第7講-數(shù)學(xué)思維

1、第七講 數(shù)學(xué)思維 青島大學(xué) 師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系楊慧娟在幽默中品味數(shù)學(xué)思維 蘇格蘭的羊蘇格蘭的羊 三位科學(xué)家由倫敦去蘇格蘭參加會(huì)議，越過邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊。 “真有意思，”天文學(xué)家談?wù)摰?，“蘇格蘭的羊都是黑的?！?“這種推斷并不可靠，”物理學(xué)家應(yīng)道，“我們只能得出這樣的結(jié)論：在蘇格蘭 有一些羊是黑色的?！?數(shù)學(xué)家馬上接著說：“在蘇格蘭，至少有一只羊的至少半側(cè)，在至少一個(gè)地方的有些時(shí)侯，直接用肉眼觀察時(shí)，在有些人的眼里，看上去是黑色的。” 最大面積最大面積 一位農(nóng)夫請(qǐng)了工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家來，想用最少的籬笆圍出最大的面積。 工程師用籬笆圍出一個(gè)圓，宣稱這是最優(yōu)設(shè)計(jì)。 物理學(xué)家將籬笆拉開成一

2、條長長的直線，假想直線無限長，認(rèn)為圍起半個(gè)地球總夠大了。 數(shù)學(xué)家好好嘲笑了他們一番。他用很少的籬笆把自己圍起來，然后說：“我現(xiàn)在是在外面?！?數(shù)學(xué)家當(dāng)消防員數(shù)學(xué)家當(dāng)消防員 一天，數(shù)學(xué)家心血來潮，想當(dāng)消防員。 消防隊(duì)長說：“您看上去不錯(cuò)，可是我得先給您一個(gè)測試?！庇谑撬麄儊淼较狸?duì)后院小巷，巷子里有一個(gè)貨棧，一只消防栓和一卷軟管。 隊(duì)長問：“假設(shè)貨棧起火，您怎么辦？”數(shù)學(xué)家回答：“我把消防栓接到軟管上，打開水龍，把火澆滅?！?隊(duì)長說：“完全正確！最后一個(gè)問題：假設(shè)您走進(jìn)小巷，而貨棧沒有起火，您怎么辦？”數(shù)學(xué)家疑惑地思索了半天，終于答道：“我就把貨棧點(diǎn)著?！?隊(duì)長大叫起來：“什么？太可怕了！您為什

3、么要把貨棧點(diǎn)著？” 數(shù)學(xué)家回答：“這樣我就把問題化簡為一個(gè)我已經(jīng)解決過的問題了。” 對(duì)面房間的人數(shù)對(duì)面房間的人數(shù) 數(shù)學(xué)家、生物學(xué)家和物理學(xué)家坐在街頭咖啡屋里, 看著人們從對(duì)面的一間房子走進(jìn)走出。他們先看到兩個(gè)人進(jìn)去。時(shí)光流逝，他們又看到三個(gè)人出來。 物理學(xué)家說：“測量不夠準(zhǔn)確。” 生物學(xué)家說： “他們進(jìn)行了繁殖?！?數(shù)學(xué)家說： “如果現(xiàn)在再進(jìn)去一個(gè)人，那房子就空了。一個(gè)有趣的問題 一杯紅酒與一杯白酒，分量相同。先舀出一勺紅酒倒入白酒中，混合之后再將混合均勻了紅酒的白酒舀出一勺倒入紅酒杯中。兩杯酒分量仍然相同，問：紅酒杯中的白酒多還是白酒杯中的紅酒多？ 數(shù)學(xué)歷來被認(rèn)為是“思維的體操”，在思維訓(xùn)練

4、方面具有其他學(xué)科無法替代的作用。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)。一、數(shù)學(xué)思維及其特點(diǎn) 1. 數(shù)學(xué)思維的定義 數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按照一般的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律的理性活動(dòng)。具體來說，數(shù)學(xué)思維就是以數(shù)和形及其結(jié)構(gòu)關(guān)系為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語言和符號(hào)為思維的載體，并以認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的一種思維。 2. 數(shù)學(xué)思維的特點(diǎn) 數(shù)學(xué)思維既從屬于一般的人類思維，具有一般思維的特征，同時(shí)由于數(shù)學(xué)及其研究方法的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)思維又具有不同于一般思維的自身特點(diǎn)，表現(xiàn)在思維活動(dòng)是按客觀存在的數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行的，具有數(shù)學(xué)的特點(diǎn)與操作方式。特別是作為思維載體的數(shù)學(xué)語言的簡約性和數(shù)學(xué)形式的符號(hào)化

5、、抽象化、結(jié)構(gòu)化傾向決定了數(shù)學(xué)思維具有不同于其他思維的獨(dú)特風(fēng)格。數(shù)學(xué)思維主要具有概括性、整體性、相似性和問題性等特點(diǎn)。 （1）概括性 數(shù)學(xué)思維的概括性比一般思維的概括性更強(qiáng)，這是由于數(shù)學(xué)思維揭示的是事物之間內(nèi)在的形式結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系及其規(guī)律，能夠把握一類事物共有的數(shù)學(xué)屬性。數(shù)學(xué)思維的概括性與數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性是互為表里、互為因果的。 （2）整體性 數(shù)學(xué)思維的整體性主要表現(xiàn)在它的統(tǒng)一性和對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象基本屬性的準(zhǔn)確把握。數(shù)學(xué)科學(xué)本身是具有統(tǒng)一性的（舉能夠體現(xiàn)統(tǒng)一性的例子），人們總是謀求新的概念、理論，把以往看來互不相關(guān)的東西統(tǒng)一在同一的理論體系中。數(shù)學(xué)思維的統(tǒng)一性，是就思維的宏觀發(fā)展方向而言的，它總是越

6、來越多地拋棄對(duì)象的具體屬性，用統(tǒng)一的理論概括零散的事實(shí)。這樣既便于簡化研究，又能洞察到對(duì)象的本質(zhì)。 圓冪定理：如果交點(diǎn)為P的兩條相交直線與圓O相交于A、B與C、D，則PAPB=PCPD。 （3）相似性 數(shù)學(xué)思維的相似性是思維相似律在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的反映。數(shù)學(xué)思維的相似性普遍存在，在創(chuàng)造性思維活動(dòng)中發(fā)揮著重要作用。數(shù)學(xué)思維中到處滲透著異中求同、同中辨異的比較、分析過程。數(shù)學(xué)中的相似表現(xiàn)有幾何相似、關(guān)系相似、結(jié)構(gòu)相似與實(shí)質(zhì)相似、靜態(tài)相似與動(dòng)態(tài)相似等。數(shù)學(xué)思維中的聯(lián)想、類比、歸納和猜想等都是運(yùn)用相似性探求數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的主導(dǎo)方法。 （4）問題性 數(shù)學(xué)思維的問題性是與數(shù)學(xué)科學(xué)的問題性相關(guān)聯(lián)的。

7、問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)科學(xué)的起源與發(fā)展都是由問題引起的。由于數(shù)學(xué)思維是解決數(shù)學(xué)問題的心智活動(dòng)，它總是指向問題的變換，表現(xiàn)為不斷地提出問題、分析問題和解決問題，使數(shù)學(xué)思維的結(jié)果形成問題的系統(tǒng)和定理的序列，達(dá)到掌握問題對(duì)象的數(shù)學(xué)特征和關(guān)系結(jié)構(gòu)的目的。 提出問題比解決問題更重要（學(xué)會(huì)提出問題）二、數(shù)學(xué)思維的基本類型 數(shù)學(xué)邏輯思維 數(shù)學(xué)形象思維 數(shù)學(xué)直覺思維 1、數(shù)學(xué)邏輯思維 數(shù)學(xué)邏輯思維是指借助數(shù)學(xué)概念、判斷、推理等思維形式，通過數(shù)學(xué)符號(hào)或語言來反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維。 數(shù)學(xué)邏輯思維的顯著特征是抽象性和邏輯性，這是由數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要決定的。數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系，邏輯因素在

8、數(shù)學(xué)中表現(xiàn)得最為明顯。 一方面，主要的數(shù)學(xué)事實(shí)按邏輯方法敘述或論證；大量的數(shù)學(xué)概念抽象概括的形式化、公理化；數(shù)學(xué)原理、公式、法則的推理論證高度嚴(yán)密等。另一方面，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不僅要記住按邏輯體系組成的大量概念、公式、定理和法則，而且要進(jìn)行概念的分類、定理的證明、公式法則的推導(dǎo)，廣泛使用各種邏輯推理和證明方法。 邏輯推演性和規(guī)則性也是邏輯思維的重要特征。所謂規(guī)則性是指思維過程必須遵循形式邏輯的基本規(guī)律和辯證邏輯的規(guī)律，有著嚴(yán)格的邏輯規(guī)則。而邏輯思維又必須是循序漸進(jìn)的，要按照邏輯規(guī)則依線型或枝叉型一步步地推下去，這就是邏輯思維的推演性。邏輯思維的推演性和規(guī)則性是一種強(qiáng)大的邏輯力量，它保證了人們?cè)趪?yán)格邏

9、輯推演的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)新的突破，形成新的知識(shí)，同時(shí)這種推演性與規(guī)則性又提高了思維成果的可靠性，因此，推演性與規(guī)則性成為邏輯思維區(qū)別于其他思維的重要特征之一。 2、數(shù)學(xué)形象思維 數(shù)學(xué)形象思維是指借助數(shù)學(xué)形象或表象，反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維。在數(shù)學(xué)形象思維中，表象與想象是兩種主要形式，其中數(shù)學(xué)表象又是數(shù)學(xué)形象思維的基本元素。 （1）數(shù)學(xué)表象 數(shù)學(xué)表象是以往感知過的觀念形象的重現(xiàn)。數(shù)學(xué)表象常常以反映事物本質(zhì)聯(lián)系的特定模式結(jié)構(gòu)來表現(xiàn)。 客觀實(shí)物的原型和模型以及各種幾何圖形、代數(shù)表達(dá)式、數(shù)學(xué)符號(hào)、圖像、圖表等這些形象在人腦中復(fù)現(xiàn)就形成了數(shù)學(xué)表象。數(shù)學(xué)形象思維也可看作是以數(shù)學(xué)表象為主要思維材料的一種

10、形象思維。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的表象思維有利于形象思維能力的培養(yǎng)。 （2）數(shù)學(xué)想象 數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)形象思維的一種重要形式，通?？煞譃樵僭煨韵胂蠛蛣?chuàng)造性想象兩種類型。 1）再造性想象。再造性想象是根據(jù)數(shù)學(xué)語言、符號(hào)、數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖形、圖表、圖解等提示，經(jīng)加工改造而形成新的數(shù)學(xué)形象的思維過程。 再造性想象有兩個(gè)特征，一個(gè)是生成的新形象雖未感知過，但并非完全由自己創(chuàng)造或創(chuàng)新，是根據(jù)別人描述或者示意再造出來的；另一個(gè)是新形象是頭腦中原有表象經(jīng)過加工改造而成的，其中包含著個(gè)人知識(shí)與理解能力的作用，因此又有創(chuàng)造的成分 學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的想象，大多屬于再造性想象。這是因?yàn)椋m然這種想象對(duì)學(xué)生來說具有創(chuàng)造

11、的成分，但形成的新表象只是原有表象的再現(xiàn)或加工改造，并沒有超出已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)表象的范圍，與獨(dú)立地以至創(chuàng)造性的想象活動(dòng)有著很大的不同。 2）創(chuàng)造性想象。創(chuàng)造性想象是一種不依靠現(xiàn)成的數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號(hào)的描述，也不依據(jù)現(xiàn)成的數(shù)學(xué)表達(dá)式和數(shù)學(xué)圖形的提示，只依據(jù)思維的目的和任務(wù)在頭腦中獨(dú)立地創(chuàng)造出新的形象的思維過程。思維結(jié)果的新穎、獨(dú)特是創(chuàng)造性想象的主要特征。 在數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展史上，羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)非歐幾何的過程就是創(chuàng)造性想象。法國大數(shù)學(xué)家笛卡爾把長期分道揚(yáng)鑣的代數(shù)和幾何聯(lián)系起來而創(chuàng)立了解析幾何，他借助于曲線上“點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”這一想象，創(chuàng)造出變量和坐標(biāo)系的新的形象，把抽象的方程展示為直觀的平面和空間圖形，

12、這也是一種創(chuàng)造性想象。 愛因斯坦：“想象力比知識(shí)更重要，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素，是知識(shí)進(jìn)化的源泉”。在中學(xué)作為基本能力之一的空間想象能力實(shí)際上是想象能力中的一種。數(shù)學(xué)中的空間想象能力即是對(duì)于數(shù)學(xué)圖形的形狀、大小、結(jié)構(gòu)和位置關(guān)系的想象能力。就像運(yùn)算能力實(shí)質(zhì)上是邏輯思維能力的一部分，它是邏輯思維能力與運(yùn)算技能相結(jié)合?？臻g想象能力實(shí)質(zhì)上是形象思維能力的一部分，它是形象思維能力與空間形式構(gòu)思的結(jié)合。因此，培養(yǎng)形象思維能力包含了對(duì)空間想象能力的培養(yǎng)。 3、數(shù)學(xué)直覺思維 數(shù)學(xué)直覺思維是以一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，通過對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象作總體觀察，在一瞬間頓悟到對(duì)象的某方面的本質(zhì)，從而迅速作出估斷的一種思維。數(shù)學(xué)

13、直覺思維是一種非邏輯思維活動(dòng)，是一種由下意識(shí)（潛意識(shí)）活動(dòng)參與，不受固定邏輯規(guī)則約束，由思維主體自覺領(lǐng)悟事物本質(zhì)的思維活動(dòng)。因此，非邏輯性是數(shù)學(xué)直覺思維的基本特征，同時(shí)數(shù)學(xué)直覺思維還具有直接性、整體性、或然性、不可解釋性等重要特征。 （1）直接性 數(shù)學(xué)直覺思維是直接反映數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動(dòng)，這種思維活動(dòng)表現(xiàn)為對(duì)認(rèn)識(shí)對(duì)象的直接領(lǐng)悟或洞察，這是數(shù)學(xué)直覺思維的本質(zhì)特征。由于數(shù)學(xué)直覺思維的直接性，使它在時(shí)間上表現(xiàn)為快速性，即數(shù)學(xué)直覺思維有時(shí)是在一剎那時(shí)間內(nèi)完成的；在過程上表現(xiàn)為跳躍性（或間斷性），直覺思維并不按常規(guī)的邏輯規(guī)則前進(jìn)，而是跳過若干中間步驟或放過個(gè)別細(xì)節(jié)而從整體上直接把握研究對(duì)象

14、的本質(zhì)和聯(lián)系。 （2）整體性 指數(shù)學(xué)直覺思維的結(jié)果是關(guān)于對(duì)象的整體性認(rèn)識(shí)，盡管這并非是一幅毫無遺漏的“圖畫”，它的某些細(xì)節(jié)甚至可能是模糊的，但是，它卻清楚地表明了事物的本質(zhì)或問題的關(guān)鍵。 （3）或然性 數(shù)學(xué)直覺思維是一種跳躍式的思維，是在邏輯依據(jù)不充分的前提下做出的結(jié)論，具有猜測性。正因?yàn)槿绱?，任何通過直覺思維“俘獲來的戰(zhàn)利品”就需要經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯驗(yàn)證。采用直覺思維的目的在于迅速找到事物的本質(zhì)或內(nèi)在聯(lián)系，提出猜想，而不在于論證這個(gè)猜想。 （4）不可解釋性 數(shù)學(xué)直覺思維在客觀上往往給人以不可解釋之感。由于直覺思維是在一剎那間完成的，、略去了許多中間環(huán)節(jié)，思維者對(duì)其過程沒有清晰的意識(shí)，所以要想對(duì)它

15、的過程進(jìn)行分析、研究和追憶，往往是十分困難的，這又使直覺思維給人一種“神秘感”例如，高斯曾花幾年的時(shí)間證明一個(gè)算術(shù)定理，最終獲得了解決。對(duì)此他回憶說：“我突然證出來了，但這簡直不是我自己努力的結(jié)果，而是由于上帝的恩賜如同閃電那樣突然出現(xiàn)在我腦海之中，疑團(tuán)一下子被解開了，連我自己也無法說清在先前已經(jīng)了解的東西與使我獲得成功的東西之間是怎樣聯(lián)系起來的”. 形象思維、邏輯思維、直覺思維是數(shù)學(xué)思維的三種基本類型，形象思維是數(shù)學(xué)思維的先導(dǎo)，邏輯思維是數(shù)學(xué)思維的核心。在進(jìn)行具體的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)時(shí)，往往是這兩種思維交錯(cuò)應(yīng)用的一個(gè)綜合過程。直覺思維則是以上兩種思維的結(jié)合，達(dá)到一定數(shù)量后所引起的一種質(zhì)的飛躍。因此

16、，如果形象思維和邏輯思維發(fā)展的好，就為發(fā)展直覺思維創(chuàng)造了條件。三、數(shù)學(xué)思維的一般方法 數(shù)學(xué)思維的一般方法是指數(shù)學(xué)思維過程中經(jīng)常運(yùn)用的基本方法。研究數(shù)學(xué)思維方法對(duì)形成完善的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)和發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力具有重大的意義。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常用的數(shù)學(xué)思維的方法主要有觀察與實(shí)驗(yàn)、分析與綜合、比較與分類、抽象與概括、歸納與演繹、特殊化與一般化、類比與猜想等。四、數(shù)學(xué)思維的品質(zhì) 思維的發(fā)生和發(fā)展服從于一般的、普遍的規(guī)律，而不同的人思維特點(diǎn)又各不相同，我們把思維發(fā)生發(fā)展中表現(xiàn)出來的個(gè)別差異，稱之為思維品質(zhì)。思維品質(zhì)是評(píng)價(jià)和衡量學(xué)生思維優(yōu)劣的重要標(biāo)志，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視學(xué)生良好的思維品質(zhì)的培養(yǎng)。 1、數(shù)學(xué)

17、思維的深刻性 思維的深刻性，即抽象邏輯性。是指能夠透過事物的表面現(xiàn)象把握其本質(zhì)及其相互關(guān)系，正確認(rèn)識(shí)事物發(fā)展的規(guī)律。表現(xiàn)為善于使用抽象概括，理解透徹深刻，推理嚴(yán)密，邏輯性強(qiáng)。數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中能抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性及其相互聯(lián)系，從研究的材料（已知條件、解法與結(jié)果）中揭示被掩蓋住的個(gè)別特殊情況；能組合各種具體模式。思維的深刻性是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)。 2.數(shù)學(xué)思維的靈活性 思維的靈活性，即思維的靈活程度，是指能依據(jù)客觀條件的變化及時(shí)調(diào)整思維的方向。數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，表現(xiàn)為能對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題作具體分析，善于根據(jù)情況的變化，及時(shí)調(diào)整原有的思維過程與方法，靈活地運(yùn)用有關(guān)的定理、公式、法則，并且思維不囿于固定

18、程式或模式，具有較強(qiáng)的應(yīng)變能力。 思維的靈活性是數(shù)學(xué)思維的重要品質(zhì)，它與思維深刻性的結(jié)合，構(gòu)成了思維的機(jī)智與敏捷，常?？蓪?dǎo)致發(fā)明和創(chuàng)造。正因?yàn)槿绱?，愛因斯坦把思維的靈活性看成是創(chuàng)造性的典型特點(diǎn)。 3.數(shù)學(xué)思維的獨(dú)創(chuàng)性 思維的獨(dú)創(chuàng)性，即思維活動(dòng)的創(chuàng)新程度。是指思考問題和解決問題時(shí)的方式方法或結(jié)果的新穎、獨(dú)特，具有創(chuàng)造性。數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中表現(xiàn)為能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，勇于創(chuàng)新，敢于突破常規(guī)的思考方法和解題程式，大膽提出新的見解和采用新的方法。 4. 數(shù)學(xué)思維的廣闊性 思維的廣闊性，即思維的廣度。是指善于全面地分析問題，思路開闊，多角度、多層次地探求。數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中表現(xiàn)為能把握數(shù)學(xué)問題的整體，抓住它的基本特征，同時(shí)不放過其中有意義的細(xì)節(jié)與特殊因素，進(jìn)行多方面的思考，找出解決問題的多種方法，并將之推廣應(yīng)用于類似的問題中。在解題時(shí)常表現(xiàn)為一題多解或一法多用。 5. 數(shù)學(xué)思維的批判性 思維的批判性，即思維的獨(dú)立性。是指思