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1、Finite Frequency H Control for Vehicle Active Suspension SystemsWeichao Sun, Huijun Gao, Senior Member, IEEE, and Okyay Kaynak, Fellow, IEEEIEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNOLOGY, VOL. 19, NO. 2, MARCH 2011汽車主動懸架系統(tǒng)的有限頻率H限制孫偉超，高輝俊，電氣和電子工程師協(xié)會高級成員，奧基艾·凱內(nèi)克，電氣和電子工程師協(xié)會探討員電氣電子工程師協(xié)會限制系統(tǒng)技術(shù)，卷19，

2、2號，2011年3月摘 要簡要說明H限制在有限的頻域主動懸架系統(tǒng)的限制問題。H的性能是用來衡量乘坐的舒適性，因此更應(yīng)當考慮一般的道路干撓。通過運用廣義卡爾曼-Yakubovich波波夫-（KYP）引理，從擾動到受控輸出常態(tài)H限制被降低特定頻帶，提高乘坐舒適度。和整個頻率的方法相比，有限的頻率的方法更有效地抑制振動有關(guān)的頻率范圍。另外，對時域的限制，這代表了車輛懸架的性能要求，保證在限制器的設(shè)計。狀態(tài)反饋限制器設(shè)計的線性矩陣不等式（LMI）優(yōu)化的框架。四分之一汽車主動懸架系統(tǒng)模型被認為是在這個簡短的和一個數(shù)值的例子用來說明該方法的有效性。關(guān)鍵詞：主動懸架系統(tǒng)，約束，有限的頻率，廣義KYP引理，H

3、限制。一、 引言車輛懸架系統(tǒng)基本上由橫臂，彈簧和減震器的傳輸和過濾器和道路之間的全部力組成。彈簧是進行體質(zhì)量和隔離的身體道路干擾，從而有助于乘坐舒適性。減震器的任務(wù)是車身和車輪的振動阻尼，其中避開車輪振蕩的干脆造成乘坐平安。由于車輛懸架系統(tǒng)的乘坐舒適性和平安性負責，它在現(xiàn)代汽車中起著重要的作用。近年來,很多始終努力開發(fā)模型懸架系統(tǒng)和定義設(shè)計規(guī)范,反映了主要目標須要考慮。在這個意義上，乘坐的舒適性，行駛實力，懸架動撓度，和致動器的飽和度被認為是限制方案解決的重要因素。然而，這些要求是沖突的。例如，增加在較大的懸架行程和較小的阻尼在輪跳的模式。因此，汽車懸架的設(shè)計須要之間的一種折衷的乘坐舒適性和車

4、輛的限制。為了達到性能要求之間的一種折衷，大量的探討已經(jīng)進行了幾十年 3 ， 17 ， 21 。其中提出的解決方案，主動懸架是提高懸架性能的可能途徑，并備受關(guān)注10，19，24，以及很多主動懸架限制方法被提出，基于諸如線性二次型的各種限制技術(shù)高斯（LQG）限制4，自適應(yīng)限制和非線性限制11，模糊邏輯和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)限制15，和H限制14。特殊地，主動懸架已集中在穩(wěn)定性和干擾抑制的上下文中探討6，7。因此，近年來，越來越多的留意力始終致力于主動懸架的H限制，以及很多重要的結(jié)果已被報道，例如見5，13和其中的參考文獻。車輛懸架系統(tǒng)的最重要的目的是提高乘坐的舒適性。換句話說，主要的任務(wù)是設(shè)計出能夠在穩(wěn)定車

5、身的上下運動和分別，以及傳遞到乘客的力勝利限制器。在文獻中可以找到很多結(jié)果是提高乘坐舒適性 8 ， 20 ， 22 。這些結(jié)果可以有效地實現(xiàn)所需的車輛懸架性能，尤其是乘坐舒適性。值得一提的是，大多數(shù)報道的方法是在整個頻域的考慮。然而，主動懸架系統(tǒng)可能只屬于肯定的頻帶，和乘坐舒適性是已知的頻率敏感的。從ISO2361，人體是特別敏感的48赫茲的振動在垂直方向。因此，在有限的頻域H限制主動懸架系統(tǒng)的發(fā)展是有意義的。有限的頻率域的方法是引入加權(quán)函數(shù)。加權(quán)方法在實踐中是有用的，然而，額外的重量增加了系統(tǒng)的困難性。此外，選擇適當?shù)臋?quán)重的過程是耗時的，特殊是當設(shè)計師必需選擇權(quán)重的困難性和捕獲所需規(guī)格精度之

6、間的良好折衷。另一個方法是電網(wǎng)頻率軸。這種方法具有實際意義尤其是當系統(tǒng)的阻尼和頻率響應(yīng)預(yù)料將順當。但它缺乏在設(shè)計過程中嚴格的性能保證。另一種方法，避開了權(quán)重函數(shù)和頻率的網(wǎng)格是推廣的基本機械，就是卡爾曼YakuboviC波波夫（KYP引理）。KYP引理建立了等價頻域不等式之間的傳遞函數(shù)和線性矩陣不等式（LMI）的狀態(tài)空間實現(xiàn) 1 ， 9 ， 12 。它允許我們來表征的形式在頻域的動態(tài)系統(tǒng)的各種性能。然而，標準的KYP引理只適用于無限的頻率范圍。最近，一個特別重要的發(fā)展哈蘭是廣義的KYP引理 23 。它建立了一種頻域特性和在一個有限的頻率范圍內(nèi)的線性矩陣不等式之間的等價關(guān)系，使設(shè)計者對性能的要求，

7、在選擇有限或無限的頻率范圍。廣義的KYP引理及實際應(yīng)用中的合成問題的分析是特別有用的。不同于傳統(tǒng)的方法，考慮在整個頻率范圍內(nèi)的H限制，這個簡短的限制，我們考慮的主動懸架系統(tǒng)都是基于廣義KYP引理有限頻率范圍內(nèi)。此外，時域約束（道路控股，懸架動撓度，和致動器的飽和度）在限制器的設(shè)計保證。利用廣義KYP引理，頻域不等式轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式，我們關(guān)注的重點是開發(fā)方法，設(shè)計了一種基于矩陣不等式使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的一個指定的水平在肯定的頻域干擾抑制的狀態(tài)反饋限制律。所提出的方法的有效性是通過一個設(shè)計實例。這個簡短的其余部分支配如下。主動懸架系統(tǒng)的有限頻率H限制器的設(shè)計問題是配制在其次節(jié)。第三部分介紹了

8、限制器的設(shè)計結(jié)果。設(shè)計實例說明所提出的方法的好用性和優(yōu)勢是第四章和結(jié)論給出了第五節(jié)。(一) 、符號對于矩陣P,PT,P-1和P分別表示它的轉(zhuǎn)置矩陣，逆矩陣，正交矩陣。符號P>00的意思是P是實對稱正定（半正定）；Ps代表P+PT,表示一個向量或者一個矩陣，ii=1,2表示的向量或矩陣的線，G表示傳遞矩陣G(s)的H范數(shù)。在對稱矩陣的分塊或困難的矩陣表達式，我們用星號（*）為代表的一個術(shù)語，用來表示引起對稱性，用特征代表一個角矩陣。矩陣，假如它們的尺寸是不明確的，被認為是兼容的代數(shù)運算。用平方可積函數(shù)在0,)的空間是由L20,)表示，并為=tL20,)規(guī)范為2=t=0t2dt。二、 問題描

9、述四分之一汽車主動懸架模型簡介如圖1所示。在圖1中ms表示簧上質(zhì)量；mu表示簧下質(zhì)量；cs和ks分別表示懸架阻尼和懸架彈簧剛度；kt和ct分別表示充氣輪胎的剛度和阻尼。zs和zu分別表示以靜態(tài)平衡點為參考位置的簧上質(zhì)量和簧下質(zhì)量；zr是路面激勵垂直位移；u是懸掛系統(tǒng)的有效輸入。該模型已在文獻中廣泛運用和獲得更具體的模型的很多重要特性。簡潔的說，執(zhí)行器動力學(xué)的影響被忽視和執(zhí)行機構(gòu)被建模為一個志向的力發(fā)生器。定義以下的狀態(tài)變量：x1t=zst-zut,x2t=zut-zrtx3t=zst,x4t=zut其中x1t表示懸架的撓度，x2t表示輪胎的偏轉(zhuǎn)，x3t表示簧載質(zhì)量速度x4t表示簧下質(zhì)量速度。定

10、義干撓輸入為t=zrt。然后，定義xt=x1t x2t x3t x4tT,依據(jù)主動懸架系統(tǒng)的動態(tài)特性，狀態(tài)空間模型可表示為xt=Axt+B1t+But （1）式中A=0 00 01 -10 1-ksms 0ksmu-kumu -csms csms csmu -cs+ctmu B=001ms-1mu B1=0-10ctmu （2）圖1 四分之一汽車主動懸架模型四分之一汽車主動懸架模型已被廣泛接受，汽車乘坐的舒適性和在4-8Hz的頻帶車身加速度親密相關(guān)。因此，為了提高乘坐舒適性最重要的是要從擾動輸入的傳遞函數(shù)應(yīng)用到汽車車身加速度t盡可能使頻段在48Hz。為了確保汽車的平安性，我們應(yīng)當確保車輪和路面

11、穩(wěn)定的不間斷的接觸，并且輪胎動載荷要小，也就是說ktzut-zrt<ms+mug。此外，該車輛的結(jié)構(gòu)特點也限制懸架偏移量，即zst-zutzmax，其中zmax是最大的懸架偏移量。另一個施加在主動懸架的約束是來自于執(zhí)行器的限制功率，即u(t)umax。為了滿意性能要求，定義輸出限制z1t=zst,z2t=zst-zutzmax ktzut-zrtms+mugT （3）因此，汽車懸架限制系統(tǒng)可以描述為 xt=Axt+But+B1t z1t=C1xt+D1ut z2t=C2xt其中，A, B1和B在公式（2）中已經(jīng)定義，以及 C1=-ksms0-csmscsms C2=1zmax0000kt

12、ms+mug00 （4） D1=1msG(j)是表示從干擾輸入wt到限制輸出z1t的傳遞函數(shù)。有限頻率H限制問題是設(shè)計一個保證閉環(huán)系統(tǒng)的限制器 sup1<<2 G(j< （5）其中，>0表示規(guī)定的數(shù)量，1，2分別表示有關(guān)頻率的上限和下限。此外，從平安觀點和機械結(jié)構(gòu)特點約束條件為 ut<umax,z2ti1,i=1.2 （6）三、 限制器的設(shè)計為了便于說明，我們只介紹基本引理。為了簡潔，忽視了全部證明過程。引理1：（廣義KYP引理23）：考慮線性系統(tǒng)（A,B,C,D）。給定一個對稱矩陣，下列是其等價的陳述。1）有限域不等式 G(jTG(j<0,1<<

13、;2 （7）2)存在對稱矩陣P和Q滿意Q>0并且 P,Q,C,DCDT*-<0 （8）其中P,Q,C,D=AB0T-QP+jcQP-jcQ-12Q AB0T+0CT12*DT12s+22 （9） c=(1+2)/2, 12和22是右上和右下的分塊矩陣。引理2：（投影引理16）：給出，。存在一個矩陣F滿F+FT+<0當且僅當這兩個條件：T<0,TTT<0。引理3：（交互投影引理16）：設(shè)P給定的隨意正定矩陣。不等式 +S+ST<0相當于LMI問題 +P-WsST+WT*-P<0 （10）簡要說明，這是假定全部狀態(tài)變量可以測量，而我們重要的是設(shè)計一個狀態(tài)反

14、饋限制器 ut=Kxt （11）其中K為設(shè)計的狀態(tài)反饋增益矩陣結(jié)合（11）和（4）閉環(huán)系統(tǒng)是由 xt=Axt+Bt z1t=Cxt+Dt （12） z2t=C2xt其中 （13）對主動懸架系統(tǒng)，依據(jù)要求（6）在固定頻帶1<<2，約束H限制問題是為了削減H從干擾輸入wt到限制輸出z1t規(guī)范。利用引理1，我們有如下定理。引理1，我們有如下定理引理1：給定確定的標量，和。存在一個狀態(tài)反饋限制器（11），使得閉環(huán)限制系統(tǒng)（12）漸近穩(wěn)定在wt=0，并滿意全部非零數(shù)G(j1<<2<，L20,),然而式（6）中的約束保證了撓動能量的界限max=-V0/,假如存在對稱矩陣P,P

15、1>0,Q>0并且存在一般矩陣F滿意 -FsFTA+P1*-P1FTFTB00*-P10*-<0 （14）-QP+jcQ-F00*-12Q*FTB-2*CT0-<0 （15） -K*-umax2P1<0 （16） -C2i*-P1<0 （17）其中c=(1+2)/2是給定的標量。證明：利用Schur補集，不等式（14）相當于1FTBBTF+FTP1-1F-FsFTA+P1*-P1<0 （18）執(zhí)行同余變換不等式（18）通過diagF-1,P1-1和F：=W-1不等式（18）可以轉(zhuǎn)化為下列不等式：1BBT+P1-1-WsAP1-1+WT*P1-1<

16、0 （19）利用引理3，不等式（19）相當于AP1-1+P1-1AT+1/BBT<0,其中=1/BBT和ST=AP1-1,明顯，我們得到ATP1+P1A+1P1BBTP1<0 （20）它可以保證ATP1+P1A<0。從標準的連續(xù)時間線性系統(tǒng)的Lyapunov理論，閉環(huán)系統(tǒng)（12）是漸近穩(wěn)定在wt=0。不等式（15）可以重寫為 JJT+HHT+Fs<0 （21）其中J=0000T=-QP+jcQ*-12Q =0*-2 （22）H=0C000T=-AB =00 （23）然后，依據(jù)引理2，不等式（21）當且僅當WTJJT+HHTW<0 UTJJT+HHTU<0 （

17、24）其中W=0000T,U=AT0BT0同時不等式（24）可轉(zhuǎn)化為以下形式： AB0TAB0+C00TC00<0 （25）這可以進一步轉(zhuǎn)化為 L+C0TC0<0 （26）其中 L=AB0TAB0+000-2利用Schur補引理1，我們可以得到 G(jTG(j<0,1<<2 （27）這正是有限H頻率性能指標的不等式（5）。令Vt=xTtP1xt作為能量函數(shù)，并且留意到2xTtP1Bwt1xTtP1BBTP1xt+wtTwt>0我們得到VtxtTATP1+P1A+1P1BBTP1xt+tTt （28）依據(jù)不等式（20）和不等式（28）保證VttTt。將上述不等

18、式兩邊從0到t積分得到結(jié)果Vt-V0=0ttTtdtw22=max這表明 xtTP1xtV0+max= （29）考慮到t0maxut2=t0maxKxt22=t0maxxTtKTKxt2t0maxz2ti2=t0maxxTtC2iTC2ixt2,i=1,2運用轉(zhuǎn)換xt=P11/2xt，從不等式（29）依據(jù)xTtxt。因此t0maxut2=t0maxxTtP11/2KTKP11/2xt2maxP11/2KTKP11/2，t0maxz2ti2maxP11/2C2iTC2iP11/2， i=1,2 （30）其中max表示最大特征值，約束（6）認為假如P11/2KTKP11/2<umax2 P1

19、1/2C2iTC2iP11/2<,i=1,2 （31）其中，利用Schur補集，相當于（16）和（17）。該證明完成。因為這樣的表達式（14）和（15）涉及的反饋產(chǎn)生的可行性問題的形式是非線性的。因此，它不能通過LMI優(yōu)化干脆處理。為了解決非線性問題，定義J1=diagF-1,F-1,F-1I,J2=diagF-1,F-1,I,I,J3=diagI,F-1然后，我們執(zhí)行從（14）-(17)同余變換分別由滿秩矩陣J1T,J2T,J3T和J3T在左邊，和J1，J2，J3和J3在右邊。定義Q=F-1TQF-1,P=F-1TPF-1P1=F-1TP1F-1,K=KF-1,F=F-1得到下面的定理

20、。定理2：設(shè)正標量，并賜予。在（11）形式的狀態(tài)反饋限制器的存在，使得在（12）的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定為wt=0，并且滿意G(j1<<2<對全部非零L20,)，而在（6）的約束條件下的結(jié)合保證和干擾能量max=-V0/，假如存在矩陣P,P1>0,Q>0，和一般矩陣F滿意（32）-（35），在該頁面的底部。此外，假如不等式（32） - （35）具有一組可行的解決方案，該限制增益K在（11）由下式給出K=KF-1注1：請留意，線性矩陣不等式（33）具有困難的變量。依據(jù)文獻18，線性矩陣不等式在困難的變量可以在真正的變量轉(zhuǎn)換成較大尺寸的LMI。這意味著不等式S1+jS2&

21、lt;0相當于S1S2-S2S1<0, 這意味著在LMI（33）可 解決。四、 一個設(shè)計實例在本節(jié)中，我們將應(yīng)用上述方法進行設(shè)計的基礎(chǔ)上在其次節(jié)中描述的四分之一汽車模型的有限頻率狀態(tài)反饋H限制器。四分之一汽車模型的參數(shù)列于表。表四分之一汽車模型的參數(shù)msmuksktcsct320kg40kg18kN/m200kN/m1kNs/m10Ns/m對于后續(xù)的比較，對系統(tǒng)（4）有限頻域的狀態(tài)反饋H限制器的設(shè)計首先考慮的基礎(chǔ)上，全部的狀態(tài)變量可測的假設(shè)。在零初始條件，求解矩陣不等式（32） - （35）的矩陣P, P1>0和Q>0在優(yōu)化參數(shù)>0和1=4Hz,2=8Hz,=0.9,=

22、10000,zmax=100mm,umax=2500N。在最佳的狀況下，容許限制增益矩陣是基于給定的 KF=KF-1 KF=104×0.5033-1.3155-0.5329-0.0547在簡潔的描述，我們用這個有限的頻率限制器，作為限制器。然后，我們給它設(shè)計在整個頻率范圍內(nèi)的其它狀態(tài)反饋限制器H，即KE=104×1.39000.42630.0932-0.0400為簡潔起見我們表示此限制器作為限制器II。取得了有限和整個頻率限制器后，我們將比較兩個限制器來說明閉環(huán)懸架系統(tǒng)在有限頻域表現(xiàn)。通過仿真，開環(huán)系統(tǒng)由限制器I組成和閉環(huán)系統(tǒng)由限制器II組成的響應(yīng)進行比較如圖2。如圖2所示

23、，實線和虛線是閉環(huán)系統(tǒng)的有限頻率限制器和整個頻率限制器，分別和虛線的反應(yīng)是被動系統(tǒng)的響應(yīng)。從圖中，我們可以看到，有限的頻率限制器產(chǎn)生H規(guī)范的最低值，在頻率范圍4-8赫茲，和被動系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)，整個頻率限制器相比，這清晰地表明白一個提高了乘坐的舒適性已經(jīng)達到。圖2頻率體垂直加速度響應(yīng)。為了就三特性能要求來評估懸架特性，我們給干擾信號如下證明我們有限的頻率限制器的有效性。 -FsAF+BK+P1*-P1FB100*-P10*-<0 （32）-QP+jcQ-F00*-12Q+AF+BKS*B1-2*FTCT+KTD1T0-<0 （33） -K*-umax2P1<0 （34） -C2

24、iF*-P1<0 （35）考慮以其他方式平滑路面分別的凸點的狀況下，擾動輸入是由給定的t=Asin2ft,if 0tT0, if t>T （36）其中A，F(xiàn)和T分別代表振幅，頻率和振動周期。假設(shè)A=0.5m,f=5Hz（頻帶4-8赫茲之間）T=1/f=0.2s。車身垂直加速度的主動懸架系統(tǒng)的時域響應(yīng)如圖3，這里的黑色實線和紅色虛線是身體垂直加速度的有限頻率限制器和整個頻率限制器分別響應(yīng)。我們可以清晰地看到，車身加速度和有限頻率限制器的值小于其和整個頻率限制器。另外，圖4表明比率x1（t）/ zmax和關(guān)系動態(tài)輪胎負荷ktx(t)/(ms+mu)g是小于1，和制動器的力低于umax約

25、束最大，表示時域約束由所設(shè)計的限制器保證。圖3 車身垂直加速度為主動懸掛系統(tǒng)的時域響應(yīng)。圖4 主動懸架系統(tǒng)的約束時域響應(yīng)。從圖4，我們留意到，更大的驅(qū)動器壓力都須要在有限的頻率限制，在整個頻率限制，使有限的頻率限制須要更多的力氣來匹配有限的頻率特性的緣由比較。然而，以換取有限的頻率限制的優(yōu)點進行的或許是值得的。制動器的功耗是在汽車主動限制的另一個重要問題。簡潔的說，我們可以通過配方計算執(zhí)行機構(gòu)輸出平均功率P=1T0Tu(t)s(t)dt其中，“s(t)”代表致動器的位移, 并依據(jù)所安裝的位置，制動器的位移是相當于懸架，即s（t）= x1（t）其中T是積分時間。為了說明有限和整個頻率的方法之間的

26、消耗功率的比較中，兩種權(quán)力的比值計算，即=PfPe=1Tf0Tfu(t)s(t)dt1Te0Teu(t)s(t)dt=0.7859其中，Pf和Pe分別代表有限的頻率限制和全變頻調(diào)速的功率消耗。上述計算意味著制動器的有限頻率限制的功率消耗比對應(yīng)物（在整個頻率限制功率消耗），這進一步增加了該方法的可行性較小。在文獻14，主動懸架的H限制 系統(tǒng)也被認為是在有限的頻率域， 用于處理有限頻率的問題的方法是 一些權(quán)重函數(shù)添加到主動懸架系統(tǒng)然后在設(shè)計參數(shù)的選擇，使得加權(quán)制度規(guī)范小。該加權(quán)方法是有效的。然而，這種方法是基于適當?shù)募訖?quán)函數(shù)為前提的，并加權(quán)函數(shù)的選擇是相當耗時的，特殊是當設(shè)計者必需選擇的權(quán)重的困難

27、性之間的良好折衷而在捕獲所需規(guī)格的精度。簡潔的說， 我們供應(yīng)了一個更牢靠的和便利的方法來處理在有限頻域的問題，并且避開運用加權(quán)函數(shù)。我們的模擬結(jié)果驗證了有限的頻率限制器組成的閉環(huán)系統(tǒng)的駕乘舒適性有了很大的提高，同時保證在性能約束其允許的范圍內(nèi)。五、 結(jié)論看法這次簡短的調(diào)查了和在有限頻域主動懸架系統(tǒng)的時域約束H限制問題。由廣義KYP引理，乘坐舒適性已經(jīng)通過最小化在特定頻帶的H范數(shù)提高，而時域的限制也被保證以線性矩陣不等式優(yōu)化框架。分析和仿真結(jié)果的四分之一汽車模型已經(jīng)表明白該方法的有效性。參考文獻1 B. Hencey and A. G. Alleyne, “A KYP Lemma for LMI

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