構(gòu)設(shè)置，使教學(xué)更加具有靈活性。但另一方面，由于每個模塊課時的確定性，使教學(xué)內(nèi)容的選擇與安排受到模塊課時的限制，導(dǎo)致某些聯(lián)系很密切的教學(xué)內(nèi)容被安排到了不同的模塊，而同一模塊中教學(xué)內(nèi)容又未必聯(lián)系很密切，教學(xué)安排的邏輯脈絡(luò)不夠清楚，對于不同必修模塊的教學(xué)順序不作規(guī)定，就使實際教學(xué)產(chǎn)生一些困難，目前，對于這個問題老師們作了大量的研究，但仍沒有太好的辦法。根據(jù)教材試驗，教材的模塊化設(shè)計(尤其是必修模塊仍用模塊化設(shè)計的必要

10、性問題)和系統(tǒng)性問題成為老師們研究最多、反映較多、意見也較多的一個問題，某些教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)體系的變化導(dǎo)致了學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)能力的下降。例如，相當(dāng)數(shù)量的老師認為立體幾何中點線面的空間基本關(guān)系應(yīng)該先講，幾何體的體積、面積計算問題應(yīng)該移到立體幾何的后部，有些老師對于立體幾何的有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的教學(xué)順序作了調(diào)整，老師們希望教材更加有系統(tǒng)性。中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容中如初等代數(shù)（含三角函數(shù)）、立體幾何、解析幾何和概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識是高中學(xué)生應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，這些內(nèi)容應(yīng)該作為高中數(shù)學(xué)的必修內(nèi)容，按這些內(nèi)容本身的邏輯體系安排這些學(xué)科分支的教材內(nèi)容，并應(yīng)考慮教學(xué)內(nèi)容之間的互相聯(lián)系，而必修內(nèi)容則不必再設(shè)置模塊

11、，而是按照過去大綱教材一樣按學(xué)期確定教學(xué)內(nèi)容。在確定了必修內(nèi)容以后的其他內(nèi)容，如微積分的初步知識及目前的一些選修模塊的教學(xué)內(nèi)容，則可作為選修課程。這樣，既保證了課程的靈活性和選擇性，又兼顧了數(shù)學(xué)課程的必要的邏輯性和系統(tǒng)性，而教學(xué)內(nèi)容的學(xué)分可根據(jù)相應(yīng)教學(xué)內(nèi)容的分量等因素加以確定。應(yīng)該充分考慮數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在邏輯和聯(lián)系，構(gòu)建合理的知識體系，要充分考慮繼承經(jīng)過長時間教學(xué)試驗的、已經(jīng)比較成熟的體系結(jié)構(gòu)。目前高中數(shù)學(xué)新課程試驗中老師們在實際教學(xué)中對各部分內(nèi)容的教學(xué)順序作了許多研究，并作了部分調(diào)整(在一定程度上參考了傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容安排順序)。例如一些教學(xué)對比實驗發(fā)現(xiàn)，教學(xué)安排先講映射后講函數(shù)，學(xué)生對

12、函數(shù)概念的理解要好一些，這說明概念的不同安排順序必然會對學(xué)生掌握有關(guān)概念產(chǎn)生影響。當(dāng)然，在對于內(nèi)容體系結(jié)構(gòu)作慎重選擇后，對于內(nèi)容的呈現(xiàn)還必須符合時代發(fā)展需要。作為一門科學(xué)的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)，因為數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論的基本組成部分。要掌握數(shù)學(xué)理論，首先要弄清基本概念。對概念定義的敘述要釆取慎重的態(tài)度，如果沒有充分的理由和實質(zhì)性的改進，則不宜更新表述，而應(yīng)該考慮我國數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)的因素，避免引起不必要的混亂。另外，應(yīng)該注意概念體系的完整性。在新高中數(shù)學(xué)課程的試驗中，有相當(dāng)比例的老師反映，新課標(biāo)實驗教材中反函數(shù)概念講得不夠完整，應(yīng)該完整講述反函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系等，現(xiàn)在概

13、念沒有講清，學(xué)生就常對于概念提出許多問題。另外，傳統(tǒng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中反三角函數(shù)的最基本的內(nèi)容，包括基本的概念和性質(zhì)、定理、公式仍是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也仍應(yīng)該列入中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容。要掌握數(shù)學(xué)理論，首先要弄清基本概念。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中以下的概念是極其重要的：集合、映射、運算、函數(shù)、方程、向量、概率、抽樣、統(tǒng)計、概率，復(fù)數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分、極限，等等。作為一門科學(xué)的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)還必須重視數(shù)學(xué)科學(xué)中豐富蘊涵的科學(xué)思想和方法（其中某些一般科學(xué)方法），包括抽象、公理化、演繹、歸納、符號、算法、數(shù)形結(jié)合、坐標(biāo)、變換、優(yōu)化、統(tǒng)計、隨機，等等。13量化思想從數(shù)量關(guān)系角度來研究事物，使我們對于事物有數(shù)量上的把握，這就是

14、基本的數(shù)量意識。量是事物存在和發(fā)展的規(guī)模、程度、速度，以及事物構(gòu)成因素在空間上的排列等可以用數(shù)量表示的規(guī)定性。例如，物體的大小、質(zhì)量的疏密、運動的快慢、溫度的高低、顏色的深淺、物體的排列順序、生產(chǎn)力的發(fā)展水平和配置等等，都是事物的量的規(guī)定性。質(zhì)是和量相對應(yīng)的一個基本范疇，任何事物都是質(zhì)和量兩方面的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)研究的一個重要方面就是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系，凡是要研究量、量的關(guān)系、量的變化，量的關(guān)系的變化、量的變化的關(guān)系，就少不了數(shù)學(xué)。不僅如此，量的變化還有變化（如導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)），變化仍用量刻畫。對于客觀世界的描述大致可以分為定性的描述和定量的描述，而定性描述與定量描述又密不可分。數(shù)學(xué)研究的最基本

15、的問題是現(xiàn)實世界客觀存在的事物的多與少、大與小、位置及位置的變化、可能性大小，等等，這樣就產(chǎn)生了數(shù)以及表示數(shù)的字母，刻畫位置的坐標(biāo)，刻畫可能性的概率，以及進一步的方程、不等式、函數(shù)、曲線的方程和方程的曲線、隨機變量及其概率的分布、分布的函數(shù)，等等。解析幾何的基本思想是引入坐標(biāo)系從而借助于坐標(biāo)對于幾何對象作定量的研究，概率論則首先引入隨機變量，借助于隨機變量對隨機現(xiàn)象作量化的處理，從而達到對于隨機現(xiàn)象的研究。數(shù)學(xué)總是從量的方面來描述客觀世界的，把客觀事物進行量化的描述是數(shù)學(xué)的基本任務(wù)。所以，新高中數(shù)學(xué)課程提出了量化思想，這應(yīng)該作為一種重要數(shù)學(xué)思想在教學(xué)中加以認識和重視。二、數(shù)學(xué)科學(xué)的特點與中學(xué)數(shù)

16、學(xué)教學(xué) 一般認為，數(shù)學(xué)科學(xué)具有三個顯著特點，這就是抽象性，邏輯嚴(yán)密性，應(yīng)用廣泛性。數(shù)學(xué)的以上三個特點是互相聯(lián)系，互相影響，密不可分的，認識數(shù)學(xué)的以上特點，并注意在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中正確把握好數(shù)學(xué)的特點，具有重要意義。 2.1抽象性所謂抽象就是在思想中分出事物的一些屬性和聯(lián)系而撇開另一些屬性和聯(lián)系的過程。抽象有助于我們撇開各種次要的影響，抽取事物的主要的、本質(zhì)的特征并在“純粹的”形式中單獨地考察它們，從而確定這些事物的發(fā)展規(guī)律。數(shù)學(xué)以高度抽象的形式出現(xiàn)，首先是其研究的基本對象的高度抽象性。數(shù)學(xué)抽象最早發(fā)生于一些最基本概念的形成過程中，恩格斯對此作了極其精辟地論述：“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而

17、是從現(xiàn)實世界中得到來的。人們用來學(xué)習(xí)計數(shù)，也就是作第一次算術(shù)運算的十個指頭，可以是任何別的東西，但總不是知性的自由創(chuàng)造物。為了計數(shù)，不僅要有可以要有可以計數(shù)的對象，而且還要有一種在考察對象時撇開它們的數(shù)以外的其他一切特性的能力，而這種能力是長期以經(jīng)驗為依據(jù)的歷史發(fā)展的結(jié)果。和數(shù)的概念一樣，形的概念也完全是從外部世界得來的，而不是從頭腦中由純粹的思維產(chǎn)生出來的。必須先存在具有一定形狀的物體，把這些形狀加以比較，然后才能構(gòu)成形的概念。純數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，也就是說，以非常現(xiàn)實的材料為對象的。這種材料以極度抽象的形式出現(xiàn)，這只能在表面上掩蓋它來源于外部世界。但是，為了對這些形式和關(guān)

18、系能從它們的純粹形態(tài)來加以研究，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi)容作為無關(guān)緊要的東西放在一邊；這樣就得到?jīng)]有長寬高的點，沒有厚度和寬度的線，a和b與x和y，常數(shù)和變數(shù)；只是在最后才得到知性自身的自由創(chuàng)造物和想象物，即虛數(shù)?！睌?shù)的概念，點、線、面等幾何圖形的概念屬于最原始的數(shù)學(xué)概念。在原始概念的基礎(chǔ)上又形成有理數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)、函數(shù)、微分、積分、n維空間以至無窮維空間這樣一些抽象程度更高的概念。從數(shù)學(xué)研究的問題來看，數(shù)學(xué)研究的問題的原始素材可以來自任何領(lǐng)域，著眼點不是素材的內(nèi)容而是素材的形式，不相干的事物在量的側(cè)面，形的側(cè)面可以呈現(xiàn)類似的模式，比如代數(shù)的演算可以描述邏輯的推理以至計算機的運行；

19、流體力學(xué)的方程也可能出現(xiàn)在金融領(lǐng)域，數(shù)學(xué)強大的生命力就在于能夠把一個領(lǐng)域的思想經(jīng)過抽象過程的提煉而轉(zhuǎn)移到別的領(lǐng)域，純數(shù)學(xué)的研究成果常常能在意想不到的地方開花結(jié)果。有些外國數(shù)學(xué)家由于數(shù)學(xué)研究對象的抽象性，就認為數(shù)學(xué)是不知其所云為何物，這種認識是不妥的。數(shù)學(xué)科學(xué)的高度抽象性，決定數(shù)學(xué)教育應(yīng)該把發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力規(guī)定為其目標(biāo)。從具體事物抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的科學(xué)抽象過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。在培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力的過程中，應(yīng)該注意從現(xiàn)實實際事物中抽象出數(shù)學(xué)概念的提煉過程的教學(xué)，又要注意不使數(shù)學(xué)概念陷入某一具體原型的探討糾纏。例如，對于直線概念，就要從學(xué)生常見

20、并可以理解的實際背景，如拉緊的線，筆直的樹干和電線桿等事物中抽象出這個概念，說明直線概念是從許多實際原型中抽象出來的一個數(shù)學(xué)概念，但不要使這個概念的教學(xué)變成對直線的某一具體背景的探討。光是直線的一個重要實際原型，但如果對于直線概念的教學(xué)陷入到對于光的概念的探究，就會導(dǎo)致對直線概念糾緾不清。光的概念涉及了大量數(shù)學(xué)和物理的問題，牽涉了近現(xiàn)代幾何學(xué)與物理學(xué)的概念，其中包括對歐幾里得幾何第五公設(shè)的漫長研究歷史，非歐幾何的產(chǎn)生，以及光學(xué)，電磁學(xué)，時間，空間，從牛頓力學(xué)的絕對時空觀，到愛因斯坦的狹義相對論和廣義相對論，等等。試圖從光的實際背景角度去講直線的概念，陷入對于光的本質(zhì)的討論，就使直線的概念教學(xué)走

21、入歧途。應(yīng)該清楚，光不是直線唯一的實際原型，直線的實際原型是極其豐富的。在培養(yǎng)中學(xué)生的抽象思維能力方面，要注意的一個問題是應(yīng)根據(jù)中學(xué)生的年齡心理特點，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的抽象程度有所控制，過度抽象的內(nèi)容對普通中學(xué)生來說是不適宜的(如某些近代數(shù)學(xué)的概念)。另外，對于抽象概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該以抽象概念借以建立起來的大量具體概念作為前提和基礎(chǔ)，否則，具體知識準(zhǔn)備不夠，抽象概念就成為一個實際內(nèi)容不多的空洞的事物，學(xué)生對于學(xué)習(xí)這樣的抽象概念的重要性和必要性就會認識不足。2.2嚴(yán)密性所謂數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，就是要求對于任何數(shù)學(xué)結(jié)論，必須嚴(yán)格按照正確的推理規(guī)則，根據(jù)數(shù)學(xué)中已經(jīng)證明和確認的正確的結(jié)論(公理、定理、定律、法

22、則、公式等)，經(jīng)過邏輯推理得到。這就要求得到的結(jié)論不能有絲毫的主觀臆斷性和片面性。數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與數(shù)學(xué)的抽象性有緊密的聯(lián)系，正因為數(shù)學(xué)有高度的抽象性，所以它的結(jié)論是否正確，就不能像物理、化學(xué)等學(xué)科那樣，對于一些結(jié)論可以用實驗來加以確認，而是依靠嚴(yán)格的推理來證明；而且一旦由推理證明了結(jié)論，這個結(jié)論也就是正確的。數(shù)學(xué)科學(xué)具有普遍的嚴(yán)格邏輯性特點，而在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中則有許多非常典型的例子。例如，對于無限概念逐步深入的認識，畢達哥拉斯學(xué)派對于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，牛頓、萊布尼茲的微積分及其嚴(yán)格化，處處連續(xù)卻處處不可導(dǎo)的函數(shù)的構(gòu)造，集合論悖論的構(gòu)造，都很好地說明了數(shù)學(xué)的這種嚴(yán)格的風(fēng)格和精神。數(shù)學(xué)中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评硎沟妹?/p>

23、一個數(shù)學(xué)結(jié)論不可動搖。數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性是數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)的要求和保證，數(shù)學(xué)中的嚴(yán)格推理方法是廣泛需要并有廣泛應(yīng)用的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)結(jié)論，也強調(diào)讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)結(jié)論，知道數(shù)學(xué)結(jié)論是怎么證明的，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)科學(xué)的方法，包括其中豐富蕰涵的嚴(yán)格推理方法以及其他的思維方法。如果數(shù)學(xué)教學(xué)對于一些重要結(jié)論不講證明過程，就使教學(xué)價值大為降低。學(xué)生也常常因為對于一些重要而基本的數(shù)學(xué)結(jié)論的理解產(chǎn)生困難而不能及時得到教師的指導(dǎo)解惑而對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去興趣和信心。根據(jù)對于新高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的一些調(diào)查，新教材中對于某些公式的推導(dǎo)，某些內(nèi)容的講解方面過于簡單，不能滿足同學(xué)的學(xué)習(xí)要求，特別典型的立體幾何中的一些關(guān)系判定定理只給出

24、結(jié)論，不給出證明，方法上采用了實驗科學(xué)驗證實驗結(jié)論的方法進行操作確認，就與數(shù)學(xué)科學(xué)的精神和方法不一致，老師們的意見比較大，是目前數(shù)學(xué)教學(xué)實踐面臨的一個問題。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要目標(biāo)是教學(xué)生思維的過程與方法，讓學(xué)生充分認識數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性、科學(xué)性，發(fā)展嚴(yán)密的邏輯思維能力。嚴(yán)密性程度的教學(xué)把握當(dāng)然應(yīng)該貫徹因材施教的原則，根據(jù)學(xué)生和教學(xué)實際作調(diào)適，數(shù)學(xué)教材（包括在教師教學(xué)用書中）可提供嚴(yán)密程度不同的教學(xué)方案，備作選擇和參考。例如，對于平面幾何中的平行線分線段成比例定理，在實際教學(xué)中就可以根據(jù)教學(xué)實際情況采用三種不同的教學(xué)方案，第一種是初中數(shù)學(xué)教材(如人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編寫的)普遍采用的，即從特殊

25、的情形作說理，不加證明把結(jié)論推廣到一般情形；第二種是用面積方法來得到定理的證明(如人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編寫的的證明方法)；第三種則分別就比值是有理數(shù)、無理數(shù)的不同情況來加以證明，是嚴(yán)密性要求較高，對學(xué)生的思維能力要求也較高的一種教學(xué)方案(如前蘇聯(lián)的某些初中數(shù)學(xué)教材的教學(xué)要求)?？梢钥隙ǎL期不同程度的教學(xué)要求的差異也自然導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)能力的較大差異。從培養(yǎng)人才的角度認識，當(dāng)然應(yīng)該為不同的學(xué)生設(shè)計不同的教學(xué)方案，才能有利于學(xué)生得到充分的發(fā)展。此外，數(shù)學(xué)科學(xué)中邏輯的嚴(yán)密性不是絕對的，在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中嚴(yán)密性的程度也是逐步加強的，例如歐幾里得的幾何原本曾經(jīng)被作為邏輯嚴(yán)密性的一個典范，但后人也發(fā)現(xiàn)其中

26、存在不嚴(yán)格，證明過程中也常常依賴于圖形的直觀。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的問題上，要注意嚴(yán)密的適度性問題。在這方面，我國中學(xué)數(shù)學(xué)教材工作者和廣大教師在初等數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)處理上作了許多研究，許多處理方式反映了中學(xué)生的認識水平，具有重要價值，例如，中學(xué)代數(shù)教學(xué)中許多運算性質(zhì)的教學(xué)，其邏輯嚴(yán)格性不可能達到作為科學(xué)意義下數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)格程度，一直以來的處理方法是基本合理的。此外，在數(shù)學(xué)教學(xué)上追求邏輯上的嚴(yán)密性需要有教學(xué)時間的保證，中學(xué)生學(xué)習(xí)時間有限。目前，在實施高中數(shù)學(xué)新課程以后，各地實際教學(xué)反映教學(xué)內(nèi)容多而課時緊的矛盾比較突出，教學(xué)中適當(dāng)?shù)販p少了一些對中學(xué)生來說比較抽象，或難度較大，或綜合性

27、較強的教學(xué)內(nèi)容，使教學(xué)時間比較充裕以利于學(xué)生消化吸收知識。在目前的高中數(shù)學(xué)新課程試驗中，教學(xué)內(nèi)容的量怎樣才比較合理，讓一部分高中學(xué)生能夠?qū)W得了的新增的數(shù)學(xué)選修課內(nèi)容(尤其是選修系列四的部分專題)切實得到實施，以貫徹落實新高中課程的多樣性和選擇性，也是值得繼續(xù)探討的重要問題。與此相關(guān)的一個問題，數(shù)學(xué)教學(xué)要處理好過程與結(jié)果的關(guān)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基本而重要的目標(biāo)是會解決各種問題，過分地強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)中的邏輯與證明又會導(dǎo)致知識面不寬，以致對于許多影響深遠、應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)方法了解不夠。這說明，數(shù)學(xué)教育一方面應(yīng)該重視邏輯思維能力的培養(yǎng)，還應(yīng)該重視科學(xué)精神的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會。就數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)格性和嚴(yán)密性，嚴(yán)格

28、和嚴(yán)密的態(tài)度是需要的，但是，在一些特定的教學(xué)階段，只要不導(dǎo)致邏輯思維能力的降低，不影響學(xué)生對于結(jié)論的理解，對于某些類同的數(shù)學(xué)定理的證明應(yīng)該可以省略，這應(yīng)該不會影響數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。再一個問題，在我們強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)過程的同時，不能混淆教材編制與課堂教學(xué)之間的界線。一方面，教材編制應(yīng)該有利于老師組織教學(xué)，考慮為老師們優(yōu)化教學(xué)過程提供設(shè)計的方案，另一方面，老師的實際教學(xué)本身是對教材使用的再創(chuàng)造，必須有一個研究教材，能動地設(shè)計符合學(xué)生實際的合理教學(xué)方案的過程。教材不能過分地引導(dǎo)甚至去限定實際教學(xué)方法，更不必把實際教學(xué)過程都予以呈現(xiàn)。數(shù)學(xué)教材有必要為學(xué)生的學(xué)習(xí)鉆研以及老師的教學(xué)留有空間和余

29、地，所謂讓學(xué)生把數(shù)學(xué)書 “讀厚”， 教師教學(xué)參考書則應(yīng)該為老師的教學(xué)提供建議和幫助。讓教與學(xué)有一個從薄到厚，從厚到薄的過程，這是教好數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的一個必要的過程。另外，強調(diào)在數(shù)學(xué)教學(xué)中要講過程，很重要的方面是針對的是在實際課堂教學(xué)中讓學(xué)生簡單記憶背誦數(shù)學(xué)結(jié)論而不重視數(shù)學(xué)結(jié)論的來龍去脈的教學(xué)的問題和現(xiàn)象。作為數(shù)學(xué)教科書，應(yīng)該提倡簡明扼要，經(jīng)得起學(xué)生對于教科書的推敲和研究。其他科學(xué)工作為了證明自己的論斷常常求助于實驗，而數(shù)學(xué)則依靠推理和計算來得到結(jié)論。計算是數(shù)學(xué)研究的一種重要途徑，所以，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)量觀念和運算能力?，F(xiàn)在的計算工具更加先進，還可以借助于大型的計算系統(tǒng)，這使計算能力

30、可以大大加強。新的高中數(shù)學(xué)課程增設(shè)了算法的內(nèi)容，充實了概率統(tǒng)計、數(shù)據(jù)處理的內(nèi)容，在高中技術(shù)課程中又增加了“算法與程序設(shè)計”模塊，這體現(xiàn)了計算機和信息時代對于培養(yǎng)運算能力的新要求。從目前中學(xué)數(shù)學(xué)實際教學(xué)情況看，算法內(nèi)容的教學(xué)由于技術(shù)條件的限制而存在落實不夠的情況，應(yīng)該解決教學(xué)中存在的實際困難，如算法在計算機上真正實現(xiàn)運算，使教學(xué)落到實處，這就涉及計算機語言的問題，但在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中直接引入計算機程序設(shè)計語言又似乎使中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容過于技術(shù)化和專門化，這是值得研究的一個問題。2.3應(yīng)用廣泛性在日常生活、工作和生產(chǎn)勞動以及科學(xué)研究中，數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的問題是普遍存在的，數(shù)學(xué)應(yīng)用具有普遍性。數(shù)

31、學(xué)這門歷史悠久的學(xué)科，在第二次世界大戰(zhàn)以來出現(xiàn)了空前的繁榮。在各分支的研究取得重大突破的同時，數(shù)學(xué)各分支之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的新的聯(lián)系不斷涌現(xiàn)，更顯著地改變了數(shù)學(xué)科學(xué)的面貌。而意義最為深遠的是數(shù)學(xué)在社會生活的作用的革命性變化，尤為顯著的是在技術(shù)領(lǐng)域，隨著計算機的發(fā)展，數(shù)學(xué)滲入各行各業(yè)，并且物化到各種先進設(shè)備中。從衛(wèi)星到核電站，從天氣預(yù)報到家用電器，高技術(shù)的高精度、高速度、高自動、高安全、高質(zhì)量、高效率等特點，無一不是通過數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計算機的計算控制來實現(xiàn)的。計算機軟件技術(shù)在高技術(shù)中占了很大比重，而軟件技術(shù)說到底實際上就是數(shù)學(xué)技術(shù)。數(shù)字式電視系統(tǒng)，先進民航飛機的全數(shù)字化開發(fā)過程，

32、大量的例子說明了，在世界范圍數(shù)學(xué)已經(jīng)顯示出第一生產(chǎn)力的本性，她不但是支撐其他科學(xué)的“幕后英雄”，也直接活躍在技術(shù)革命第一線。數(shù)學(xué)對于當(dāng)代科學(xué)也是至關(guān)重要的，各門學(xué)科越來越走向定量化，越來越需要用數(shù)學(xué)來表達其定量和定性的規(guī)律。計算機本身的產(chǎn)生和進步就強烈地依賴于數(shù)學(xué)科學(xué)的進展。幾乎所有重要的學(xué)科，如在名稱前面加上“數(shù)學(xué)”或“計算”二字，就是現(xiàn)有的一種國際學(xué)術(shù)雜志的名字，這表明大量的交叉領(lǐng)域不斷涌現(xiàn)，各學(xué)科正在充分利用數(shù)學(xué)方法和成就來加速本學(xué)科的發(fā)展。關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性問題，哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)物理教授阿瑟杰佛（Arthur Jaffe）在著名的長篇論文整理出宇宙的秩序數(shù)學(xué)的作用(此文是美國國家研究委員

33、會的報告進一步繁榮美國數(shù)學(xué)的一個附錄)中作了精辟的論述，他充分肯定了數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會中的重要作用：“在過去的四分之一世紀(jì)中，數(shù)學(xué)和數(shù)理技術(shù)已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)中去，并成為其中不可分割的組成部分。在現(xiàn)今這個技術(shù)發(fā)達的社會里，掃除數(shù)學(xué)盲的任務(wù)已經(jīng)替代了昔日掃除文盲的任務(wù)而成為當(dāng)今教育的重要目標(biāo)。人們可以把數(shù)學(xué)對于我們社會的貢獻比喻成空氣和食物對于生命的作用。事實上，可以說，我們大家都生活在數(shù)學(xué)的時代我們的文化已經(jīng)數(shù)學(xué)化。在我們周圍，神通廣大的計算機最能反映出數(shù)學(xué)的存在，若要把數(shù)學(xué)研究對我們社會的實用價值寫出來，并說明一些具體的數(shù)學(xué)思想怎樣影響這一世界，那就可以寫出幾部書來?！彼赋觯骸埃?）高明

34、的數(shù)學(xué)不管怎么抽象，它在自然界中最終必能得到實際的應(yīng)用；（2）要準(zhǔn)確地預(yù)測一個數(shù)學(xué)領(lǐng)域到底在那些地方有用場不可能的?！庇性S多數(shù)學(xué)家常常對自己的思想得到的應(yīng)用感到意外。例如，英國數(shù)學(xué)家哈代（GHHardy）研究數(shù)學(xué)純粹是為了追求數(shù)學(xué)的美，而不是因為數(shù)學(xué)有什么實際用處，他曾自信地聲稱數(shù)論不會有什么實際用處，但四十年后質(zhì)數(shù)的性質(zhì)成了編制新密碼的基礎(chǔ)，抽象的數(shù)論僅與國家安全發(fā)生了緊密關(guān)系?！坝嬎銠C科學(xué)家報告說每一點數(shù)學(xué)都以這樣或那樣的方式在實際應(yīng)用中幫了忙，物理學(xué)家則對于數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中異乎尋常的有效性贊嘆不已。”其次，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該注意培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，這已經(jīng)成為我國數(shù)學(xué)教育界的共識。但應(yīng)該注意的另一方面，數(shù)學(xué)的應(yīng)用極其廣泛，在中小學(xué)有限時間內(nèi)，介紹數(shù)學(xué)應(yīng)用就必須把握好度。數(shù)學(xué)的應(yīng)用具有極端的廣泛性，任何一個數(shù)學(xué)概念、定理、公式、法則都有極廣的應(yīng)用。而過量和過度的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)必然影響數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的教學(xué)，而削弱基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)又將導(dǎo)致數(shù)學(xué)應(yīng)用的削弱。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，重在讓學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)在某些領(lǐng)域中的應(yīng)用，認識數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值從而重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。另外，數(shù)學(xué)的應(yīng)用也不僅限于具體知識的實際應(yīng)用，很重要的是一些數(shù)學(xué)觀念和思想在實際工作中的運用。中小學(xué)