OFDM基礎(chǔ)理論的數(shù)學(xué)表達和解析(end)

1、OFDM基礎(chǔ)理論的數(shù)學(xué)表達與解析王海舟10/10/2016目錄摘要3第一章、概述4第二章、OFDM技術(shù)基礎(chǔ)理論42.1芝諾悖論的哲學(xué)來源與泰勒級數(shù)42.2三角級數(shù)和三角函數(shù)的正交性52.3周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的表達62.4歐拉公式82.5非周期連續(xù)函數(shù)的傅里葉積分變換102.6傅里葉變換的時移特性112.7單位脈沖函數(shù)及其篩選特性122.8卷積積分和卷積定理142.9奈奎斯特準(zhǔn)則和數(shù)字濾波初步152.10OFDM技術(shù)的實現(xiàn)17第三章、OFDM技術(shù)基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)的意義18摘要以O(shè)FDM技術(shù)為基礎(chǔ)的LTE通信網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)過近3年來的高速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)的建設(shè)規(guī)模方面已經(jīng)超過GSM網(wǎng)絡(luò)。4G的Volte語音業(yè)務(wù)

2、替代2G的步伐也正在加快，而移動數(shù)據(jù)業(yè)務(wù)的發(fā)展更是一日千里，成為各個運營商競爭的最重要的戰(zhàn)場。更何況OFDM技術(shù)仍將在未來的5G網(wǎng)絡(luò)中起著技術(shù)基石的作用。我們知道，2G網(wǎng)絡(luò)歷經(jīng)了10年以上的發(fā)展，大批現(xiàn)場工程師得到了充足的培訓(xùn)，同時又擁有長期的實戰(zhàn)經(jīng)驗，因而在網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化工作中得心應(yīng)手。相比而言，LTE網(wǎng)絡(luò)在短時間的發(fā)展，致使我們面臨短缺具備一定深度基礎(chǔ)理論知識的網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化工程師的情況；盡管工程師能夠從多個方面能夠取得一些培訓(xùn)，但由于缺少連貫的理論知識對接，這些培訓(xùn)遠遠不能支持專業(yè)的工程師走的更遠、走的更深入。面對這樣的困境，本人對OFDM技術(shù)要點進行理論梳理，從浩瀚的高等數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)、通信理論的

3、知識海洋中，頡取最簡理論線路，創(chuàng)新進行理論關(guān)聯(lián)和演進的串接，不僅令工程師能夠夯實最基礎(chǔ)的理論，而且用最簡捷的數(shù)學(xué)理論途徑，達到深入理解OFDM技術(shù)。 關(guān)鍵詞：OFDM、泰勒級數(shù)、歐拉公式、傅里葉變換、單位脈沖函數(shù)、卷積積分、數(shù)字濾波。第一章、概述做為一線的現(xiàn)場LTE網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化工程師，尤其是做為網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化隊伍中資歷較深的工程師，有責(zé)任帶領(lǐng)項目上其他工程師，在全面深入完成日常和專項優(yōu)化工作的同時，與其他工程師就網(wǎng)絡(luò)中的技術(shù)問題進行共同探討和學(xué)習(xí)。而從相互的交流溝通中，發(fā)現(xiàn)LTE網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)理論能力問題，是限制工程師工作有效性的關(guān)鍵，這也直接影響到項目優(yōu)化執(zhí)行力度。比如在天線權(quán)值的優(yōu)化方面，在上行多用戶f

4、eature的驗證等方面等等，均存在事倍功半的情況。而在回顧和反思公司的技術(shù)培訓(xùn)環(huán)節(jié)，愈發(fā)感覺存在數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的缺失，也促使我本人在項目內(nèi)的技術(shù)交流中，無論是OFDM理論方面、在天線和MIMO技術(shù)理論方面、還是在SIP信令方面等等，均基于最基本的理論，和最樸素的邏輯關(guān)系。而作為4G移動通信網(wǎng)絡(luò)的基本技術(shù)，我認為OFDM應(yīng)該是每一個工程師深入理解的技術(shù)。通過回想自我學(xué)習(xí)的歷程，并根據(jù)本人對于理論的認識，對龐大的數(shù)學(xué)理論和通信理論進行梳理，對OFDM這一理論的知識要點進行整理，并用直白的語音和最簡的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，解析出OFDM真正的含義，以期實現(xiàn)工程師的有最完整的理解。第二章、OFDM技術(shù)基礎(chǔ)理論2.

5、1 芝諾悖論的哲學(xué)來源與泰勒級數(shù)公元前5世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家芝諾(Zeno of Elea) 曾提出了一系列關(guān)于運動的不可分性的哲學(xué)悖論，如：飛矢不動、阿喀琉斯追烏龜?shù)?。這些哲學(xué)悖論在之后的千百年期間，引起大批哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家的研究和爭論。無論是亞里士多德的哲學(xué)解釋還是阿基米德的窮舉法，都僅僅得到有限的結(jié)果；無論是后來的微積分計算、還是康托爾的集合論的連續(xù)統(tǒng)，也都依然不能完全得到所有人們的認同。即便是當(dāng)前已經(jīng)有公認的量子理論的實驗，證明了時間和空間具有最小普朗克單位，仍能引起相應(yīng)的質(zhì)疑。在此，我們注意到的是：在18世紀(jì)，泰勒公式所揭示的一些連續(xù)函數(shù)可以用離散的級數(shù)和逼近的一般的表達，也就是一個函數(shù)

6、可由該函數(shù)在某一點的n+1次導(dǎo)數(shù)相加求得，或無限逼近求得。設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上n階連續(xù)可導(dǎo)，且在上n+1階可導(dǎo)，任意，則泰勒公式如下：.此泰勒公式，是不是能夠解決芝諾悖論無關(guān)緊要，但此公式所表達的意義，對于一些具有n階求導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)來講，當(dāng)n趨于無窮大，余項的極限為零時，是可以用泰勒級數(shù)來表達。進一步，如果令函數(shù)初始點為0，則該泰勒級數(shù)可以以下麥克勞林級數(shù)的形式表達： 我們可以得到這樣的結(jié)論：某些特定條件下的一個連續(xù)函數(shù)可以用級數(shù)和的形式進行表達（上式中n為正整數(shù)）。2.2 三角級數(shù)和三角函數(shù)的正交性我們可以用麥克勞林級數(shù)對三角函數(shù)進行展開： ； 可得： 同樣可得： 此兩個三角函數(shù)的級數(shù)表達公式，

7、將在后面歐拉公式的證明中用到。三角函數(shù)，如：、等，在區(qū)間具有正交性，這一點不僅從數(shù)學(xué)的積分公式可以證明，也可以從幾何圖形中展示。1、數(shù)學(xué)積分證明 （積化和差公式） = = 2、幾何示意：上圖顯示，在一個完整的基波周期中，與基波一樣，所有諧波正弦信號在x軸上面的面積和在x軸下面的面積相等。不同的若干正弦信號或若干余弦信號相乘之后的信號，依然保持此性質(zhì)。OFDM（正交頻分多址）技術(shù)，就是利用了三角周期函數(shù)的正交性，從而使得若干個不同諧波的三角函數(shù)在一個整數(shù)周期疊加形成符號。解調(diào)時，再利用積分解調(diào)出不同的三角函數(shù)。我們可以得到這樣的結(jié)論：三角函數(shù)具有正交性，只要不是一個三角函數(shù)與自身相乘，其積分結(jié)果

8、總為零。也就是說，具有正交性的函數(shù)之間，沒有相關(guān)性，相互之間進行相乘之后，也可以從復(fù)合信號中被完整解析出來。這也就是LTE技術(shù)中，具有諧波性質(zhì)的所有子載波可以疊加成一個符號后，并能夠在接收端再被單獨解調(diào)的原理。2.3 周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的表達我們首先要了解周期函數(shù)：無論是三角函數(shù)還是方波，均可以在一個周期內(nèi)，對幅度、頻率、初相來進行坐標(biāo)和數(shù)值定義。以最簡單正弦函數(shù)為例，并設(shè)A為振幅，為角頻率，為初相，t為時間； =令： ，；則，等式右端可表達為三角級數(shù)，也稱為傅里葉級數(shù)：= 對等式兩端逐項積分，可得出，與函數(shù)的關(guān)系，也就是說某一個特定連續(xù)函數(shù)有著怎樣的、，并用對應(yīng)的三角級數(shù)進行無限逼近的表達

9、？ 利用前面講過的三角函數(shù)的正交性，可得： 分別用和 乘以等式兩端，并在到進行積分，利用正交性計算可得： 、稱之為傅里葉系數(shù)。 我們可以得到這樣的結(jié)論：連續(xù)周期函數(shù)可以用傅里葉級數(shù)的形式表達。也就是說，對其連續(xù)函數(shù)的分析，等同于對連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)的考察。其中傅里葉系數(shù)與周期函數(shù)之間存在對應(yīng)的積分關(guān)系。（如下圖所示）2.4 歐拉公式用三角函數(shù)表示和用三角函數(shù)計算復(fù)雜的函數(shù)時，顯得極為不便和復(fù)雜。做為三角函數(shù)與復(fù)函數(shù)之間相互表達的橋梁，利用著名的歐拉公式，可提供簡捷的方法。用復(fù)函數(shù)進行信號分析和計算，成為了最基礎(chǔ)和最重要的途徑，這一點非常重要。我們利用前面泰勒級數(shù)的結(jié)論： 令變量

10、為復(fù)數(shù)，并已知復(fù)數(shù) ，當(dāng)=0時，僅余虛部則： = = 再根據(jù)前面已經(jīng)表達的三角級數(shù)，可得歐拉公式： 也即： 另一種歐拉公式的表達方式： 運用歐拉公式，我們對前面的傅里葉級數(shù)公式進行改寫：令：= 上述三個公式合并為一個：= 則，最終的該連續(xù)周期函數(shù)的傅里葉復(fù)指數(shù)形式如下：= 或者表達式為： （從本公式開始，將虛數(shù)i更改為j，是為了更加符合工程理論的表達習(xí)慣，后面均以j表示）我們可以得到這樣的結(jié)論：利用歐拉公式，可將連續(xù)周期函數(shù)，用復(fù)指數(shù)級數(shù)形式進行準(zhǔn)確表達。另外，還可得出這樣的結(jié)論：時域為連續(xù)周期信號，頻域為離散信號。歐拉公式之所以如此重要，還在于它為后續(xù)非周期連續(xù)以及離散信號的傅里葉積分變換，

11、提供便利的計算方法和表達方法。而且所有通信原理的書籍和資料中，均是用復(fù)指數(shù)形式對信號進行計算和表達的。2.5 非周期連續(xù)函數(shù)的傅里葉積分變換將非周期信號當(dāng)成周期無限大的周期信號進行分析，是傅里葉的最大貢獻。傅里葉積分變換也是OFDM技術(shù)的理論基礎(chǔ)。也即設(shè)： 則：當(dāng)n取一切正整數(shù)時，所對應(yīng)的頻率，將均勻密集分布在表示頻域的X軸上。 此刻兩個相鄰的之間的值：=；當(dāng) 時，；則上式可改寫為： 此刻，假定時間可以離散化（量子力學(xué)理論中，時間和空間均存在最小的普朗克單位），在所存在的某靜止時刻的（恰如芝諾悖論所述），則對每一個區(qū)間中的，上式均可以確定一個唯一的值，該值為的函數(shù)。也就是：是的函數(shù)，并該周期函

12、數(shù)的此時刻的函數(shù)為 ，那么：；由于，即，周期函數(shù)的 無限逼近實際的非周期函數(shù)的； =。對于非周期函數(shù)，周期化或者說級數(shù)和的數(shù)學(xué)表達只是一個分析的過程，對于非周期而言，設(shè)其滿足柯西收斂條件下，更準(zhǔn)確的計算公式，應(yīng)該是在整個區(qū)間對進行積分。也就是上面的的表達，變成了： 最終，傅里葉積分公式為： 如前所述，是一個的函數(shù)，我們設(shè)存在關(guān)于函數(shù)為： （傅里葉變換） ，則： （傅里葉逆變換）從上面2個公式，我們可以看到并得出結(jié)論： 與可以通過積分運算進行相互表達，并分別稱為原函數(shù)的傅里葉變換和像函數(shù)的傅里葉逆變換。也即，可以表達為：= （傅里葉變換）；= （傅里葉逆變換）。另外，從公式中可以得到另一個結(jié)論：

13、時域連續(xù)非周期信號，其頻域是連續(xù)的，這一點與周期函數(shù)不一樣。2.6 傅里葉變換的時移特性傅里葉變換如此重要，還在于傅里葉變換具有一些重要的性質(zhì)，比如線性性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)、能量積分、乘積定理等，在此我們只需了解和必須要了解其位移性質(zhì)（也稱為時移性質(zhì)）。當(dāng)一個時間函數(shù)沿時間軸向左或向右移動了長度， 此刻 的傅里葉變換為： （令 ） = = = 我們可以得到這樣的結(jié)論：頻域函數(shù)沿軸向左或向右移動的傅里葉變換，等于時域原函數(shù)乘以因子或。或反之描述：信號在時間上移位，將在變換中引入相移。2.7 單位脈沖函數(shù)及其篩選特性單位脈沖函數(shù)（函數(shù)），也稱為單位沖激函數(shù)、狄拉克函數(shù)。該單位脈沖函數(shù)在數(shù)學(xué)、物

14、理、電子、通信等領(lǐng)域中都有著重要的分析作用。該函數(shù)滿足：當(dāng)時， ；當(dāng)時，。 我們利用傅里葉變換，對單位脈沖函數(shù)進行分析： = = =1單位脈沖函數(shù)的篩選性質(zhì)，是其最根本的性質(zhì)，也是無法回避的理論，該篩選性質(zhì)無論是在連續(xù)函數(shù)的分析方面，還是在離散信號的分析方面，均有著重要作用。比如存在一個時間連續(xù)函數(shù)，并在 上有界。 則該函數(shù)與單位脈沖函數(shù)有：，顯而易見，對函數(shù) 在進行的采樣，也就是函數(shù)值就是 時刻的值。更一般地，利用單位脈沖函數(shù)對位于=時刻進行采樣相乘： = = 在明晰了單位脈沖的篩選性質(zhì)之后，我們開始利用此性質(zhì)對連續(xù)函數(shù)進行分析，如下：以上圖為例，設(shè)有連續(xù)函數(shù)，由無限多個矩形組成。對函數(shù)的積

15、分運算，等于我們計算所有小矩形的面積之和。從上述篩選性質(zhì)分析得出：小陰影矩形面積的高= =；陰影面積的寬=；因此，陰影的面積=。所有的小矩形面積相加，則： 此時，當(dāng)，。因此： 這就是連續(xù)時間沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)公式。由此，我們可以得到非常清晰和重要的結(jié)論：任何連續(xù)信號，都能夠以分解的加權(quán)的位移的單位脈沖信號的線性積分來表達（離散信號為積分和）。用單位脈沖信號來表示連續(xù)的或離散的時域信號，是信號分析的重要思想和信號分析的重要數(shù)學(xué)表達。2.8 卷積積分和卷積定理無論是電氣系統(tǒng)、通信系統(tǒng)還是計算機系統(tǒng)等等都是線性時不變（LTI）系統(tǒng)，并且總是由各種電路來承載電子信號的傳輸、濾波、調(diào)制解調(diào)等等作用。如前

16、所述，單位脈沖函數(shù)可以表示為延遲沖激的線性組合，這樣，就能夠用LTI系統(tǒng)對單位沖激信號的響應(yīng)，來完全表征任何一個LTI系統(tǒng)的線性和時不變的特性。由于LTI系統(tǒng)具有的線性疊加性質(zhì)，再由已知的前面單位脈沖函數(shù)推導(dǎo)過程中的公式，那么，當(dāng)我們設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)為記做的響應(yīng)時，則對連續(xù)時間線性系統(tǒng)而言，其輸出響應(yīng)為：。 當(dāng)，再令表示系統(tǒng)在時間t對于發(fā)生于時間的單位脈沖的響應(yīng)，則： = 這就是系統(tǒng)對這些加權(quán)移位脈沖函數(shù)響應(yīng)的疊加，也就是的響應(yīng)的權(quán)就是。再由于LTI系統(tǒng)的時不變，；輸入函數(shù)記做，則上面的公式可以改寫為：這就是卷積積分公式。該公式表明了一個連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的特性，可以用單位脈沖響應(yīng)來表達。 h(t

17、) 如前所述，除了上述利用卷積積分表達系統(tǒng)對于連續(xù)信號的分析，卷積計算也在計算信號之間的作用方面，有著非常重要的作用，這同樣也是通信原理的基礎(chǔ)理論。設(shè)有信號與信號相乘，并進行傅里葉變換，如下： （用傅里葉變換） = （單位脈沖篩選公式） = （傅里葉積分位移性質(zhì)） = = 同理還可得： 此時，再回到LTI系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)分析中，可以得出輸出信號的傅里葉變換表達： 我們可以得到這樣的結(jié)論：兩個函數(shù)卷積的傅里葉變換，可以映射為這兩個函數(shù)傅里葉變換的乘積。另外，由卷積積分公式的數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)可以看到：沒有傅里葉變換就沒有單位脈沖函數(shù)的表達，沒有傅里葉位移（時移）性質(zhì)和單位脈沖的篩選性質(zhì)，就沒有卷

18、積積分的數(shù)學(xué)表達。2.9 奈奎斯特準(zhǔn)則和數(shù)字濾波初步為能最終理解OFDM原理，以及盡可能完整的表達OFDM基帶子載波的關(guān)系，需要對碼間干擾處理和數(shù)字濾波做簡要的說明。當(dāng)數(shù)字基帶信號按照一定間隔發(fā)送時，會引起各碼元間相互串?dāng)_的問題，這一點從前面卷積的表達中能夠看到。奈奎斯特在上世紀(jì)初，對碼間干擾的問題進行了深入的研究，并得出無失真?zhèn)鬏數(shù)娜齻€準(zhǔn)則。奈奎斯特第一準(zhǔn)則告訴我們，抽樣值無失真的充要條件就是在抽樣點上不存在碼間干擾。前面的理論知識，使我們理解到，希望在信號周期采樣中，能夠得到無干擾的數(shù)據(jù)信息，就必須是使作用在時刻，以得到正確的值，而其余時刻均為0。 （下圖a）也即： 進行傅里葉變換后，得：

19、 = 我們可以得出系統(tǒng)（濾波器）的沖激響應(yīng)為：（下圖b） 。這意味著，用這種波形作為接收波形時，不存在碼間干擾。具備此特性的濾波器稱為理想低通濾波器，并稱 為奈奎斯特帶寬，把稱為奈奎斯特間隔。很顯然，理想濾波器是不存在的，抽樣值無失真只有理論意義。廣泛得到應(yīng)用的是以為中心，具有奇對稱升余弦形狀過渡帶的一類無串?dāng)_波形，也就是稱之為升余弦滾降信號。其滾降因子越小，波形的震蕩起伏越大；反正越大，波形震蕩起伏越小。通過對數(shù)字濾波器的初步理解，有助于進一步學(xué)習(xí)LTE技術(shù)中的采樣和其他窗函數(shù)數(shù)字濾波原理。2.10 OFDM技術(shù)的實現(xiàn)奈奎斯特準(zhǔn)則描述了時域中的碼間無干擾要求，但如果從頻域坐標(biāo)進行基帶通信的頻分復(fù)用，很顯然就能夠通過合理設(shè)定子載波頻率間隔，以實現(xiàn)各個子載波的無干擾基帶傳輸。也就是我們在OFDM技術(shù)文檔中經(jīng)?？吹降念l域中子載波的基帶傳輸響應(yīng)示意圖（下圖）。具體到LTE中，也就是我們學(xué)習(xí)LTE中規(guī)定的每個子載波的符號長度為66.67us，對應(yīng)著系統(tǒng)在頻域中的15Khz的帶寬要求，其能量譜就是函數(shù)分布。至此，我們在對傅里葉積分變換、單位脈沖函數(shù)、卷積積分以及奈奎斯特第一準(zhǔn)則等理論進行了數(shù)學(xué)解析之后，很自然地就應(yīng)該已經(jīng)能夠理解OFDM的核心原理了。第三章、OFDM技