數(shù)學思維方法(共10頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第一章數(shù)學思想方法概述1數(shù)學思維方法將思維、數(shù)學思維、數(shù)學發(fā)展中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、創(chuàng)新的思維過程作為自己的研究對象。2思維是人腦借助于語言對客觀事物的本質及其規(guī)律的間接與概括的反映。3思維的特征：方向性，概括性、間接性4數(shù)學思想方法的兩個源頭：歐幾里得幾何原本和古代中國九章算術5數(shù)學思想方法的發(fā)展概述：從算術到代數(shù)是數(shù)學思想方法的一次重大發(fā)展。從綜合幾何到代數(shù)幾何是數(shù)學思想的一次質的飛躍。從常量數(shù)學到變量數(shù)學是數(shù)學思想方法的一次根本變革。從必然數(shù)學到或然數(shù)學是數(shù)學思想方法的一次深刻變革。從明晰數(shù)學到模糊數(shù)學是數(shù)學思想方法的一次辯證演變6數(shù)學思維：人腦在和數(shù)學對象交互作用的

2、過程中，運用特殊的數(shù)學符號語言以抽象和概括為特點，對客觀事物按照數(shù)學自身的形式或規(guī)律做出的間接概括的反映。b5E2RGbCAP數(shù)學思維是由數(shù)學對象，并且主要是由數(shù)學問題推動發(fā)展的。數(shù)學思維的過程就是不斷提出問題和解決問題的過程。7數(shù)學思維簡單地分為：具體實踐問題的數(shù)學化思維，具體數(shù)學問題的解題思維8數(shù)學思維的特征：高度抽象性，形式化的嚴謹性，表現(xiàn)方式的多樣性9數(shù)學思維方法是由數(shù)學的符號、概念、語言，按照數(shù)學特定的規(guī)律、法則，運用數(shù)學思維在數(shù)學領域中形成的一種方法。p1EanqFDPw10數(shù)學思維方法分類: 按照使用范圍不同：宏觀數(shù)學方法,微觀數(shù)學方法 按照邏輯形式不同：邏輯思維方法，非邏輯思維

3、方法 按照解決問題的方式不同：程式化思維方法，發(fā)現(xiàn)性思維方法帶有個人特性，主觀色彩，獨立特性） 按照階段或數(shù)學分支領域的不同，可以分為不同的帶有專業(yè)特征的思維方法11數(shù)學思維方法的研究和發(fā)展與以下三個方面相聯(lián)系 數(shù)學思維方法研究緊緊跟隨和運用數(shù)學方法論的內(nèi)容 數(shù)學思維方法的教案，不僅強調數(shù)學方法具有的方法論的意義，還強調說明在這些數(shù)學方法中，數(shù)學思維活動的積極意義DXDiTa9E3d 數(shù)學思維方法的教育內(nèi)容，更應該與非邏輯思維、創(chuàng)造性思維相聯(lián)系12數(shù)學思維方法的層次性：哲學，一般方法論，數(shù)學某分支，初等數(shù)學13在現(xiàn)代數(shù)學教育中，數(shù)學思維的教案有三方面的意義： 數(shù)學思維的教案可以培養(yǎng)人對數(shù)學觀念

4、、數(shù)學思想、數(shù)學理論的廣泛理解。 數(shù)學思維的教案可以使人們在處理問題是迅速抓住事物本質，從而找到解決問題的方法。 數(shù)學思維的教案可以使人們形成良好的思維習慣，增強人們在處理問題時的應變能力。14在中小學教育中，要通過“數(shù)學常識”和“數(shù)學思維能力”的組合來培養(yǎng)“數(shù)學智力”15中小學的數(shù)學素養(yǎng)：懂得數(shù)學的價值，對自己的數(shù)學能力有信心，有解決數(shù)學問題的能力，學會數(shù)學交流，學會數(shù)學的思維方法。RTCrpUDGiT16從數(shù)學教育的角度分析有關數(shù)學思維方法的學習，我們應該明確一下三個方面的問題： 數(shù)學思維方法的學習，是對一個數(shù)學專業(yè)的學習者、數(shù)學專業(yè)未來教師應有數(shù)學能力、專業(yè)素質的培養(yǎng) 數(shù)學思維方法是一個

5、剛剛開始研究的領域，因此我們的學習過程也是一個參與研究和討論的過程 數(shù)學思維方法可以使人了解數(shù)學理論發(fā)展變化中的數(shù)學家思維方式的變化，也是對大學數(shù)學專業(yè)學習的一個反思過程。5PCzVD7HxA第二章數(shù)學中幾種重要的思維方法1算術的發(fā)展演變、符號的誕生以及算術向代數(shù)的發(fā)展表現(xiàn)了數(shù)學思維方式中數(shù)量形式和內(nèi)容之間關系的變化與發(fā)展。jLBHrnAILg2算術的主要內(nèi)容是有關自然數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的性質及相關的四則運算。3數(shù)量符號脫離了事物原有屬性，是一種抽象化、數(shù)理化的符號。4算術解題的思維方式的關鍵，是把已知的數(shù)量符號運用加、減、乘、除連接起來，簡歷其解決問題的數(shù)學算式。xHAQX74J0X5代數(shù)解決問

6、題的思維方式中最關鍵的思想是，把未知量作為一個同已知量有相同意義的數(shù)量符號同已知量一起組成關系式，并按等量關系由符號相連列出方程，然后通過方程的恒等變換或同解變換等求出未知量的數(shù)值。LDAYtRyKfE6數(shù)學具有高度抽象性，這種抽象性以形式化為特點。7對于中小學的數(shù)學教育，算術向代數(shù)發(fā)展的數(shù)學思維方式的演變可以給我們提供兩種啟示： 數(shù)學的形式與內(nèi)容中，當我們認識到數(shù)學是一種形式的時候，更應注意這種數(shù)學形式多反映的內(nèi)容。 數(shù)學的形式都與具體內(nèi)容相關，尤其是算術與代數(shù)的學習，更應注重內(nèi)容與形式的結合。8在數(shù)學的思維中，最先作為思維語言符號的就是數(shù)量與幾何圖形，數(shù)學的發(fā)展也是以數(shù)與形作為兩個最基本的

7、研究對象Zzz6ZB2Ltk9空間思維轉變的意義： 古希臘的思維方式，有一個從畢達哥拉斯“萬物皆數(shù)”的數(shù)量思維觀念向柏拉圖的“世界是由幾何圖形構造”的空間思維觀念的轉變過程dvzfvkwMI1 人們的空間思維由靜態(tài)轉向動態(tài)發(fā)展 空間思維與數(shù)量思維的結合，使原來空間圖形具有的明顯直觀性和經(jīng)驗性的特征開始轉變，拓廣了人們原有的歐幾里得式的空間思維rqyn14ZNXI 使代數(shù)的一些內(nèi)容具有了直觀的圖形意義，更為重要的是使人民對代數(shù)形式所表現(xiàn)的結果有了一種形象直觀模型的思維追求。EmxvxOtOco10變量數(shù)學的發(fā)展是由解讀幾何提供直觀前提，并且由無窮小量計算方法微積分的創(chuàng)立而最終完成的。11變量數(shù)學

8、的研究問題大體可以分為四類： 描述非勻速運動物體的軌跡 求曲線在某一點的切線 求變量函數(shù)）的極值 計算曲線長度、曲變形面積，曲面體體積、物體的重心及大質量物體間的引力等。12變量數(shù)學思維的意義： 變量數(shù)學的確立，使人們對世界的思考由靜止物體的數(shù)學思維發(fā)展到對運動物體的數(shù)學思維 變量數(shù)學的發(fā)展，對數(shù)學自身的成長起到了重要的推進作用 無限的觀念、無限的數(shù)學思維在微積分中的出現(xiàn)，使人類認識世界的能力有了提高13三大數(shù)學危機： 無理數(shù)的出現(xiàn) 無窮小的運算、論證與表述所產(chǎn)生的如何認識無限的問題芝諾悖論） 與康托集合論相關的無限問題羅素悖論、理發(fā)師悖論）14三大基礎學派：形式主義、邏輯主義、直覺主義15必

9、然性研究的數(shù)學：人們知道某事物開始的原因后就可以明確地預知它的結果或然性研究的數(shù)學：不能確定某些現(xiàn)象是否會出現(xiàn)16概率論發(fā)展的最重要的思想是如何認識在隨機現(xiàn)象之后的統(tǒng)計規(guī)律性17概率論提供的數(shù)學思維方式的意義隨著隨機現(xiàn)象的研究，推動了原有的必然性數(shù)學理論的發(fā)展，對隨機現(xiàn)象的數(shù)學描述，使人們對世界發(fā)展變化的客觀規(guī)律有了深入的理解SixE2yXPq518數(shù)學明確化的理論基礎是集合理論，它把數(shù)學對象的確定性、差異性準確無誤地表述出來，數(shù)學各種分支都以集合論作為理論的基礎。6ewMyirQFL19對于數(shù)學的教育而言，模糊數(shù)學的創(chuàng)立對我們的數(shù)學教育活動有兩個方面的積極作用使人們認識到數(shù)學作為人類的理性創(chuàng)

10、造是無止境的，模糊數(shù)學的思想與方法為我們進行探究性學習、參與學習提供了新的案例。kavU42VRUs20中國古代數(shù)學基本上遵循了一條從生產(chǎn)實踐中提煉出數(shù)學問題，經(jīng)過分析綜合，形成概念與方法，并上升到理論階段。y6v3ALoS8921古代數(shù)學思維對現(xiàn)代教育的意義： 唯理性的追求數(shù)學的形式、結構的方式不是數(shù)學的唯一發(fā)展方式 直觀性、實用性是初等數(shù)學的重要特性 籌算運演工具性特征的啟示第三章數(shù)學思維中的邏輯思維與非邏輯思維1邏輯思維的主要類型：形式邏輯、數(shù)理邏輯、辯證邏輯形式邏輯的主要思維形式規(guī)律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由論 主要思維方法：比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹2邏輯思維的基本規(guī)

11、律：同一律、矛盾律、排中律、充足理由論同一律的要求：在同一思維過程中，使用概念的內(nèi)容必須保持同一，不能任意改變；對正確思維的要求是必須保持判斷的同一性。M2ub6vSTnP充足理由論的要求：理由必須真實，理由與推斷之間要有邏輯聯(lián)系3數(shù)學邏輯思維的基本形式：數(shù)學概念、數(shù)學判斷、數(shù)學推理數(shù)學概念是數(shù)學思維最基本的形式，它是對客觀事物的數(shù)量關系、空間形態(tài)或結構關系的特征的概括數(shù)學概念的相容關系有：同一關系、從屬關系、交叉關系數(shù)學概念的不相容關系有：、對立關系、矛盾關系數(shù)學判斷的表現(xiàn)形式：公理、定理數(shù)學思維的形式。其最終表現(xiàn)形式是形成邏輯形態(tài)的命題最常用的數(shù)學推理包括：歸納推理、演繹推理歸納推理分為：

12、完全歸納推理、不完全歸納推理不完全歸納推理分為：枚舉歸納、因果關系歸納演繹推理是由一般到特殊的思維方法4非邏輯思維包括：形象思維、直覺思維、靈感思維、想象思維形象思維是以直觀形象和表象來思考問題的思維，它不是以概念為單元來進行思維，而是以直觀形象來進行思維。直覺思維的特征：非邏輯性、直接性、模糊性直覺思維的作用：選擇作用、創(chuàng)新作用靈感思維的特征：長期思維后的突發(fā)性偶然性、下意識性），模糊性與突逝性數(shù)學想象的特征：形象性、概括性、直覺性、整體性5創(chuàng)造性思維的特點： 創(chuàng)見性、新穎性是創(chuàng)造性思維的主要標志 發(fā)散思維與收斂思維相結合是創(chuàng)造性思維的基本圖式 積極地創(chuàng)造性想象與現(xiàn)實統(tǒng)一是創(chuàng)造思維的重要環(huán)節(jié)

13、 專注于靈感是創(chuàng)造性思維的重要特點6激發(fā)創(chuàng)造性思維的發(fā)生，培養(yǎng)和鼓勵學生創(chuàng)造性思維，我們應該注意四個方面： 在培養(yǎng)創(chuàng)造性因素方面，教師要設法引起學生的數(shù)學興趣，并且積極地提出問題來參與數(shù)學的教案活動 在數(shù)學知識和方法的儲備方面，使學生根據(jù)自己的理解主動地掌握數(shù)學的知識和方法 在數(shù)學思維方式方面，由于邏輯思維是數(shù)學知識和理論的主要表現(xiàn)形式，因此應當格外注重非邏輯思維的培養(yǎng) 在具體創(chuàng)新思維方面，由于創(chuàng)造性思維方法已經(jīng)有很多成熟的廣泛運用的方法，所以在數(shù)學教案中應當有意識地學習或運用它們，使之與數(shù)學某些具體的問題相結合。0YujCfmUCw第四章數(shù)學的解題及發(fā)現(xiàn)的方法1觀察與實驗在數(shù)學中的意義：要求

14、學生在數(shù)學教育、數(shù)學學習中，學會、掌握并運用觀察和實驗的能力，實際上就是要在中小學的數(shù)學教案中，培養(yǎng)學生數(shù)學學習的個體經(jīng)驗、運用數(shù)學解決問題的能力和對數(shù)學的興趣及信心；更為重要的是通過學生自己的觀察與實驗，得到對數(shù)學概念、數(shù)學運算、數(shù)學理論的個體體驗和個體理解。eUts8ZQVRd2觀察與實驗在數(shù)學中的運用：其一是解決和驗證數(shù)學理論，其二是解決具體的數(shù)學問題3數(shù)學解題的目標是： 通過解題加深對知識的理解，尤其是加深對基本概念、公式和理論的理解，使抽象的數(shù)學知識具體化 學會在解題中運用數(shù)學知識，增強自己解決實際問題的能力，尤其是把數(shù)學知識運用到具體問題的能力 掌握數(shù)學思維方式，培養(yǎng)自己數(shù)學創(chuàng)造性

15、思維的能力4數(shù)學解題的一般程序：弄清楚問題，分析和制定解題步驟，完成解題計劃并檢驗，解題后的研究5數(shù)學解題的一般思路：調動知識儲備把它們組織起來，按解題要求把知識重新組合6合情推理：一種合乎情理的推理合情推理強調了一種思維的主動性、情感性和試錯性7合情推理中最常用的是類比推理和歸納推理。類比推理是根據(jù)兩個不同對象的某些方面如特征、屬性、關系等）相同或相似，推導出或猜測出它們在其他方面可能具有相同或相似的思維形式。它的思維進程是特殊到特殊的推理方式。sQsAEJkW5T歸納推理：合情推理中的歸納推理指不完全歸納推理，是從個別到一般，從經(jīng)驗事實或實驗事實到理論的一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的方法。GMs

16、IasNXkA8波利亞在論及類比合情推理的作用時，認為它可以在三個方面發(fā)揮作用： 可以提出新問題和獲得新發(fā)現(xiàn) 可以在求解問題中得到應用 可以用來對猜測進行檢驗9經(jīng)驗歸納法的作用一般可以分為：發(fā)現(xiàn)、猜測問題的答案；發(fā)現(xiàn)、猜測解題的方法10數(shù)學猜想：人們根據(jù)已知的某些數(shù)學知識和某些事實，對數(shù)學的某些理論、方法等提出一些猜測性的推斷11數(shù)學猜想的特征：待定性可研究性），創(chuàng)新型12數(shù)學猜想一般表現(xiàn)：提出新問題，預見新事物，揭示新規(guī)律，創(chuàng)造新方法等13對于中小學數(shù)學教育而言，數(shù)學猜想的意義：運用數(shù)學知識、方法，鼓勵學生積極參與數(shù)學活動、增強對數(shù)學的理解和學會自己動手解決具體問題TIrRGchYzg第五章

17、數(shù)學的公理化方法1數(shù)學的公理化方法是第一次完整地表現(xiàn)在幾何原本中的數(shù)學方法2公理化方法：也稱為公理方法，就是從盡可能少的無定義的概念基本概念）去定義其他的一切概念，從一組不證自明的命題基本公理或公社）出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理證明其他的一切命題，進而把一種學科的知識建構成為演繹系統(tǒng)的一種方法。7EqZcWLZNX3由原始概念基本概念）、公理所構成的演繹系統(tǒng)成為公理系統(tǒng)公理體系）； 公理化方法是構成公理系統(tǒng)的方法，公理系統(tǒng)是由公理化方法得到的數(shù)學理論體系。4基本概念：不加定義的概念。具有必要性、獨立性、完備性）定義概念：也稱為派生概念、導出概念，指由初始概念定義的概念原始命題或公理：不證明的命題定理：經(jīng)

18、過公理推演出來的命題5亞里士多德提出了歷史上第一個成文的三段論式的演繹方式的公理化方法。 第一次把公理化方法系統(tǒng)用于數(shù)學中的是古希臘的歐幾里得，他把形式邏輯的公理演繹方法應用于幾何學1899年希爾伯特的幾何基礎問世，這是公理化方法在近代發(fā)展的代表作，它把歐幾里得幾何原本為代表的公理化方法建成了一個完備的、形式化的公理體系。lzq7IGf02E6歐幾里得列出五個公設和五個公理，公理是適用于一切科學的真理，而公設則只用于幾何。歐幾里得幾何原本中以直觀幾何背景為基礎構成的體系，它代表的是“實質性公理體系”也稱實體性公理體系），這種公理化方法也稱為實質性公理化方法。zvpgeqJ1hk歐幾里得從上述的

19、五個公設和五個公理出發(fā)，推出了465個命題。五個公設為： 由任意一點到任意一點可作直線 一條有限直線可以繼續(xù)延長 以任意點為中心及任意的距離為半徑可以畫圓 凡直角都相等 同平面內(nèi)一條直線和另外兩直線相交，若在某一側的兩個內(nèi)角的和小于二直角，則這二直線經(jīng)無限延長后在這一側相交NrpoJac3v1五個公理為： 跟同一件東西相等的一些東西，它們彼此也是相等的 等量加等量，總量仍相等 等量減等量，余量仍相等 彼此重合的東西是相等的 整體大于部分7羅巴切夫斯基引入了一個與第五公設完全相反的公設：過平面上一個已知直線外一點至少可以引出兩條直線與已知直線平行。1nowfTG4KI8羅巴切夫斯基的新幾何銳角假

20、設的雙曲式幾何 黎曼鈍角假設的橢圓式幾何 從而非歐幾何被人們所承認9非歐幾何對公理化方法的發(fā)展產(chǎn)生了重大的影響： 人們可以采取一個與之相反的公理并發(fā)展成為另一個新的公理體系 為公理化的推廣和建立新的理論提供了已經(jīng)，大大提高了公理化方法在數(shù)學中的地位 非歐幾何的建立標志著從實質性公理化方法向形式化公理化方法的過渡10幾何基礎的問世意味著公理化方法進入到了形式化的階段。 幾何基礎稱為形式化公理體系，構成幾何基礎的公理化方法稱為形式化公理化方法。11對于公理的選擇的基本要求：協(xié)調性相容性或無矛盾性）、獨立性、完備性協(xié)調性：一個理論體系中無矛盾獨立性：不允許有一條公理能用其他公理推導出來完備性：在一個

21、公理系統(tǒng)中要有確保能推導出所論述的全部命題的公理12公理化方法最重要的作用在于運用邏輯推理的方法。13布爾巴基學派認為數(shù)學是由三種基本結構構成：代數(shù)結構、序結構、拓撲結構代數(shù)結構：一個集合的代數(shù)運算體系。即一個集合上規(guī)定了一種運算，并且能夠使兩個元素按照運算得到另外一個元素。fjnFLDa5Zo序結構：集合中的某些元素之間有了先后的排序關系拓撲結構：領域、連續(xù)、極限、連通性、維數(shù)等構成一般拓撲學的研究對象14中學教材中的公理系統(tǒng)平面幾何公理： 經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線 在所有連接兩點的連線中，線段最短 平行公理：經(jīng)過直線外一點，有一條而且只有一條直線和該直線平行 兩條直線被第三條直

22、線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 矩形的面積等于它的長a和寬b的積立體幾何公理： 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi) 如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線 經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 長方體的體積等于它的長、寬、高的積 夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等tfnNhnE6

23、e5第六章數(shù)學模型方法1模型方法一般分為：實物模型，思想模型2模型方法具有可重復性、可操作性，能動地反映了客觀事物的相互關系，促進了模擬、類比方法的現(xiàn)代化3數(shù)學建構：使用數(shù)學概念、數(shù)學符號、數(shù)學語言等表述出來的被研究對象的純關系結構4數(shù)學模型的解釋廣義：數(shù)學中的各種基本概念都是數(shù)學模型，因為它們都是在各自相應的原型實體中抽象的數(shù)學模型狹義：將具體屬性抽象出來構成一種特定的數(shù)學關系結構，只有那些反映特定問題或待定事物系統(tǒng)的數(shù)學結構才叫做數(shù)學模型HbmVN777sL5數(shù)學模型方法：利用構造具體問題的數(shù)學模型來解決實踐中遇到的問題6數(shù)學模型的分類 按來源分：理論模型、經(jīng)驗模型 按研究領域分：經(jīng)濟模型

24、、人口模型、生態(tài)模型、交通模型等 按使用的數(shù)學工具分：函數(shù)模型、方程模型、三角模型、幾何模型、概率模型等 按涉及的變量狀況分：離散模型、連續(xù)模型 按功能分：描述性模型、解釋性模型7描述性模型：從特殊到一般，即從分析具體的客觀事物及狀態(tài)中，經(jīng)過數(shù)學語言概念、符號與公式等）的描述，得到一個數(shù)學模型。V7l4jRB8Hs最具代表性的是“格尼斯堡七橋問題”“七橋問題”結論：如果每點引出的線都是偶數(shù)條則可以一筆畫出，如果出現(xiàn)兩個奇數(shù)點也可以一筆畫，但是如果出現(xiàn)兩個以上的點引出的線是奇數(shù)條那就不可能一筆畫。83lcPA59W98描述性數(shù)學模型分類：確定性數(shù)學模型如代數(shù)方程、微分方程、函數(shù)方程、積分方程）隨

25、機性數(shù)學模型如概率論、數(shù)理統(tǒng)計等；布豐的投針實驗）模糊數(shù)學模型采用模糊數(shù)學的方法）9解釋性數(shù)學模型：由一般到特殊，即從一般的公理化系統(tǒng)出發(fā)，運用數(shù)學的某種結構形式對公理系統(tǒng)給出某種結束的一種數(shù)學模型方法。mZkklkzaaP如龐加萊給出的一個非歐幾何的數(shù)學模型10數(shù)學模型的構造：指對現(xiàn)實世界中的原型進行具體地數(shù)學建構的過程11數(shù)學模型建構的步驟： 掌握和分析客觀原型的各種關系、數(shù)量形式 確定所研究原型的本質屬性，從而抓住問題的實質 建立數(shù)學模型 對數(shù)學模型進行運演和檢驗12對中小學數(shù)學模型方法的教案的注意事項： 通過對數(shù)學模型的構造能夠深入地認識和理解數(shù)學的本質特征 運用數(shù)學模型的直觀、形象作

26、用，強化學生的數(shù)學感受能力 引導學生學會運用典型的數(shù)學模型方法，解決具體問題第七章化歸法1“化歸”就可理解為轉化、歸結的意思。 數(shù)學中的化歸法是指把待解決的問題歸結到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中，從而求得原問題解決的一種方法，化歸法有時也稱為化歸原則。AVktR43bpw化歸法的核心思想是指對問題的轉換化歸法的特征是轉換、轉化2熟化：向自己熟知、熟練的問題上轉化3外部的化歸法：其一是把一個實踐問題化為數(shù)學問題建立數(shù)學模型過程），其二是解決數(shù)學問題的求解問題4變形法包括：等價變形，恒等變形，同解變形，參數(shù)變形5在中小學數(shù)學中等價變換大體有如下兩個方面：在數(shù)的方面有等值變換，同余變換，同解

27、變換等在形的方面有合同變換，相似變換，等積變換等6恒等變形包括：多項式的恒等變形，分式的恒等變形，有理式的恒等變形，對數(shù)式的恒等變形，三角式的恒等變形等ORjBnOwcEd7同解變形：在等價轉化思想的指導下，通過等價的變換，使原來的等式與變形的等式有相同的解8關系映射反演方法，也稱關系映射反演原則，或簡稱RMI方法9RMI方法是通過映射，定映，反演三個主要步驟來解決問題的第八章逐次漸進方法1逐次漸進方法的分類：一類是對數(shù)學問題解法的逐次漸進方法，另一類是對數(shù)學問題本身的逐次漸進方法所謂數(shù)學問題解法的逐次漸進方法，是指對數(shù)學問題先給出一個可行的或近似的初始解，然后以這個初始解為基礎，按一定的程序

28、給出一個解的序列，這個解序列的極限就是該問題的最后解。2MiJTy0dTT所謂數(shù)學問題本身的逐次漸進方法，是指我們在研究數(shù)學問題時，從較大的范圍開始逐步縮小問題的范圍，通過對這些縮小范圍的數(shù)學問題的解決，并且通過對解決問題方法的分析、綜合等獲得對原來問題解決的一種方法。gIiSpiue7A2逐次漸進方法的應用：逐次實驗、選擇方法；逐步逼近與無限逼近的方法；遞推法；遞歸法遞歸法：把未知對象排成一個序列，并先求得第一個未知對象的結果，然后利用已經(jīng)獲得的第一個未知對象的結果，求得第二個未知對象。uEh0U1Yfmh3類比猜想：依據(jù)兩類對象之間存在的某些相同或相似的特征、屬性、形式，猜測它們可能存在其

29、他方面相似的特征、屬性或形式的一種思維方式IAg9qLsgBX第九章數(shù)學中常用的幾種方法1分析法：執(zhí)果索因2綜合法：由因導果3形式化數(shù)學形式化的教案和解決問題時應該注意兩點： 強調內(nèi)在規(guī)律、規(guī)則的限制 具體問題的數(shù)學形式化解決答案要符合實踐要求中小學的數(shù)學是處于與實踐問題密切聯(lián)系的特殊的形式化階段 中小學數(shù)學也是數(shù)學的形式，因此它必然是形式化的表現(xiàn)形式 由于特定的年齡段學習心理的局限以及中小學數(shù)學教案目標的要求，數(shù)學的形式化都隱其后，而以現(xiàn)實、生動的數(shù)學問題來表現(xiàn)數(shù)學的形式化WwghWvVhPE數(shù)學中常見的形式化的問題有：數(shù)量及關系的形式化用字母、符號表示數(shù)量及關系）、概念定義形式化用符號表示

30、數(shù)學概念）、命題及證明形式化如數(shù)理邏輯語言符號）等asfpsfpi4k數(shù)學的形式化發(fā)展，經(jīng)歷公理化方法的階段：實質公理化，形式公理化，元數(shù)學的建立元數(shù)學的目標要論證數(shù)學的無矛盾性以及理論構成的嚴謹、完美4演繹法：從一般原理推出個別結論。由大前提、小前提、結論組成的三段論式的論證推理。演繹法的注意事項 掌握演繹法運用的形式化特點 必須嚴格遵守其形式化的規(guī)則，必須清楚每一步推理、每一步運算的前提依據(jù)是什么 應用形式化的演繹方法時，應當注意前提條件的內(nèi)涵5構造法數(shù)學是數(shù)學符號的表達式構造法：也稱構造性方法，指數(shù)學中的概念和方法，按固定的方式經(jīng)過有限個步驟能夠定義的概念和能夠實現(xiàn)的方法。ooeyYZT

31、jj1構造法的特征：對所討論的對象能有較為直觀的描述；不僅能判明某種數(shù)學結論的存在，而且能夠實現(xiàn)運演操作并求出具體的表達效果BkeGuInkxI6反例法反例法：建立在數(shù)學證實的理論與邏輯推理基礎上的并且具有一定否定作用的例子反例法的作用 有助于發(fā)現(xiàn)原有數(shù)學理論的局限性，從而推動數(shù)學的迅速發(fā)展 有助于澄清數(shù)學概念和理論，從而使人們深入理解數(shù)學的內(nèi)涵 有助于數(shù)學的學習，提高數(shù)學學習的興趣和研究、構造數(shù)學的能力構造反例的方法：特例選擇，性質分析，類比構造等7數(shù)學命題的基本形式：全稱肯定判斷，全稱否定判斷，特稱肯定判斷，特稱否定判斷第十章數(shù)學建模、數(shù)學實驗中的數(shù)學思維方法1數(shù)學模型化方法：通過抽象、概括和一般化，把所研究的對象或問題轉化為數(shù)學或數(shù)學結構，即轉化為本質統(tǒng)一的另一對象或問題加以解決的思維方法。PgdO0sRlMo2數(shù)學模型化方法的作用：對所研究的對象處理的典型化、形式化和精確化，從而在認知方法上也起到了清晰化和簡潔化的作用。3cdXwckm153最早的數(shù)學建模專著：九章算術4數(shù)學建模：通過對實際問題的抽象和簡化，確定變量和參數(shù)，并根據(jù)某些變化規(guī)律建立起的變量與參數(shù)間的具有確定關系的數(shù)學問題或數(shù)學結構，求解該數(shù)學問題，解釋驗證所得到