第10講 階躍響應與沖激響應

1、n本章首先建立連續(xù)時間LTI系統的數學模型-常系數線性微分方程。n然后，復習微分方程經典解法，即先求齊次解和特解，再由初始條件求待定系數。n為了理解系統響應的物理特性，將系統的全響應分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應。n僅由起始狀態(tài)引起的零輸入響應，可通過求解齊次微分方程得到；零狀態(tài)響應的求解則用卷積方法。n沖激響應和階躍響應是兩種很重要的零狀態(tài)響應，在求解系統響應和進行系統特性分析都起到了很重要的作用。第2章 系統的時域分析-導讀本章主要內容n2.1 連續(xù)LTI系統的數學模型n2.2 經典的微分方程的求解方法n2.3 零狀態(tài)響應和零輸入響應n2.4 2.4 系統的沖激響應和階躍響應系統的沖激響應和

2、階躍響應n2.5 離散LTI系統的模型與求解n第第1010講講 系統的沖激響應和階躍響應系統的沖激響應和階躍響應第第1010講講 系統的沖激響應和階躍響應系統的沖激響應和階躍響應n沖激響應與階躍響應定義n沖激響應與階躍響應的一般求解方法n沖激響應的另一種求解方法n二階系統的沖激響應與階躍響應n沖激響應的應用沖激響應與階躍響應的重要性n沖激響應與階躍響應都是零狀態(tài)響應。n沖激信號和階躍信號是兩種典型的基本信號，由這兩種信號引起的零狀態(tài)響應是線性系統分析中的典型問題。n由于任意信號都可以分解為沖激信號和階躍信號的組合，可借助沖激響應和階躍響應，通過卷積積分求系統對任意信號的零狀態(tài)響應。n沖激響應和

3、系統函數與系統的穩(wěn)定性有直接關系。n工程上常用二階系統的階躍響應的性能指標來評價一個系統的性能。沖激響應的定義沖激響應的定義系統在單位沖激信號 作用下產生的零狀態(tài)響應，稱為單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用h(t)表示。 )(t 階躍響應的定義階躍響應的定義n階躍響應與沖激響應的關系階躍響應與沖激響應的關系根據系統的微分、積分特性，則ttsthd)(d)(thtsd)()(沖激響應與階躍響應的求解方法( )f t( ) t( ) t( )( )( )( )( )nf tth tg tft( )( )( )( )( )nf tts tg tft根據零狀態(tài)響應求解的一般方法：將上式中的 分別換成和

4、即 2( )( )( )zsytftg t由于單位沖激響應與單位階躍響應是在特殊激勵下的零狀態(tài)響應沖激響應與階躍響應的求解方法)( )(6)( 5)( tftytyty23232( )( )( )() ( )ttttg teteteet)(tf)( t23322( )( )( )() ( )( )(32) ( )tttth tg tfteetteet)(tf)(t23232( )( )( )() ( )( )() ( )tttts tg tfteetteet例：二階系統的微分方程為解 特征函數為 對沖激響應，強迫函數為則沖激響應為對階躍響應，強迫函數為則階躍響應為求其沖激響應和階躍響應。沖激響

5、應另一種求解方法( ) t0t ( )h t( ) t0t 0t ( )h tn1( ) ( )intiih tAet( ) tiA由于激勵信號的特殊性，及其各階導數在時都為零，于是的形式應與齊次解的形式相同并且不包含特解。加入系統并在系統的儲能變化從而引起響應，所以， 也必然和系統的零輸入響應有相同的形式。設系統的特征方程共有 個不相等的特征根，則利用微分方程兩端及其各階導數對應平衡來求出系數以后激勵將不存在，沖激信號只引起22( )( )( )43 ( )2 ( )d y tdy tdf ty tf tdtdtdt( )h t22( )( )43 ( )( )2 ( )d h tdh th

6、 tttdtdt121,3 312( )() ( )tth tAeA et31212( )(3) ( )() ( )tth tAeA etAAt 3121212( )()( )(3) ( )(9) ( )tth tAAtAAtAeA et ( )h t( )h t( )h t( ) t( ) t1211,22AA31( )() ( )2tth teet已知微分方程為，求沖激響應解：微分方程變?yōu)樘卣鞲鶠閷ⅰ⒋胛⒎址匠?，并比較方程兩邊和可求出則沖激響應為沖激響應另一種求解方法的系數，將系統模型中的將系統模型中的 y(t) 和和 f(t)分別用分別用h(t)和和 (t)代替代替： 下面分別就下面分

7、別就n和和m的大小情況進行討論（假設特征根均為單根的大小情況進行討論（假設特征根均為單根 ）)(d)(d)(d)(dd)(d00111tbttbthatthatthmmmnnnnn 沖激響應另一種求解方法1）當當nm，假如假如h(t)含有含有 (t)，則，則h(n)(t)必包含必包含 (n)(t)，因此，因此 h(t)不包含不包含 (t)，即：即：)()(1tecthnitii2）當當n=m，假如假如h(t)含有含有 (t)的導數項的導數項，則，則等式左端的等式左端的 (t)導數階數必高于右端，因此導數階數必高于右端，因此 h(t)僅包含僅包含 (t)，即：，即：3）當當n0對對 t 0時時，

8、有，有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0代入初始條件求得代入初始條件求得 C1=1, C2= -1故系統的沖激響應為此方程的齊次解。故系統的沖激響應為此方程的齊次解。所以所以 h(t) = ( e-2t - e-3t) (t) 例例1 描述某系統的微分方程為描述某系統的微分方程為 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 求其沖激響應求其沖激響應h(t)。解法二：解法二：因為因為 nm,特征根為特征根為-2，-3，所以沖激響應為：，所以沖激響應為： h(t) = (C1e-2t + C2e-3t) (t) （1）求導：求導：h(t) = (C1 + C2) (t)+(-2C

9、1e-2t -3C2e-3t) (t) h(t) = (C1 + C2) (t) +(-2C1 -3C2) (t) + (4C1e-2t +9C2e-3t) (t)將將h(t)、 h(t)和和 h(t)代入式代入式(1) ： (C1 + C2) (t) + (3C1 + 2C2) (t) = (t)比較方程比較方程2端系數端系數 ： (C1 + C2)=0 (3C1 + 2C2) = 1求得求得C1=1, C2= -1, 所以：所以： h(t)=( e-2t - e-3t) (t)一階系統的沖激響應( )( )( )( )y tay tbtft則沖激響應： taatbthty0de)(e)()

10、()(etbat一階微分方程為一階系統的階躍響應 ( )( )( )( )y tay tbtft則階躍響應： taatbtsty0de)(e)()()()e1(tabat一階微分方程為例 求圖示一階系統沖激響應h( t ) = uC( t ) 解解 )(1)(1)(CCtRCtuRCtu)(e1de)(1e)()(0CtRCRCthtuRCttRCRCt所以二階系統的沖激響應與階躍響應 tC i tR cUtL1(1)413RLH CF (2)211RLH CF (3)111RLH CF (4)011RLH CF 11( )( )( )( )CCCRutututtLLCLC系統如圖所示，討論以

11、下4種情況下的沖激響應與階躍響應 系統的微分方程為二階系統的沖激響應與階躍響應 （1）過阻尼下，代入元件數值( )4( )3( )3 ( )CCCutututt1213 32( )( )3 ( )( )1.5ttCh tuttg teet 2( )1 1.50.5tts teet特征根為O( )s t1t二階系統的沖激響應與階躍響應 （2）臨界阻尼下，代入元件數值( )2( )( )( )CCCutututt121 2( )( )( )( )( )ttCh tuttg tttettet ( )1tts tetet特征根為( )s t1Ot二階系統的沖激響應與階躍響應 （3）欠阻尼下，代入元件數

12、值( )( )( )( )CCCutututt11322j 21322j 223( )( )( )( )sin()23tCh tuttg tett 223( )1sin6023ts tett特征根為O( )s t1t二階系統的沖激響應與階躍響應 特征根為（4）無阻尼下，代入元件數值( )( )( )CCututt11 j21 j 2( )( )( )( )sinCh tuttg ttt ( )1 coss tttO( )s tt1階躍響應的測量階躍響應的測量二階系統的沖激響應與階躍響應的實際測量 任意信號作用下的零狀態(tài)響應 -)d-(t)( f (t) h(t) (t- ) -)d-(t)(

13、hf)(tf)()(thtf f( ) (t- ) f( )h(t- ) h(t- )LTI系統系統零狀態(tài)零狀態(tài)激勵激勵響應響應沖激響應沖激響應（時不變性）（時不變性）（齊次性）齊次性）（可加性）（可加性）零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應( )zsyt一線性非時變系統的沖激響應為一線性非時變系統的沖激響應為h(t)=e t (t)，激勵為，激勵為f(t)= (t-1)，求系統的零狀態(tài)響應。，求系統的零狀態(tài)響應。解：解：te010( ) *( )()ddttth the (1)zs1( )1 (1)tytet根據卷積的時移性質：根據卷積的時移性質：)1(1 te 任意信號的零狀態(tài)響應)()()(ttftf

14、-)d-(t)( f (t) s(t) (t- ) -( ) (t- )dfs)(tf( )( )( )zsytfts tf ( ) (t- ) f ( )s(t- ) s(t- )LTI系統系統零狀態(tài)零狀態(tài)激勵激勵響應響應階躍響應：階躍響應：（時不變性）（時不變性）（齊次性）齊次性）（可加性）（可加性）零狀態(tài)響應：零狀態(tài)響應：思考與練習( ) t3( )tet( ) t1.一個起始儲能為零的系統，當輸入為時，系統的響應為則當輸入為時，系統的響應為（ ）。 2( )(1) ( ),ts tet22( )(1) ( )ttzsytetet( )f t2.某線性時不變系統的階躍響應為使其零狀態(tài)響應為，其輸入激勵信號應該為（ ）。思考與練習思考與練習( )( )f tt