[原創(chuàng)]人教版高中數(shù)學復習學(教)案(第4講)函數(shù)的概念與表示

1、題目 第二章函數(shù)函數(shù)的概念與表示高考要求 1了解映射的概念,在此基礎上加深對函數(shù)概念的理解；2能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)；3理解分段函數(shù)的意義通過對分段定義函數(shù)，復合函數(shù)，抽象函數(shù)等的認識，進一步體會函數(shù)關系的本質(zhì)，進一步樹立運動變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛運用打好基礎4. 克服“函數(shù)就是解析式”的片面認識，真正明確不僅函數(shù)的對應法則，而且其定義域都包含著對函數(shù)關系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導5. 函數(shù)的概念是復習函數(shù)全部內(nèi)容和建立函數(shù)思想的基礎，不能僅滿足會背誦定義，會做一些有關題目，要從聯(lián)系、應用的角度求得理解上的深度，還要對確定函數(shù)三要素

2、的類型、方法作好系統(tǒng)梳理，這樣才能進一步為綜合運用打好基礎復習的重點是求得對這些問題的系統(tǒng)認識，而不是急于做過難的綜合題知識點歸納 函數(shù)是一種特殊的映射,而映射是一種特殊的對應；函數(shù)的三要素中對應法則是核心，定義域是靈魂函數(shù)有二種定義，一是變量觀點下的定義，一是映射觀點下的定義復習中不能僅滿足對這兩種定義的背誦，而應在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關系，兩個函數(shù)關系是否相同等問題中得到深化，更應在有關反函數(shù)問題中正確運用1.函數(shù)的定義：設A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作

3、y=f（x），xA，其中x叫做自變量.x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x）|xA叫做函數(shù)的值域.2.兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f.當函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定.因此，定義域和對應法則為函數(shù)的兩個基本條件，當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).3.映射的定義：一般地，設A、B是兩個集合，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么，這樣的對應（包括集合A、B，以及集合A到集合B的對

4、應關系f）叫做集合A到集合B的映射，記作f:AB.由映射和函數(shù)的定義可知，函數(shù)是一類特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數(shù)集.4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一個元素都有象;(2)B中每一個元素不一定都有原象，不一定只一個原象；(3)A中每一個元素的象唯一。5分段函數(shù)：（舉一例）。6復合函數(shù)：若y=f(u),u=g(x),xÎ(a,b),uÎ(m,n),那么y=fg(x)稱為復合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。題型講解 例1設集合，如果從到的映射滿足條件：對中的每個元素與它在中的象的和都為奇數(shù)，則映射的個數(shù)是（ ）A.8個 B.12個 C.1

5、6個 D.18個解：為奇數(shù)，當為奇數(shù)、時，它們在中的象只能為偶數(shù)、或，由分步計數(shù)原理和對應方法有種；而當時，它在中的象為奇數(shù)或，共有種對應方法故映射的個數(shù)是故選D.例2 集合A=3，4，B=5，6，7，那么可建立從A到B的映射個數(shù)是_，從B到A的映射個數(shù)是_.解：從A到B可分兩步進行：第一步A中的元素3可有3種對應方法（可對應5或6或7），第二步A中的元素4也有這3種對應方法.由乘法原理，不同的映射種數(shù)N13×39.反之從B到A，道理相同，有N22×2×28種不同映射.答案：9 8例3 A=1，2，3，4，5，B=6，7，8從集合A到B的映射中滿足f（1）f（2）

6、f（3）f（4）f（5）的映射有（ ）A.27 B.9 C.21 D.12解：（1）當全是等號時，（即與B中的一個元素對應），則f有C個; （2）有一個不等號時的映射（即與B中的兩個元素對應），f有C·C=12個; （3）有二個不等號的映射，f有C·C=6個。所以共有3+12+6=21個，答案選C。另一種解釋法：將元素1，2，3，4，5按照從小到大的順序串成一串之間有4個節(jié)點。若只有一個象就讓這一串整體對應有C3種方法；若恰有兩個象就將這一串分為兩段，并按照大小順序?qū)蠧·C12種方法；若恰有三個象就將這一串分為三段，并按照大小順序?qū)蠧·C6種

7、方法。根據(jù)分類計數(shù)原理，共有3+12+6=21個映射。故選C。例4 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1.剖析：對于兩個函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當且僅當它們的定義域、值域、對應法則都相同時，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù).若兩個函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然.解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù).（2）由于函數(shù)f（

8、x）=的定義域為（，0）（0，+），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數(shù).（3）由于當nN*時，2n±1為奇數(shù)，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù).（4）由于函數(shù)f（x）=的定義域為x|x0，而g（x）=的定義域為x|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù).（5）函數(shù)的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數(shù).評述：（1）第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對函數(shù)的概念理解不透.要知道，在函數(shù)的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達式，這對于函數(shù)本身并

9、無影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數(shù).（2）對于兩個函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù).例5某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，一直分裂下去（） 用列表表示，1個細胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的細胞個數(shù)；（）用圖像表示1個細胞分裂的次數(shù)n(nÎN)與得到的細胞個數(shù)y之間的關系；解：（） 利用正整指數(shù)冪的運算法則，可以算出1個細胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的細胞個數(shù)，列表如下分裂次數(shù)12345678細胞個數(shù)248163264128256

10、（）細胞個數(shù)y與分裂次數(shù)n之間的關系式是y2n，nÎN變式：一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒，開機時占據(jù)內(nèi)存KB，然后每分鐘自身復制一次，復制后所占內(nèi)存是原來的倍，那么開機后經(jīng)過 _ 分鐘，該病毒占據(jù)MB內(nèi)存（MB=KB）.例6試構(gòu)造一個函數(shù)，使得對一切有恒成立，但是既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，則可以是 .解：的圖像部分關于原點對稱，部分關于軸對稱，如 點評本題是一道開放題，你能給出其它的答案嗎？請不妨一試例7某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術水平的限制，會產(chǎn)生一些次品根據(jù)經(jīng)驗知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率與日產(chǎn)量（件）之間大體滿足關系： （其中c為小于96的正常數(shù)）注：次品率，如表示

11、每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品其余為合格品已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（1）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額（元）表示為日產(chǎn)量（件）的函數(shù)；（2）當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？解：（1）當時，所以，每天的盈利額;當時，所以，每日生產(chǎn)的合格儀器約有件，次品約有件故，每天的盈利額.綜上，日盈利額（元）與日產(chǎn)量（件）的函數(shù)關系為：（2）由（1）知，當時，每天的盈利額為0當時，令，則故 當且僅當，即時，等號成立所以（i）當時，（等號當且僅當時成立）（ii） 當時，由得，易證函數(shù)在上單調(diào)遞增（證明過程略）所以，所以，即（等號當且僅當時取得）

12、綜上，若，則當日產(chǎn)量為88件時，可獲得最大利潤；若，則當日產(chǎn)量為時，可獲得最大利潤點評分段函數(shù)是歷年高考的熱門話題，常考常新，值得我們在復課時認真對待例8 矩形的長，寬，動點、分別在、上，且，（1）將的面積表示為的函數(shù)，求函數(shù)的解析式；（2）求的最大值解：（1），函數(shù)的解析式：；（2）在上單調(diào)遞增，即的最大值為例9 函數(shù)對一切實數(shù)，均有成立，且，（1）求的值；（2）對任意的，都有成立時，求的取值范圍解：（1）由已知等式，令，得，又，（2）由，令得，由（1）知，在上單調(diào)遞增，要使任意，都有成立，當時，,顯然不成立當時，解得的取值范圍是學生練習 題組一：1.設集合A=R，集合B=正實數(shù)集，則從集合

13、A到集合B的映射f只可能是A.f:xy=|x|B.f:xy=C.f:xy=3xD.f:xy=log2（1+|x|）解析：指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+），所以f是xy=3x.答案：C2.設M=x|2x2，N=y|0y2，函數(shù)f（x）的定義域為M，值域為N，則f（x）的圖象可以是解析：A項定義域為2，0，D項值域不是0，2，C項對任一x都有兩個y與之對應，都不符.故選B.答案：B3.已知函數(shù)f（x）=lg，若f（a）=b，則f（a）等于A.b B.b C. D. 解析：f（a）=lg=lg=f（a）=b.答案： B4.函數(shù)y=的定義域是A.，1）（1，B.（，1）（1，）C.2，1）（1，

14、2D.（2，1）（1，2）解析：x1或1x.y=的定義域為，1）（1，.答案：A5.若函數(shù)f（x）=loga（x+1）（a0，a1）的定義域和值域都是0，1，則a等于A. B. C. D.2解析：f（x）=loga（x+1）的定義域是0，1，0x1，則1x+12.當a1時，0=loga1loga（x+1）loga2=1，a=2；當0a1時，loga2loga（x+1）loga1=0，與值域是0，1矛盾.綜上，a=2.答案：D6.設集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，則在映射f下，象20的原象是A.2 B.3 C.4 D.5解析：由2nn20求n

15、，用代入法可知選C.答案：C7.某種型號的手機自投放市場以來，經(jīng)過兩次降價，單價由原來的2000元降到1280元，則這種手機平均每次降價的百分率是A.10%B.15%C.18%D.20%解析：設降價百分率為x%，2000（1x%）2=1280.解得x=20.答案：D8.設函數(shù)f（x）=則使得f（x）1的自變量x的取值范圍為A.（，20，10B.（，20，1C.（，21，10D.2，01，10解析：f（x）是分段函數(shù)，故f（x）1應分段求解.當x1時，f（x）1（x+1）21x2或x0，x2或0x1.當x1時，f（x）1413x10，1x10.綜上所述，x2或0x10.答案：A9.已知f（x）=

16、則不等式xf（x）+x2的解集是_.解析：x0時，f（x）=1，xf（x）+x2x1，0x1；當x0時，f（x）=0，xf（x）+x2x2，x0.綜上x1.答案：x|x110.已知函數(shù)y=logx與y=kx的圖象有公共點A，且A點的橫坐標為2，則k的值等于A.B.C.D.解析：由點A在y=logx的圖象上可求出A點縱坐標y=log2=.又A（2，）在y=kx圖象上，=k·2，k=.答案：A11.如圖，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點（起點）向A點（終點）移動，設P點移動的路程為x，ABP的面積為y=f（x）. （1）求ABP的面積與P移動的路程間的函數(shù)關系

17、式；（2）作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值.解：（1）這個函數(shù)的定義域為（0，12）.當0x4時，S=f（x）=·4·x=2x；當4x8時，S=f（x）=8；當8x12時，S=f（x）=·4·（12x）=2（12x）=242x.這個函數(shù)的解析式為f（x）= （2）其圖形如右， 由圖知，f（x）max=8.12.若f :y=3x+1是從集合A=1，2，3，k到集合B=4，7，a4，a2+3a的一個映射，求自然數(shù)a、k的值及集合A、B.解：f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（

18、k）=3k+1，由映射的定義知（1）或（2） aN，方程組（1）無解.解方程組（2），得a=2或a=5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.A=1，2，3，5，B=4，7，10，16.13.如果函數(shù)f（x）=（x+a）3對任意xR都有f（1+x）=f（1x），試求f（2）+ f（2）的值.解：對任意xR，總有f（1+x）=f（1x），當x=0時應有f（1+0）=f（10），即f（1）=f（1）.f（1）=0.又f（x）=（x+a）3，f（1）=（1+a）3.故有（1+a）30a=1.f（x）=（x1）3.f（2）+f（2）=（21）3（21）313（3）326.14.集合M=a，b，c，

19、N=1，0，1，映射f:MN滿足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:MN的個數(shù)是多少？解：f（a）N，f（b）N，f（c）N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，有0+0+0=0+1+（1）=0.當f（a）=f（b）=f（c）=0時，只有一個映射；當f（a）、f（b）、f（c）中恰有一個為0，而另兩個分別為1，1時，有C·A=6個映射.因此所求的映射的個數(shù)為1+6=7.題組二：1設f：A®B是從A到B的一個映射，其中A=B=(x,y)|xÎR,yÎR,f：(x,y)®(x+y,xy),則A中(1,-2)的象是 ，B中(1,-2)的原象是 2設集合A=-1，0，1，B=2，3，4，5，6，映射A&#